Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej tego kwadratu

Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).

Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1 \\
a\cdot(1+\sqrt{2})=1 \\
a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1} \\
a=-1+\sqrt{2} \\
a=\sqrt{2}-1$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2} \\
d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2} \\
d=2-\sqrt{2}$$

Odpowiedź

\(d=2-\sqrt{2}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments