Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2022 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – grudzień 2022. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2022

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\left(5\cdot5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za \(40 000 zł\) oprocentowane \(7\%\) w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa:

Zadanie 3. (1pkt) Właściciel sklepu kupił w hurtowni \(50\) par identycznych spodni po \(x\) zł za parę i \(40\) identycznych marynarek po \(y\) zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił \(8000 zł\). Po doliczeniu marży \(50\%\) na każdą parę spodni i \(20\%\) na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Cenę pary spodni \(x\) oraz cenę marynarki \(y\), jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań:

Zadanie 4. (1pkt) Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) są dodatnie oraz \(x\neq y\). Wyrażenie \(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}\) można przekształcić do postaci:

Zadanie 5. (1pkt) Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest:

Zadanie 6. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-log\;x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=\sqrt{10}\) jest równa:

Zadanie 7. (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5,-3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych ma współrzędne \((4,0)\).
matura z matematyki

Zadanie 7.1. (1pkt) Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji \(f\).

Zadanie 7.2. (2pkt) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Zadanie 8. (1pkt) Dana jest nierówność kwadratowa \((3x-9)(x+k)\lt0\) z niewiadomą \(x\) i parametrem \(x\in R\). Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \((-2, 3)\). Liczba \(k\) jest równa:

Zadanie 9. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\), \(b\) i \(c\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(a\neq0\) oraz \(c\lt0\). Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji \(f\) leży w całości:

A.
B.
nad osią \(Ox\)
pod osią \(Ox\)
ponieważ
1
2
3
\(a\lt0\) i \(b^2-4ac\lt0\)
\(a\gt0\) i \(b^2-4ac\lt0\)
\(a\lt0\) i \(b^2-4ac=0\)

Zadanie 10. (1pkt) Dany jest układ równań:
\begin{cases}
y=x-1 \\
y=-x+1
\end{cases}

Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest wielomian \(W\) określony wzorem \(W(x)=x^3-2x^2-3x+6\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wielomian \(W\) przy rozkładzie na czynniki ma postać:

Zadanie 12. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(4-x)(2x-3)}{(3x-5)(3-2x)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

Zadanie 13. (1pkt) Dana jest nierówność
$$2-\frac{x}{2}\ge\frac{x}{3}-3$$

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest:

Zadanie 14. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(5n^2+15n\) jest podzielna przez \(10\).

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=2n^2+n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.

P

F

Ósmy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(136\).

P

F

Zadanie 16. (1pkt) Pięciowyrazowy ciąg \((-3, \frac{1}{2}, x, y, 11)\) jest arytmetyczny. Liczby \(x\) oraz \(y\) są równe:

Zadanie 17. (2pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=-5, a_{2}=15, a_{3}-45\).

Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu \((a_{n})\) ma postać:

Zadanie 18. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\frac{1}{sin^2\alpha}+\frac{1}{cos^2\alpha}=\frac{64}{9}\). Wartość wyrażenia \(sin\alpha\cdot cos\alpha\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Ponadto \(|\sphericalangle AOC|=130°\) oraz \(|\sphericalangle BOA|=110°\).
matura z matematyki

Miara kąta wewnętrznego \(BAC\) trójkąta \(ABC\) jest równa:

Zadanie 20. (4pkt) Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200 m\). Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz wymiary \(a\) i \(b\) kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(8\). Z wierzchołka \(A\) zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe:

Zadanie 22. (1pkt) Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|AD|=4\) i \(|OD|=|BC|=6\). Kąty \(ODA\) i \(BCO\) są proste (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Długość odcinka \(OC\) jest równa:

Zadanie 23. (2pkt) Przekątne równoległoboku \(ABCD\) mają długości: \(|AC|=16\) oraz \(|BD|=12\). Wierzchołki \(E, F, G\) oraz \(H\) rombu \(EFGH\) leżą na bokach równoległoboku \(ABCD\) (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
matura z matematyki

Oblicz długość boku rombu \(EFGH\).

Zadanie 24. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC|=4\), \(|AB|=3\), \(cos\sphericalangle BAC=\frac{4}{5}\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Zadanie 25. (2pkt) Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\) o polu równym \(6\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Zadanie 25.1. (1pkt) Pole trójkąta \(ABE\) jest równe:

Zadanie 25.2. (1pkt) Długość odcinka \(AE\) jest równa:

Zadanie 26. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\), w którym \(AB||CD\) oraz przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa \(12\). Obwód trójkąta \(ABO\) jest równy \(39\), a obwód trójkąta \(CDO\) jest równy \(13\).
matura z matematyki

Wysokość trójkąta \(ABO\) poprowadzona z punktu \(O\) jest równa:

Zadanie 27. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o równaniu
$$(x-3)^2+(y-3)^2=13$$

Okrąg \(O\) przecina oś \(Oy\) w punktach o współrzędnych:

Zadanie 28. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach:
$$k:\; y=\frac{1}{3}x-1 \\
l:\; y=-3x+6$$

Proste \(k\) oraz \(l\):

Zadanie 29. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(2m,m)\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-x-1\).

Prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) jest równoległa do prostej \(k\), gdy:

Zadanie 30. (3pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(9\). Wierzchołki podstawy \(ABCD\) sześcianu połączono odcinkami z punktem \(W\), który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy \(EFGH\). Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDW\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Zadanie 30.1. (1pkt) Objętość \(V\) ostrosłupa \(ABCDW\) jest równa:

Zadanie 30.2. (2pkt) Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 31. (1pkt) Dany jest sześcian \(F\) o krawędzi długości \(a\) i objętości \(V\) oraz sześcian \(G\) o krawędzi długości \(3a\). Objętość sześcianu \(G\) jest równa:

Zadanie 32. (1pkt) Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy \(2:7\). Zakupiono jeden los z tej loterii. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe:

Zadanie 33. (2pkt) W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
• w I donicy – \(133\) nasiona
• w II donicy – \(140\) nasion
• w III donicy – \(119\) nasion
• w IV donicy – \(147\) nasion
• w V donicy – \(161\) nasion

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe \(\delta=14\). Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

6 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Ola

Bardzo doceniam Pana prace i w imieniu maturzystów dziękuje. Mam pytanie można się spodziewać rozwiązań próbnej matury ze stycznia 2023 z Operonu?

martyna

a czy w zadaniu 14. można podstawić n=10k i wtedy podstawić tak, że wyjdzie 10(50k + 15k)=10m i jest podzielne przez 10?

Ala

Skąd w zadaniu 30 wiemy, że wysokość to 9?