Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2022 – Odpowiedzi

C

Korzystając z działań na potęgach, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\left(5\cdot5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(5^{1+\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \\
=\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$$

A

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(k=40000\)
\(p=0,07\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,07\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(7\%\), czyli \(0,07\) i jest kapitalizowana raz w roku.

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są rok, czyli \(1\) raz w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{2}=40000\cdot(1,07)^{2}$$

C

Z pierwszego zdania wynika, że za spodnie zapłaciliśmy \(50\cdot x\), za marynarki \(40\cdot y\), a całość kosztowała \(8000\) złotych, czyli pierwszym równaniem będzie:
$$50x+40y=8000$$

Cena o \(50\%\) większa od \(x\) to \(1,5x\). Cena o \(20\%\) większa od \(y\) to \(1,2y\). Z treści zadania wynika, że te dwie ceny będą sobie równe, czyli powstaje nam równanie:
$$1,5x=1,2y$$

To oznacza, że poszukiwanym układem równań będzie ten z trzeciej odpowiedzi.

C

Mamy tutaj odejmowanie ułamków, a żeby odjąć od siebie ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka trzeba byłoby wymnożyć przez mianownik drugiego ułamka i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba wymnożyć przez mianownik pierwszego ułamka. W związku z tym:
$$\frac{1\cdot(x+y)}{(x-y)\cdot(x+y)}+\frac{1\cdot(x-y)}{(x+y)\cdot(x-y)}$$

Tu dobrze byłoby zwrócić uwagę, że w mianownikach możemy zastosować teraz wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), zatem:
$$\frac{x+y}{x^2-y^2}+\frac{x-y}{x^2-y^2}=\frac{x+y+x-y}{x^2-y^2}=\frac{2x}{x^2-y^2}$$

B

Sprawdźmy jakich cyfr moglibyśmy użyć w zapisie naszej liczby czterocyfrowej:
- w rzędzie tysięcy mogłaby się znaleźć każda z cyfr od \(1\) do \(9\) włącznie, czyli mamy tutaj \(9\) możliwości
- w rzędzie setek mogłaby się znaleźć każda z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tej jednej, której użyliśmy w rzędzie tysięcy, czyli tutaj mamy \(9\) możliwości
- w rzędzie dziesiątek mogłaby się znaleźć każda z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych dwóch, których użyliśmy w rzędzie tysięcy i setek, czyli tutaj mamy \(8\) możliwości
- w rzędzie jedności mogłaby się znaleźć każda z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych trzech, których użyliśmy w rzędzie tysięcy, setek i dziesiątek, czyli tutaj mamy \(7\) możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb mamy łącznie:
$$9\cdot9\cdot8\cdot7$$

B

Jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku) to ta podstawa jest domyślnie równa \(10\). Skoro tak, to podstawiając argument \(x=\sqrt{10}\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{10})=-log_{10}\sqrt{10}$$

Do obliczenia otrzymanej wartości można podejść na różne sposoby (można wręcz z pamięci podać wynik, jeśli potrafimy). Jeżeli jednak nie czujemy się z logarytmach zbyt pewnie, to dobrym sposobem byłoby pominięcie na razie tego minusa stojącego przed logarytmem i rozpisanie tego wszystkiego w następujący sposób:
$$log_{10}\sqrt{10}=x \Leftrightarrow 10^x=\sqrt{10}$$

Teraz rozwiązując powstałe równanie, otrzymamy
$$10^x=\sqrt{10} \\
10^x=10^{\frac{1}{2}} \\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że \(-log_{10}\sqrt{10}\) będzie równy \(-\frac{1}{2}\) i taka też będzie wartość funkcji dla podanego argumentu.

1. \(\langle-3;\infty)\)
2. \(f(x)=3(x-5)^2-3\)

Rozwiązanie 1.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do nieskończoności, czyli zapisalibyśmy, że \(Y=\langle-3;+\infty)\).

Rozwiązanie 2.
Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Z rysunku odczytujemy, że w naszym przypadku \(W=(5;-3)\), zatem:
$$f(x)=a(x-5)^2+(-3) \\
f(x)=a(x-5)^2-3$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, musimy do wyznaczonego przed chwilą wzoru, podstawić współrzędne jakiegoś znanego punktu (innego niż wierzchołek). Przykładowo, widzimy że funkcja przechodzi przez punkt \(A=(4;0)\), zatem:
$$0=a(4-5)^2-3 \\
0=a(-1)^2-3 \\
0=a-3 \\
a=3$$

To oznacza, że pełnym wzorem funkcji w postaci kanonicznej będzie \(f(x)=3(x-5)^2-3\).

Zadanie 1.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 2.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji bez wyznaczenia współczynnika \(a\).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Ustalenie miejsc zerowych.
Zazwyczaj rozwiązujemy nierówność kwadratową wyznaczając miejsca zerowe, których potem używamy do narysowania wykresu i odczytania rozwiązania. Tym razem mamy zadanie odwrotne, czyli na podstawie rozwiązania nierówności, musimy dojść do miejsc zerowych. Jeżeli rozwiązaniem nierówności jest przedział \((-2, 3)\), to rozwiązując standardową nierówność kwadratową narysowalibyśmy taki oto wykres:


To oznacza, że w trakcie rozwiązywania nierówności powinniśmy otrzymać dwa miejsca zerowe, czyli \(x=-2\) oraz \(x=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(k\).
Mamy nierówność w postaci iloczynowej. Jak rozwiązujemy taką nierówność? Musimy najpierw poznać jej miejsca zerowe, czyli przyrównać lewą stronę do zera, zatem:
$$(3x-9)(x+k)=0 \\
3x-9=0 \quad\lor\quad x+k=0 \\
3x=9 \quad\lor\quad x=-k \\
x=3 \quad\lor\quad x=-k$$

Z poprzedniego kroku wiemy, że ta nierówność ma dwa miejsca zerowe. Widzimy, że \(x=3\) wychodzi nam z pierwszego nawiasu, więc wniosek z tego płynie taki, że z tego drugiego nawiasu musimy otrzymać to drugie miejsce, czyli \(x=-2\). Skoro tak, to podstawiając \(x=-2\) do równania \(x=-k\), otrzymamy:
$$-2=-k \\
k=2$$

B, ponieważ 1.

Ustalmy może o co dokładnie chodzi w tym zadaniu. Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych, to tak obrazowo rzecz ujmując, podczas wyznaczania miejsc zerowych musiała nam wyjść ujemna delta. Wykresy takich funkcji wyglądają w ten sposób, że cała parabola jest albo nad osią iksów, albo też pod nią. Wszystko objaśni poniższy rysunek:


Celem zadania jest ustalenie który z tych wariantów ma tutaj miejsce. Już ustaliliśmy, że delta musi być ujemna, czyli że \(b^2-4ac\lt0\). Co się musi stać, by ta delta była ujemna? Jak się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że \(b^2\) zawsze jest liczbą nieujemną, więc aby delta wyszła ujemna, to \(4ac\), musi być jeszcze większe od tego \(b^2\). Wniosek z tego taki, że \(4ac\) musi być liczbą dodatnią.

W treści zadania mamy informację, że \(c\) jest liczbą ujemną, a skoro \(4ac\) musi wyjść dodatnie, to tym samym współczynnik \(a\) także musi być ujemny. Jeżeli współczynnik \(a\) jest ujemny, to ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem aby ta parabola nie przecinała osi \(Ox\), to musi się w całości znaleźć pod tą osią. Stąd też odpowiedź brzmi, że wykres tej funkcji leży pod osią \(Ox\), ponieważ \(a\lt0\) oraz \(b^2-4ac\lt0\).

A

Mamy układ równań składający się z dwóch prostych w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Możemy oczywiście spróbować narysować te proste, ale tak naprawdę nie jest to konieczne, ponieważ wystarczy dobrze przeanalizować podane wzory. Dla przypomnienia - współczynnik \(a\) mówi nam o tym, czy prosta jest rosnąca, czy malejąca. Współczynnik \(b\) informuje nas, w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\).

Widzimy, że pierwsza prosta ma dodatni współczynnik kierunkowy \(a=1\) (bo przed \(x\) nie mamy żadnej wartości, czyli domyślnie stoi tam jedynka), natomiast współczynnik \(b=-1\). To oznacza, że ta prosta musi być skierowana w górę i musi przecinać oś \(Oy\) dla \(y=-1\).

Analogicznie druga prosta ma ujemny współczynnik kierunkowy (tutaj \(a=-1\)), za to współczynnik \(b=1\). To oznacza, że ta prosta będzie skierowana w dół i przetnie oś \(Oy\) dla \(y=1\).

Takie proste znalazły się na pierwszym rysunku.

B

Możemy oczywiście wymnożyć każdą z podanych odpowiedzi i sprawdzić, kiedy otrzymamy pożądany wielomian. Jednak szybciej będzie dokonać samodzielnego rozkładu, korzystając z metody grupowania wyrazów i wyłączenia odpowiedniego czynnika przed nawias w każdej parze:
$$W(x)=x^3-2x^2-3x+6 \\
W(x)=x^2(x-2)-3(x-2) \\
W(x)=(x-2)(x^2-3)$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Mamy równanie, w którego mianowniku znajduje się niewiadoma \(x\). Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać założenia dotyczące tego, by nasz mianownik był różny od zera, zatem:
$$(3x-5)(3-2x)\neq0$$

Teraz postępujemy podobnie jak przy postaci iloczynowej, czyli w tym przypadku każdy z nawiasów musi być różny od zera, zatem:
$$3x-5\neq0 \quad\lor\quad 3-2x\neq0 \\
3x\neq5 \quad\lor\quad -2x\neq-3 \\
x\neq\frac{5}{3} \quad\lor\quad x\neq\frac{3}{2}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. W tym celu najlepiej będzie obustronnie wymnożyć całość przez to, co znalazło się w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4-x)(2x-3)}{(3x-5)(3-2x)}=0 \quad\bigg/\cdot(3x-5)(3-2x) \\
(4-x)(2x-3)=0$$

Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem wystarczy teraz przyrównać nawiasy do zera:
$$4-x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=4 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=4 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale tak się składa, że rozwiązanie \(x=\frac{3}{2}\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

A

Chcąc rozwiązać tę nierówność, najlepiej jest zacząć od pozbycia się ułamków. W tym celu dobrze byłoby wymnożyć obydwie strony równania przez \(6\):
$$2-\frac{x}{2}\ge\frac{x}{3}-3 \quad\bigg/\cdot6 \\
12-3x\ge2x-18 \\
-5x\ge-30 \quad\bigg/:-5 \\
x\le6$$

Zwróć uwagę, że, że dzieląc (lub mnożąc) obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymany wynik oznacza, że największą liczbą spełniającą tę nierówność będzie \(6\).

Udowodniono, rozpisując iloczyn do postaci np. \(5n(n+3)\).

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy następującą postać:
$$5n^2+15n=5n(n+3)$$

Taki zapis oznacza, że ta liczba na pewno jest podzielna przez \(5\). Jak jednak udowodnić, że jest podzielna przez \(10\)? Tu powinniśmy dostrzec, że jeżeli \(n\) jest liczbą parzystą, to \(n+3\) jest liczbą nieparzystą i na odwrót - jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to \(n+3\) jest liczbą parzystą. To oznacza, że mnożenie \(n\cdot(n+3)\) jest zawsze mnożeniem liczby parzystej z nieparzystą, a wynik takiego mnożenia zawsze daje liczbę parzystą, czyli tym samym liczbę podzielną przez \(2\). Z tego wynika, że nasza liczba jest podzielna jednocześnie przez \(5\) i przez \(2\), czyli tym samym jest podzielna przez \(10\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu \(5n(n+3)\) lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Generalnie już po samym wzorze widać, że ten ciąg jest rosnący (za sprawą potęgi przy \(n\) oraz dodaniu \(n\)). Jeżeli jednak tego nie dostrzegamy, to możemy standardowo obliczyć wartość \(a_{n+1}-a_{n}\). Zacznijmy może od policzenia \(a_{n+1}\), tak aby wszystko było nieco bardziej czytelne:
$$a_{n+1}=2(n+1)^2+n+1 \\
a_{n+1}=2(n^2+2n+1)+n+1 \\
a_{n+1}=2n^2+4n+2+n+1 \\
a_{n+1}=2n^2+5n+3$$

Teraz znając wartość \(a_{n+1}\), możemy przystąpić do obliczenia \(a_{n+1}-a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=2n^2+5n+3-(2n^2+n) \\
a_{n+1}-a_{n}=2n^2+5n+3-2n^2-n \\
a_{n+1}-a_{n}=4n+3$$

Skoro \(n\) w ciągach jest zawsze liczbą naturalną, to \(4n+3\) jest zawsze liczbą dodatnią, stąd też ciąg jest rosnący. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc obliczyć ósmy wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić n=8 do wzoru ciągu, zatem:
$$a_{8}=2\cdot8^2+8 \\
a_{8}=2\cdot64+8 \\
a_{8}=128+8 \\
a_{8}=136$$

Zdanie jest więc prawdą.

A

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Znamy wartości dwóch pierwszych wyrazów, więc bez problemu możemy obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=\frac{1}{2}-(-3) \\
r=3\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczb \(x\) oraz \(y\).
Liczba \(x\) będzie o \(3\frac{1}{2}\) większa od drugiego wyrazu ciągu, i analogicznie liczba \(y\) będzie o \(3\frac{1}{2}\) większa od trzeciego wyrazu ciągu, zatem:
$$x=\frac{1}{2}+3\frac{1}{2} \\
x=4$$

$$y=4+3\frac{1}{2} \\
y=7\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$$

A. oraz E.

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów, możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{15}{-5} \\
q=-3$$

Krok 2. Wyznaczenie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i podstawiając do niego znane nam dane, możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n-1}$$

W ten oto sposób otrzymaliśmy wzór ciągu, który znajduje się w odpowiedzi A. To jednak nie koniec zadania, ponieważ musimy wybrać jeszcze jedną poprawną odpowiedź. W tym celu trzeba delikatnie przekształcić nasz zapis, w następujący sposób:
$$a_{n}=-5\cdot(-3)^{n-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n}\cdot(-3)^{-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n}\cdot(-\frac{1}{3}) \\
a_{n}=\frac{5}{3}\cdot(-3)^{n} \\
a_{n}=5\cdot\frac{(-3)^{n}}{3}$$

To oznacza, że poprawnym zapisem będzie także ten, który znalazł się w odpowiedzi E.

B

Po lewej stronie równania mamy dodawanie, a więc musimy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu musimy wymnożyć licznik oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i analogicznie licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez mianownik ułamka pierwszego. Całość obliczeń wyglądałaby następująco:
$$\frac{1\cdot cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{1\cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha\cdot sin^2\alpha}=\frac{64}{9} \\
\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{64}{9} \\
\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{64}{9}$$

W liczniku ułamka powstała nam tak zwana jedynka trygonometryczna, tak więc:
$$\frac{1}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{16}{9} \quad\bigg/\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
1=\frac{64}{9}\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \quad\bigg/\cdot\frac{9}{64} \\
\frac{9}{64}=sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
(sin\alpha\cdot cos\alpha)^2=\frac{9}{64} \\
sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{8} \quad\lor\quad sin\alpha\cdot cos\alpha=-\frac{3}{8}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest ostry, a to oznacza, że sinus oraz cosinus są dodatnie, więc ich iloczyn także daje liczbę dodatnią. W związku z tym ujemne rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam jedynie \(sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{8}\).

A

Moglibyśmy dostrzec, że trójkąty \(ABO\) oraz \(AOC\) są trójkątami równoramiennymi i na tej podstawie wyznaczylibyśmy kąty przy podstawach tych trójkątów, co doprowadziłoby nas do obliczenia miary kąta \(BAC\).

Istnieje jednak jeszcze szybszy sposób na poznanie prawidłowej odpowiedzi. Kąt \(BAC\) jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt \(BOC\). Miara kąta \(BOC\) jest równa:
$$|\sphericalangle BOC|=360°-130°-110°=120°$$

Zgodnie z własnościami kątów opartych na tym samym łuku, kąt wpisany \(BAC\) będzie miał miarę dwukrotnie mniejszą od kąta środkowego \(BOC\), zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=120°:2=60°$$

\(a=50m\) oraz \(b=100m\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że liny użyjemy na długości boków \(a\) oraz jednego boku \(b\), więc możemy zapisać, że:
$$2a+b=200$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni kąpieliska w kształcie prostokąta obliczymy ze wzoru:
$$P=a\cdot b$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(a\). Chcąc tego dokonać, wyznaczmy wartość \(b\) z równania \(2a+b=200\), czyli:
$$2a+b=200 \\
b=200-2a$$

Podstawiając teraz \(b=200-2a\) do równania \(P=a\cdot b\), otrzymamy:
$$P=a\cdot(200-2a) \\
P=200a-2a^2 \\
P=-2a^2+200a$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni kąpieliska można opisać wzorem \(-2a^2+200a\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(a\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(a)=-2a^2+200a\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Celem zadania jest dowiedzenie się, dla jakiego \(a\) pole powierzchni \(P\) będzie największe. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(a\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej (nie mylmy tego z bokami \(a\) oraz \(b\), to jedynie zbieżność symboli). W przypadku funkcji \(P(a)=-2a^2+200a\) widzimy, że współczynnik \(a=-2\) oraz \(b=200\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-200}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-200}{-4} \\
x_{W}=50$$

To oznacza, że największe pole powierzchni osiągniemy, gdy długość boku \(a\) będzie równa \(50\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(b\)
Celem zadania jest podanie wszystkich wymiarów naszego kąpieliska, zatem obliczmy jeszcze długość boku \(b\). W tym celu wystarczy do równania \(b=200-2a\) podstawić obliczone przed chwilą \(a=50\), zatem:
$$b=200-2\cdot50 \\
b=200-100 \\
b=100$$

To oznacza, że kąpielisko będzie mieć największe pole gdy \(a=50\) oraz \(b=100\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+b=200\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jeden z boków kąpieliska (patrz: Krok 3. oraz 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Pole całego koła o promieniu \(r=8\) jest równe:
$$P=\pi r^2 \\
P=\pi 8^2 \\
P=64\pi$$

Z rysunku wynika, że część wspólna koła i kwadratu (czyli to, czego szukamy) stanowi \(\frac{1}{4}\) pola koła, zatem:
$$P=\frac{1}{4}\cdot64\pi \\
P=16\pi$$

A

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Kąty przy wierzchołku \(O\) są kątami wierzchołkowymi, czyli mają one tą samą miarę. Widzimy też, że w obydwu trójkątach mamy kąt prosty, tak więc na podstawie cechy kąt-kąt-kąt możemy stwierdzić, że są to trójkąty podobne.

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Boki \(AD\) oraz \(BC\) są krótszymi przyprostokątnymi naszych trójkątów podobnych, więc na ich podstawie możemy obliczyć skalę podobieństwa. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(AOD\) jest trójkątem podstawowym, a \(BCO\) jest trójkątem podobnym, to:
$$k=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Poszukiwany odcinek \(OC\) jest dłuższą przyprostokątną trójkąta \(BCO\). W trójkącie \(AOD\) dłuższa przyprostokątna ma długość \(6\), więc odcinek \(OC\) będzie od niego \(\frac{3}{2}\) razy większy, zatem:
$$|OC|=\frac{3}{2}\cdot6 \\
|OC=9$$

\(a=\frac{48}{7}\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Spójrzmy na trójkąty \(AEF\) oraz \(ADB\). Są to trójkąty podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro tak, to zajdzie między tutaj następująca zależność:
$$\frac{|AF|}{|EF|}=\frac{|AB|}{|BD|}$$

Jeżeli teraz przyjmiemy, że długość boku rombu to \(a\) i podstawimy znaną długość \(|BD|=12\), to otrzymamy:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12}$$

Teraz spójrzmy na trójkąty \(FBG\) oraz \(ABC\). One także są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt i tutaj także moglibyśmy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|BF|}{|FG|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$

Podstawiając długość boku rombu \(a\) oraz \(|AC|=16\), otrzymamy:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Dobrze byłoby dostrzec, że długość boku \(AB\) jest sumą długości \(AF\) oraz \(BF\), czyli odcinków, które pojawiają się w zapisanych równaniach z pierwszego kroku. Spróbujmy te równania przekształcić, tak aby mieć po lewej stronie jedynie \(AF\) oraz \(BF\):

Pierwsze równanie:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12} \quad\bigg/\cdot a \\
|AF|=\frac{|AB|\cdot a}{12}$$

Drugie równanie:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16} \quad\bigg/\cdot a \\
|BF|=\frac{|AB|\cdot a}{16}$$

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$|AB|=|AF|+|BF| \\
|AB|=\frac{|AB|\cdot a}{12}+\frac{|AB|\cdot a}{16} \quad\bigg/\cdot48 \\
48\cdot |AB|=4\cdot|AB|\cdot a+3\cdot|AB|\cdot a \\
48\cdot |AB|=7\cdot|AB|\cdot a \quad\bigg/:|AB| \\
48=7a \\
a=\frac{48}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dowolną zależność wynikającą z podobieństwa trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=\frac{18}{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować nasz trójkąt \(ABC\) i zaznaczmy na nim dane z treści zadania:


Zwróć uwagę, że to nie będzie trójkąt prostokątny (bok \(BC\) nie będzie miał długości \(5\)). W związku z tym, do obliczenia pola powierzchni tego trójkąta przyda nam się tak zwany "wzór z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha$$

Krok 2. Obliczenie \(sin\alpha\).
Do obliczenia pola potrzebujemy znać wartość sinusa kąta \(\alpha\), a znamy cosinusa. Aby poznać wartość sinusa tego kąta, możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
sin^2\alpha+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{16}{25}=1 \\
sin^2\alpha=\frac{9}{25} \\
sin\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sin\alpha=-\frac{3}{5}$$

Zarówno kąty ostre jak i rozwarte (a takimi mogłaby być nasza \(\alpha\)) są dodatnie, więc jedynym pasującym rozwiązaniem jest \(sin\alpha=\frac{3}{5}\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\frac{3}{5} \\
P=6\cdot\frac{3}{5} \\
P=\frac{18}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(\alpha\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(h=\frac{12}{5}\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|BC|^2=\frac{29}{5}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. C
2. B

Rozwiązanie 1.
Najprościej byłoby dostrzec, że nasz trójkąt stanowi \(\frac{1}{3}\) pola całego sześciokąta. Dobrze to widać na poniższym rysunku:


Skoro tak, to:
$$P=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3} \\
P=2\sqrt{3}$$

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości boku sześciokąta.
Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) to tak naprawdę pole sześciu trójkątów równobocznych, stąd też:
$$P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Z treści zadania wynika, że to pole jest równe \(6\sqrt{3}\), zatem:
$$6\sqrt{3}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:6 \\
\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
4\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=4 \\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Długość boku sześciokąta musi być dodatnia, stąd też \(a=2\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Odcinek \(AE\) to tak zwana krótsza przekątna sześcianu. Jeśli znamy na nią wzór, to zadanie jest już bardzo proste, ponieważ:
$$|AE|=a\sqrt{3} \\
|AE|=2\sqrt{3}$$

Jeżeli jednak nie pamiętamy tego wzoru, to wystarczyłoby dostrzec, że długość tego boku to wysokość dwóch trójkątów równobocznych:


Wzór na wysokość trójkąta równobocznego to \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Skoro tak, to:
$$|AE|=2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AE|=a\sqrt{3} \\
|AE|=2\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Z własności trapezów wynika, że trójkąty \(ABO\) oraz \(CDO\) są trójkątami podobnymi (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, ponieważ kąty tych trójkątów przy wierzchołku \(O\) są kątami wierzchołkowymi, a kąty przy podstawach są kątami naprzemianległymi). Dobrze to widać na tym rysunku:


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Skoro nasze trójkąty są podobne, to na podstawie informacji o obwodach tych trójkątów, możemy obliczyć skalę podobieństwa. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem podstawowym, a \(CDO\) jest trójkątem podobnym, to:
$$k=\frac{39}{13} \\
k=3$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABO\).
Skoro skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(3\), to analogicznie wysokość trójkąta \(ABO\) jest \(3\) razy większa od wysokości trójkąta \(CDO\). Powstaje nam więc taka oto sytuacja:


Wiemy, że suma długości tych wysokości jest równa \(12\), zatem:
$$x+3x=12 \\
4x=12 \\
x=3$$

Trójkąt \(ABO\) ma wysokość \(3x\), zatem:
$$h=3\cdot3=9$$

A

Okrąg przecina oś \(Oy\) gdy współrzędna \(x\) jest równa \(0\). Podstawiając zatem \(x=0\) do naszego równania, otrzymamy:
$$(0-3)^2+(y-3)^2=13 \\
(-3)^2+(y-3)^2=13 \\
9+(y-3)^2=13 \\
(y-3)^2=4$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście wykonać potęgowanie po lewej stronie i całość sprowadzić do postaci ogólnej, tak aby potem wyliczyć deltę, ale można też postąpić nieco szybciej. Skoro \(4\) to jest \(2^2\) lub też \((-2)^2\), to moglibyśmy to rozpisać w następujący sposób:
$$y-3=2 \quad\lor\quad y-3=-2 \\
y=5 \quad\lor\quad y=1$$

To oznacza, że oś \(OY\) będzie przecięta w dwóch punktach o współrzędnych \((0,1)\) oraz \((0,5)\).

B

Z własności prostych wynika, że gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\), to proste są względem siebie prostopadłe. W przypadku naszych prostych mamy współczynniki kierunkowe \(a\) równe \(\frac{1}{3}\) oraz \(-3\). Skoro więc \(\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\), to wniosek z tego płynie taki, że te dwie proste są względem siebie prostopadłe.

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć one jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Prosta \(k\) ma współczynnik \(a=-1\), więc poszukiwana przez nas równoległa musi też mieć taki współczynnik.

W tym zadaniu przyda nam się następujący wzór na współczynnik kierunkowy \(a\):
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając do niego dane z treści zadania oraz \(a=-1\), otrzymamy:
$$-1=\frac{m-2}{2m-1} \quad\bigg/\cdot(2m-1) \\
-2m+1=m-2 \\
-3m=-3 \\
m=1$$

1. A
2. \(cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Rozwiązanie 1.
Z rysunku wynika, że ostrosłup \(ABCDW\) ma w podstawie kwadrat o boku \(9\), a jego wysokość jest także równa \(9\). W związku z tym korzystając ze wzoru na pole ostrosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot9\cdot9\cdot9 \\
V=243$$

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy na rysunku kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, tak aby wiedzieć, co tak naprawdę musimy policzyć i przy okazji wprowadźmy proste oznaczenia niektórych odcinków:


Widzimy, że na rysunku powstał nam kluczowy trójkąt prostokątny, na który składa się połowa długości przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. I to właśnie z tego trójkąta obliczymy za chwilę potrzebne długości (do wyznaczenia cosinusa będziemy potrzebować połowy przekątnej podstawy oraz krawędź boczną).

Krok 2. Obliczenie długości połowy przekątnej podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat. Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma zawsze długość \(a\sqrt{2}\), więc w naszym przypadku cała przekątna kwadratu ma długość:
$$d=9\sqrt{2}$$

Do obliczenia cosinusa potrzebujemy połowy przekątnej (oznaczonej jako \(x\)), zatem:
$$x=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Krawędź boczna jest jednocześnie przeciwprostokątną naszego trójkąta \(AOW\). W tym trójkącie znamy już długości dwóch boków, ponieważ \(x=\frac{9\sqrt{2}}{2}\) oraz \(H=9\). Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$x^2+H^2=c^2 \\
\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2+9^2=c^2 \\
\frac{81\cdot2}{4}+81=c^2 \\
\frac{162}{4}+81=c^2$$

Tu na chwilę się zatrzymamy - mamy tutaj dość nietypową sytuację, ponieważ jeśli będziemy kontynuowali dodawanie w standardowy sposób, to otrzymamy równanie \(c^2=121,5\) i dość trudno będzie tutaj uzyskać "ładny" zapis. Z tego też względu, lepiej byłoby dokonać takiego przekształcenia:
$$\frac{81\cdot2}{4}+81=c^2 \\
\frac{81\cdot2}{4}+\frac{81\cdot4}{4}=c^2 \\
c^2=\frac{81\cdot6}{4} \\
c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}} \quad\lor\quad c=-\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi jest na pewno dodatnia. Stąd też zostaje nam \(c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}}\), co możemy rozpisać w następujący sposób:
$$c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}} \\
c=\frac{9\sqrt{6}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Mamy już komplet danych, więc możemy przystąpić do obliczenia cosinusa. Cosinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie względem przeciwprostokątnej, zatem:
$$cos\alpha=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\frac{9\sqrt{6}}{2}} \\
cos\alpha=\frac{9\sqrt{2}}{2}:\frac{9\sqrt{6}}{2} \\
cos\alpha=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{9\sqrt{6}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} \\
cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Otrzymany wynik jest już poprawny, ale dobrze byłoby się jeszcze pozbyć niewymierności z mianownika. W tym celu trzeba byłoby pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$cos\alpha=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Zadanie 1.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 2.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy przekątnej podstawy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Objętość sześcianu \(F\), zgodnie ze wzorem na objętość tej bryły, wynosi:
$$V_{F}=a^3$$

To oznacza, że zgodnie z treścią zadania \(a^3=V\).

Objętość sześcianu \(G\) będzie równa:
$$V_{G}=(3a)^3 \\
V_{G}=27a^3$$

Skoro więc \(a^3=V\), to objętość sześcianu \(G\) jest równa \(27V\).

C

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(2x\) - liczba losów wygrywających
\(7x\) - liczba losów przegrywających

To oznacza, że łącznie losów wygrywających i przegrywających mamy:
$$2x+7x=9x$$

W związku z tym, prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywającego jest równe:
$$p=\frac{2x}{9x}=\frac{2}{9}$$

I, II oraz IV

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe \(\delta=14\). Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną, możemy zapisać, że:
$$śr=\frac{133+140+119+147+161}{5} \\
śr=\frac{700}{5} \\
śr=140$$

Krok 2. Wyznaczenie numerów donic.
Zgodnie z treścią zadania, szukamy donic w których liczba nasion nie odbiega więcej niż jedno odchylenie standardowe od średniej. Mówiąc bardzo obrazowo, może to być zarówno \(14\) nasion mniej, jak i \(14\) nasion więcej niż \(140\). Skoro tak, to minimalna liczba nasion wynosi \(140-14=126\), a maksymalna to \(140+14=154\). Taka liczba nasion znalazła się w donicach numer I, II oraz IV.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.