Matura próbna – Matematyka – Wrzesień 2022 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – wrzesień 2022. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Wrzesień 2022

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \((1+3\cdot2^{-1})^{-2}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia \(2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez \(25\), jest:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) wyrażenie \(\frac{2}{x-1}-5\) jest równe:

Zadanie 5. (2pkt) Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.



Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:

A. \([3-(x-2y)]^2\)

B. \([3+(x-2y)]^2\)

C. \([3-(x+2y)]^2\)

D. \([3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]\)

E. \([3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]\)

F. \(-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]\)

Zadanie 6. (3pkt) Rozwiąż równanie

$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

Zadanie 8. (1pkt) Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

matura z matematyki

Zadanie 9. (1pkt) Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040 zł\). Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20 zł\), \(50 zł\) oraz \(100 zł\). Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.



Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb \(x\) i \(y\) to:

Zadanie 10. (3pkt) Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

matura z matematyki





Zadanie 1. Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).

$$.....................$$



Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.



1. Dla każdego argumentu z przedziału \((-4, -2)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.

2. Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe.



Zadanie 3. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4, 0\rangle\) jest równa:

A. \((-4)\)

B. \((-3)\)

C. \((-2)\)

D. \(0\)

Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: punkt \(A=(8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\).



Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa:

Zadanie 12. (2pkt) Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.



Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:

$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\

0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$



Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.

matura z matematyki



Zadanie 1. Największa głębokość basenu jest równa:

A. \(5,4 m\)

B. \(3,6 m\)

C. \(2,2 m\)

D. \(1,8 m\)



Zadanie 2. Oblicz wartość współczynnika \(a\) oraz wartość współczynnika \(b\).

Zadanie 13. (3pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).



Zadanie 1. Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:

A. \((1, 2)\)

B. \((-1, 2)\)

C. \((1, -2)\)

D. \((-1, -2)\)



Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

A. \((-\infty,2\rangle\)

B. \((-\infty,2)\)

C. \((2;+\infty)\)

D. \(\langle2;+\infty)\)

Zadanie 14. (2pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:

A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)

B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)

C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)

D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)



Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.

2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).

Zadanie 15. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=3x+b\), przechodząca przez punkt \(A=(-1, 3)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:

Zadanie 16. (3pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Ciąg \((a_{n})\) jest:



A. rosnący,

B. malejący,

C. stały,



ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)



1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)

2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)

3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)



Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(7\)

D. \(26\)



Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:

A. \(6\)

B. \(23\)

C. \(5\)

D. \(11\)

Zadanie 17. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:

• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)

• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)



Proste \(k\) i \(l\):

Zadanie 18. (1pkt) Wartość wyrażenia \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4:5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40°\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Miara kąta \(ACO\) jest równa:

Zadanie 21. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\). Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zadanie 22. (1pkt) W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD|=3,2\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Odcinek \(CD\) ma długość:

Zadanie 23. (4pkt) Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)

• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).



Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.



Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zadanie 24. (3pkt) Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

matura z matematyki



Zadanie 1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:

A. \(4 593,75 zł\)

B. \(4 800,00 zł\)

C. \(5 360,00 zł\)

D. \(2 399,33 zł\)



Zadanie 2. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa:

A. \(4 000 zł\)

B. \(4 800 zł\)

C. \(5 000 zł\)

D. \(5 500 zł\)



Zadanie 3. Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5 000 zł\), stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\)):

A. \(91\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy

B. \(78\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy

C. \(53\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy

D. \(22\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy

Zadanie 25. (3pkt) Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zadanie 26. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

3 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Piotr

Przydatne polecam

Terna

Zadanie 13 jest jakby co za 2 punkty, a nie 3. Może mylić, niektórym co będą liczyć punkty.