Matura próbna – Matematyka – Wrzesień 2022 – Odpowiedzi

B

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$(1+3\cdot2^{-1})^{-2}=\left(1+3\cdot\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(1+\frac{3}{2}\right)^{-2}= \\
=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

A

W wyrażeniu pojawiają nam się dwa kluczowe logarytmy, więc dla lepszego zobrazowania może rozwiążmy je osobno (bo mamy taką możliwość):
$$log_{5}5=1 \\
log_{5}625=log_{5}5^4=4$$

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625=2\cdot1+1-\frac{1}{2}\cdot4=2+1-2=1$$

B

Aby liczba była podzielna przez \(25\), to dwie ostatnie jej cyfry muszą być równe: \(25, 50, 75\) lub \(00\). My chcemy, by dodatkowo ta liczba była jeszcze nieparzysta, czyli interesująca nas liczba może przybrać jedną z dwóch postaci:
$$■■25 \\
■■75$$

Spróbujmy zatem ustalić, ile jest takich liczb czterocyfrowych, analizując ile mamy możliwości uzupełnienia cyfr tysięcy i setek liczby:
• cyfra tysięcy - tutaj możemy mieć cyfry od \(1\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(9\) możliwości uzupełnienia cyfry tysięcy
• cyfra setek - tutaj możemy mieć cyfr od \(0\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(10\) możliwości uzupełnienia cyfry setek
• cyfra dziesiątek i jedności - tu jak już ustaliliśmy, pasują nam tylko warianty \(25\) lub \(75\), czyli mamy \(2\) możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będzie:
$$9\cdot10\cdot2$$

B

Celem zadania jest zapisanie tego wyrażenia w formie pojedynczego ułamka. Musimy więc odjąć od siebie podane liczby, a żeby tego dokonać, to trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu musimy liczbę \(5\) rozpisać jako \(\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}\), co sprawi, że otrzymamy:
$$\frac{2}{x-1}-5=\frac{2}{x-1}-\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}=\frac{2}{x-1}-\frac{5x-5}{x-1}= \\
\frac{2-(5x-5)}{x-1}=\frac{2-5x+5}{x-1}=\frac{-5x+7}{x-1}$$

D, F

Teoretycznie moglibyśmy rozpisać każde z wyrażeń znajdujących się w odpowiedziach i sprawdzić, kiedy otrzymamy wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\). Do tego zadania można jednak podejść nieco sprytniej. Powinniśmy zauważyć, że \(9=3^2\) oraz \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\) (to wynika wprost ze wzorów skróconego mnożenia). Nasze wyrażenie przyjęłoby więc postać:
$$3^2-(x-y)^2$$

Jeżeli teraz zapisalibyśmy sobie, że \(a=3\) oraz \(b=(x-y)\), to nasze wyrażenie przyjęłoby postać \(a^2-b^2\), co zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia moglibyśmy rozpisać jako \((a-b)\cdot(a+b)\). Czyli tym samym:
$$3^2-(x-y)^2=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$

Wyznaczony zapis znajduje się w czwartej odpowiedzi, więc jedną poprawną odpowiedź mamy już wybraną.

Zgodnie z treścią zadania, to zadanie ma jednak dwie poprawne odpowiedzi. Musimy więc się zastanowić, która z pozostałych odpowiedzi będzie równie poprawna. Na pewno warianty A-C możemy od ręki odrzucić, bo prezentują one zupełnie inny wzór skróconego mnożenia. Odpowiedź E jest błędna, gdyż w nawiasach mamy \(+2y\). Po takiej krótkiej analizie możemy dostrzec, że poprawna będzie jeszcze ostatnia odpowiedź, gdyż da się ten zapis przekształcić do tego co otrzymaliśmy w odpowiedzi D:
$$-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]=[-(x-y)+3]\cdot[(x-y)+3]=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$

\(x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2\)

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0 \\
x^2(3x-6)-9(3x-6)=0 \\
(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci iloczynu, w którym wystąpi co najwyżej drugi stopień potęgi.
2 pkt
• Gdy poprawnie rozwiążesz jedno z powstałych równań \(x^2-9=0\) lub \(3x-6=0\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0 \\
x^2\neq1 \\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0 \\
x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1 \\
x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).

C

Do tego typu zadań można podchodzić na różne sposoby (w niektórych przypadkach można z samej analizy rysunku wywnioskować poprawną odpowiedź), ale tutaj odpowiedzi są do siebie na tyle podobne, że najprościej i najbezpieczniej będzie po prostu rozwiązać podane nierówności:

Odp. A.
$$|x+2|\le2 \\
x+2\le2 \quad\land\quad x+2\ge-2 \\
x\le0 \quad\land\quad x\ge-4$$

Odp. B.
$$|x-2|\le2 \\
x-2\le2 \quad\land\quad x-2\ge-2 \\
x\le4 \quad\land\quad x\ge0$$

Odp. C.
$$|x+2|\ge2 \\
x+2\ge2 \quad\lor\quad x+2\le-2 \\
x\ge0 \quad\lor\quad x\le-4$$

Odp. D.
$$|x-2|\ge2 \\
x-2\ge2 \quad\lor\quad x-2\le-2 \\
x\ge4 \quad\lor\quad x\le0$$

Interesujący nas zbiór rozwiązań otrzymaliśmy zatem w trzeciej odpowiedzi.

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba banknotów \(50zł\)
\(2x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(y\) - liczba banknotów \(20zł\)

To oznacza, że:
\(50x\) - wartość wyrażona banknotami \(50zł\)
\(100\cdot2x\) - wartość wyrażona banknotami \(100zł\)
\(20y\) - wartość wyrażona banknotami \(20zł\)

Krok 2. Ułożenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie opiera się na sumie wypłaty. Skoro suma wypłaty wynosi \(1040zł\), to bazując na oznaczeniach z kroku pierwszego, możemy stwierdzić, że pierwszym równaniem jakie ułożymy będzie:
$$20y+50x+100\cdot2x=1040$$

Krok 3. Ułożenie drugiego równania.
Drugie równanie to zależność między banknotami o nominale \(20zł\) i \(50zł\). Banknotów \(20\)-złotowych (oznaczonych jako \(y\)) było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych (oznaczonych jako \(x\)), czyli:
$$y=x-2$$

To oznacza, że pasującym układem równań będzie ten z pierwszej odpowiedzi.

B

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Z równania \((x-3)^2+(y+1)^2=25\) wynika, że w takim razie \(a=3\) oraz \(b=-1\). To oznacza, że środek okręgu znajduje się w punkcie \(S=(3;-1)\).

Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(A\) od środka okręgu.
Celem zadania jest obliczenie odległości punktu \(A\) od naszego punktu \(S\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru na długość odcinka, zatem:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{(3-8)^2+(-1-11)^2} \\
|AS|=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2} \\
|AS|=\sqrt{25+144} \\
|AS|=\sqrt{169} \\
|AS|=13$$

B

Podstawiając do równania \(y=3x+b\) współrzędne punktu \(A\), otrzymamy:
$$3=3\cdot(-1)+b \\
3=-3+b \\
b=6$$

C

Krok 1. Zapisanie równań w postaci kierunkowej.
Aby rozpocząć analizę tych dwóch prostych, musimy zapisać je w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Pierwsza prosta \(k\) jest już zapisana w tej postaci, natomiast prostą \(l\) musimy przekształcić, zatem:
$$y-1=-2x \\
y=-2x+1$$

Krok 2. Ustalenie wzajemnego położenia prostych.
Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{1}{2}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(a=-2\). Iloczyn tych współczynników wynosi \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\), a to oznacza, że te dwie proste są względem siebie prostopadłe.

B

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), wyrażenie \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)\) możemy rozpisać jako \(1^2-cos^2 20°\). To oznacza, że całe wyrażenie podane w treści zadania przyjmie postać:
$$(1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°= \\
=1-cos^2 20°-sin^2 20°$$

Teraz możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej, czyli z zależności \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Wynika z niej, że \(1\) możemy rozpisać jako np. \(sin^2 20°+cos^2 20°\), a skoro tak, to podstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$(sin^2 20°+cos^2 20°)-cos^2 20°-sin^2 20°=0$$

A

Skoro stosunek liczby kul jest równy \(4:5\), to możemy zapisać, że:
\(4x\) - liczba kul białych
\(5x\) - liczba kul czerwonych
\(4x+5x=9x\) - liczba wszystkich kul

To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:
$$p=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$$

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Z rysunku wynika, że kąt \(ABC\) ma miarę \(40°+10°=50°\). Kąt \(AOC\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt \(ABC\), a skoro tak, to jego miara będzie dwa razy większa, czyli:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot50°=100°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOC\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona są promieniami okręgu), a to oznacza, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami ma miarę \(100°\), to na dwa pozostałe kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\). W związku z tym, poszukiwany kąt \(ACO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle OAB|=80°:2=40°$$

\(cos\gamma=\frac{1}{4}\)

Kąt o największej mierze będą tworzyć dwa najkrótsze boki, które możemy oznaczyć jako \(a=6\) oraz \(b=7\). Najdłuższy bok będzie leżał naprzeciwko tego kąta, czyli \(c=8\). Mając te dane, możemy teraz skorzystać z twierdzenia cosinusów, zatem:
$$8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cdot cos\gamma \\
64=36+49-84cos\gamma \\
64=85-84cos\gamma \\
-21=-84cos\gamma \\
cos\gamma=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie wynikające z twierdzenia cosinusów.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

W zadaniu musimy skorzystać z tak zwanego twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego. Wynika z niego, że dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. To oznacza, że w naszym przykładzie zachodzi następująca proporcja:
$$\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|CD|}$$

Podstawiając dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{4}{3,2}=\frac{4,6}{|CD|}$$

Mnożąc na krzyż, wyjdzie nam, że:
$$4\cdot|CD|=3,2\cdot4,6 \\
4\cdot|CD|=14,72 \\
|CD|=3,68=\frac{92}{25}$$

\(115\) wiatraków, a zysk wyniesie \(13055zł\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako \(251x\), a koszty to \(x^2+21x+170\). To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$

To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji \(Z(x)=-x^2+230x-170\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-x^2+230x-170\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-1\) oraz \(b=230\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-230}{2\cdot(-1)} \\
p=\frac{-230}{-2} \\
p=115$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=115\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in\langle0;150\rangle\), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(115\) wiatraków.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa \(x=115\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=115\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-x^2+230x-170\). Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170 \\
Z(115)=-13225+26450-170 \\
Z(115)=13055$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(13055\) złotych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(H=5\sqrt{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, a ostrosłup wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny, to jego wysokość obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru \(a=10\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$h_{p}=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=\frac{10\cdot3}{2} \\
h_{p}=\frac{30}{2} \\
h_{p}=15$$

Tym samym odcinek o długości \(\frac{2}{3}h_{p}\) będzie miał długość \(\frac{2}{3}\cdot15=10\).

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzą odcinek o długości \(\frac{2}{3}h\), wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$10^2+H^2=15^2 \\
100+H^2=225 \\
H^2=125 \\
H=\sqrt{125} \quad\lor\quad H=-\sqrt{125}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ostrosłupa musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{125}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(\frac{2}{3}h_{p}=10\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz, że \(\frac{2}{3}h_{p}=10\) (patrz: Krok 2.) oraz wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby \(8\) na sumę \(5+3\). To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy \(5\) z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$10n^2+30n+8= \\
=10n^2+30n+5+3= \\
=5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$

Wartość \(2n^2+6n+1\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę \(10n^2+30n+8\) przez \(5\) otrzymamy właśnie \(2n^2+6n+1\), a stojąca na końcu liczba \(3\) to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu \(5\cdot(2n^2+6n+1)+3\) lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.