Matura próbna – Matematyka – Wrzesień 2022 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – wrzesień 2022. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Wrzesień 2022

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \((1+3\cdot2^{-1})^{-2}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia \(2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez \(25\), jest:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) wyrażenie \(\frac{2}{x-1}-5\) jest równe:

Zadanie 5. (2pkt) Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:

Zadanie 6. (3pkt) Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

Zadanie 8. (1pkt) Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.
matura z matematyki

Zadanie 9. (1pkt) Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040 zł\). Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20 zł\), \(50 zł\) oraz \(100 zł\). Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.

Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb \(x\) i \(y\) to:

Zadanie 10. (3pkt) Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
matura z matematyki

Zadanie 10.1. (1pkt) Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).
$$.....................$$

Zadanie 10.2. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału \((-4, -2)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.

P

F

Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe.

P

F

Zadanie 10.3. (1pkt) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4, 0\rangle\) jest równa:

Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: punkt \(A=(8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\).

Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa:

Zadanie 12. (3pkt) Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.

Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\
0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$

Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.
matura z matematyki

Zadanie 12.1. (1pkt) Największa głębokość basenu jest równa:

Zadanie 12.2. (2pkt) Oblicz wartość współczynnika \(a\) oraz wartość współczynnika \(b\).

Zadanie 13. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).

Zadanie 13.1. (1pkt) Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:

Zadanie 13.2. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

Zadanie 14. (2pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Zadanie 14.1. (1pkt) Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:

Zadanie 14.2. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.

P

F

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).

P

F

Zadanie 15. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=3x+b\), przechodząca przez punkt \(A=(-1, 3)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:

Zadanie 16. (3pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Zadanie 16.1. (1pkt) Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg \((a_{n})\) jest:

A.
B.
C.
rosnący,
malejący,
stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1
2
3
\(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
\(a_{n+1}-a_{n}=0\)
\(a_{n+1}-a_{n}=3\)

Zadanie 16.2. (1pkt) Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:

Zadanie 16.3. (1pkt) Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:

Zadanie 17. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:
• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)
• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)

Proste \(k\) i \(l\):

Zadanie 18. (1pkt) Wartość wyrażenia \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4:5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40°\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta \(ACO\) jest równa:

Zadanie 21. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\). Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zadanie 22. (1pkt) W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD|=3,2\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Odcinek \(CD\) ma długość:

Zadanie 23. (4pkt) Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zadanie 24. (3pkt) Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
matura z matematyki

Zadanie 24.1. (1pkt) Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:

Zadanie 24.2. (1pkt) Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa:

Zadanie 24.3. (1pkt) Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5 000 zł\), stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\)):

Zadanie 25. (3pkt) Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zadanie 26. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

11 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Piotr

Przydatne polecam

Terna

Zadanie 13 jest jakby co za 2 punkty, a nie 3. Może mylić, niektórym co będą liczyć punkty.

Revlori

Czy jesli w 6 nie wpisalam odpowiedzi -9 tylko 2 i 9 to bede miec za to 2 pkt?

julia.b

Czy w zadaniu 23 przy obliczaniu największego zysku nie powinno być -115 do kwadratu to jest 13225, bo w obliczeniach pojawił się minus?

Eli

Dlaczego z zadaniu 1 nie mozna tych potęg po prostu wymnożyć?

Emilsoneq

Mogę zadanie 6 rozwiązać
3x^2(x-2)-27(x-2) ?