Matura – Matematyka – Informator 2023 (zadania) – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się odpowiedzi do zadań z informatora maturalnego przygotowanego przez CKE, który jest materiałem edukacyjnym dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki na poziomie podstawowym (tzw. Formuła 2023). Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury.

Parę miesięcy po publikacji informatora, CKE ponownie zmieniło podstawę egzaminacyjną na lata 2023 i 2024 ;) W związku z tym przygotowując się do matury 2023 i 2024, możesz pominąć zadania:
11, 13, 15, 16, 17, 23, 35, 37, 38, 40.2, 41, 43.2, 45, 49

Informator maturalny CKE 2023

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \(2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Dana jest nierówność:

$$|x-3|\ge5$$



Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?

Zadanie 3. (1pkt) Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.



Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1\%\)):

Zadanie 4. (2pkt) Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

Zadanie 5. (2pkt) Dane są liczby 𝑎\(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).

Zadanie 6. (2pkt) Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:

A. \(a=5\)

B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)

D. \(a=6\)

E. \(a=-2\sqrt{6}+12,5\)

F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}\)

G. \(a=-\sqrt{6}\)

Zadanie 7. (2pkt) Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$

Zadanie 8. (2pkt) Pensja pana \(X\) jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana \(Y\) jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej.



Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.



1. Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\):

A. o \(40\%\) pensji pana \(Y\).

B. o \(90\%\) pensji pana \(Y\).

C. o \(150\%\) pensji pana \(Y\).

D. o \(275\%\) pensji pana \(Y\).

2. Pensja pana \(Y\) jest niższa od pensji pana \(X\):

E. o \(60\%\) pensji pana \(X\).

F. o \(73\%\) pensji pana \(X\).

G. o \(90\%\) pensji pana \(X\).

H. o \(150\%\) pensji pana \(X\).

Zadanie 9. (1pkt) Na wykresie przedstawiono zależność \(log\;K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili\(t=0\) rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili\(t=0\), liczba \(K\) bakterii była równa:

Zadanie 10. (1pkt) Liczba \(log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]\) jest równa:

Zadanie 11. (3pkt) Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:

$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$



Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.

Zadanie 12. (1pkt) Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)\)



Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).
Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).

Zadanie 13. (3pkt) Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)

Zadanie 14. (2pkt) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Zadanie 15. (3pkt) Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\).



Udowodnij, że liczba 𝒂\(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).

Zadanie 16. (3pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej \(W(x)=(x+2)Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).

Zadanie 17. (1pkt) Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^3-b-5\sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\).



Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy:

Zadanie 18. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.



Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Funkcja \(f\):

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,

B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,

C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,



ponieważ



1. \(b^2+60\gt0\)

2. \(b^2+60=0\)

3. \(b^2+60\lt0\)

Zadanie 19. (3pkt) Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in\langle-5,8\rangle\).

matura z matematyki



Zadanie 1.

Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności: \(f(x)\gt2\)

$$...................$$



Zadanie 2.

Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne przedziały, w których funkcja \(f\) jest malejąca.



Zadanie 3.

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) , a najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) .

Zadanie 20. (2pkt) Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.

matura z matematyki



Ta funkcja jest określona dla \(x\in\langle−3, 5\rangle\). Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco:

$$y=g(x)=f(x+2) \quad\quad\quad y=h(x)=f(-x)$$



Na rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji - w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\). Każdej z funkcji \(y=g(x)\) oraz \(y=h(x)\) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.

\[

\begin{array}{|c|c|c|}

\hline

\text{Zadanie} & \text{Funkcja} & \text{Rysunek} \\

\hline

1. & y=g(x) & \\

\hline

2. & y=h(x) & \\

\hline

\end{array}

\]



matura z matematyki

Zadanie 21. (3pkt) Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).



Zadanie 1.

Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

matura z matematyki



Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).



Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem:

A. \(y=-(x+5)^2-6\)

B. \(y=-(x+5)^2+6\)

C. \(y=-(x-5)^2-6\)

D. \(y=-(x-5)^2+6\)



Zadanie 2.

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt o współrzędnych \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_{1}=1\).



Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=g(x)\) w postaci iloczynowej.

Zadanie 22. (6pkt) Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_{k}=7,01m\), licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_{0}=0\), \(y_{0}=2,50m\). Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

$$y=-0,174x^2+1,3x+2,5$$



Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do \(0,01m\))

A. \(3,04m\)

B. \(3,06m\)

C. \(3,80m\)

D. \(4,93m\)



Zadanie 2.

Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.



Zadanie 3.

W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0,12m\). Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 23. (2pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem rekurencyjnym: \(\begin{cases}a_{1}=-2 \\ a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\).

Zadanie 24. (2pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem ogólnym: \(a_{n}=4n-9\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.

Zadanie 25. (1pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) jest



A. rosnący,

B. malejący,

C. stały,



ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)



1. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą ujemną

2. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest równa zero

3. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią

Zadanie 26. (2pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).



Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Zadanie 27. (4pkt) Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_{0}=0\), wyraża się zależnością wykładniczą:

$$N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$



gdzie \(N_{0}\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_{0}=0\).



Zadanie 1.

Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności.

matura z matematyki



Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na

A. rysunku 1

B. rysunku 2

C. rysunku 3

D. rysunku 4



Zadanie 2.

Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}C\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}C\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.



Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Zadanie 28. (4pkt) Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10m\) (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

matura z matematyki



Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Zadanie 29. (1pkt) Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\) oraz \(90°\lt\alpha\lt180°\).



Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)

Zadanie 30. (2pkt) W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).



Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

Zadanie 31. (4pkt) Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB|=3r\) oraz \(|AC|=\sqrt{3}r\).

matura z matematyki



Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).

Zadanie 32. (1pkt) Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50°\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.

matura z matematyki



Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa:

Zadanie 33. (1pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5\), \(|BC|=\sqrt{21}\), \(|AC|=4\). Dwusieczna kąta \(\sphericalangle CAB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\) (zobacz rysunek poniżej).

matura z matematyki



Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź \(A\), \(B\) albo \(C\) oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Długość odcinka \(BD\) jest równa:



A. \(|BD|=\frac{1}{2}\sqrt{21}\)

B. \(|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}\)

C. \(|BD|=\frac{4}{5}\sqrt{21}\)



ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że:



1. \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|BD|}\)

2. \(|BD|=|DC|\)

3. \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}\)

Zadanie 34. (3pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).

matura z matematyki



Oblicz pole trójkąta \(DBE\).

Zadanie 35. (3pkt) Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.



Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_{1}\), \(ABW_{2}\), \(CBW_{3}\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_{1}\), \(W_{2}\), \(W_{3}\).

matura z matematyki



Pola trójkątów \(CAW_{1}\), \(ABW_{2}\), \(CBW_{3}\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\).



Udowodnij, że: \(P_{3}=P_{1}+P_{2}\).

Zadanie 36. (3pkt) Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(tg\alpha=2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz długość odcinka \(|CE|\).

Zadanie 37. (3pkt) Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej).

matura z matematyki



Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.

Zadanie 38. (3pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=4\), \(|BC|=5\), \(|AC|=6\). Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\).

matura z matematyki



Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).

Zadanie 39. (1pkt) Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(A\). Proste \(m\), \(n\) i \(s\) są do siebie równoległe i przecinają obie proste \(k\) i \(l\) w punktach \(B, C, D, E, F, G\) (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że:

$$|BC|=30, |CD|=20, |GF|=21$$

matura z matematyki



Oblicz długość odcinka \(FE\).

Zadanie 40. (3pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg \(O\) określony równaniem:

$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$



Zadanie 1.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.

1. Środek \(S\) okręgu \(O\) ma współrzędne:

A. \(S=(2,-3)\)

B. \(S=(-2,-3)\)

C. \(S=(-2,3)\)

D. \(S=(-2,3)\)

2. Promień \(r\) okręgu \(O\) jest równy:

E. \(r=16\)

F. \(r=4\)

G. \(r=5\)



Zadanie 2.

Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(O\) z osią \(Ox\).

Zadanie 41. (4pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x-y-11=0\).



Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).



Zadanie 1.

Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).



Zadanie 2.

Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).

Zadanie 42. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,7)\). Punkty \(A_{0}\) oraz\(B_{0}\) są odpowiednio obrazami punktów \(A\) i \(B\) w symetrii środkowej o środku w punkcie \(O=(0,0)\).



Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A_{0}\) i \(B_{0}\) jest równy:

Zadanie 43. (5pkt) Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego postawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy przekątną \(BH\) prostopadłościanu a jego ścianą boczną \(ADHE\)? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. matura z matematyki

B. matura z matematyki

C. matura z matematyki

D. matura z matematyki



Zadanie 2.

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są:

\(tg\beta=\frac{9}{7}\)

\(|BG|=2\cdot\sqrt{130}\)

\(|BH|=2\cdot\sqrt{194}\)



gdzie odcinek \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, odcinek \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), \(\beta\) jest miarą kąta \(\sphericalangle GBC\). Sytuację ilustruje rysunek poniżej.

matura z matematyki



Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(ABCDEFGH\).

Zadanie 44. (1pkt) Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_{1}\) oraz \(B_{2}\). Objętość prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równe \(P\).



Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe:

A. \(27P\)

B. \(9P\)

C. \(3\sqrt{3}P\)



ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy



1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów

2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.

3. kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

Zadanie 45. (4pkt) Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d=20cm\), wysokości \(H=25cm\) i tworzącej \(l\). Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\) (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\) (zobacz rysunek 2.). Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do \(1°\))

A. \(44°\)

B. \(136°\)

C. \(22°\)

D. \(68°\)



Zadanie 2.

Oblicz miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Zadanie 46. (2pkt) Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od \(1\) do \(6\) wypukłych punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.

matura z matematyki



Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.

Zadanie 47. (4pkt) Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz \(5\) par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.



Zadanie 1.

Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa:

A. \(12\)

B. \(72\)

C. \(60\)

D. \(720\)



Zadanie 2.

Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.

Zadanie 48. (4pkt) Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).

Zadanie 49. (3pkt) Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od \(1\) do \(6\). Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od \(4\), to Grzegorz daje Pawłowi \(10\) żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa \(6\), to Paweł daje Grzegorzowi \(x\) żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę \(x\) żetonów.

Zadanie 50. (6pkt) Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(F\). Na osi poziomej podano - wyrażone w tysiącach złotych - miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(F\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Dominantą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest:

A. \(10\) tys. zł

B. \(4,5\) tys. zł

C. \(4\) tys. zł



ponieważ



1. tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).

2. ta wartość zarobków jest największa w firmie \(F\).

3. iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie \(F\).



Zadanie 2.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.



Medianą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest \(.................\) tys. zł.



Zadanie 3.

Oblicz, jaki \(\%\) liczby wszystkich pracowników firmy \(F\) stanowią osoby zarabiające \(5,5\) tys. zł lub mniej.



Zadanie 4.

Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy \(F\). Wynik podaj bez zaokrąglania.

Informator w formie PDF znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments