Matura – Matematyka – Informator 2023 (zadania) – Odpowiedzi

D

Pamiętaj, że liczbę \(1\) możemy zapisać jako ułamek, w którym licznik i mianownik są jednakowe. W tym zadaniu przyda nam się zamiana \(1=\frac{2021}{2021}\) oraz \(1=\frac{2021}{2021}\). Teraz korzystając z działań na ułamkach, możemy zapisać, że:
$$2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}= \\
=2021:\left(\frac{2022}{2022}-\frac{1}{2022}\right)-\left(\frac{2021}{2021}-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021} =\\
=2021:\frac{2021}{2022}-\left(-\frac{1}{2021}\right):\frac{1}{2021}= \\
=2021:\frac{2021}{2022}+\frac{1}{2021}:\frac{1}{2021}= \\
=2021\cdot\frac{2022}{2021}+\frac{1}{2021}\cdot\frac{2021}{1}=2022+1=2023$$

A

Krok 1. Rozwiązanie podanej nierówności.
Dana jest nierówność z wartością bezwzględną. Aby ją rozwiązać, będziemy musieli ułożyć dwie nierówności - pierwsza będzie taka, jakby tej wartości bezwzględnej w ogóle nie było, a druga będzie identyczna, tylko ze zmienionym znakiem i liczbą przeciwną po prawej stronie. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-3\ge5 \quad\lor\quad x-3\le-5 \\
x\ge8 \quad\lor\quad x\le-2$$

Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Rozwiązaniem tej nierówności są więc wszystkie liczby mniejsze lub równe \(-2\) lub większe lub równe \(8\), a takie przedziały zostały zaznaczone na pierwszym rysunku.

B

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
\(K_{n}\) - kapitał zgromadzony po \(n\) okresach kapitalizacji
\(K\) - kapitał początkowy
\(n\) - liczba okresów kapitalizacji
\(p\) - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)

Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli \(n\) oraz \(p\). Lokata jest na \(10\) lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym \(n=10\) (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a \(p=3\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10} \\
K_{10}=K\cdot(1,03)^{10} \\
K_{10}\approx K\cdot1,3439 \\
K_{10}\approx1,34K$$

Skoro włożyliśmy na lokatę \(K\) złotych, a po dziesięciu latach mamy \(1,34K\), to znaczy, że kwota wzrosła o \(34\%\).

\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Zwróćmy uwagę, że \(\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}\). Znamy wartość \(\frac{x}{y}\), a widzimy, że potrzebujemy jej odwrotności, czyli \(\frac{y}{x}\). Odwrotnością ułamka \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) jest oczywiście \(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\). Skoro tak, to całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$$

Aby móc kontynuować obliczenia, musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. W tym celu musimy pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez \(1-\sqrt{5}\), dzięki czemu będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), zatem:
$$1+\frac{2\cdot(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})\cdot(1-\sqrt{5})}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{1-5}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{-4}= \\
=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}\) lub \(\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(1\)

Krok 1. Uproszczenie zapisu.
Zanim podstawimy liczby do naszego wyrażenia, to najprościej będzie najpierw uprościć cały zapis i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), zatem:
$$\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}= \\
=\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}= \\
=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{a-b}=a\cdot b$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a\cdot b\).
Podstawiając liczby z treści zadania do wyznaczonej przed chwilą postaci, otrzymamy:
$$a\cdot b=(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(a\cdot b\).
LUB
• Gdy zauważysz, że liczby \(a\) i \(b\) są wzajemnie odwrotne.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C oraz E

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Spróbujmy obliczyć wartość liczby \(x\) wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \\
x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 \\
x=a-(3-2\sqrt{6}+2) \\
x=a-(5-2\sqrt{6}) \\
x=a-5+2\sqrt{6}$$

Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba \(x\) jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy \(a-5+2\sqrt{6}\) da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby \(a\) musi się pojawić \(-2\sqrt{6}\) (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.

Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli \(a=-2\sqrt{6}+12,5\), bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości \(-2\sqrt{6}\)). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:

Odp. C. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam pasuje.

Odp. F. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj \(-4\sqrt{6}\).

Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy wybierzesz dwie błędne odpowiedzi.
1 pkt
• Gdy wybierzesz tylko jedną poprawną odpowiedź.
2 pkt
• Gdy podasz wszystkie poprawne odpowiedzi.

\(x=-\frac{1}{4}\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa \(0\) (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\)). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$

Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0 \\
2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3 \\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3) \\
(4x+1)(x-5)=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
4x=-1 \quad\lor\quad x=5 \\
x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy \(0\). Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie \(x=-\frac{1}{4}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz dziedzinę (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie rozwiążesz równanie (patrz: Krok 2.), ale nie zweryfikujesz otrzymanych wyników (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C oraz E

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do naszego zadania następujące oznaczenia:
\(s\) - średnia pensja krajowa
\(1,5s\) - średnia pensja Pana \(X\)
\(0,6s\) - średnia pensja Pana \(Y\)

Od razu możemy też zapisać, że Pan \(X\) zarabia o \(1,5s-0,6s=0,9s\) więcej niż Pan \(Y\).

Krok 2. Obliczenie procentowej różnicy wynagrodzenia.
Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\) o:
$$\frac{0,9s}{0,6s}=1,5=150\%$$

Pensja pana \(Y\) jest mniejsza od pensji pana \(X\) o:
$$\frac{0,9s}{1,5s}=0,6=60\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy błędnie uzupełnisz obydwa zdania.
1 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz tylko jedno zdanie.
2 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz obydwa zdania.

C

W tym zadaniu musimy pamiętać, że kiedy przy podstawie logarytmu nie mamy zapisanej żadnej liczby, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Mówiąc wprost, \(log\;K\) to po prostu \(log_{10}K\).

Z wykresu odczytujemy, że po trzech godzinach \(log_{10}K\) ma być równe \(3\), zatem:
$$log_{10}K=3 \Longleftrightarrow 10^3=K$$

To oznacza, że \(K=10^3=1000\).

B

Powinniśmy zauważyć, że:
$$(\sqrt{2})^2=(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}\cdot2}=2^1 \\
(\sqrt{2})^4=(2^\frac{1}{2})^4=2^{\frac{1}{2}\cdot4}=2^2=4 \\
(\sqrt{2})^8=(2^\frac{1}{2})^8=2^{\frac{1}{2}\cdot8}=2^4=16$$

Skoro tak, to podstawiając te dane do naszego logarytmu, otrzymamy:
$$log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]= \\
=log_{2}(2^1\cdot2^2\cdot2^4)= \\
=log_{2}(2^{1+2+4})=log_{2}2^7=7$$

\(-1\)

Krok 1. Rozpisanie podanego równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$a^3+b^3=(a+b)^3 \\
a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\
0=3a^2b+3ab^2 \\
3ab\cdot(a+b)=0 \quad\bigg/:3 \\
ab\cdot(a+b)=0$$

Otrzymaliśmy tak naprawdę równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać musimy przyrównać \(ab\) oraz \(a+b\) do zera, zatem:
$$ab=0 \quad\lor\quad a+b=0$$

Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i obliczenie wartości liczbowej wyrażenia.
Przeanalizujmy teraz to, co otrzymaliśmy. Zacznijmy od \(ab=0\). Aby iloczyn \(a\cdot b\) był równy \(0\), to któraś z liczb musiałaby być równa \(0\), a z treści zadania wiemy, że \(a\neq0\) oraz \(b\neq0\). To oznacza, że to pierwsze równanie nie spełnia w ogóle naszych założeń.

To teraz spójrzmy na drugie równanie, czyli \(a+b=0\). Na jego podstawie możemy zapisać, że \(a=-b\). Naszym celem jest poznanie wartości liczbowej wyrażenia \(\frac{a}{b}\), a skoro \(a=-b\), to:
$$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=\frac{-1\cdot b}{b}=-1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \(3ab\cdot(a+b)=0\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \(3ab\cdot(a+b)=0\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(a=0, b=0\) oraz \(a=-b\) (nie uwzględniając tym samym warunków zadania).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem \(x-1\neq0\) oraz \(x+1\neq0\). Z pierwszego równania otrzymamy \(x\neq1\), a z drugiego \(x\neq-1\). Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć \(x=-1\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez \(x+1\), a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez \(x-1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{2x}{x^2-1}$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1\)

Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0 \\
((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0 \\
t^2-5t+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$

Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3} \\
x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3} \\
x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \(t^2-5t+6=0\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz, że \(t_{1}=2\) oraz \(t_{1}=3\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Kluczem do rozwiązania tego typu zadań jest umiejętne wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Haczyk polega na tym, że aby tego dokonać, musimy liczbę \(7\) rozbić na sumę \(5+2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
$$20n^2+30n+7=20n^2+30n+5+2=5\cdot(4n^2+6n+1)+2$$

Mówiąc wprost - otrzymany zapis mówi nam, że nasza liczba dzieli się przez \(5\), dając wynik równy \(4n^2+6n+1\) i resztę równą \(2\). Warto też dodać, że wartość \(4n^2+6n+1\) jest na pewno liczbą naturalną, ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, a suma liczb naturalnych daje na pewno liczbę naturalną.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz postać typu \(5\cdot(4n^2+6n+1)+2\), ale nie przeprowadzisz pełnego słownego uzasadnienia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia i wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczbę niepodzielną przez \(3\) możemy zapisać jako \(3k+1\). Przykładowo, gdy \(k=4\), to otrzymamy \(3\cdot4+1=13\) i faktycznie, jest to liczba niepodzielna przez \(3\). W takim razie oznaczmy sobie taką liczbę jako \(a\), czyli \(a=3k+1\). Liczba \(b\) musi być o \(1\) większa (bo z treści zadania wynika, że \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi), więc \(b=3k+2\).

Krok 2. Rozpisanie podanej liczby
Musimy teraz podstawić do zapisu \(a^3+b^3\) wartości \(a=3k+1\) oraz \(b=3k+2\) i skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(3k+1)^3+(3k+2)^3= \\
=27k^3+27k^2+9k+1+27k^3+54k^2+36k+8= \\
=54k^3+81k^2+45k+9$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Aby udowodnić, że otrzymane \(54k^3+81k^2+45k+9\) jest podzielne przez \(9\), wystarczy wyłączyć dziewiątkę przed nawias, otrzymując:
$$9\cdot(6k^3+9k^2+5k+1)$$

Wartość \(6k^3+9k^2+5k+1\) jest na pewno liczbą całkowitą, bo \(6k^3, 9k^2, 5k\) oraz \(1\) to liczby całkowite. Otrzymaliśmy więc wynik z którego wynika, że liczba \(a^3+b^3\) jest jak najbardziej podzielna przez \(9\), a wynikiem tego dzielenia byłoby właśnie \(6k^3+9k^2+5k+1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz liczby jako \(3k+1\) oraz \(3k+2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci typu \(54k^3+81k^2+45k+9\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}\)

Krok 1. Rozpisanie wielomianu \(W(x)\).
Na początku ustalmy o co chodzi w zapisie \(W(x)=(x+2)Q(x)\). Mówiąc wprost - jeżeli podzielimy wielomian \(W(x)\) przez \(x+2\), to otrzymamy wielomian \(Q(x)\) (którego wartości poszukujemy).

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie skorzystać z informacji, że wielomian \(Q(x)\) jest trójmianem kwadratowym, co oznacza, że możemy go zapisać jako \(ax^2+bx+c\). Skoro tak, to:
$$W(x)=(x+2)Q(x) \\
W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c) \\
W(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \\
W(x)=ax^3+2ax^2+bx^2+2bx+cx+2c \\
W(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wszystkich współczynników.
Z treści zadania wiemy, że wielomian \(W(x)\) jest równy \(3x^3+mx^2+3x-2\). Musimy więc przyrównać to do otrzymanej postaci \(ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c\) i w ten sposób poznamy wszystkie wartości współczynników:
$$\color{green}{a}x^3+\color{red}{(2a+b)}x^2+\color{blue}{(2b+c)}x+\color{purple}{2}c \\
\color{green}{3}x^3+\color{red}{m}x^2+\color{blue}{3}x\color{purple}{-2}$$

Wynika z tego, że:
$$a=3 \\
2a+b=m \\
2b+c=3 \\
2c=-2 \Rightarrow c=-1$$

Z powyższej rozpiski wiemy już, że \(a=3\) oraz \(c=-1\). Jak spojrzymy na trzecie równanie, to będziemy mogli teraz obliczyć wartość \(b\), zatem:
$$2b+c=3 \\
2b-1=3 \\
2b=4 \\
b=2$$

I teraz wracamy do drugiego równania, otrzymując:
$$2a+b=m \\
2\cdot3+2=m \\
m=8$$

Mamy więc komplet informacji: \(a=3, b=2, c=-1\) oraz \(m=8\), zatem \(W(x)=3x^3+8x^2+3x-2\) oraz \(Q(x)=3x^2+2x-1\).

Krok 3. Wyznaczenie pierwiastków wielomianu \(W(x)\).
Musimy jeszcze wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)\), czyli mówiąc wprost - musimy ustalić kiedy \(3x^3+8x^2+3x-2\) będzie równe \(0\). Jest to wielomian trzeciego stopnia, więc nie będzie to takie proste, ale przecież mamy informację, że \(W(x)=(x+2)Q(x)\), czyli tym samym \(W(x)=(x+2)(3x^2+2x-1)\). Skoro tak, to pierwiastki wyznaczymy w następujący sposób:
$$(x+2)(3x^2+2x-1)=0 \\
x+2=0 \quad\lor\quad 3x^2+2x-1=0$$

Z pierwszego równania widzimy, że otrzymamy \(x=-2\). Drugie równanie jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4-(-12)=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Skoro tak, to pierwiastkami wielomianu będą:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawną metodę wyznaczania współczynników \(a, b, c\) wielomianu \(Q(x)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wprost, że \(Q(x)=3x^2+2x-1\) (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy zastosujesz poprawną metodę wyznaczania współczynników \(a, b, c\) wielomianu \(Q(x)\) (patrz: Krok 2.) oraz poprawną metodę obliczania pierwiastków wielomianu \(W(x)\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro tak, to:
$$0=(\sqrt{2}+1)^3-b-5\sqrt{2} \\
0=(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2+1^3-b-5\sqrt{2} \\
0=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1-b-5\sqrt{2} \\
0=7-b \\
b=7$$

A., ponieważ 1.

O tym, ile miejsc zerowych ma dana funkcja, decyduje tak zwana delta, którą obliczamy rozwiązując równania kwadratowe. Wypiszmy zatem współczynniki funkcji \(f(x)=3x^2+bx-5\) i obliczmy deltę:
Współczynniki: \(a=3,\;b=b,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2-(-60)=b^2+60$$

Z treści zadania wynika, że \(b\) jest liczbą mniejszą od zera. Taka liczba, podniesiona do kwadratu, daje wynik dodatni. W związku z tym cała delta zapisana jako \(b^2+60\) jest na pewno dodatnia. Dodatnia delta oznacza, że mamy dwa miejsca zerowe. Tak więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, ponieważ \(b^2+60\gt0\).

1. \(x\in\langle-5;-1)\cup(7;8\rangle\)
2. \(x\in\langle-3;3\rangle\)
3. \(y=6\) oraz \(y=-6\)

Zadanie 1.
Z wykresu musimy odczytać, kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\). Widzimy, że tak się stanie dla dwóch przedziałów: od \(x=-5\) aż do \(x=-1\) oraz od \(x=7\) do \(x=8\). Zwróćmy uwagę jeszcze na krańce przedziałów - przy argumencie \(x=-5\) oraz \(x=8\) mamy zamalowane kropki, więc nawiasy muszą być domknięte. Matematyczny zapis wyglądałby więc następująco:
$$x\in\langle-5;-1)\cup(7;8\rangle$$

Zadanie 2.
Spoglądamy na wykres funkcji i szukamy fragmentu, w którym funkcja "kieruje się w dół". Widzimy, że mamy tylko jeden taki przedział, funkcja maleje od \(x=-3\) aż do \(x=3\). Zapisując przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja maleje/rośnie/jest stała) używamy zwyczajowo nawiasów domkniętych, stąd też:
$$x\in\langle-3;3\rangle$$

Zadanie 3.
Spoglądamy na naszą funkcję i sprawdzamy, jakie są największe i najmniejsze wartości przez nią przyjmowane. Widzimy, że największą przyjmowaną wartością jest \(y=6\), natomiast najmniejszą będzie \(y=-6\).

1. D
2. B

Zapis \(g(x)=f(x+2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) jest wynikiem przesunięcia funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w lewo. Taką sytuację mamy na rysunku D.

Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) jest wynikiem przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (czyli takim odbiciem lustrzanym względem osi \(OX\)). Taką sytuację mamy na rysunku B.

1. B
2. \(y=2(x-1)(x-5)\)

Zadanie 1.
Musimy podać wzór funkcji w postaci kanonicznej, czyli postaci typu \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(-5;6)\), czyli \(p=-5\) oraz \(q=6\). Skoro tak, to wzorem naszej funkcji będzie:
$$y=a(x-(-5))^2+6 \\
y=a(x+5)^2+6$$

Teoretycznie powinniśmy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika \(a\), choć widzimy, że w każdej z proponowanych odpowiedzi jest on równy -1. Ujemna wartość współczynnika \(a\) jest jak najbardziej w porządku, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu. Stąd też odpowiedzią do tego zadania będzie \(y=-(x+5)^2+6\).

Zadanie 2.
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Mówiąc bardzo obrazowo, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Z rysunku pomocniczego wynika wprost, że miejscami zerowymi są \(x=1\) oraz \(x=5\).

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znajomość miejsc zerowych pozwala nam zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, zatem:
$$y=a(x-1)(x-5)$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci współrzędne punktu \(P=(2;-6)\), zatem:
$$-6=a(2-1)(2-5) \\
-6=a\cdot1\cdot(-3) \\
-3a=-6 \\
a=2$$

To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(y=2(x-1)(x-5)\).

1. B
2. ok. \(4,93m\)
3. \(x\approx8,99m\)

Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poznanie wartości funkcji \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) dla \(x=7,01\) (bowiem na odległości \(x=7,01\) jest ustawiony kosz). W związku z tym:
$$y=-0,174\cdot(7,01)^2+1,3\cdot7,01+2,5 \\
y=-0,174\cdot49,1401+9,113+2,5 \\
y=-8,5503774+9,113+2,5 \\
y=3,0626226\approx3,06$$

To oznacza, że obręcz jest zawieszona na wysokości ok. \(3,06m\).

Zadanie 2.
Maksymalna wysokość paraboli osiągana jest w jej wierzchołku. Interesuje nas więc poznanie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru z tablic:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Widzimy, że do tego wzoru musimy podstawić deltę (to jest dokładnie ta sama delta, którą obliczamy w równaniach kwadratowych), zatem wypiszmy współczynniki i policzmy wartość tej delty:
Współczynniki: \(a=-0,174,\;b=1,3,\;c=2,5\)
$$Δ=b^2-4ac=(1,3)^2-4\cdot(-0,174)\cdot2,5=1,69-(1,74)=3,43$$

W związku z tym:
$$q=\frac{-3,43}{4\cdot(0,174)} \\
q=\frac{-3,43}{0,696} \\
q\approx4,93$$

To oznacza, że maksymalną wysokością na jaką wzniesie się środek piłki będzie ok. \(4,93m\).

Zadanie 3.
Musimy sprawdzić, kiedy nasza funkcja \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) przyjmie wartość \(0,12\), zatem:
$$0,12=-0,174x^2+1,3x+2,5 \\
0,174x^2-1,3x-2,38=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=0,174,\;b=-1,3,\;c=-2,38\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1,3)^2-4\cdot0,174\cdot(-2,38)=1,69-(-1,65648)=3,34648 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3,34648}\approx1,8293$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)-1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3-1,8293}{0,348}=\frac{-0,5293}{0,348}\approx-1,52 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)+1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3+1,8293}{0,348}=\frac{3,1293}{0,348}\approx8,99$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo nasza współrzędna \(x\) nie może być ujemna. To oznacza, że poszukiwaną współrzędną \(x\) punktu środka piłki jest \(x\approx8,99m\).

\(S_{4}=36\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu.
Wartość pierwszego wyrazu już znamy, widzimy że \(a_{1}=-2\). Korzystając z drugiej części wzoru rekurencyjnego, musimy obliczyć wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{2}=a_{1+1}=1\cdot a_{1}+4=1\cdot(-2)+4=-2+4=2 \\
a_{3}=a_{2+1}=2\cdot a_{2}+4=2\cdot2+4=4+4=8 \\
a_{4}=a_{3+1}=3\cdot a_{3}+4=3\cdot8+4=24+4=28$$

Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając z obliczeń z poprzedniego kroku, możemy zapisać, że suma czterech początkowych wyrazów będzie równa:
$$S_{4}=-2+2+8+28=36$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wykazano obliczając \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\).
Chcąc udowodnić, że dany ciąg jest arytmetyczny, możemy skorzystać z własności związanej z trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\). Oczywiście nie możemy wprost obliczyć wartości \(a_{1}, a_{2}\) oraz \(a_{3}\), bo to nie będzie żaden dowód. Aby przeprowadzić poprawne dowodzenie, musimy obliczyć np. wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\), zatem:
$$a_{n+1}=4(n+1)-9 \\
a_{n+1}=4n+4-9 \\
a_{n+1}=4n-5$$

$$a_{n+2}=4(n+2)-9 \\
a_{n+2}=4n+8-9 \\
a_{n+2}=4n-1$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wyrażenia opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu, czyli \(a_{n}\), \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Środkowym z tych trzech wyrazów jest \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2} \\
4n-5=\frac{4n-9+4n-1}{2} \\
4n-5=\frac{8n-10}{2} \\
4n-5=4n-5 \\
L=P$$

W ten sposób udało się udowodnić, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz związek między trzema kolejnymi wyrazami (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy zapiszesz różnicę typu \(a_{n+1}-a_{n}=4(n+1)-9-(4n-9)\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

A. oraz 3.

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\).
Widzimy, że musimy obliczyć wartość \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1) \\
a_{n+1}=n^2+2n+1-n-1 \\
a_{n+1}=n^2+n$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{n+1}-a_{n}\).
Znamy wartość \(a_{n+1}\), znamy też \(a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-(n^2-n) \\
a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-n^2+n \\
a_{n+1}-a_{n}=2n$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że \(n\) jest liczbą naturalną większą lub równą \(1\). To pozwala nam stwierdzić, że w takim razie otrzymane 2n jest dodatnią liczbą naturalną. To oznacza, że ciąg będzie rosnący, ponieważ różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią.

\(m=\frac{1}{2}\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
Podstawiając do wzoru funkcji wartości \(m\), \(1\) oraz \(2\), otrzymamy:
$$f(m)=\frac{1}{m} \\
f(1)=\frac{1}{1}=1 \\
f(2)=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(m\).
Chcemy, by obliczone przed chwilą liczby tworzyły ciąg geometryczny. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu musi zachodzić następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

W naszym przypadku \(a_{1}=\frac{1}{m}\), \(a_{2}=1\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{2}\), zatem:
$$1^2=\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{2} \\
1=\frac{1}{2m} \quad\bigg/\cdot2m \\
2m=1 \\
m=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(f(m)=\frac{1}{m}\), \(f(1)=1\) oraz \(f(2)=\frac{1}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. A
2. \(22800\) lat

Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poprawne dopasowanie wykresu funkcji wykładniczej. I tu od razu nasz wzrok musimy kierować w stronę rysunku 1 oraz 3 - bowiem tak właśnie wyglądają wykresy funkcji wykładniczych typu \(y=a^x\), gdy \(0\lt a\lt1\) (w naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\)).

Ustalmy zatem teraz, który z tych wykresów jest prawidłowy. Widzimy wyraźnie, że sytuacja z trzeciego rysunku musi zostać przez nas odrzucona, ponieważ nasz wykres musi zaczynać się od punktu \((0;0)\) i to właśnie w tym momencie musimy mieć początkową liczbę jąder naszego izotopu. Na trzecim wykresie funkcja ta jest nieco przesunięta w prawo, przez co początkowa liczba jąder izotopu przypada na czas \(\frac{1}{2}T\).

W związku z tym poprawnym wykresem jest jedynie ten z pierwszej odpowiedzi. Możemy to jeszcze sobie zweryfikować, widząc że dla czasu \(T\) nasza funkcja przyjmuje połowę wartości \(N_{0}\), a dla np. \(2T\) przyjmuje jedną czwartą wartości \(N_{0}\).

Zadanie 2.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zapisać to w następujący sposób:
\(m\) - początkowa masa izotopu węgla
\(\frac{1}{2}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(1T\), czyli \(5700\) lat
\(\frac{1}{4}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(2T\), czyli \(11400\) lat
\(\frac{1}{8}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(3T\), czyli \(17100\) lat
\(\frac{1}{16}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(4T\), czyli \(22800\) lat

To oznacza, że znalezisko archeologiczne ma \(22800\) lat.

\(x=100\) oraz \(y=75\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi \(580m\). Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości \(x\) (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości \(y\), które są pomniejszone dwukrotnie o \(10m\). To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580 \\
3x+4y=600$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=ab\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(3x+4y=600\).
$$3x+4y=600 \\
4y=600-3x \\
y=150-\frac{3}{4}x$$

Podstawiając teraz \(y=150-\frac{3}{4}x\) do równania \(P=x\cdot2y\) otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=300x-\frac{6}{4}x^2 \\
P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-\frac{6}{4}x^2+300x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{6}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-300}{-3} \\
x_{W}=100$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=100\). Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(y=150-\frac{3}{4}x\) i podstawiając teraz \(x=100\), otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x \\
y=150-\frac{3}{4}\cdot100 \\
y=150-75 \\
y=75$$

To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy \(x=100\) oraz \(y=75\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(3x+4y-20=580\) lub \(P=x\cdot2y\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni korzystając z jednej niewiadomej np. \(P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(x=100\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2\alpha=1 \\
cos^2\alpha=\frac{9}{25} \\
cos\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cos\alpha=-\frac{3}{5}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest kątem rozwartym. Cosinus dla takich kątów przyjmuje wartości ujemne, stąd też rozwiązanie \(cos\alpha=\frac{3}{5}\) musimy odrzucić. Zostaje nam zatem, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\), czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\). Dodatkowo obliczyliśmy sobie przed chwilą, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\). Korzystając zatem ze wzoru na tangens, możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \\
tg\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} \\
tg\alpha=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right) \\
tg\alpha=-\frac{4}{3}$$

To oznacza, że \(|tg\alpha|=\frac{4}{3}\), więc zdanie jest fałszem.

\(|AD|=4\sqrt{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta.
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku \(AD\) (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60° \\
|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2} \\
|AD|^2=112 \\
|AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{112}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z twierdzenia cosinusów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(30°, 30°, 120°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zwróćmy uwagę, że z wierzchołka \(C\) możemy dorysować bok w taki sposób, że otrzymamy trójkąt oparty na średnicy okręgu. Z własności trójkątów wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie zawsze prostokątny i to będzie punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy następujący rysunek szkicowy:


Ustalmy jeszcze skąd wiemy, że odcinek \(DB\) ma długość \(r\). Z treści zadania wynika, że \(|AB|=3r\), a skoro odcinek \(AS\) ma długość \(r\) oraz \(SD\) ma długość \(r\), to odcinek \(DB\) musi mieć \(3r-2r=r\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\).
Skoro trójkąt \(ACD\) jest prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.

$$|AC|^2+|CD|^2=|AD|^2 \\
(\sqrt{3}r)^2+|CD|^2=(2r)^2 \\
3r^2+|CD|^2=4r^2 \\
|CD|^2=r^2 \\
|CD|=r \quad\lor\quad |CD|=-r$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem \(|CD|=r\).

Krok 3. Dostrzeżenie trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\).
Powinniśmy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\). Wynika to wprost z własności trójkąta, gdyż jedna przyprostokątna ma długość \(r\), a przeciwprostokątna ma \(2r\), czyli jest dwa razy od niej dłuższa. Dodatkowo druga przyprostokątna jest \(\sqrt{3}\) razy większa od pierwszej. To wszystko to cechy charakterystyczne właśnie dla trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).

W związku z tym \(|\sphericalangle CAD|=30°\) oraz \(|\sphericalangle ADC|=60°\).

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na kąt \(CBD\). Jest to kąt przyległy do kąta o mierze \(60°\), a wiemy, że suma miar kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle CDB|=180°-60°=120°$$

Krok 5. Obliczenie pozostałych miar kątów trójkąta \(DBC\) oraz \(ABC\).
Wiemy już, że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym (ramiona o długości \(r\)). Kąt między tymi ramionami ma miarę \(120°\), a więc na dwa pozostałe kąty zostało nam \(180°-120°=60°\). Kąty przy podstawie \(BC\) będą jednakowej miary (wynika to wprost z własności trójkątów równoramiennych), zatem każdy z nich będzie miał \(60°:2=30°\). Mamy więc następującą sytuację:


Zadanie polega na podaniu miar kątów trójkąta \(ABC\), a więc:
$$|\sphericalangle CAB|=30° \\
|\sphericalangle ABC|=30° \\
|\sphericalangle BCA|=90°+30°=120°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz trójkąt prostokątny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie miary trójkąta \(DBC\) lub \(ASC\) (patrz krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

W tym zadaniu tak naprawdę nie musimy niczego liczyć. Istota zadania polega na tym, aby skorzystać z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą.

Z rysunku wynika, że styczna tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(50°\). Kąt \(BCA\) jest kątem wpisanym w okrąg, który oparty jest właśnie na cięciwie \(AB\). Taka sytuacja oznacza, że kąt \(BCA\) będzie miał także \(50°\).

B, ponieważ 3.

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta, wynika, że stosunek długości jednego ramienia (czyli \(AB\)) względem drugiego ramienia (czyli \(AC\)), musi być taki sam jak stosunek długości odcinka \(BD\) względem \(DC\). Matematycznie zapis będzie wyglądał następująco:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$$

Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{5}{4}=\frac{|BD|}{|DC|} \\
|BD|=\frac{5}{4}|DC|$$

Odcinek \(|DC|\) ma miarę \(\sqrt{21}-|BD|\), zatem:
$$|BD|=\frac{5}{4}\cdot(\sqrt{21}-|BD|) \\
|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21}-\frac{5}{4}|BD| \\
\frac{9}{4}|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9} \\
|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}$$

\(P_{DBE}=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprostszą metodą wydaje się być wykorzystanie tak zwanego "wzoru na pole trójkąta z sinusem", czyli wzoru \(P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha\).

Oznaczmy sobie kąt przy wierzchołku \(B\) jako kąt \(\alpha\).


Krok 2. Zapisanie wzorów na pole trójkąta \(ABC\) oraz \(DBE\).
Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\). Rozpiszmy sobie zatem ten trójkąt przy wykorzystaniu wzoru na pole z sinusem:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha \\
20=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha \\
|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40$$

Teraz rozpiszmy w identyczny sposób pole trójkąta \(DBE\):
$$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot |DB|\cdot|BE|\cdot sin\alpha$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(DBE\).
Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), czyli tym samym \(|DB|=\frac{3}{4}|AB|\) Dodatkowo wiemy, że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\). Podstawiając te dane do powyższego wzoru, otrzymamy:
$$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}|AB|\cdot\frac{1}{5}|BC|\cdot sin\alpha \\
P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha$$

W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40\), zatem:
$$P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot40 \\
P_{DBE}=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z twierdzenia sinusów i zapiszesz, że \(|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole trójkąta \(DBE\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów podobnych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenie wysokości trójkątów, które są opuszczone z wierzchołków \(W_{1}\), \(W_{2}\) oraz \(W_{3}\) i niech to będą odpowiednio: \(h_{1}\), \(h_{2}\) oraz \(h_{3}\):


Możemy zapisać, że w takim razie:
$$P_{1}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1} \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h_{2} \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot h_{3}$$

Krok 2. Wykorzystanie własności trójkątów podobnych.
Wiemy, że trójkąty z zadania są podobne. Możemy więc zapisać, że przykładowo stosunek wysokości drugiego trójkąta względem pierwszego musi być taki sam jak stosunek długości podstawy drugiego trójkąta względem pierwszego. Matematycznie zapisalibyśmy więc, że:
$$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{|AB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1} \\
h_{2}=\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1}$$

I analogicznie możemy zapisać, że:
$$\frac{h_{3}}{h_{1}}=\frac{|CB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1} \\
h_{3}=\frac{|BC|}{|AC|}\cdot h_{1}$$

Krok 3. Rozpisanie \(P_{1}\), \(P_{2}\) oraz \(P_{3}\) i zakończenie dowodzenia.
Wracamy do wzorów na pole trójkąta \(P_{2}\) oraz \(P_{3}\), które zapisaliśmy w pierwszym kroku. Podstawiając wyznaczone przed chwilą wartości \(h_{2}\) oraz \(h_{3}\), otrzymamy:
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$

$$P_{3}=\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot\frac{|BC|}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|BC|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$

To oznacza, że suma \(P_{1}+P_{2}\) będzie równa:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(|AC|+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right) \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|\cdot|AC|}{|AC|}+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right) \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|^2+|AB|^2}{|AC|}\right)$$

Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$|AC|^2+|AB|^2=|BC|^2$$

Skoro tak, to:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|BC|^2}{|AC|}\right)$$

Wyrażenie po prawej stronie jest dokładnie takie samo jak nasze \(P_{3}\), stąd też \(P_{1}+P_{2}=P_{3}\) i na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie na pole dwóch trójkątów wykorzystując wysokość trzeciego z nich np. \(P_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1}\) oraz \(P_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|BC|^2}{|AC|}\cdot h_{1}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy dodatkowo wykorzystasz Twierdzenie Pitagorasa i zapiszesz, że \(|AC|^2+|AB|^2=|BC|^2\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek oznaczmy kąt \(BDA\) jako \(\alpha\) (zgodnie z treścią zadania) oraz \(ABD\) jako \(\beta\). W tym momencie powinniśmy dostrzec, że kąt \(DBC\) jest kątem naprzemianległym do kąta \(ABD\), zatem on też będzie mieć miarę \(\beta\). W tym momencie widzimy, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) mają już dwa kąty o jednakowej mierze (kąt \(\beta\) oraz kąt prosty). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie kąt \(ECD\) musi mieć miarę \(\alpha\), a więc trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt).


Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(CD\).
Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=2\). Wiemy też, że \(tg\alpha=2\). Skoro tak, to korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{|AB|}{|AD|} \\
2=\frac{|AB|}{2} \\
|AB|=4$$

Wyszło nam, że \(|AB|=4\), a skoro figura \(ABCD\) jest prostokątem to i analogicznie \(|CD|=4\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABD\). Znamy długości przyprostokątnych tego trójkąta, zatem do wyznaczenia przeciwprostokątnej \(BD\) możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa:
$$2^2+4^2=|BD|^2 \\
4+16=|BD|^2 \\
|BD|^2=20 \\
|BD|=\sqrt{20} \quad\lor\quad |BD|=-\sqrt{20}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BD|=\sqrt{20}\). Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka (otrzymując postać \(|BD|=2\sqrt{5})\), ale na tym etapie nie jest to konieczne.

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Ustaliliśmy już, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi. Skoro tak, to:
$$\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|CE|}{|CD|} \\
\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{|CE|}{4} \\
|CE|=\frac{8}{\sqrt{20}} \\
|CE|=\frac{8}{2\sqrt{5}} \\
|CE|=\frac{4}{\sqrt{5}} \\
|CE|=\frac{4\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów i obliczysz, że \(|AB|=4\) (patrz: Krok 1. oraz 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(BD\) (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy zapiszesz zależność typu \(\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|EC|}=2\) oraz wykorzystasz Twierdzenie Pitagorasa.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności figur geometrycznych i stycznych do okręgu.

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów równoramiennych.
Z własności stycznych do okręgu wynika, że odcinki \(AC\) oraz \(BC\) mają jednakową miarę, a skoro tak, to trójkąt \(ACB\) jest równoramienny.

Równoramienny będzie także trójkąt \(ASD\), ponieważ odcinki \(SA\) oraz \(SD\) są promieniami okręgu.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt \(ACB\) jako \(\alpha\) i spójrzmy na czworokąt \(ACBS\). W tym czworokącie mamy nasz kąt alfa oraz dwa kąty proste (kąty \(SAC\) oraz \(SBC\) muszą być proste, bo styczna tworzy z promieniem okręgu zawsze kąt prosty). Suma miar kątów czworokąta jest równa \(360°\), a skoro tak, to kąt \(ASB\) ma miarę:
$$\beta=360°-90°-90°-\alpha \\
\beta=180°-\alpha$$


Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąt \(DSA\) jest kątem przyległym do naszego kąta \(\beta\). Suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\), a skoro tak, to:
$$|\sphericalangle DSA|=180°-\beta \\
|\sphericalangle DSA|=180°-(180°-\alpha) \\
|\sphericalangle DSA|=180°-180°+\alpha \\
|\sphericalangle DSA|=\alpha$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Spójrzmy zatem najpierw na trójkąt \(ABC\). Tutaj podstawą trójkąta jest bok \(AB\), więc możemy zapisać, że kąty przy tej podstawie mają jednakową miarę, niech to będzie \(\gamma\). Możemy sobie nawet zapisać, że miara takiego kąta \(\gamma\) będzie równa \(\frac{180°-\alpha}{2}\).

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ASD\). Tutaj podstawą trójkąta jest bok \(AD\) i to tutaj także kąty przy podstawie będą miały jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami tego trójkąta to \(\alpha\) (czyli identycznie jak w trójkącie \(ABC\)), to tutaj także kąty przy podstawie będą miały miarę równą \(\gamma\).


W ten sposób udowodniliśmy, że kąty w trójkątach \(ABC\) oraz \(ASD\) są jednakowej miary, a to oznacza, że te trójkąty są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz trójkąty równoramienne (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dodatkowo dostrzeżesz zależności wynikające z własności kątów przyległych (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(R=\frac{8\sqrt{7}}{7}\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos\alpha\).
Chcielibyśmy na pewno skorzystać z twierdzenia sinusów, ale nie znamy miary żadnego z kątów, przez co nie mamy dobrego punktu zaczepienia. Możemy jednak poznać miarę takiego kąta, korzystając z twierdzenia cosinusów. Jeżeli oznaczymy sobie kąt przy wierzchołku \(A\) jako \(\alpha\), to zgodnie z twierdzeniem cosinusów będziemy mogli zapisać, że:
$$|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot cos\alpha$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$5^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot cos\alpha \\
25=36+16-48\cdot cos\alpha \\
25=52-48\cdot cos\alpha \\
-27=-48\cdot cos\alpha \\
cos\alpha=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(sin\alpha\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy teraz zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
sin^2\alpha+\left(\frac{9}{16}\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{81}{256}=1 \\
sin^2\alpha=\frac{175}{256} \\
sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{175}{256}}$$

Nasz kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym, a dla takich kątów sinus przyjmuje jedynie dodatnie wartości. Stąd też zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{\sqrt{25\cdot7}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia \(R\).
Teraz możemy przystąpić do działania, które planowaliśmy od samego początku, czyli do wykorzystania twierdzenia sinusów. Możemy zapisać, że:
$$\frac{|BC|}{sin\alpha}=2R \\
\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=2R \\
2R=5\cdot\frac{16}{5\sqrt{7}} \\
2R=\frac{16}{\sqrt{7}} \\
R=\frac{8}{\sqrt{7}} \\
R=\frac{8\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} \\
R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz cosinus jednego z kątów (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy zapiszesz dwa równania wynikające z twierdzenia cosinusów oraz sinusów dla jednakowego kąta w trójkącie.
2 pkt
• Gdy obliczysz sinus jednego z kątów (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz cosinus jednego z kątów oraz zapiszesz dwa równania wynikające z twierdzenia sinusów oraz jedynki trygonometrycznej.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|FE|=14\)

Korzystając z Twierdzenia Talesa możemy zapisać, że:
$$\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|FE|}{|CD|}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{21}{30}=\frac{|FE|}{20} \\
|FE|=14$$

1. A. oraz F.
2. \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\)

Zadanie 1.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu opisujemy w następujący sposób:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Wartości \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Na początek wyznaczmy współrzędne tego środka. W tym celu musimy "dopasować" równanie z treści do postaci równania okręgu (w nawiasach muszą być minusy!), zatem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16 \\
(x-2)^2+(y-(-3))^2=16$$

To oznacza, że \(S=(2;-3)\).

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Widzimy, że po prawej stronie równania mamy \(16\), a zgodnie z równaniem okręgu jest to wartość \(r^2\), zatem:
$$r^2=16 \\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Ujemny wynik odrzucamy, bo promień okręgu musi mieć dodatnią długość. Zostaje nam zatem \(r=4\).

Zadanie 2.
Chcemy sprawdzić kiedy okrąg przetnie się z osią \(Ox\), czyli chcemy sprawdzić, dla jakich argumentów \(x\) otrzymamy wartość \(y=0\). Skoro tak, to podstawiając \(y=0\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(0+3)^2=16 \\
(x-2)^2+3^2=16 \\
(x-2)^2+9=16 \\
(x-2)^2=7$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Nie jest to postać iloczynowa, ponieważ po prawej stronie nie mamy zera, więc nie możemy przyrównać wartości w nawiasie do zera. Najprościej będzie spierwiastkować obydwie strony równania i rozwiązać powstałe równanie z wartością bezwzględną:
$$|x-2|=\sqrt{7} \\
x-2=\sqrt{7} \quad\lor\quad x-2=-\sqrt{7} \\
x=2+\sqrt{7} \quad\lor\quad x=2-\sqrt{7}$$

Jeżeli nie dostrzegliśmy takiej możliwości, to śmiało można całość rozpisać, doprowadzić do postaci ogólnej i policzyć wszystko deltą:
$$x^2-4x+4=7 \\
x^2-4x-3=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16-(-12)=28 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4-2\sqrt{7}}{2}=2-\sqrt{7} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4+2\sqrt{7}}{2}=2+\sqrt{7}$$

To oznacza, że okrąg przecina się z osią \(Ox\) wtedy, gdy \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\).

1. \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\)
2. \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\)

Zadanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Do zapisania równania okręgu potrzebujemy długości promienia. Długość promienia będzie równa odległości punktu \(S\) od prostej \(k\), zatem z pomocą przyjdzie nam wzór na odległość punktu od prostej:
$$r=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

\(A\), \(B\) oraz \(C\), pojawiające się we wzorze, to współczynniki równania prostej zapisanego w postaci ogólnej. Zatem u nas \(A=2\), \(B=-1\) oraz \(C=-11\). Skoro tak, to:
$$r=\frac{|2\cdot3-1\cdot(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \\
r=\frac{|6-(-4)-11|}{\sqrt{4+1}} \\
r=\frac{|6+4-11|}{\sqrt{5}} \\
r=\frac{|-1|}{\sqrt{5}} \\
r=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
r=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
r=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Wiemy już, że \(r=\frac{\sqrt{5}}{5}\). W treści zadania mamy podane współrzędne środka okręgu, czyli \(S=(3,-4)\). Podstawiając te dane do równania okręgu, otrzymamy:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\
(x-3)^2+(y-(-4))^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \\
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}$$

Zadanie 2.
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z poprzedniego punktu wiemy, że nasz okrąg wyraża się równaniem \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\). Naszym zadaniem jest poznanie współrzędnych punktu, który tak naprawdę jest punktem wspólnym okręgu i prostej \(k\), a więc pomocny będzie układ równań:
\begin{cases}
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5} \\
y=2x-11
\end{cases}

Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(2x-11+4)^2=\frac{1}{5} \\
(x-3)^2+(2x-7)^2=\frac{1}{5} \\
x^2-6x+9+4x^2-28x+49=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+58=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+\frac{290}{5}=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+\frac{289}{5}=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Z pomocą przyjdzie nam oczywiście delta:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=\frac{289}{5}\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot\frac{289}{5}=1156-1156=0$$

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-34)}{2\cdot5}=\frac{34}{10}=3\frac{2}{5}$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(P\).
Wiemy już, że współrzędna \(x=3\frac{2}{5}\). Potrzebujemy jeszcze współrzędnej \(y\), a obliczymy ją, podstawiając \(x=3\frac{2}{5}\) do jednego z równań z układu (np. równania \(y=2x-11\)), zatem:
$$y=2x-11 \\
y=2\cdot3\frac{2}{5}-11 \\
y=-4\frac{1}{5}$$

To oznacza, że \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\).

A

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktów \(A_{0}\) oraz \(B_{0}\).
Symetria względem punktu \(O=(0,0)\) oznacza, że każdy przekształcony punkt zmieni wartości obydwu współrzędnych na liczby przeciwne. W związku z tym:
\(A_{0}=(-1,-2)\)
\(B_{0}=(-3,-7)\)

Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego.
Chcąc obliczyć współczynnik \(a\) wystarczy skorzystać z następującego wzoru z tablic maturalnych:
$$a=\frac{y_{B_0}-y_{A_0}}{x_{B_0}-x_{A_0}} \\
a=\frac{-7-(-2)}{-3-(-1)} \\
a=\frac{-7+2}{-3+1} \\
a=\frac{-5}{-2} \\
a=\frac{5}{2}$$

1. C.
2. \(P_{c}=1528\)

Zadanie 1.
Kąt między przekątną prostopadłościanu i ścianą boczną został oznaczony na trzecim rysunku.

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi \(CG\) oraz \(BC\).
Spójrzmy na trójkąt \(BCG\). Z treści zadania wiemy, że \(tg\beta=\frac{9}{7}\). Nie możemy zapisać, że w takim razie bok \(CG\) jest równy \(7\), a \(BC\) ma długość \(9\) (bo równie dobrze mogłyby te boki mieć długości \(14\) i \(18\)), ale możemy zapisać, że \(|CG|=7x\) oraz \(|BC|=9x\). Dodatkowo wiemy, że odcinek \(BG\) ma długość \(2\cdot\sqrt{130}\). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(7x)^2+(9x)^2=(2\sqrt{130})^2 \\
49x^2+81x^2=4\cdot130 \\
130x^2=520 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=2\). Skoro tak, to długości krawędzi \(CG\) oraz \(BC\) są następujące:
$$|CG|=7x=7\cdot2=14 \\
|BC|=9x=9\cdot2=18$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi \(GH\) (oraz \(AB\)).
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej brakuje nam jeszcze znajomości długości krawędzi \(AB\). Będzie ona taka sama jak krawędź \(GH\), a tę będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta \(BGH\).

Okazuje się, że trójkąt \(BGH\) jest trójkątem prostokątnym (kąt prosty jest przy wierzchołku \(G\)). Z treści zadania znamy długość \(BG=2\cdot\sqrt{130}\) oraz \(|BH|=2\cdot\sqrt{194}\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszemy, że:
$$|GH|^2+(2\sqrt{130})^2=(2\sqrt{194})^2 \\
|GH|^2+4\cdot130=4\cdot194 \\
|GH|^2+520=776 \\
|GH|^2=256 \\
|GH|=16 \quad\lor\quad |GH|=-16$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|GH|=16\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na sam koniec musimy obliczyć pole powierzchni całkowitej. Korzystając ze wzoru z tablic możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2bc+2ac \\
P_{c}=2\cdot16\cdot14+2\cdot14\cdot18+2\cdot16\cdot18 \\
P_{c}=448+504+576 \\
P_{c}=1528$$

B., ponieważ 3.

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności brył podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa brył jest równa \(k\), to bryła podobna ma \(k^3\) razy większą objętość. Widzimy, że drugi prostopadłościan ma objętość \(27\) razy większą od pierwszego, zatem:
$$k^3=27 \\
k=3$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku \(k=3\), więc pole powierzchni będzie \(k^2=3^2=9\) razy większe.

To oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe \(9P\), ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

1. A
2. \(\alpha\approx134°\)

Zadanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania, otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej rzecz ujmując - z tangensa), możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{r}{H} \\
tg\alpha=\frac{10}{25} \\
tg\alpha=0,4$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(0,4\) dla kąta o mierze około \(22°\).

Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Kąt rozwarcia stożka będzie dwa razy większy od kąta \(\alpha\), zatem będzie miał on miarę \(2\cdot22°=44°\).

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$10^2+25^2=l^2 \\
100+625=l^2 \\
l^2=725 \\
l=\sqrt{725} \quad\lor\quad l=-\sqrt{725}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{725}\), co w sumie możemy (choć nie musimy) jeszcze rozpisać jako \(l=\sqrt{25\cdot29}=5\sqrt{29}\).

Krok 2. Obliczenie obwodu podstawy stożka.
Obliczmy teraz obwód podstawy stożka, korzystając ze wzoru \(Obw=2\pi r.\) W podstawie mamy koło, którego średnica ma długość \(d=20\), a nam do obwodu potrzebny jest promień, zatem\( r=10\). Podstawiając te dane, otrzymamy:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi \cdot10 \\
Obw=20\pi$$

Krok 3. Obliczenie obwodu całego koła, z którego wzięto wycinek.
Obliczmy teraz obwód koła, z którego wzięto wycinek do budowy stożka. Z rysunku widzimy, że to będzie koło, którego promień ma długość \(l\). W pierwszym kroku obliczyliśmy, że \(l=5\sqrt{29}\), zatem:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot5\sqrt{29} \\
Obw=10\sqrt{29}\pi$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(BSA\).
Wiemy, że całe koło to \(360°\). Miara naszego kąta \(BSA\) będzie stanowiła pewną część tych \(360°\). Ta część będzie dokładnie taka sama jak stosunek długości łuku względem obwodu całego koła. Skoro tak, to:
$$\alpha=\frac{20\pi}{10\sqrt{29}\pi}\cdot360° \\
\alpha=\frac{20}{10\sqrt{29}}\cdot360° \\
\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\cdot360° \\
\alpha\approx\frac{2}{5,3852}\cdot360° \\
\alpha\approx133,7°\approx134°$$

\(63\)

Każdy punkt może być "zapełniony" na jeden z dwóch sposobów (może być wypukły lub nie). Zgodnie z regułą mnożenia to oznacza, że wszystkich możliwości utworzenia znaku będziemy mieć:
$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$

Ale to nie koniec. Pod koniec treści zadania mamy uwagę, że każdy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły. To oznacza, że spośród \(64\) obliczonych możliwości musimy jedną odrzucić (tę, która miałaby wszystkie kropki niewypukłe). Skoro tak, to wszystkich znaków będziemy mieć:
$$64-1=63$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, iż wszystkich możliwości mamy \(64\) i nie odrzucisz jednej możliwości.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 1.
Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwych zestawów będziemy mogli ułożyć:
$$4\cdot3\cdot5=60$$

Zadanie 2.
Krok 1. Rozpisanie zestawów, które spełniają warunki zadania.
Aby rozwiązać to zadanie, musimy podzielić całość na trzy różne warianty:

I wariant - niebieska będzie koszula:
Koszula będzie niebieska, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.
Spodnie mogą być czarne albo szare, więc tutaj mamy \(2\) możliwości ubioru.
Buty mogą być czarne, szare, zielone lub czerwone, więc tutaj mamy \(4\) możliwości ubioru.

To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$1\cdot2\cdot4=8$$

II wariant - niebieskie będą spodnie:
Koszula może być czerwona, żółta lub zielona, więc tutaj mamy \(3\) możliwości ubioru.
Spodnie będą niebieskie, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.
Buty mogą być czarne, szare, zielone lub czerwone, więc tutaj mamy \(4\) możliwości ubioru.

To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$3\cdot1\cdot4=12$$

III wariant - niebieskie będą buty:
Koszula może być czerwona, żółta lub zielona, więc tutaj mamy \(3\) możliwości ubioru.
Spodnie mogą być czarne albo szare, więc tutaj mamy \(2\) możliwości ubioru.
Buty będą niebieskie, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.

To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$3\cdot2\cdot1=6$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich sposobów wyboru pasującego zestawu.
Korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące nas warianty. To oznacza, że pasujących zestawów będziemy mieć:
$$8+12+6=26$$

\(P(A)=\frac{1}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rozpiszmy sobie liczbę czterocyfrową jako \(■ ■ ■ ■\) i zastanówmy się, na ile sposobów możemy uzupełnić każdą z liczb.

· Cyfrą tysięcy może być jedna z dziewięciu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości wyboru.
· Cyfrą setek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą jedności może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.

To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb czterocyfrowych) będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot10\cdot10\cdot10=9000$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której w liczbie wystąpi dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\), a dodatkowo cała liczba będzie parzysta. Jest to sytuacja bardzo złożona, dlatego aby się nie pogubić, rozpiszmy sobie interesujące nas warianty:

I wariant - \(2 3 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

II wariant - \(2 ■ 3 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

III wariant - \(■ 2 3 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

IV wariant - \(3 2 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

V wariant - \(3 ■ 2 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

VI wariant - \(3 ■ ■ 2\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot8=64\).

VII wariant - \(■ 3 2 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

VIII wariant - \(■ 3 ■ 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

IX wariant - \(■ ■ 3 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

Teraz korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące możliwości:
$$|A|=32+32+28+32+32+64+28+56+56=360$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{360}{9000}=\frac{1}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie rozpiszesz możliwe warianty (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy otrzymany wynik jest błędny ze względu na popełniony błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(30\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy standardową sześcienną kostką do gry, zatem liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Dla Pawła zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której na kostce padnie wypadnie liczba mniejsza od \(4\) (wtedy otrzyma \(10\) żetonów), więc Pawła interesują wyniki: \(1, 2\) oraz \(3\). To oznacza, że \(|A|=3\).

Dla Grzegorza zdarzeniem sprzyjającym będzie wyrzucenie jedynie wartości \(6\), stąd też \(|B|=1\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
W przypadku Pawła \(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
W przypadku Grzegorza \(P(B)=\frac{|B|}{|Ω|}=\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)

Krok 4. Obliczenie wartości oczekiwanej.
Chcąc obliczyć wartość oczekiwaną możemy posłużyć się dość skomplikowanym wzorem z tablic. Prościej jednak będzie wykonać to metodą prostej analizy. Skoro prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia sprzyjającego Grzegorzowi jest \(3\) razy mniejsza niż Pawła, to wartość oczekiwana powinna być \(3\) razy większa niż nagroda Pawła (mówiąc wprost - Grzegorz ma \(3\) razy mniejsze szanse na wygraną, więc jego nagroda musi być \(3\) razy większa). W związku z tym:
$$x=3\cdot10=30$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz zysku Grzegorza typu \(10\cdot\frac{1}{2}-x\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{2}{6}\) oraz \(-10\cdot\frac{1}{2}+x\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{2}{6}\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. C., ponieważ 1.
2. \(4,5\)
3. \(86\frac{2}{3}\%\)
4. \(4480zł\)

Zadanie 1.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Z wykresu możemy odczytać, że najwięcej osób zarabia \(4\) tysiące złotych. To oznacza, że dominanta miesięcznych zarobków wynosi \(4\) tys. zł ponieważ tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie liczby pracowników.
Aby poznać liczbę pracowników tej firmy, musimy zsumować liczbę osób pobierających dane wynagrodzenie (np. \(1\) osoba zarabia \(1,5\) tysiąca, \(1\) osoba zarabia \(2\) tysiące, \(4\) osoby zarabiają \(2,5\) tysiąca itd.). To oznacza, że tych pracowników będziemy mieć:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6+3+2+1+1+1+2=75$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy nieparzystą liczbę pracowników, a to oznacza, że mediana będzie równa tak zwanej środkowej wartości. W przypadku ciągu \(75\)-elementowego, środkową wartością będzie pensja numer \(38\).

Teoretycznie powinniśmy teraz wypisać wszystkie zarobki w ciągu niemalejącym (od najmniejszej do największej wypłaty) i wybrać tę, która będzie trzydziesta ósma w kolejności. Oczywiście nie będziemy zapisywać po kolei tych wszystkich pensji - wystarczy zauważyć, że \(1+1+4+7+10+14=37\) osób zarabia \(4\) tysiące lub mniej. Nas interesują zarobki \(38.\) osoby, a te wynoszą w takim razie \(4,5\) tysiąca złotych. Stąd też mediana zarobków wynosi właśnie \(4,5\) tysiąca złotych.

Zadanie 3.
Osób zarabiających \(5,5\) tysiąca złotych lub mniej mamy:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6=65$$

Wszystkich pracowników mamy \(75\), więc ci zarabiający \(5,5\) tys. zł lub mniej stanowią:
$$\frac{65}{75}\cdot100\%=86\frac{2}{3}\%$$

Zadanie 4.
Aby obliczyć średnią, musimy zsumować wszystkie wynagrodzenia i podzielić to przez liczbę wszystkich pracowników. Suma wszystkich wynagrodzeń będzie równa:
$$1\cdot1,5+1\cdot2+4\cdot2,5+7\cdot3+10\cdot3,5+14\cdot4+13\cdot4,5+ \\
+9\cdot5+6\cdot5,5+3\cdot6+2\cdot6,5+1\cdot7+1\cdot7,5+1\cdot8,5+2\cdot10= \\
=1,5+2+10+21+35+56+58,5+45+33+18+13+7+7,5+8,5+20=336$$

Wiemy już, że mamy \(75\) pracowników, zatem średnia będzie równa:
$$śr=\frac{336}{75} \\
śr=4,48$$

Średnia pensja wynosi więc \(4480zł\).