Matura – Matematyka – Maj 2011 – Odpowiedzi

C

Aby rozwiązać to zadanie wystarczy podstawić pod wartość \(x\) przybliżoną wartość \(π=3,14\) i sprawdzić w ten sposób która nierówność jest prawdziwa.

Odp. A.
\(|3,14+1|=|4,14|=4,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(4,14\lt5\)

Odp. B.
\(|3,14-1|=|2,14|=2,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,14\gt2\)

Odp. C.
\(|3,14+\frac{2}{3}|\approx|3,14+0,67|=|3,81|=3,81\)
To prawidłowa odpowiedź, bo \(3,81\le4\)

Odp. D.
\(|3,14-\frac{1}{3}|\approx|3,14-0,33|=|2,81|=2,81\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,81\le3\)

B

Sposób I - wykorzystując proporcję:
Skoro \(9\%\) to \(189zł\)
To \(1\%\) to \(21zł\)
Więc \(100\%\) to \(2100zł\).

Sposób II - wykorzystując równania z jedną niewiadomą:
\(x\) - cena roweru
\(9\%\) z \(x\) to \(189zł\)
Zatem:
$$0,09x=189zł \quad\bigg/:0,09 \\
x=2100zł$$

B

Musimy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. W naszym przypadku tym wspólnym czynnikiem jest \(5a\), tak więc otrzymamy iloczyn:
$$5a^2-10ab+15a= \\
=5a\cdot a-5a\cdot2b+5a\cdot3= \\
=5a(a-2b+3)$$

D

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases}
4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\
6x+ay=15
\end{cases}\begin{cases}
6x+\color{blue}{3y}=15 \\
6x+\color{blue}{ay}=15
\end{cases}

Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).

D

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Najpierw musimy wymnożyć wartości stojące przed nawiasami, a następnie obliczyć wartość \(x\):
$$x(x+3)-49=x(x-4) \\
x^2+3x-49=x^2-4x \\
7x=49 \\
x=7$$

Krok 2. Sprawdzanie do którego przedziału pasuje nasze rozwiązanie.
\(x=7\) należy jedynie do przedziału \((2;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź w tym zadaniu.

B

Krok 1. Pozbycie się ułamków i rozwiązanie nierówności.
Przy równościach i nierównościach w których dominują ułamki dobrze jest na samym początku pomnożyć obie strony przez taką liczbę, aby pozbyć się wszystkich ułamków. W naszym przypadku taką liczbą będzie \(24\), bo jest to najmniejsza wspólna wielokrotność \(6,8,12\). Jak już to zrobimy, to bez przeszkód obliczymy naszą nierówność:

$$\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\
9+4x\lt10x \\
9\lt6x \\
x\gt\frac{9}{6} \\
x\gt\frac{3}{2}$$

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\frac{3}{2}\). To oznacza, że najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \(2\).

C

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność jest podana w postaci iloczynowej, więc w bardzo łatwy sposób możemy obliczyć jej miejsca zerowe, bo wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera:
$$3(x-1)(x-5)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Szkicowanie paraboli przechodzącej przez wyznaczone miejsca zerowe.
Ramiona funkcji muszą być skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) po wykonaniu mnożenia wartości w nawiasach byłby na pewno dodatni. Pamiętajmy także o tym, by w tym przypadku punkty \(x=1\) oraz \(x=5\) były z zamalowaną kropką (bo w nierówności mieliśmy znak \(\le\)).



Krok 3. Odczytujemy przedział dla jakiego funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero.
Zgodnie z wykresem nasza funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\langle1;5\rangle\).

Krok 4. Interpretacja wyników i wybór właściwej odpowiedzi.
Wiemy już, że interesującym nas zbiorem liczbowym jest \(x\in\langle1;5\rangle\), ale wbrew pozorom to nie koniec rozwiązywania, bo musimy jeszcze uwzględnić informację z treści zadania, która mówi o tym, że \(x\gt1\). To oznacza, że "jedynka" z naszego zbioru nie spełnia już warunków zadania, tak więc interesującym nas zbiorem będzie \(x\in(1;5\rangle\). To oznacza, że prawidłowy jest wykres z trzeciej odpowiedzi.

B

Zgodnie z definicją logarytmów \(\log_{a}(b)\) musi mieć współczynnik \(b\gt0\). To oznacza, że w naszym przypadku musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$2x-1\gt0 \\
2x\gt1 \\
x\gt\frac{1}{2}$$

A

Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$

Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$

Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.

Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.
Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Wybór właściwego wykresu.
Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

D

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób:
$$-\sqrt{2}x+4=0 \\
-\sqrt{2}x=-4 \\
\sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

D

Krok 1. Obliczenie parametru \(q\).
Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\).

Tak więc:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \\
1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4} \\
a_{1}=\frac{9}{4}$$

C

Jest kilka możliwości rozwiązania tego zadania. W zadaniu zamkniętym (takim jak to) możemy teoretycznie nawet napisać sobie przykładowy ciąg typu \(1,2,3,4...\) i sprawdzić która równość będzie prawdziwa. My rozwiążemy sobie to zadanie chyba najprostszą i najbardziej uniwersalną metodą wykorzystując wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\).

Sprawdźmy teraz każdą z odpowiedzi porównując lewą i prawą stronę danego równania:
Odp. A.
\(L=a_{4}+a_{7}=a_{1}+3r+a_{1}+6r=2a_{1}+9r \\
P=a_{10}=a_{1}+9r \\
L\neq P\)

Odp. B.
\(L=a_{4}+a_{6}=a_{1}+3r+a_{1}+5r=2a_{1}+8r \\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \\
L\neq P\)

Odp. C.
\(L=a_{2}+a_{9}=a_{1}+1r+a_{1}+8r=2a_{1}+9r \\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \\
L=P\)

Odp. D.
\(L=a_{5}+a_{7}=a_{1}+4r+a_{1}+6r=2a_{1}+10r \\
P=2a_{8}=2\cdot(a_{1}+7r)=2a_{1}+14r \\
L\neq P\)

Prawidłową zależność otrzymaliśmy jedynie w trzeciej odpowiedzi.

A

Krok 1. Obliczenie wartości \(sinα\).
Wartość sinusa obliczymy korzystając z tzw. "jedynki trygonometrycznej".
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{25}{169}=1 \\
sin^2α=1-\frac{25}{169} \\
sin^2α=\frac{144}{169} \\
sinα=\sqrt{\frac{144}{169}} \\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Wartość ujemną sinusa odrzucamy, bo w treści zadania mamy informację o tym, że jest to kąt ostry, a dla kątów ostrych sinus jest dodatni. W związku z tym \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znamy już \(sinα\) oraz \(cosα\) bez problemu obliczymy wartość \(tgα\), korzystając z zależności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\).
$$tgα=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \\
tgα=\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \\
tgα=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5} \\
tgα=\frac{12}{5}$$

B

W tym zadaniu musimy skorzystać z tzw. "jedynki trygonometrycznej" \(sin^2α+cos^2α=1\). Widzimy wyraźnie, że zgodnie z tym wzorem \(sin^2 38°+cos^2 38°=1\) oraz \(sin^2 52°+cos^2 52°=1\). To oznacza, że:
$$\frac{sin^2 38°+cos^2 38°-1}{sin^2 52°+cos^2 52°+1}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$$

C

Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2 \\
|BG|^2=3^2+4^2 \\
|BG|^2=9+16 \\
|BG|^2=25 \\
|BG|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2 \\
|GE|^2=5^2+4^2 \\
|GE|^2=25+16 \\
|GE|^2=41 \\
|GE|=\sqrt{41}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2 \\
|EB|^2=5^2+3^2 \\
|EB|^2=25+9 \\
|EB|^2=34 \\
|EB|=\sqrt{34}$$

Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25} \\
|BG|=5=\sqrt{25} \\
|GE|=\sqrt{41} \\
|EB|=\sqrt{34}$$

W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).

B

Musimy zauważyć, że kąt wpisany \(α\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Kąt wpisany będzie miał więc miarę równą połowie miary kąta środkowego, ale...
W zadaniu jest jednak pewna pułapka, bowiem kątem środkowym opisanym na interesującym nas łuku nie jest kąt o mierze \(160°\), tylko kąt \(360°-160°=200°\).



To oznacza, że kąt \(α\) ma miarę \(α=\frac{200°}{2}=100°\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.


Znamy długość odcinka \(a\). Zgodnie z tym rysunkiem widzimy, że aby wyliczyć wysokość \(h\) musimy albo skorzystać z twierdzenia o trójkątach \(30°\), \(60°\), \(90°\) albo z funkcji trygonometrycznych.

Krok 2. Obliczenie długości wysokości rombu.
Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:.
$$\frac{h}{a}=sin60° \\
h=sin60°\cdot a$$

Wartość \(sin60°\) odczytujemy z tablic matematycznych: \(sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem otrzymujemy:
$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6 \\
h=3\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe to warunkiem koniecznym jest to, aby miały one identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przykładzie prosta \(k\) ma współczynnik \(a=2\), więc prosta \(l\) musi mieć dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy, dlatego będzie ona na pewno opisana wzorem \(y=2x+b\). Dzięki temu już na \(100\%\) wiemy, że pod uwagę bierzemy już tylko drugą i trzecią odpowiedź.

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Teraz musimy ustalić jaka jest brakująca wartość współczynnika \(b\). Do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy współrzędne naszego punktu \(D=(-2,1)\), czyli \(x=-2\) oraz \(y=1\), dzięki czemu poznamy wartość współczynnika \(b\).
$$y=2x+b \\
1=2\cdot(-2)+b \\
1=-4+b \\
b=5$$

Krok 3. Zapisanie wzoru poszukiwanej prostej.
Skoro \(a=2\) oraz \(b=5\), to prosta \(l\) ma postać \(y=2x+5\).

B

Równanie okręgu w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) opisuje okrąg o długości promienia \(r\), którego środek znajduje się w punkcie \(S=(a;b)\).

Krok 1. Zapisanie podanego równania w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Nasze równanie z treści zadania nie do końca jest identyczne jak pożądana postać, dlatego musimy przenieść liczbę \(4\) na prawą stronę i zapisać całość jako:
$$(x-1)^2+y^2-4=0 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=2^2$$

To oznacza, że okrąg ma promień \(r=2\) oraz współrzędne środka wynoszą \(S=(1;0)\).

Krok 2. Naszkicowanie okręgu w układzie współrzędnych.
Naszkicujmy nasz okrąg oraz styczne podane w odpowiedziach. Dzięki temu zobaczymy która z odpowiedzi jest poprawna.



Widzimy wyraźnie, że poszukiwaną prostą styczną do tego okręgu jest \(x=3\).
Tak na marginesie to bez problemu możemy odczytać równania innych prostych stycznych do okręgu np. \(x=-1\), \(y=-2\), \(y=2\), ale ich akurat nie mieliśmy w naszych proponowanych odpowiedziach.

D

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$

Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).

Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \\
9+9\cdot2=s^2 \\
9+18=s^2 \\
s^2=27 \\
s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

B

Objętość stożka wyliczymy ze wzoru \(V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot π\cdot r^2\). Wszystkie dane tak naprawdę mamy podane w treści zadania, musimy tylko obliczyć długość promienia. Skoro średnica ma długość \(12\), to promień jest równy \(12:2=6\).

Teraz bez przeszkód obliczymy objętość naszej bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot π\cdot r^2 \\
V=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot π\cdot 6^2 \\
V=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot 36\cdot π \\
V=\frac{1}{3}\cdot288\cdot π \\
V=96π$$

D

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce mamy sześć możliwości, rzuty kostek są względem siebie niezależne, więc liczba możliwych kombinacji przy rzucie dwoma kostkami jest równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zdarzeniami sprzyjającymi są te, których suma oczek jest równa trzy. Mamy tylko dwie takie możliwości: \((2;1)\) oraz \((1;2)\). Tak więc \(|A|=2\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

D

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie wszystkich danych do standardowego wzoru na średnią arytmetyczną, pamiętając o tym, że trzeba odpowiednio wymnożyć liczbę dzieci przez liczbę posiadanego rodzeństwa. W ten sposób powstanie nam równanie, które po prostu musimy rozwiązać, tak więc:
$$\frac{3\cdot6+4\cdot12+x\cdot2}{6+12+2}=4 \\
\frac{18+48+2x}{20}=4 \quad\bigg/\cdot20 \\
66+2x=80 \\
2x=14 \\
x=7$$

\(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-10,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni (dokładnie to jest równy \(3\)), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:


Punkty \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=3\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla przedziału \(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniliśmy twierdzenie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia.

Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.

Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$

To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$

Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-2a^2b^2$$

Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód.

Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\).
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab \\
2ab=-6$$

Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \\
2a^2b^2=18$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-18=31$$

Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy osiągniesz znaczny postęp w rozwiązaniu zadania np. obliczysz że \(2ab=-6\) (lub \(ab=-3\)), albo że \(2a^2b^2=18\) (lub \(a^2b^2=9\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zbudujesz układ równań i z niego wyliczysz że jedna z liczb jest równa \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\) albo \(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

a) \(\langle-2;3\rangle\)
b) \(\langle-2;2\rangle\)

Krok 1. Ustalenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Odczytujemy jakie wartości na osi igreków przyjmuje nasza funkcja i widzimy wyraźnie, że wszystkie wartości funkcji mieszczą się w przedziale \(\langle-2;3\rangle\).

Krok 2. Ustalenie miejsc w których funkcja \(f\) jest malejąca.
Teraz szukamy na osi iksów takich argumentów, dla których ta funkcja jest malejąca. Jest tylko jeden taki przedział (więc siłą rzeczy będzie on maksymalnej długości), a tym przedziałem jest \(\langle-2;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór wartości funkcji (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie przedział, w którym funkcja jest malejąca (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-1\) oraz \(y=9\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\
y=\frac{x+19}{2}$$

Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases}
y=\frac{x+19}{2} \\
x+y=8
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+x+19=16 \\
3x=-3 \\
x=-1$$

Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8 \\
-1+y=8 \\
y=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu wyprowadzisz równanie z dwiema niewiadomymi np. \(y=\frac{x+19}{2}\) (patrz: Krok 2.) albo \(x+2r=19\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}\)

Krok 1. Obustronne pomnożenie ułamków przez wartości w mianownikach.
Chcąc się pozbyć ułamków możemy pomnożyć to równanie obustronnie przez wartości znajdujące w mianownikach. Możemy to zrobić jednocześnie w ramach jednego działania (mnożąc od razu przez \(sinα\cdot cosα\)), ale aby lepiej wyjaśnić to zadanie może zróbmy sobie to powoli krok po kroku:
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα+\frac{cos^2α}{sinα}=2\cdot cosα \quad\bigg/\cdot sinα \\
sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Z "jedynki trygonometrycznej" wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że po lewej stronie równania otrzymanego w pierwszym kroku będziemy mieć jedynkę, zatem:
$$1=2\cdot sinα\cdot cosα \\
sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do wspólnego mianownika (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do postaci \(sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz trójkąt prostokątny, podstawisz stosunki odpowiednich długości boków do całości wyrażenia i tym samym otrzymasz wyrażenie typu \(a^2+b^2=2ab\).
ALBO
• Gdy sprowadzisz to wyrażenie do postaci w której występuje jedynie tangens.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z różnych własności kątów w figurach geometrycznych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro podstawy tego czworokąta są równoległe to otrzymamy tak naprawdę trapez. Zadanie można udowodnić na wiele sposobów, ale najprostszy wykorzystuje informację, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu jest równa \(180°\). To oznacza, że jeśli \(|\sphericalangle ABC|=α\) to \(|\sphericalangle BCD|=180°-α\) i tak też zaznaczmy sobie na naszym szkicowym rysunku:



Dodatkowo na niebiesko i zielono zaznaczyliśmy sobie pary boków równej długości (zgodnie z treścią zadania).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(BEA\) oraz \(CED\).
Rozpatrzmy sobie teraz dwa trójkąty - \(ABE\) oraz \(DCE\). Suma kątów w każdym z tych trójkątów jest równa oczywiście \(180°\). Dodatkowo z treści zadania i z rysunku pomocniczego wynika, że są to trójkąty równoramienne, bo \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Skoro tak, to z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawach mają tą samą miarę, a więc:
$$|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BEA| \\
\text{oraz} \\
|\sphericalangle CDE|=|\sphericalangle CED|$$

Co to oznacza? Jeśli w trójkącie \(ABE\) jeden kąt między ramionami ma miarę \(α\), to dwa pozostałe przy podstawie \(|AE|\) mają łącznie \(180°-α\). Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe, to \(|\sphericalangle BEA|=\frac{180°-α}{2}\).

Analogicznie rozpatrzymy trójkąt \(DCE\). Tutaj jeden kąt między ramionami ma miarę \(180°-α\), więc dwa pozostałe przy podstawie \(|DE|\) mają \(180°-(180°-α)=α\). Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe sobie równe to \(|\sphericalangle CED|=\frac{α}{2}\).

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(AED\).
Z twierdzenia o kątach przyległych wiemy, że:
$$|\sphericalangle BEA|+|\sphericalangle CED|+|\sphericalangle AED|=180°$$

Znamy wartości dwóch z tych kątów (wyliczyliśmy je w drugim kroku), więc bez problemu wyliczymy teraz wartość kąta \(AED\).
$$\frac{180°-α}{2}+\frac{α}{2}+|\sphericalangle AED|=180° \quad\bigg/\cdot 2 \\
180°-α+α+2\cdot |\sphericalangle AED|=360° \\
2\cdot |\sphericalangle AED|=180° \\
|\sphericalangle AED|=90°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz własność trójkąta równoramiennego i zapiszesz poprawnie relacje między kątami przy podstawie (patrz: Krok 2.).
Uwaga: W tym zadaniu jest bardzo wiele dróg prowadzących do rozwiązania, wszystko zależy od tego jakie oznaczenia sobie przyjmiemy i z jakich własności kątów/trójkątów/trapezów będziemy korzystać. Nie musisz więc otrzymać dokładnie takich samych wartości przejściowych jak w prezentowanym przykładzie aby otrzymać 1 punkt.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wynikiem.

\(P(A)=\frac{16}{49}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Bardzo ważną informacją jest to, że liczby losujemy ze zwracaniem. To oznacza, że w pierwszym losowaniu możemy wylosować jedną z siedmiu możliwości i w drugim także możemy wylosować jedną z siedmiu możliwości. Wszystkich możliwych kombinacji jest więc:
$$|Ω|=7\cdot7=49$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy sobie teraz wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie w których suma wyników będzie podzielna przez \(3\). Dobrze jest wypisać sobie wszystkie warianty w dość uporządkowany sposób, tak aby mieć pewność że uwzględnimy wszystkie możliwości:
$$(1,2), (1,5) \\
(2,1), (2,4), (2,7) \\
(3,3), (3,6) \\
(4,2), (4,5) \\
(5,1), (5,4), (5,7) \\
(6,3), (6,6) \\
(7,2), (7,5)$$

Łącznie wszystkich sprzyjających zdarzeń jest \(16\), a więc \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.


Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej do prostej \(y=2x-3\).
Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy:
$$2\cdot a=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\).
Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi.
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \\
7=-1,5+b \\
b=8\frac{1}{2}$$

Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\).

Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu \(A\).
Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\).
\begin{cases}
y=2x-3 \\
y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \\
2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \\
\frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \\
x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$

Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\).
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \\
y=9\frac{1}{5}-3 \\
y=6\frac{1}{5}$$

Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej prostopadłej, czyli \(a=-\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz za pomocą odpowiedniego wzoru odległość punku \(S\) od prostej o równaniu \(y=2x-3\), czyli \(|SA|=\frac{4}{\sqrt{5}}\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|SA|=\sqrt{(x-3)^2+(2x-10)^2}\)
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy z ułożonego układu równań otrzymasz postać równania z jedną niewiadomą (niezależnie od tego czy tą niewiadomą jest współrzędna \(x\) czy \(y\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy od razu zapiszesz równanie z użyciem jednej niewiadomej np. \(\sqrt{(x-3)^2+(2x-10)^2}=\frac{4}{\sqrt{5}}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(28km\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
\(y\) - liczba dni wędrówki
\(x\cdot y=112\)

Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x\cdot y=112 \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}\begin{cases}
y=\frac{112}{x} \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112 \\
112+3x-\frac{1344}{x}-36=112 \\
3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x \\
3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3 \\
x^2-12x-448=0$$

Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-12,\;c=-448\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(x\) lub \(y\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\)

Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny.

Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki \(AK\), \(KG\) i \(EL\) to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta \(KLM\) są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty \(AKM\), \(GKL\) oraz \(ELM\) są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.


Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta \(KLM\) (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka \(MK\). Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków \(AM\) oraz \(AK\). Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=1:2=\frac{1}{2}\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(AK\). Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AK\).
Długość odcinka \(AK\) wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta \(ABK\):


$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(MK\), czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\).
Znamy długości odcinków \(|AM|=\frac{1}{2}\) oraz \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\), możemy więc wrócić do trójkąta \(AMK\) i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka \(MK\) (czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\)).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego \(KLM\) ma miarę \(a=\sqrt{\frac{3}{2}}\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego \(KLM\).
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|AK|^2=\frac{5}{4}\).
3 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz długość jednego z jego boków, np. \(|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}\) (patrz: Krok 3.). Dopuszczalne jest także obliczenie kwadratów tych długości lub zapisanie długości w postaci \(|MK|=\frac{\sqrt{6}}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.