Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2015 – Odpowiedzi

C

Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując:
$$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \\
=\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$

D

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem.
Prostokąt przed przekształceniem ma pole powierzchni równe:
$$P_{1}=40cm\cdot100cm \\
P_{1}=4000cm^2$$

Krok 2. Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu.
Jeżeli dłuższy bok wydłużymy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(1,2\cdot100cm=120cm\).
Jeżeli krótszy bok skrócimy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(0,8\cdot40cm=32cm\).

To oznacza, że pole powierzchni przekształconego prostokąta wyniesie:
$$P_{2}=120cm\cdot32cm \\
P_{2}=3840cm^2$$

Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu.
Pole powierzchni zmniejszyło się o:
$$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$

To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o:
$$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$

D

Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\
=5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$

B

Krok 1. Wykonanie obliczeń na pierwiastkach.
$$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem:
$$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\
=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$

C

Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25} \\
\log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \\
\log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$

Zatem wartość całego wyrażenia jest równa:
$$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$

D

Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$

Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).

A

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases}
x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3x-2y=-4
\end{cases}\begin{cases}
-3x-9y=15 \\
3x-2y=-4
\end{cases}

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4) \\
-11y=11 \\
y=-1$$

Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5 \\
x-3=-5 \\
x=-2$$

Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.

C

Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność:
$$2(x-2)\le4(x-1)+1 \\
2x-4\le4x-4+1 \\
2x-4\le4x-3 \\
-2x-4\le-3 \\
-2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \\
x\ge-\frac{1}{2}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną.

Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-\frac{1}{2}\). Tą liczbą będzie oczywiście \(0\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

B

$$x^2(x+1)=x^2-8 \\
x^3+x^2=x^2-8 \\
x^3=-8 \\
x=-2$$

A

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$

Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\
f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

C

Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem:
$$y=a(x-(-3))^2+5 \\
y=a(x+3)^2+5$$

Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$

A

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).

B

Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

C

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
W zadaniu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez \(7\), to każda kolejna liczba będzie o \(7\) większa od swojej poprzedniczki, zatem \(r=7\).

Krok 2. Obliczenie wartości dwunastego wyrazu.
Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(7\) jest oczywiście \(14\), więc \(a_{1}=14\).
Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy \(n=12\) i dokonujemy obliczeń:
$$a_{12}=a_{1}+(12-1)r \\
a_{12}=a_{1}+11r \\
a_{12}=14+11\cdot7 \\
a_{12}=14+77 \\
a_{12}=91$$

B

Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \\
a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \\
a_{5}=\frac{31}{33}$$

B

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa.
$$sin^2+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=1-\frac{9}{16} \\
cos^2α=\frac{7}{16} \\
cosα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\
cosα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych:



Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
$$cosα=\frac{2}{c}$$

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$2^2+5^2=c^2 \\
4+25=c^2 \\
c^2=29 \\
c=\sqrt{29}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej:
$$cosα=\frac{2}{\sqrt{29}}$$

B

To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór:
$$P=a^2\cdot sinα$$

Zanim jednak skorzystamy z tego wzoru to musimy jeszcze wyznaczyć wartość sinusa \(150°\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych:
$$sin(180-α)=sinα \\
sin(180°-30°)=sin30° \\
sin150°=sin30°$$

To oznacza, że \(sin150°\) będzie równy \(sin30°\), czyli \(\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
$$P=a^2\cdot sinα \\
P=6^2\cdot sin150° \\
P=36\cdot\frac{1}{2} \\
P=18$$

A

Wprowadźmy sobie pewne oznaczenia niektórych punktów, tak aby łatwiej było omówić zadanie:



Przyjrzyjmy się na początek trójkątowi \(ABC\). Jest on na pewno prostokątny, bo jest oparty na średnicy okręgu. To z kolei oznacza, że kąt \(CAB\) będzie miał miarę równą:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$

Kąt \(CDB\) zaznaczony na rysunku literą \(α\) jest oparty na tym samym co obliczony przed chwilą kąt \(CAB\). To oznacza, że ich miary muszą być sobie równe. Tak więc:
$$|\sphericalangle CDB|=|\sphericalangle CAB|=40°$$

D

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0 \\
(y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0 \\
(y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0 \\
12y-36-4x-16=0 \\
12y-4x-52=0 \\
12y=4x+52 \\
y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12} \\
y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$

To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy \(a=\frac{1}{3}\).

A

Współrzędne środka \(S=(x_{S};y_{S})\) odcinka o końcach \(A=(x_{A};y{A})\) oraz \(B=(x_{B};y{B})\) możemy wyliczyć za pomocą wzorów:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Nas tak naprawdę interesuje tylko współrzędna \(y\), bo to tam pojawia się niewiadoma \(b\), której wartość musimy policzyć, zatem:
$$-5=\frac{3+b}{2} \\
-10=3+b \\
b=-13$$

A

W trójkącie najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc ją od razu możemy oznaczyć jako bok \(c\). Skoro obrót jest dokonywany wzdłuż dłużej przyprostokątnej, to stożek będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:



Standardowy wzór na objętość stożka to:
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$

W naszym przypadku \(r=a\) oraz \(H=b\), zatem poszukiwanym wzorem jest:
$$V=\frac{1}{3}a^2bπ$$

D

Skoro promień podstawy walca jest równy \(4\), to prostokąt znajdujący się w przekroju będzie miał podstawę równą \(4\cdot2=8\) (patrz rysunek). Do tego znamy wysokość walca, tak więc przekątną przekroju możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.



$$a^2+b^2=c^2 \\
8^2+6^2=c^2 \\
64+36=c^2 \\
c^2=100 \\
c=10$$

C

Łącznie wszystkich osób jest \(15+18=33\).
Skoro \(15\) z \(33\) osób stanowią kobiety, to prawdopodobieństwo wylosowania kobiety będzie równe \(\frac{15}{33}\).

D

Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby:

Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od \(3000\) i może zawierać tylko cyfry \(1\), \(2\) oraz \(3\), to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób.
Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: \(1\), \(2\) lub \(3\).
Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby.
Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$

\(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\)

Krok 1. Wymnożenie na krzyż poszczególnych wartości.
Rozwiązywanie równania najprościej jest chyba zacząć od mnożenia na krzyż, choć jeśli wolimy to możemy standardowo wymnożyć obie strony najpierw przez \(x\), a potem przez \(2x-4\). Finalnie dojdziemy do tego samego:
$$(2x-4)\cdot(2x-4)=x\cdot x \\
(2x-4)^2=x^2 \\
4x^2-16x+16=x^2 \\
3x^2-16x+16=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-16,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)-8}{2\cdot3}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)+8}{2\cdot3}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Z racji tego, iż żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami z treści zadania, to obydwa są poprawne. To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz to równanie do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{8}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z treści zadania wynika, że pierwszą cyfrę możemy wylosować na \(6\) sposobów, a drugą na \(8\) sposobów. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich możliwych kombinacji będzie:
$$|Ω|=6\cdot8=48$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby podzielne przez \(11\), czyli:
$$11,22,33,44,55,66$$

Łącznie jest to \(6\) liczb, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in\langle2;3\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Aby móc w ogóle zacząć obliczać deltę, to po lewej stronie nierówności musimy mieć postać ogólną typu \(ax^2+bx+c\), a po prawej zero. Zatem przenosimy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:
$$20x\ge4x^2+24 \\
-4x^2+20x-24\ge0$$

Jeśli jesteśmy spostrzegawczy, to możemy podzielić obie strony równania przez \(4\), a jeszcze lepiej byłoby podzielić przez \(-4\). Dzięki temu będziemy wykonywali dalsze działania na nieco mniejszych liczbach i pozbędziemy się minusa przed \(x^2\). Nie jest to jednak zabieg konieczny, więc jeśli tego nie dostrzeżesz, to nic się nie stanie. Pamiętaj tylko, że dzieląc nierówności przez wartość ujemną zmieniamy jej znak! Po podzieleniu obydwu stron przez \(-4\) otrzymamy więc:
$$x^2-5x+6\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest większy od zera. Zaznaczamy na osi liczbowej wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy naszą parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tego równania będzie przedział \(x\in\langle2;3\rangle\).

\(sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}\)

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\
tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:
$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\
sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}\) albo innej podobnej.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą rysunku trójkąta prostokątnego zapiszesz, że \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{c^2}{ab}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość jedną z wartości: \(sinα=\sqrt{\frac{7+\sqrt{33}}{14}}\) lub \(cosα=\frac{4}{\sqrt{98+14\sqrt{33}}}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2 \\
x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$

Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0 \\
(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), zatem:
$$(x+y)(x-y)(x-y)\ge0 \\
(x+y)(x-y)^2\ge0$$

Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz nierówność w postaci \((x-y)(x^2-y^2)\ge0\) lub \((x-y)(x^2-2xy+y^2)\ge0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając miary pól poszczególnych trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:



Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).
$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\
P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\
P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).
Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\
P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\
P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:
$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pola "małych trójkątów" w zależności od długości \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz, że pole trójkąta \(APR\) jest stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy obliczysz, że suma pól \(P_{ADR}+P_{PCR}\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy przedłużysz prostą \(AR\) oraz bok \(BC\), zaznaczysz punkt przecięcia się tych prostych np. jako \(M\) i zauważysz, że \(P_{APR}=P_{RPM}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-3x+16\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:



Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \(B\)? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona \(AB\) oraz \(BC\), a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek \(B\). Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\), bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu \(D\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są \(D=(4;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu \(D\) znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\
(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\
-2y-4-6x+36=0 \\
-2y-6x+32=0 \\
-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\
y=-3x+16$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości dwóch boków trójkąta (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy napiszesz, że poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy uzasadnisz (wskazując, że jest to trójkąt równoramienny), dlaczego poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie osi symetrii w postaci prostej przechodzącej przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz wyznaczysz współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka \(AC\), czyli \(a=-3\).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz zapiszesz, że poszukiwana oś symetrii przechodzi przez punkt \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:



Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192 \\
12x^2=192 \\
x^2=16 \\
x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\
|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\
|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\
|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\
|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192 \\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
\\
V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości boków prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AB|=12\) oraz \(|BC|=16\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AC|=20\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy się zastanowić jak będzie wyglądać nasza parabola.

Wniosek I - Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie (\(f(x)\gt0\)) tylko w przedziale \((0;12)\), to musi być to parabola z ramionami skierowanymi do dołu (patrz rysunek). Nie ma innej możliwości.

Wniosek II - Czym jest natomiast przedział \((0;12)\)? Kiedy rozwiązujemy standardową nierówność i podajemy jej rozwiązania, to zawsze na krańcach przedziałów znajdują się tak naprawdę miejsca zerowe (które obliczamy np. z delty albo z postaci iloczynowej). Nie inaczej jest tutaj, zatem z tego przedziału możemy odczytać, że funkcja ta przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz rysunek).

Wniosek III - Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli? Skoro największa wartość funkcji jest równa \(9\), to jedną współrzędną (\(y=9\)) już znamy. Wiemy też, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie po środku, między miejscami zerowymi. Zatem współrzędne wierzchołka to \(W=(6;9)\).



Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji przy użyciu współrzędnych wierzchołka paraboli.
Dzięki trzeciemu wnioskowi z pierwszego kroku jesteśmy w stanie zapisać równanie tej paraboli w postaci kanonicznej. Funkcję o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) możemy opisać wzorem:
$$y=a(x-p)^2+q \\
y=a(x-6)^2+9$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Wiemy, że parabola przechodzi między innymi przez punkt \((0;0)\), zatem możemy podstawić współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru i tym samym obliczyć wartość współczynnika \(a\):
$$0=a\cdot(0-6)^2+9 \\
0=a\cdot(-6)^2+9 \\
0=36a+9 \\
36a=-9 \\
a=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}$$

Krok 4. Sprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Podstawiając wyznaczony współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) do wzoru z kroku drugiego, będziemy tak naprawdę znać już pełny wzór naszej funkcji:
$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$$

To jednak nie koniec, bo zgodnie z treścią zadania musimy przedstawić wzór tej funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+c\) i wypisać poszczególne współczynniki. Zatem:
$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9 \\
y=-\frac{1}{4}(x^2-12x+36)+9 \\
y=-\frac{1}{4}x^2+3x-9+9 \\
y=-\frac{1}{4}x^2+3x$$

Poszukiwanymi współczynnikami są więc: \(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe funkcji: \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że drugą współrzędną wierzchołka paraboli jest \(y=9\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne wierzchołka, czyli \(W=(6;9)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej \(y=a\cdot x\cdot(x-12)\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej \(y=a(x-6)^2+9\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór w postaci iloczynowej \(y=a\cdot x\cdot(x-12)\) oraz obliczysz współrzędne wierzchołka: \(W=(6;9)\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współczynnik \(c=0\) (bo \(f(0)=0\)) oraz zapiszesz jedno z równań, które wynika z podstawienia do wzoru funkcji współrzędnych wierzchołka lub punktu przecięcia się z osią \(Ox\) niebędącego początkiem układu współrzędnych np. \(36a+6b=9\) lub \(144a+12b=0\).
4 pkt
• Gdy zapiszesz, że współczynnik \(c=0\) (bo \(f(0)=0\)) oraz zapiszesz układ składający się z dwóch równań: \(36a+6b=9\) oraz \(144a+12b=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz, że współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.