Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2015 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury poprawkowej na poziomie podstawowym – sierpień 2015. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2015

Zadanie 1. (1pkt) Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Dany jest prostokąt o wymiarach \(40cm\times100cm\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(\frac{9^5\cdot5^{9}}{45^5}\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\log_{5}0,04-\frac{1}{2}\log_{25}5\cdot \log_{25}1\) jest równa:

Zadanie 6. (1pkt) Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o:

Zadanie 7. (1pkt) Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \begin{cases}
x+3y=-5 \\
3x-2y=-4
\end{cases}
Wskaż ten rysunek:

Zadanie 8. (1pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x-2)\le4(x-1)+1\) jest:

Zadanie 9. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(x^2(x+1)=x^2-8\) jest:

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa:

Zadanie 11. (1pkt) Parabola o wierzchołku \(W=(-3,5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem:

Zadanie 12. (1pkt) Wykres funkcji liniowej \(y=2x-3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych:

Zadanie 13. (1pkt) Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) ma współrzędne \((2,2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x)=f(x+2)\) ma współrzędne:

Zadanie 14. (1pkt) Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba:

Zadanie 15. (1pkt) Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_{n}=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 16. (1pkt) Sinus kąta ostrego \(α\) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas:

Zadanie 17. (1pkt) W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy:

Zadanie 18. (1pkt) Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150°\) jest równe:

Zadanie 19. (1pkt) W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50°\), zaznaczony na rysunku.

matura z matematyki

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(α\) jest równa:

Zadanie 20. (1pkt) Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy:

Zadanie 21. (1pkt) Punkt \(S=(2,-5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-4,3)\) i \(B=(8,b)\). Wtedy:

Zadanie 22. (1pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a,b,c\), gdzie \(a\lt b\lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360°\) otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa:

Zadanie 23. (1pkt) Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6\), ma długość:

Zadanie 24. (1pkt) W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe:

Zadanie 25. (1pkt) Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\neq0\) i \(x\neq2\).

Zadanie 27. (2pkt) Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).

Zadanie 28. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(20x\ge4x^2+24\).

Zadanie 29. (2pkt) Kąt \(α\) jest ostry i spełnia równość \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Zadanie 30. (2pkt) Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\).

Zadanie 31. (2pkt) W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

matura z matematyki

Zadanie 32. (4pkt) Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A=(-2,2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,6)\).

Zadanie 33. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\). Oblicz objętość ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 34. (5pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)\gt0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz