Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2014 – Odpowiedzi

A

W tego typu zadaniach po lewej stronie nierówności znajdzie się wartość \(|x-a|\), gdzie \(a\) to środek między dwoma krańcowymi punktami przedziałów. Zazwyczaj ten środek musimy samodzielne policzyć, ale w przypadku tego zadania ten środek jest już wskazany i jest on równy \(a=7\). Zatem po lewej stronie nierówności znajdzie się zapis \(|x-7|\).

Od środka przedziału do jego końców mamy zarówno z lewej jak i z prawej strony odległość \(15\) jednostek (bo np. \(22-7=15\)). Zgodnie z rysunkiem widać, że w zaznaczonym przedziale znalazły się liczby których odległość od środka jest mniejsza niż \(15\) jednostek. Prawidłowa zatem będzie nierówność: \(|x-7|\lt15\).

A

Potęgowanie to zwielokrotnione mnożenie. Możemy więc \(2^{2014}\) zapisać jako \(2\cdot2^{2013}\), a tę dwójkę którą wyłączyliśmy możemy skrócić z ułamkiem \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2^{2013}=1\cdot2^{2013}=2^{2013}$$

Ewentualnie możemy zamienić ułamek \(\frac{1}{2}\) na potęgę \(2^{-1}\) i wykonać poprawnie działania na potęgach:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}$$

B

Zgodnie z definicją logarytmu:
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Podstawiając do tej definicji wartości z naszego zadania otrzymamy, że:
$$3^c=2$$

B

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \\
=(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \\
=5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \\
=5+3=8$$

C

\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów

Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).

B

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku nie może być równa zero. Stąd też:
$$7-x\neq0 \\
x\neq7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie chyba tutaj zastosować tzw. "mnożenie na krzyż":
$$(x-5)\cdot3=1\cdot(7-x) \\
3x-15=7-x \\
4x=22 \\
x=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$$

Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc \(x=\frac{11}{2}\).

B

Naszym zadaniem jest przekształcenie tego równania, tak by wyznaczyć z niego wartość \(b\).
$$a=\frac{b}{c-b} \quad\bigg/(c-b) \\
a\cdot(c-b)=b \\
ac-ab=b \\
ac=ab+b \\
ac=b\cdot(a+1) \quad\bigg/:(a+1) \\
b=\frac{ac}{a+1}$$

D

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(x\). Widzimy wyraźnie, że dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-3;8\rangle\).

A

Zbiór wartości funkcji (a tym samym największą wartość funkcji) odczytujemy z osi \(y\). Krótko mówiąc - szukamy współrzędnej igrekowej punktu, który jest położony najwyżej na wykresie. Tą wartością będzie: \(y_{max}=3\).

D

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Mamy podaną funkcję w postaci iloczynowej, dzięki czemu w bardzo łatwy sposób możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe.
$$(x-2)(x+4)=0 \\
x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza funkcja kwadratowa po wymnożeniu poszczególnych wyrazów będzie miała przy \(x^2\) współczynnik dodatni \(a=1\), więc ramiona paraboli będą skierowane ku górze.

To oznacza, żę szukamy funkcji, która ma miejsca zerowe \(x=2\) oraz \(x=-4\) i która ma ramiona skierowane do góry. Taka parabola znalazła się w czwartej odpowiedzi.

C

Krok 1. Określenie kiedy funkcja ma pożądany zbiór wartości.
Musimy się zastanowić kiedy nasza funkcja będzie miała przedział wartości \((-\infty,-3\rangle\).

a) Czy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, czy do góry?
Jeśli parabola ma ramiona skierowane do góry, to funkcja zawsze dąży do plus nieskończoności. Nasza parabola musi kończyć się na wartości \(-3\), a więc na pewno ma ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być mniejszy od zera (czyli przed \(x^2\) musi znaleźć się minus).

b) Czym jest liczba \(-3\), która znalazła się w przedziale?
Jest to tak naprawdę współrzędna \(y\) wierzchołka naszej paraboli.

Krok 2. Wskazanie wzoru poszukiwanej funkcji.
Funkcję kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

Zgodnie z tym co zapisaliśmy w kroku pierwszym, szukamy funkcji która przed \(x^2\) będzie mieć wartość ujemną oraz taką, której \(q=-3\). Taka funkcja znalazła się jedynie w trzeciej odpowiedzi, czyli będzie to \(y=-(x-2)^2-3\).

D

Skoro funkcja liniowa ma być rosnąca, to na pewno \(a\gt0\).
Wiemy też, że funkcja ta ma dodatnie miejsce zerowe, musi więc wyglądać mniej więcej w taki sposób:



Widzimy wyraźnie, że skoro funkcja ma dodatnie miejsce zerowe i jest jednocześnie rosnąca, to na pewno przecina oś \(Oy\) w wartości ujemnej, czyli pod osią \(Ox\). To oznacza, że współczynnik \(b\lt0\).

Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(a\gt0\) i \(b\lt0\).

B

Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie wartości dziesiątego wyrazu tego ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(S_{n}=35\), oraz że \(a_{1}=3\), zatem bez problemu wyznaczymy poszukiwaną wartość \(a_{10}\):
$$35=\frac{3+a_{10}}{2}\cdot10 \\
35=(3+a_{10})\cdot5 \\
35=15+5a_{10} \\
20=5a_{10} \\
a_{10}=4$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Do wyznaczenia ilorazu ciągu geometrycznego przyda nam się znajomość dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Najprościej będzie więc wyznaczyć wartość pierwszego i drugiego wyrazu.
$$a_{1}=-\frac{3^1}{4}=-\frac{3}{4} \\
a_{2}=-\frac{3^2}{4}=-\frac{9}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu ciągu.
Iloraz ciągu będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{9}{4}:\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{9}{3}=3$$

C

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\).
Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
$$3tgα=2 \\
tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα=\frac{2}{3}cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \\
4cos^2α+9cos^2α=9 \\
13cos^2α=9 \\
cos^2α=\frac{9}{13} \\
cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \\
cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sinα\).
$$\require{cancel}
sinα=\frac{2}{3}cosα \\
sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \\
sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$

C

Zgodnie z własnościami okręgów opisanych na trójkącie równobocznym wiemy, że promień okręgu jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Zatem:
$$\frac{2}{3}h=R \\
\frac{2}{3}h=8 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
h=12$$

C

Krok 1. Obliczenie miar kątów \(ACO\) oraz \(BCO\).
Spójrzmy najpierw na trójkąt \(AOC\). Na pewno jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą długości promienia okręgu. To oznacza, że podstawą tego trójkąta jest bok \(AC\). Wiemy z własności trójkątów równoramiennych, że kąty przy podstawie mają tą samą miarę. W związku z tym:
$$|\sphericalangle ACO|=|\sphericalangle OAC|=40°$$

Analogicznie będzie wyglądać sytuacja w tym węższym trójkącie \(BOC\). Tutaj także jest to trójkąt równoramienny i także jego kąty przy podstawie mają równą długość, zatem:
$$|\sphericalangle BCO|=|\sphericalangle OBC|=20°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACB\).
Miara kąta \(ACB\) jest sumą miar dwóch kątów, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą:
$$|\sphericalangle ACB|=|\sphericalangle ACO|+|\sphericalangle BCO| \\
|\sphericalangle ACB|=40°+20° \\
|\sphericalangle ACB|=60°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta środkowego \(AOB\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że jeśli te dwa kąty są opisane na tym samym łuku (a tak jest w naszym przypadku), to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Więc:
$$|\sphericalangle AOB|=60°\cdot2 \\
|\sphericalangle AOB|=120°$$

B

Krok 1. Ustalenie długości odcinków \(EC\) oraz \(AC\).
Z treści zadania wynika, że \(|AD|=|DB|\), bo punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Skoro przez ten punkt \(D\) jest poprowadzona prosta równoległa do boku \(BC\), to podobna prawidłowość zajdzie także na odcinku \(AC\), gdzie punkt \(E\) jest w takim razie także środkiem tego odcinka. W związku z tym \(|AE|=|EC|=4\).

Znając długość odcinka \(EC\) możemy obliczyć miarę odcinka \(AC\):
$$|AC|=|AE|+|EC|=4+4=8$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania i wyznaczenie długości odcinka \(BC\).
Trójkąty \(ADE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi. Skąd to wiemy? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo obydwa trójkąty mają wspólny kąt \(CAB\) oraz wiemy że \(|\sphericalangle ADE|=|\sphericalangle ABC|\), gdyż są to tak naprawdę kąty odpowiadające.

Skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|DE|}{|AE|}=\frac{|BC|}{|AC|} \\
\frac{3}{4}=\frac{|BC|}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\
|BC|=\frac{24}{4} \\
|BC|=6$$

D

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Jest tylko jedna para, która spełnia taką własność i są to proste \(k\) oraz \(m\).
$$\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$$

C

Krok 1. Zapisanie ogólnego wzoru na równanie okręgu i podstawienie poprawnych danych z treści zadania.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) oraz promieniu równym \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

I tu jest pierwsza pułapka, bo odruchowo wiele osób chce podstawić do tego równania współrzędne punktu \(P\), przez co otrzymamy równanie zawarte w pierwszej odpowiedzi. Wszystko byłoby w porządku, gdyby punkt \(P\) był środkiem okręgu, ale nie jest. Zawsze wczytujmy się uważnie w treść zadania!

To co nam na razie pasuje do tego równania to długość promienia, która jest równa \(r=3\). Zatem to równanie na pewno przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=3^2 \\
(x-a)^2+(y-b)^2=9$$
To oznacza, że rozpatrujemy już tylko dwie możliwości: \(A\) oraz \(C\).

Krok 2. Sprawdzenie, które równanie zawiera punkt \(P=(-1;0)\).
Pod równania z odpowiedzi \(A\) i \(C\) podstawiamy współrzędne punktu \(P\) i sprawdzamy, kiedy równość jest poprawna.
Odp. A.:
$$(x+1)^2+y^2=9 \\
(-1+1)^2+0^2=9 \\
0^2+0^2=9 \\
0=9 \\
L\neq P$$

Odp. C.:
$$(x+1)^2+(y+3)^2=9 \\
(-1+1)^2+(0+3)^2=9 \\
0^2+3^2=9 \\
0+9=9 \\
9=9 \\
L=P$$

To oznacza, że prawidłowe jest równanie z trzeciej odpowiedzi.

C

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości. Aby więc poznać współrzędne punktu przecięcia możemy zastosować wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiamy do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\):
$$S=\left(\frac{13+15}{2};\frac{-12+8}{2}\right) \\
S=\left(\frac{28}{2};\frac{-4}{2}\right) \\
S=(14;-2)$$

D

Krok 1. Obliczenie długości promienia walca oraz jego wysokości.
Skoro w przekroju osiowym walca jest kwadrat o boku \(4\), to promień podstawy będzie równy połowie tej długości, czyli \(r=2\).
Wysokość walca będzie równa długości boku tego kwadratu, czyli \(H=4\).



Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej walca.
Pole powierzchni całkowitej walca obliczymy ze wzoru:
$$P_{c}=2πr^2+2πrH \\
P_{c}=2π\cdot2^2+2π\cdot2\cdot4 \\
P_{c}=2π\cdot4+2π\cdot8 \\
P_{c}=8π+16π \\
P_{c}=24π$$

D

Wzór na objętość graniastosłupa:
$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:
$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\
243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$

Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).

A

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucając monetą mamy dwie możliwości otrzymania wyniku - wypadnie nam orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). W każdym z trzech rzutów będziemy mieć identyczną sytuację, więc zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli różnych kombinacji otrzymanego wyniku) będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w naszym przypadku taka kombinacja trzech rzutów, w których choć raz pojawi się reszka np. \(ROO, RRO, ORO\) itd. Możemy wypisać sobie wszystkie te kombinacje, ale wystarczy zauważyć, że jest tylko jedna jedyna możliwość, kiedy takiej reszki nie będzie. To będzie rzut \(OOO\). Wszystkie pozostałe zawierają choć jedną reszkę. Zatem zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=8-1=7$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{8}$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:
$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7 \\
\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8 \\
x+46=56 \\
x=10$$

Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany.
Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:
$$2,3,5,5,7,10,11,13$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:
$$m=\frac{5+7}{2} \\
m=\frac{12}{2} \\
m=6$$

\(x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-5,\;c=14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(-1)\cdot14=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot(-1)}=\frac{5-9}{-2}=\frac{-4}{-2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot(-1)}=\frac{5+9}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) pojawił nam się minus, czyli \(a\lt0\). Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe wyznaczone przed chwilą (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli miejsca w których parabola znalazła się pod osią \(Ox\). Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=\sqrt{11} \quad\lor\quad x=-\sqrt{11} \quad\lor\quad x=6\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-11x+66=0 \\
x^2(x-6)-11(x-6)=0 \\
(x^2-11)(x-6)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
$$x^2-11=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\
x=\sqrt{11} \quad\lor\quad x=-\sqrt{11} \quad\lor\quad x=6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono sumując sześciany liczb \(2n\), \(2n+2\) oraz \(2n+4\).

Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$

Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.
Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3 \\
\\
(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\
=8n^3+24n^2+24n+8 \\
\\
(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\
=8n^3+48n^2+96n+64$$

Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.
Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\
=24n^3+72n^2+120n+72= \\
=24(n^3+3n^2+5n+3)$$

Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sześciany \((2n)^3=8n^3\), \((2n+2)^3=8n^3+24n^2+24n+8\) oraz \((2n+4)^3=8n^3+48n^2+96n+64\) i obliczysz ich sumę, ale nie uzasadnisz dlaczego ta suma jest podzielna przez \(24\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\)

Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:
$$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:
$$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
\frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2 \\
(cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25} \\
cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}} \\
cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz ułamki do wspólnego mianownika i wykonasz poprawnie dodawanie tych liczb (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą narysowanego trójkąta prostokątnego napiszesz, że \(sinα=\frac{a}{c}\), \(cosα=\frac{b}{c}\) oraz doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{4c^2c^2}{a^2b^2}=25\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wykorzystując własności kątów i trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)

Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).

Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\\
|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\\
|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\\
=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\\
=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β \\
|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)

Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD| \\
-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β) \\
-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) \\
-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β \\
-180°+2α+β=-180°+2α+β \\
L=P$$

Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zgodnie ze swoimi oznaczeniami zapiszesz poprawnie zależności miarami kątów w trójkątach \(BEF\) i \(CDE\).
ALBO
• Gdy zgodnie ze swoimi oznaczeniami zapiszesz poprawnie zależności miarami kątów w trójkącie \(CDE\) i czworokącie \(ABED\).
Uwaga: W tym zadaniu istnieje bardzo wiele dróg do dojścia do końca rozwiązania, wszystko zależy od przyjętych założeń i oznaczeń. Możesz przyznać sobie 1 punkt gdy w jakikolwiek sposób wykorzystasz własności kątów przyległych i\lub odpowiadających i\lub naprzemianległych, ale nie uda Ci się ostateczne zakończyć dowodzenia tego zadania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)

Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=5\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z niewiadomymi \(a_{1}\) oraz \(r\), który przykładowo składa się z równań \(a_{1}+4r=22\) oraz \(a_{1}+9r=47\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(v_{Lidia}=90\frac{km}{h}\) oraz \(v_{Danuta}=72\frac{km}{h}\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość Pani Lidii
\(t\) - czas Pani Lidii
\(s=450\) - odległość między miastami
\(v-18\) - prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty

Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases}
450=vt \\
450=(v-18)(t+\frac{5}{4})
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \\
\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \\
\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \\
\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
v^2-18v-6480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$

Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.



Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\
\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\
\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\
25a^2+96a^2=48400 \\
121a^2=48400 \\
a^2=400 \\
a=20$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=20^2 \\
P_{p}=400$$

Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\
H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\
H=8\sqrt{6}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\
V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności tangensa zapiszesz, że \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie np. \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy \(a=20\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań składający się przykładowo z równań: \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) oraz \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy\(a=20\) (patrz: Krok 3.) oraz obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=8\sqrt{6}\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{3}{10}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Pierwszą cyfrę możemy dobrać na pięć różnych sposobów (bo wybierzemy jedną z pięciu cyfr). Dobierając drugą cyfrę mamy już nieco mniejszy wybór, bo druga liczba zgodnie z treścią zadania nie może się powtarzać z pierwszą. W związku z tym w drugim losowaniu mogę otrzymać jedną z czterech cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli w tym przypadku wszystkich liczb dwucyfrowych w zbiorze \(M\)) będzie:
$$|Ω|=5\cdot4=20$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w naszym przypadku każda liczba, która jest większa od \(20\) i która jednocześnie ma cyfrę dziesiątek mniejszą od cyfry jedności. Wypiszmy więc sobie te liczby:
$$A=\{23,24,25,34,35,45\}$$

Jak widzimy takich liczb jest tylko sześć, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) i wypiszesz jakie są zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 1. oraz 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania lub dalej rozwiązujesz błędnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) oraz podasz ile jest łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=6\) (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.