Matura – Matematyka – Maj 2017 – Odpowiedzi

A

Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \\
5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$

C

Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem:
$$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

A

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\
\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Zatem:
$$2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}3^2-\log_{2}5^2= \\
=\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}$$

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku

Ta liczba wzrosła o \(120\%\), czyli możemy zapisać, że:
\(x+1,2x=2,2x\) - obecna liczba zwierząt

Krok 2. Ułożenie i rozwiązania równania.
Zgodnie z treścią zadania:
$$2,2x=8910 \\
x=4050$$

C

Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).

W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).

Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\
\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\
x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\
x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$

No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).

D

Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez \((x^4+1)\). Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość \((x^4+1)\) jest zawsze dodatnia, zatem:
$$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1) \\
2-x\gt0 \\
-x\gt-2 \quad\bigg/:(-1) \\
x\lt2$$

Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest \(3\).

D

$$2-3x\ge4 \\
-3x\ge2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\le-\frac{2}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.

Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.

C

Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie:
$$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).

C

Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero.
$$\sqrt{3}(x+1)-12=0 \\
\sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
x+1=\frac{12}{\sqrt{3}} \\
x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3} \\
x+1=4\sqrt{3} \\
x=4\sqrt{3}-1$$

C

Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią \(Oy\). Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0;3)\), zatem współczynnik \(c=3\).

D

Wykres funkcji możemy zapisać jako \(y=a^x\). Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu \(A=(1,2)\) i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem:
$$y=a^x \\
2=a^1$$

No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać \(2\)? Oczywiście \(2\), tak więc prawidłową odpowiedzią będzie \(a=2\).

B

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=11-5 \\
r=6$$

Krok 2. Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\).
Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
71=5+(n-1)\cdot6 \\
66=6n-6 \\
6n=72 \\
n=12$$

To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).

A

Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
6^2=24\cdot(a-1) \\
36=24a-24 \\
60=24a \\
a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$

B

Skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sin(90°-α)=cosα \\
sin50°=sin(90°-40°)=cos40°$$

C

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAO\).
Trójkąt \(AOC\) jest na pewno równoramienny, a jego ramionami są boki \(AO\) oraz \(CO\). Skąd to wiemy? Obydwa te boki są długością promienia naszego okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AC\) mają równą miarę, zatem:
$$|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle ACO|=56°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(COB\), czyli kąta \(α\).
Obliczony przed chwilą kąt \(CAO\) oraz nasz kąt \(α\) są oparte na tym samym łuku \(CB\). W związku z tym miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Zatem:
$$α=56°\cdot2=112°$$

B

Skoro odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(CA\), to trójkąty \(ABC\) oraz \(EBD\) są trójkątami podobnymi (na mocy cechy kąt-kąt-kąt). Stosunek boków odpowiadających sobie będzie taki sam, co pozwoli ułożyć nam następujące równanie:
$$\frac{|DE|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|BC|} \\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{10+2} \\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\
|DE|=\frac{240}{12} \\
|DE|=20$$

C

W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa \(|AB|=a\sqrt{3}\), a długość przeciwprostokątnej wynosi \(|AC|=2a\). Obwód trójkąta będzie więc równy:
$$Obw=a+a\sqrt{3}+2a \\
Obw=3a+a\sqrt{3} \\
Obw=(3+\sqrt{3})a$$

Gdybyśmy o tych własnościach nie pamiętali, to do wyznaczenia długości boków zawsze możemy posłużyć się jeszcze funkcjami trygonometrycznymi:
Wyznaczenie długości boku \(AB\):
$$tg30°=\frac{a}{|AB|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{|AB|} \quad\bigg/\cdot |AB| \\
a=\frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\
|AB|=\frac{3}{\sqrt{3}}a \\
|AB|=\frac{3\sqrt{3}}{3}a \\
|AB|=a\sqrt{3}$$

Wyznaczenie długości boku \(AC\):
$$sin30°=\frac{a}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{a}{|AC|} \quad\bigg/\cdot |AC| \\
a=\frac{1}{2}|AC| \quad\bigg/\cdot2 \\
|AC|=2a$$

B

Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych:
$$tgα=\frac{y}{x}$$

\(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\):
$$tgα=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$

D

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\
a=4$$

To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej.
Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą.
$$y=4x+b \\
4=4\cdot(-2)+b \\
4=-8+b \\
b=12$$

Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).

A

I sposób - wyznaczając równanie okręgu.
Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu.
To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\
(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu.
Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1;7)\) otrzymamy:
$$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\
(-3)^2+4^2=25 \\
9+16=25 \\
25=25 \\
L=P$$

To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów.

II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków.
Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)).
$$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\
|SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\
|SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
|SA|=\sqrt{9+16} \\
|SA|=\sqrt{25} \\
|SA|=5$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie jako \(a\) krawędź podstawy oraz \(3a\) jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny.



Krok 2. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej.
Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$2P_{p}+4P_{b}=140 \\
2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140 \\
2a^2+12a^2=140 \\
14a^2=140 \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro długość promienia podstawy oraz wysokość tego walca są sobie równe, to trójkąt \(SAO\) wygląda mniej więcej w ten sposób:



Naszym zadaniem jest wyznaczenie sinusa kąta \(α\). Tak naprawdę można byłoby na tym kroku zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo widzimy że jest to trójkąt równoramienny prostokątny, a więc kąt ostry musi mieć miarę \(α=45°\). Skoro tak, to możemy odczytać z tablic, że:
$$sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego, to można dotrzeć do tej wartości trochę dłuższym sposobem.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(d\).
Już po samym rysunku widzimy, że odcinek \(d\) jest tak jakby przekątną kwadratu o boku długości \(r\), zatem na pewno \(d=r\sqrt{2}\). Gdybyśmy o tym nie pamiętali, to zawsze możemy się jeszcze ratować Twierdzeniem Pitagorasa:
$$r^2+r^2=d^2 \\
2r^2=d^2 \\
d=\sqrt{2r^2} \\
d=r\sqrt{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości sinusa kąta \(OAS\).
Zgodnie z własnościami funkcji trygonometrycznych:
$$\require{cancel}
sinα=\frac{r}{d} \\
sinα=\frac{\cancel{r}}{\cancel{r}\sqrt{2}} \\
sinα=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

D

Do wzoru na objętość stożka potrzebujemy znać długość promienia podstawy. W treści zadania mamy podaną średnicę, zatem:
$$r=12:2=6$$

Teraz możemy podstawić wszystkie dane z treści zadania (\(r=6\), \(H=4\)) i obliczyć poszukiwaną objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\
V=\frac{1}{3}π\cdot6^2\cdot4 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot36\cdot4 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot144 \\
V=48π$$

D

Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11 \\
\frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8 \\
75+x=88 \\
x=13$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=24\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby \(24\). Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba \(24\):
$$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

\(x\in\langle0;9\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Oczywiście tę nierówność można obliczyć metodą delty, pamiętając tylko o tym, że w tym przypadku \(c=0\). Istnieje jednak znacznie prostsza metoda na wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy wielomian do zera i zapisujemy go w postaci iloczynowej:
$$8x^2-72x=0 \\
8x(x-9)=0 \\
8x=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a=8\) (czyli jest dodatni). Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym że kropki będą zamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem poprawnym rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle0;9\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\
=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\
=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\
=4^{2017}\cdot85= \\
=4^{2017}\cdot17\cdot5$$

Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias i zapiszesz liczbę np. w postaci \(4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono wykorzystując własności kątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):



Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).
Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:
$$β+γ=90° \\
γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:
$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\
δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:
$$δ+90°-β=180° \\
δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:
$$90°+β+δ+α=360° \\
90°+β+(90°+β)+α=360° \\
180°+2β+α=360° \\
α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz własności trójkątów równoramiennych i/lub stycznych do okręgu, zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku) poszczególne miary kątów powiązując je z kątami \(α\) oraz \(β\) (patrz: Krok 1 oraz 2.).
Uwaga: W zadaniu jest bardzo dużo dróg dojścia do uzasadnienia, możesz więc przyznać sobie 1 punkt także za zapisanie zupełnie innych relacji, byleby były one powiązane z kątami \(α\) oraz \(β\) i by prowadziły do ostatecznego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a=-\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na podstawie danych z treści zadania możemy naszkicować parabolę i spróbujmy zrobić to dość dokładnie, czyli tak aby przecięła nam oś igreków w punkcie \(y=\frac{3}{2}\) (bo \(f(0)=\frac{3}{2}\)) no i tak, żeby miała najwyższą wartość równą \(6\). I tu też ważna uwaga - skąd mamy wiedzieć, czy ramiona tej paraboli są skierowane do dołu czy do góry? Skoro funkcja kwadratowa przyjmuje jakąś największą wartość, no to jej wierzchołek musi być na samej górze paraboli, więc ramiona będą skierowane do dołu.



Dodatkowo zaznaczyłem na rysunku punkt \(S\). Jest to środek odcinka \(AB\). Przyda nam się on do zrozumienia tego jak obliczyć brakującą współrzędną wierzchołka.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Wiemy, że nasz wierzchołek ma współrzędne \(W=(p;6)\). Brakuje nam pierwszej współrzędnej, ale wiemy że będzie ona jednakowa jak współrzędna iksowa punktu \(S\), bo wierzchołek leży dokładnie nad punktem \(S\). Zatem współrzędna iksowa wierzchołka może zostać wyliczona ze wzoru na środek odcinka \(AB\):
$$p=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
p=\frac{-6+0}{2} \\
p=-3$$

To oznacza, że znamy już pełne współrzędne wierzchołka paraboli \(P=(-3;6)\).

Krok 3. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-(-3))^2+6 \\
f(x)=a(x+3)^2+6$$

Krok 4. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Do powyższego wzoru funkcji wystarczy już tylko podstawić współrzędne jednego ze znanych nam punktów (musi to być inny punkt niż wierzchołek). Podstawmy więc współrzędne punktu przecięcia się paraboli z osią igreków, czyli \((0;\frac{3}{2})\) i tym samym wyznaczymy poszukiwaną wartość współczynnika \(a\):
$$f(x)=a(x+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=9a+6 \\
\frac{3}{2}=9a+\frac{12}{2} \\
9a=-\frac{9}{2} \\
a=-\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) i zapiszesz, że \(q=6\).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie \(-\frac{Δ}{4a}=6\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej z podstawionymi współrzędnymi wierzchołka: \(y=a(x+3)^2+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi: \(a(-6)^2+b(-6)+c=\frac{3}{2}\) oraz \(a\cdot0-b\cdot0+c=\frac{3}{2}\) oraz \(-\frac{b^2-4ac}{4a}=6\),
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do równania z jedną niewiadomą np. \(\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że współczynnik \(b=3\) oraz \(c=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Obw=60cm\)

Krok 1. Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa.
Zgodnie z treścią zadania:
\(x\) - długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)
\(x+14\) - długość drugiej przyprostokątnej (w cm)
\(26\) - długość przeciwprostokątnej (w cm)

Możemy zatem ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$x^2+(x+14)^2=26^2 \\
x^2+x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x-480=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2+14x-240=0$$

Ostatni krok z podzieleniem obu stron przez \(2\) nie jest konieczny, ale dzięki temu będziemy bazować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=14,\;c=-240\)
$$Δ=b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot(-240)=196-(-960)=1156 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1156}=34$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14-34}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14+34}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, dlatego zostaje nam jedynie \(x=10\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długość \(10\), \(24\) oraz \(26\), zatem obwód tej figury jest równy:
$$Obw=10+24+26=60[cm]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą np. \(x^2+(x+14)^2=26^2\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań: \(a^2+b^2=26^2\) oraz \(x^2+(x+14)^2=26^2\).
ALBO
• Gdy odgadniesz wszystkie długości boków trójkąta: \(10, 24, 26\) oraz podasz obwód \(Obw=60\), ale nie uzasadnisz (np. Twierdzeniem Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
ALBO
• Gdy odgadniesz wszystkie długości boków trójkąta: \(10, 24, 26\) oraz podasz obwód \(Obw=60\) i uzasadnisz (np. Twierdzeniem Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.

\(a_{16}-a_{13}=9\)

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$

Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+r=11\) lub \(a_{2}=11\) lub \(a_{16}-a_{13}=3r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=34\frac{5}{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji i zaznaczmy w układzie współrzędnych dane z treści zadania:



Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(B\) (potrzebne będą do wyznaczenia długości podstawy) oraz współrzędne punktu \(C\) (potrzebne do wyznaczenia wysokości trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Wyznaczenie współrzędnych tego punktu jest stosunkowo dość proste, bo jest to tak naprawdę miejsce zerowe prostej \(k\) (tak wynika z treści zadania). Można więc powiedzieć, że \(B=(x;0)\) zatem podstawiając te współrzędne do prostej o równaniu \(y=-2x+10\) otrzymamy:
$$-2x+10=0 \\
-2x=-10 \\
x=5$$

To oznacza, że \(B=(5;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(M\).
Skoro znamy współrzędne obydwu tych punktów to możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej albo też zbudować prosty układ równań. Szybciej będzie chyba skorzystać ze wzoru:
$$(y-y_{A})(x_{M}-x_{A})-(y_{M}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-0)(2-(-4))-(9-0)(x-(-4))=0 \\
(y-0)(2+4)-9\cdot(x+4)=0 \\
(y-0)\cdot6-9\cdot(x+4)=0 \\
6y-9x-36=0 \\
6y=9x+36 \quad\bigg/:6 \\
y=\frac{3}{2}x+6$$

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Stworzymy układ równań składających się z dwóch prostych, których miejscem przecięcia się są właśnie współrzędne punktu \(C\).
\begin{cases}
y=-2x+10 \\
y=\frac{3}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymujemy:
$$-2x+10=\frac{3}{2}x+6 \quad\bigg/\cdot2 \\
-4x+20=3x+12 \\
-7x=-8 \\
x=\frac{8}{7}$$

Współrzędną \(y\) obliczmy podstawiając wartość \(x=\frac{8}{7}\) do jednego z równań:
$$y=-2\cdot\frac{8}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+\frac{70}{7} \\
y=\frac{54}{7}$$

Mamy zatem: \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\).

Krok 5. Obliczenie pola trójkąta.
Do obliczenia pola trójkąta potrzebujemy jeszcze poznać długości podstawy trójkąta i wysokości.
• Długość podstawy trójkąta: \(|AB|=5+4=9\) (wynika to bezpośrednio z rysunku - pięć jednostek z punktu \(A\) do środka układu współrzędnych plus cztery jednostki ze środka układu współrzędnych do punktu \(B\)).
• Wysokość trójkąta to tak naprawdę współrzędna igrekowa punktu \(C\), czyli \(H=\frac{54}{7}\).

Pole trójkąta jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot H \\
P=\frac{1}{2}\cdot9\cdot\frac{54}{7} \\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{486}{7} \\
P=\frac{243}{7}=34\frac{5}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(5;0)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{2}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AM\), czyli \(y=\frac{3}{2}x+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność między długościami odcinków \(CD\) oraz \(DA\) (gdzie punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się wysokości trójkąta z osią iksów): \(\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{3}{2}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\) (patrz: Krok 4.), ale nie obliczysz współrzędnych punktu \(B\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.) i zapiszesz równanie lub układ równań z którego można obliczyć współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, z którego można wyznaczyć wysokość trójkąta \(ABC\) np. \(\frac{h}{9-\frac{1}{2}h}=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz zarówno współrzędne punktu \(B\) jak i \(C\) (patrz: Krok 2. oraz 4.)
ALBO
• Gdy obliczysz przynajmniej drugą współrzędną punktu \(C\), czyli \(y_{c}=\frac{54}{7}\) (patrz: Krok 4.) oraz wyznaczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że wysokość trójkąta \(ABC\) to \(h=\frac{54}{7}\).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{9}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiorem zdarzeń elementarnych są wszystkie liczby dwucyfrowe, a tych mamy łącznie \(90\), zatem: \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będą w tym przypadku wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(3\), które są jednocześnie mniejsze od \(40\). Tymi liczbami będą:
$$\{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\}$$

Łącznie jest to \(10\) liczb, zatem: \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:
$$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\).
W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\):
$$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \\
1=\frac{1}{2}a \\
a=2$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:
$$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\sqrt{3}$$

Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to:
$$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\):
$$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \\
\frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \\
\frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \\
\frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \\
|SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \\
|SE|^2=\frac{209}{48} \\
|SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$

Krok 6. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \\
V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z którego da się wyliczy długość krawędzi podstawy np. \(\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|DE|=\frac{1}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(|EB|=\frac{2}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy: \(a=2\) (patrz: Krok 3.) oraz zapiszesz równanie prowadzące do obliczenia wysokości ostrosłupa np. wykorzystując układ równań albo Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 4.)
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\) lub \(H=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}\).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadania, ale otrzymasz niepoprawny wynik w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.