Matura – Matematyka – Czerwiec 2017 – Odpowiedzi

A

Opuszczając nawiasy wartości bezwzględnej otrzymamy:
$$|9-2|-|4-7|=|7|-|-3|=7-3=4$$

C

Jeżeli \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\), to znaczy że:
$$0,15a=0,1b \\
a=\frac{0,1}{0,15}b \\
a=\frac{10}{15}b \\
a=\frac{2}{3}b$$

Skoro iloczyn liczb \(a\) oraz \(b\) jest równy \(1350\), to:
$$a\cdot b=1350 \\
\frac{2}{3}b\cdot b=1350 \\
\frac{2}{3}b^2=1350 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
b^2=2025 \\
b=45 \quad\lor\quad b=-45$$

Z treści zadania wynika, że liczba \(b\) musi być dodatnia, a to oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(b=45\).

D

Nie mamy żadnych specjalnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że czterokrotnie dodano tą samą liczbę, czyli \(16^{24}\). W związku z tym:
$$16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}= \\
=4\cdot4^{48}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}$$

D

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{3}27-log_{3}1=log_{3}\frac{27}{1}=log_{3}27=3$$

B

Możemy wymnożyć każdą z odpowiedzi i sprawdzić kiedy otrzymamy wyrażenie z treści zadania:
Odp. A. \((x^3+1)(x^2-3)=x^5-3x^3+x^2-3\)
Odp. B. \((x^3-3)(x^3+1)=x^6+x^3-3x^3-3=x^6-2x^3-3\)
Odp. C. \((x^2+3)(x^4-1)=x^6-x^2+3x^4-3=x^6+3x^4-x^2-3\)
Odp. D. \((x^4+1)(x^2-3)=x^6-3x^4+x^2-3\)

Pożądany wynik otrzymaliśmy tylko w odpowiedzi B.

B

Podstawiając pod \(a\) oraz \(b\) liczby z treści zadania otrzymamy:
$$(b-a)^2=(\sqrt{75}-2\sqrt{3})^2=(\sqrt{25\cdot3}-2\sqrt{3})^2= \\
=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2=(3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27$$

C

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera:
$$21-\frac{7}{3}x=0 \\
21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7} \\
x=\frac{63}{7} \\
x=9$$

C

Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b \\
2x=1+b \\
x=\frac{1+b}{2}$$

Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b \\
2y=1-b \\
y=\frac{1-b}{2}$$

Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \\
1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \\
b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$

To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).

A

Do zadania można podejść na dwa sposoby:

I sposób:
Z treści zadania wynika, że dla \(x=-1\) oraz dla \(x=3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\). W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań:
$$\begin{cases}
1=(-1)^2-1b+c \\
1=3^2+3b+c
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
1=1-b+c \\
1=9+3b+c
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
-b+c=0 \\
3b+c=-8
\end{cases}$$

Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-4b=8 \\
b=-2$$

II sposób:
W treści podane mamy, że ta funkcja dla \(x=-1\) oraz \(x=3\) przyjmuje jednakową wartość. Znając kształt paraboli możemy wyciągnąć wniosek, że wierzchołek paraboli musi znaleźć się dokładnie po środku między tymi punktami. To oznacza, że możemy dość sprytnie wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli (czyli współrzędną \(p\)):
$$p=\frac{-1+3}{2} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

Ze wzorów z tablic maturalnych wiemy, że współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli możemy wyznaczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Wiemy już, że \(p=1\), a z treści zadania wynika, że \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie mamy żadnej liczby, czyli domyślnie \(a=1\)). W związku z tym podstawiając te dane do powyższego wzoru wyznaczymy bez przeszkód wartość poszukiwanego współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a} \\
1=\frac{-b}{2\cdot1} \\
1=\frac{-b}{2} \\
-b=2 \\
b=-2$$

C

Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$x(x-3)(x^2+25)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$

Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).

D

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe:
$$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \\
x=3 \quad\lor\quad x=7$$

Krok 2. Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{3+7}{2} \\
p=\frac{10}{2} \\
p=5$$

Krok 3. Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli.
Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem:
$$q=(5-3)(7-5) \\
q=2\cdot2 \\
q=4$$

W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).

C

Skoro punkt \(A=(2017;0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).

B

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym:
$$2a_{3}=a_{2}+a_{1}+1 \\
2(a_{1}+2r)=a_{1}+r+a_{1}+1 \\
2a_{1}+4r=2a_{1}+r+1 \\
3r=1 \\
r=\frac{1}{3}$$

B

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie pierwszych) wyrazów zachodzi równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawmy więc do tego trzy następujące po sobie wyrazy - najlepiej będzie wybrać wyraz drugi, trzeci i czwarty, bo ten czwarty jest znaną nam wartością liczbową. W związku z tym otrzymamy:
$${a_{3}}^2=a_{2}\cdot a_{4} \\
(4x^3)^2=2x^2\cdot8 \\
16x^6=16x^2 \quad\bigg/:16x^2 \\
x^4=1 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1$$

Skoro ciąg ma mieć wyrazy nieujemne, to zostaje nam że \(x=1\).

D

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1 \\
sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1 \\
\frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\
sin^2α=\frac{144}{169} \\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Kąt środkowy \(AOC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(ABC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji kąt środkowy będzie mieć miarę dwukrotnie większą, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot20°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CAO\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą promieniu okręgu. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę i to właśnie pozwoli nam wyznaczyć miarę kąta \(CAO\). Skoro \(|\sphericalangle AOC|=40°\), a suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to znaczy że:
$$|\sphericalangle CAO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Spójrzmy na kąt \(ABC\) i załóżmy że ma on miarę \(α\). O tym kącie wiemy, że jest dwukrotnie większy od poszukiwanego kąta \(φ\), czyli:
$$|\sphericalangle ABC|=α=2φ$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Znamy długości przyprostokątnej \(AC\) oraz \(BC\). Możemy więc posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi i wyznaczyć miarę kąta \(ABC\), który umownie oznaczyliśmy jako \(α\). Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{5}{3} \\
tgα\approx1,67$$

Z tablic matematycznych musimy odczytać dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość bliską \(1,67\). Z takich tablic wynika, że dla kąta \(59°\) tangens przyjmuje wartość \(1,6643\) i jest to najlepsze przybliżenie jakie możemy otrzymać, zatem możemy zapisać, że:
$$α\approx59°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(φ\).
Wiemy, że kąt \(α\) jest dwukrotnie większy od kąta \(φ\), zatem:
$$φ\approx59°:2\approx29,5°$$

W związku z tym prawidłową odpowiedzią jest nierówność \(25°\lt φ \lt30°\).

D

Krok 1. Zapisanie równania prostej.
Równanie prostej możemy opisać wzorem \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. Skoro nasza prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że przecina oś igreków dla \(y=0\). Stąd też płynie wniosek, że współczynnik \(b=0\), zatem równanie naszej prostej możemy zapisać jako \(y=ax\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Podstawiając do równania \(y=ax\) współrzędne punktu \(A\) obliczymy wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$y=ax \\
5=a\cdot(-10) \\
a=-\frac{5}{10} \\
a=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej prostopadłej.
Wiemy już, że nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem druga prosta będzie mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 \\
a=2$$

Teraz jak spojrzymy na odpowiedzi to widzimy, że tylko jedna prosta ma w swoim równaniu współczynnik \(a=2\) i jest to prosta z czwartej odpowiedzi.

A

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A'\) oraz \(B'\).
Jeżeli jakiś punkt poddamy symetrii osiowej względem osi iksów, to współrzędna iksowa tego punktu nie zmieni się, natomiast współrzędna igrekowa zmieni swój znak na przeciwny. W związku z tym:
$$A'=(-21,-11) \\
B'=(3,-17)$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(A'B'\).
Środek odcinka \(A'B'\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A'}+x_{B'}}{2};\frac{y_{A'}+y_{B'}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{S}=\frac{x_{A'}+x_{B'}}{2} \\
x_{S}=\frac{-21+3)}{2} \\
x_{S}=\frac{-18}{2} \\
x_{S}=-9 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A'}+y_{B'}}{2} \\
y_{S}=\frac{-11+(-17)}{2} \\
y_{S}=\frac{-11-17}{2} \\
y_{S}=\frac{-28}{2} \\
y_{S}=-14$$

To oznacza, że środek odcinka \(A'B'\) ma współrzędne \(S=(-9,-14)\).

D

Z własności figur podobnych wynika, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych figur. Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa jest równa \(k=\frac{5}{2}\) w związku z tym:
$$k^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2 \\
k^2=\frac{25}{4}$$

B

Krok 1. Zapisanie zależności między promieniem koła i wysokością trójkąta.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) możemy zapisać, że:
$$R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta.
Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:
$$P=πR^2 \\
\frac{1}{3}π^3=π\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \quad\bigg/:π \\
\frac{1}{3}π^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\
\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2\cdot3}{9} \\
\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
π^2=a^2 \\
a=π \quad\lor\quad a=-π$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok trójkąta nie może mieć ujemnej długości, zatem \(a=π\).

C

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Długość boku \(BC\) możemy obliczyć korzystając z tangensa:
$$tg30°=\frac{|BC|}{|AC|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|BC|}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
|BC|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są jednocześnie długościami podstawy i wysokości trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3} \\
P=2\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3} \\
P=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krąwędzi \(a\) ma przekątną długości \(d=a\sqrt{3}\), zatem zgodnie z treścią zadania:
$$a\sqrt{3}=6 \\
a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$

Możemy usunąć niewymierność z mianownika, ale jesteśmy w trakcie liczenia, więc nie musimy tego póki co robić (zwłaszcza, że za chwilę będziemy potęgować).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian, z których każda ma bok długości \(a=\frac{6}{\sqrt{3}}\), zatem:
$$P_{c}=6a^2 \\
P_{c}=6\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2 \\
P_{c}=6\cdot\frac{36}{3} \\
P_{c}=6\cdot12 \\
P_{c}=72$$

A

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru \(P=2πrh\), zatem podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$P=16π \\
2π\cdot2\cdot h=16π \\
4π\cdot h=16π \quad\bigg/:4π \\
h=4$$

A

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te rzuty, których iloczyn daje wynik większy od \(20\). To będą następujące sytuacje:
$$(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5), (4,6)$$

To oznacza, że tylko sześć przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

\(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)x\gt3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) \\
\left(x-\frac{1}{2}\right)x-3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0$$

Wbrew pozorom nie jest to postać iloczynowa z której łatwo moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe, bo w środku całego wyrażenia pojawia nam się odejmowanie. W związku z tym musimy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:
$$x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0 \\
x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x^2+x-\frac{3}{2}x-\frac{3}{6}\right)\gt0 \\
x^2-\frac{1}{2}x-3x^2-x+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\gt0 \\
-2x^2+\frac{1}{2}\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=0,\;c=\frac{1}{2}\)
$$Δ=b^2-4ac=0^2-4\cdot(-2)\cdot\frac{1}{2}=0-(-4)=0+4=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0-2}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0+2}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
$$x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(\frac{1}{4}\)

Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy:
$$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2} \\
(sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
1+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
2sinαcosα=\frac{3}{4}$$

Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że:
$$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
Gdy rozpisując lewą stronę równania otrzymasz \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\).
ALBO
• Gdy rozpisując prawą stronę równania skorzystasz z jedynki trygonometrycznej i zapiszesz, że \((sinα-cosα)^2=1-2sinαcosα\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(cosα=\frac{\sqrt{7}+1}{4} \lor cosα=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z własności trójkątów i funkcji trygonometrycznych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli trójkąt \(ADB\) jest równoramienny (a tak wynika z założeń), to znaczy że kąty przy boku \(AB\) mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt \(DBC\) będzie miał także tą samą miarę. Dlaczego? Skoro prosta \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\), to \(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle DBC|\). Całość na rysunku wyglądać będzie następująco:



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). W trójkącie suma kątów jest równa \(180°\). Jeden z kątów tego trójkąta już znamy i jest to kąt \(90°\). To oznacza, że na dwa pozostałe kąty zostaje nam \(180°-90°=90°\). Jeżeli przyjrzymy się rysunkowi to zauważymy, że pozostałe kąty mają łączną miarę \(α+2α=3α\). Zatem:
$$3α=90° \\
α=30°$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Dowodzenie możemy zakończyć na różne sposoby - przykładowo możemy zapisać, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem o kątach \(30°,60°,90°\), zatem z własności tego trójkąta wynika, że jeżeli przyprostokątną DC oznaczymy jako \(a\), to przeciwprostokątna \(BD\) jest równa \(2a\), czyli zajdzie równość \(|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|\).

Jeszcze lepiej zakończenie dowodzenia będzie wyglądać jak skorzystamy po prostu z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
$$sin30°=\frac{|CD|}{|DB|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|CD|}{|DB|} \quad\bigg/\cdot |DB| \\
|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz jednakowe miary trzech kątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wykazano sprowadzając potęgi do jednakowego wykładnika.

Aby porównać ze sobą te dwie liczby stojące po obu stronach nierówności musimy sprowadzić je albo do wspólnej podstawy potęgi, albo do wspólnego wykładnika potęgi. Znacznie łatwiej będzie dojść do wspólnego wykładnika potęgi:
$$(1,5)^{100}\lt6^{25} \\
(1,5)^{4\cdot25}\lt6^{25} \\
(1,5^4)^{25}\lt6^{25} \\
5,0625^{25}\lt6^{25}$$

Podstawa potęgi po lewej stronie jest mniejsza niż po prawej, zatem nierówność jest na pewno prawdziwa.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz jednakowe miary trzech kątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(r=2\)

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30 \\
30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30 \\
1=\frac{a_{1}+30}{2} \\
2=a_{1}+30 \\
a_{1}=-28$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{30}=a_{1}+(30-1)r \\
a_{30}=a_{1}+29r \\
30=-28+29r \\
58=29r \\
r=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|A|=154\)

Krok 1. Ustalenie kiedy iloczyn liczb jest liczbą parzystą.
Zastanówmy się co się musi stać, aby iloczyn dwóch liczb dał liczbę parzystą.
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby nieparzyste, to otrzymany wynik jest nieparzyty (np. \(3\cdot5=15\)).
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby parzyste, to otrzymany wynik jest parzyty (np. \(2\cdot6=12\)).
Kiedy mnożymy przez siebie liczbę parzystą i nieparzystą, to otrzymany wynik jest parzysty (np. \(5\cdot6=30\)).

W związku z tym interesować nas będą wszystkie pary w których:
a) pierwsza i druga liczba są parzyste
b) pierwsza liczba jest parzystą, a druga jest nieparzysta
c) pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga jest parzysta

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy ile jest możliwych kombinacji wylosowania dwóch liczb parzystych. W zbiorze mamy \(7\) liczb parzystych i \(8\) nieparzystych. Ważną informacją jest to, że losowanie odbywa się bez zwracania piłki. W związku z tym jak wylosujemy jedną z siedmiu parzystych liczb, to potem możemy wylosować jedną z sześciu parzystych liczb. Zatem zgodnie z regułą mnożenia możliwości otrzymania dwóch liczb parzystych będziemy mieć:
$$|A_{1}|=7\cdot6=42$$

Teraz ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby parzystej, a potem nieparzystej. Jak w pierwszym losowaniu wybierzemy jedną z siedmiu liczb parzystych, to w kolejnym możemy natrafić na jedną z ośmiu liczb nieparzystych (bo odrzucona liczba będzie parzysta), zatem zgodnie z regułą mnożenia:
$$|A_{2}|=7\cdot8=56$$

I na koniec ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby nieparzystej, a potem parzystej. Tu będzie dość podobnie jak przed chwilą - jak w pierwszym losowaniu trafimy na jedną z ośmiu liczb nieparzystych, to potem możemy trafić na jedną z siedmiu liczb parzystych (bo odrzucona liczba będzie nieparzysta):
$$|A_{3}|=8\cdot7=56$$

Teraz dodajemy do siebie te wszystkie kombinacje i wychodzi nam, że wszystkich zdarzeń sprzyjających jest:
$$|A|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}| \\
|A|=42+56+56 \\
|A|=154$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz przynajmniej jedną z trzech składowych zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=25\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku \(2:3\), to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Spójrzmy przykładowo na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej \(x\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.
$$(2x)^2+(3x)^2=(\sqrt{26})^2 \\
4x^2+9x^2=26 \\
13x^2=26 \\
x^2=2 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty \(ACD\) oraz \(ABC\). Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu.

W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą \(3x+2x=5x\). Skoro \(x=\sqrt{2}\), to już wiemy, że ta podstawa ma długość \(a=5\sqrt{2}\). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie \(ACD\) wysokość wynosi ona \(2x\) (czyli \(h=2\sqrt{2}\)), a dla trójkąta \(ABC\) wysokość jest równa \(3x\) (czyli \(h=3\sqrt{2}\)). W związku z tym:
$$P=P_{ACD}+P_{ABC} \\
P=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+\frac{1}{2}\cdot15\cdot2 \\
P=10+15 \\
P=25$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz na rysunku (lub zapiszesz) poprawnie relację pomiędzy długościami części przekątnych np. \(2x\) oraz \(3x\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(x\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz pole trapezu jako pole dwóch trójkątów (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że podstawa trójkąta (czyli przekątna trapezu) ma miarę \(a=5\sqrt{2}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że podstawy trapezu mają miarę \(|AB|=6\) oraz \(|CD|=4\), a wysokość trapezu jest równa \(h=5\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie całą sytuację, tak aby było łatwiej zrozumieć co musimy policzyć:



Z rysunku powinniśmy wywnioskować, że kluczem do sukcesu będzie odnalezienie współrzędnych punktu \(D\), który jest środkiem odcinka \(BC\) (wiemy że jest środkiem, bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). Aby jednak tego dokonać, musimy poznać równanie prostej \(BC\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prostą \(BC\) możemy wyrazić równaniem \(y=ax+b\). Aby poznać pełen wzór, to musimy obliczyć wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). O prostej \(BC\) wiemy, że jest prostopadła do prostej \(AD\), zatem iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(BC\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów przechodzących przez tą prostą, czyli punktu \(B=(14;-8)\):
$$y=-2x+b \\
-8=-2\cdot14+b \\
-8=-28+b \\
b=20$$

W ten oto sposób udało nam się wyznaczyć równanie prostej \(BC\) i jest to \(y=-2x+20\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(BC\) oraz \(AD\), zatem współrzędne tego punktu będą rozwiązaniem układu równań składającego się ze wzorów tych dwóch prostych:
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-7 \\
y=-2x+20
\end{cases}$$

Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-7=-2x+20 \\
\frac{5}{2}x=27 \\
5x=54 \\
x=\frac{54}{5}$$

Znamy już współrzędną iksową punktu \(D\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając do jednego z równań wyliczonego przed chwilą iksa:
$$y=-2x+20 \\
y=-2\cdot\frac{54}{5}+20 \\
y=-\frac{108}{5}+20 \\
y=-\frac{8}{5}$$

To oznacza, że \(D=\left(\frac{54}{5};-\frac{8}{5}\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Ustaliliśmy już, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\). Środek odcinka \(BC\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2};\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne środka \(D\) oraz punktu \(B\) obliczymy współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{D}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2} \\
\frac{54}{5}=\frac{14+x_{C}}{2} \\
\frac{108}{5}=14+x_{C} \\
x_{C}=\frac{38}{5} \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2} \\
-\frac{8}{5}=\frac{-8+y_{C}}{2} \\
-\frac{16}{5}=-8+y_{C} \\
y_{C}=\frac{24}{5}$$

Zatem poszukiwane przez nas współrzędne punktu \(C\) są następujące: \(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=16\sqrt{3}+64\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości:



Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości.

Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Odcinek \(AC\) oznaczony na rysunku jako \(c\) jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych.
$$cos30°=\frac{c}{8} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{8} \\
c=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
c=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość \(CC'\) oznaczoną jako \(h\) możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że:
$$sin30°=\frac{h}{8} \\
\frac{1}{2}=\frac{h}{8} \\
h=4$$

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy.
Teraz spójrzmy na trójkąt \(BDD'\). Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok \(BD\) oznaczony symbolem \(d\). Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\)). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że:
$$d=h=4$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot d \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4 \\
P_{p}=2\sqrt{3}\cdot4 \\
P_{p}=8\sqrt{3}$$

Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem:
$$|CE|=\frac{1}{2}\cdot c \\
|CE|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3} \\
|CE|=2\sqrt{3} \\
\quad \\
|DE|=\frac{1}{2}d \\
|DE|=\frac{1}{2}\cdot4 \\
|DE|=2$$

Skoro tak, to odcinek \(DC\), oznaczony symbolem \(a\), który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|CE|^2+|DE|^2=a^2 \\
(2\sqrt{3})^2+2^2=a^2 \\
4\cdot3+4=a^2 \\
12+4=a^2 \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (\(P_{p}=8\sqrt{3}\)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach \(4\times4\). Zatem:
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot8\sqrt{3}+4\cdot4\cdot4 \\
P_{c}=16\sqrt{3}+64$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(AC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(BD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.