Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2022 – Odpowiedzi

D

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{(2^3)^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$

A

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}32-log_{2}8=log_{2}\left(\frac{32}{8}\right)=log_{2}4=2$$

D

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2= \\
=25-20\sqrt{3}+4\cdot3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$

D

Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce

B

Gdybyśmy wymnożyli te wszystkie nawiasy i uporządkowali zapis, to powstanie nam równanie trzeciego stopnia, którego raczej samodzielnie (na poziomie podstawowym) nie damy rady rozwiązać.

Do zadania można byłoby więc podejść nieco inaczej. Przykładowo można byłoby podstawić każdą z proponowanych odpowiedzi i sprawdzić, kiedy lewa strona równania będzie równa stronie prawej. Najlepszym jednak sposobem będzie dostrzeżenie, że w nawiasach mamy tą samą wartość, czyli \(x+1\), co pozwoli nam na rozwiązanie tego w następujący sposób:
$$5(x+1)-x^2(x+1)=0 \\
(5-x^2)\cdot(x+1)=0$$

Teraz postępujemy tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$5-x^2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
x^2=5 \quad\lor\quad x=-1 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-1$$

Samo równanie ma więc trzy rozwiązania, a w proponowanych odpowiedziach znalazła się odpowiedź \(x=-1\).

C

Zaczynając od mnożenia obu stron przez \(4\), otrzymamy:
$$\frac{8x-3}{4}\gt6x \quad\bigg/\cdot4 \\
8x-3\gt24x \\
-16x-3\gt0 \\
-16x\gt3 \quad\bigg/:(-16) \\
x\lt-\frac{3}{16}$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez \(-16\), należało zmienić znak nierówności na przeciwny (to największa pułapka w tym zadaniu).

To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\).

B

W tym zadaniu musimy postąpić tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera. W związku z tym:
$$2x-1=0 \quad\lor\quad 2x-2=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
2x=1 \quad\lor\quad 2x=2 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-2$$

Suma rozwiązań tego równania wynosi więc:
$$\frac{1}{2}+1+(-2)=-\frac{1}{2}$$

D

Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1 \\
2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1 \\
2=m^2-3-m^2+m+1 \\
2=-2+m \\
m=4$$

B

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik \(a\) (czyli liczba znajdująca się przed iksem) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=2m-5\), więc funkcja będzie rosnąca dla:
$$2m-5\gt0 \\
2m\gt5 \\
m\gt2,5$$

A

Krok 1. Zapisanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Z treści zadania wynika, że nasza funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry (przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba, więc współczynnik \(a=1\)) i że przyjmuje ona najmniejszą wartość \(y=4\) dla argumentu \(x=2\). W przypadku tej funkcji kwadratowej ta najmniejsza wartość musi być przyjmowana w wierzchołku \(W=(p;q)\), a to oznacza, że \(W=(2;4)\).


Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Skorzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(p=\frac{-b}{2a}\). Podstawiając do tego wzoru \(p=2\) oraz \(a=1\), otrzymamy:
$$2=\frac{-b}{2\cdot1} \\
2=\frac{-b}{2} \\
4=-b \\
b=-4$$

Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Znając wartość współczynnika \(b\), możemy wrócić do wzoru naszej funkcji i podstawić do niej wszystkie znane nam dane, otrzymując:
$$4=2^2-4\cdot2+c \\
4=4-8+c \\
4=-4+c \\
c=8$$

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc wyznaczenie miejsc zerowych będzie bardzo proste, ponieważ wystarczy sprawdzić, kiedy \(-2(x-2)(x+1)=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, a dokonamy tego przyrównując wartości w nawiasach do zera. Zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Podana funkcja ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-2\). To oznacza, że funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż do wierzchołka, co dobrze wyjaśni poniższy rysunek:


Musimy zatem wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, a w tym celu posłużymy się jedną z własności parabol - wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, zatem:
$$p=\frac{2+(-1)}{2} \\
p=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że funkcja jest rosnąca w zbiorze \((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\).

B

Zapis \(g(x)=f(x-1)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) jest przesunięciem funkcji \(f(x)\) o \(1\) jednostkę w prawo. To oznacza, że dziedziną tej funkcji będzie zbiór \(\langle-1;6)\).

C

Aby sprawdzić, czy liczba \(10\) jest wyrazem naszych ciągów, musimy rozwiązać równania \(3n=10\) oraz \(4n-2=10\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy wynik będący liczbą naturalną (bo w ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera - mamy to zresztą zapisane w treści zadania). W związku z tym:

Ciąg \(a_{n}\):
$$3n=10 \\
n=3\frac{1}{3}$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) nie jest wyrazem ciągu.

Ciąg \(b_{n}\):
$$4n-2=10 \\
4n=12 \\
n=3$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) jest wyrazem ciągu (i możemy dodać, że jest to trzeci wyraz tego ciągu).

D

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q \\
a_{1}=2:2 \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2} \\
S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1} \\
S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1} \\
S_{5}=1\cdot31 \\
S_{5}=31$$

C

Spójrzmy na pierwszą część zadania. Wynika z niej, że trzy maszyny wyprodukują \(1200\) guzików w dwie godziny, czyli wyprodukują one \(1200:2=600\) guzików na godzinę. To oznacza, że "wydajność" każdej z maszyn to \(200\) guzików na godzinę.

To z kolei oznacza, że pięć takich maszyn będzie w stanie wyprodukować \(5\cdot200=1000\) guzików w ciągu jednej godziny.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trójkąt długości boków z treści zadania (musimy przy okazji uważać na oznaczenia, tak aby przeciwprostokątną był bok \(AB\)), otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).
Znamy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, więc obliczymy brakującą długość przyprostokątnej korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|BC|^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \\
|BC|^2+36=9\cdot5 \\
|BC|^2+36=45 \\
|BC|^2=9 \\
|BC|=3 \quad\lor\quad |BC|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BC|=3\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\).
Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta, względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku oznacza to, że:
$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|} \\
tg\alpha=\frac{3}{6} \\
tg\alpha=\frac{1}{2}$$

A

Do zadania można podejść na różne sposoby. Ciekawym podejściem byłoby chociażby skorzystanie z tablic trygonometrycznych i sprawdzenie, czy dla podanych wartości sinusa i cosinusa odczytamy tą samą miarę kąta. Możemy to też sprawdzić na trójkącie prostokątnym (tu trzeba byłoby zweryfikować za pomocą twierdzenia Pitagorasa, czy dane długości boków w ogóle są możliwe). A najłatwiej jest chyba to sprawdzić korzystając z jedynki trygonometrycznej. Jeśli istnieje dany kąt \(\alpha\), to \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) będzie równe \(1\).

Odp. A.
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$

Otrzymany wynik nie jest równy 1, co oznacza, że taki kąt \(\alpha\) nie istnieje.

Odp. B.
$$\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=\frac{169}{169}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

Odp. C.
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

Odp. D.
$$\left(\frac{9}{15}\right)^2+\left(\frac{12}{15}\right)^2=\frac{81}{225}+\frac{144}{225}=\frac{225}{225}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta BSC.
Skoro przekątna \(BC\) jest dwusieczną kąta, to kąt \(ABC\) będzie miał miarę \(20°\). Tym samym powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ASC\).
Kąt \(ASC\) jest kątem środkowym, który oparty jest na tym samym łuku co znany nam kąt wpisany o mierze \(20°\). To oznacza, że miara tego kąta będzie dwa razy większa, czyli:
$$|\sphericalangle ASC|=2\cdot20°=40°$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(SAB\).
Trójkąt \(ABS\) jest równoramienny (ramiona są promieniami okręgu), w którym podstawą jest bok \(AB\). W takich trójkątach kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc skoro kąt między ramionami ma \(100°\), to na dwa pozostałe kąty zostaje nam \(180°-100°=80°\). To oznacza, że każdy z kątów przy podstawie ma \(80°:2=40°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Styczna do okręgu zawsze tworzy z promieniem okręgu kąt prosty. Skoro więc kąt \(SAB\) ma miarę \(40°\), to \(\alpha=90°-40°=50°\).

B

W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole równoległoboku (czyli także prostokąta), który znajduje się w tablicach maturalnych:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin\gamma$$

gdzie \(AC\) oraz \(BD\) to przekątne prostokąta, a \(\gamma\) to kąt ostry między tymi przekątnymi.

W przypadku prostokąta przekątne mają jednakową długość (nazwijmy ją \(d\)), a kąt w treści zadania jest oznaczony jako \(\alpha\), więc moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot sin\alpha$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$16=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot0,2 \\
16=0,1\cdot d^2 \\
d^2=160 \\
d=\sqrt{160} \quad\lor\quad d=-\sqrt{160}$$

Długość przekątnej musi być dodatnia, więc zostaje nam \(d=\sqrt{160}\). Takiej odpowiedzi nie mamy w proponowanych, a to dlatego, że z tego pierwiastka da się jeszcze wyłączyć całość:
$$d=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$

B

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), a druga ma \(a=2m-1\), zatem:
$$\frac{2}{3}\cdot(2m-1)=-1 \\
\frac{4}{3}m-\frac{2}{3}=-1 \\
\frac{4}{3}m=-\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
m=-\frac{3}{12} \\
m=-\frac{1}{4}$$

A

Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości, więc środek przekątnej \(BD\) będzie w tym samym miejscu co środek przekątnej \(AC\). Korzystając zatem ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych, możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{-3+4}{2}\right) \\
S=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu \(D\), tak aby potem obliczyć długość przekątnej \(BD\), ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji:


Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków \(A\) oraz \(C\), możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-6+10}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right) \\
S=(2;1)$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej).
Odcinek \(BS\) to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{(2-5)^2+(1-7)^2} \\
|BS|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} \\
|BS|=\sqrt{9+36} \\
|BS|=\sqrt{45} \\
|BS|=3\sqrt{5}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna \(BD\) będzie dwa razy większa od odcinka \(BS\), zatem:
$$|BD|=2\cdot3\sqrt{5} \\
|BD|=6\sqrt{5}$$

B

Aby poznać równanie poszukiwanej prostej, musimy przed tym równaniem postawić znak minus (ale tu uwaga - musimy ten minus podstawić przed całym wyrażeniem, więc \(2x+5\) trzeba będzie wziąć w nawias). To oznacza, że obrazem w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) będzie prosta o równaniu \(y=-(2x+5)\), czyli \(y=-2x-5\).

C

Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi oraz \(n+2\) ścian. Skoro stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\), to:
$$3\cdot3n=7(n+2) \\
9n=7n+14 \\
2n=14 \\
n=7$$

To oznacza, że podstawą tego graniastosłupa jest siedmiokąt.

C

Krok 1. Obliczenie sumy liczb \(a, b, c, d\).
Jeżeli średnia czterech liczb jest równa \(20\), to suma tych liczb będzie równa \(4\cdot20=80\). Możemy to też zapisać, korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:
$$śr=\frac{a+b+c+d}{4} \\
20=\frac{a+b+c+d}{4} \\
a+b+c+d=80$$

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej nowego zestawu.
Nowa średnia arytmetyczna będzie wynosić:
$$śr=\frac{a-10+b+30+c+d}{4} \\
śr=\frac{(a+b+c+d)+20}{4} \\
śr=\frac{80+20}{4} \\
śr=\frac{100}{4} \\
śr=25$$

D

Sprawdźmy, jakie mamy możliwości uzupełnienia cyfr setek, dziesiątek i jedności takiej trzycyfrowej liczby.
· W rzędzie setek możemy mieć cyfry \(4, 6\) oraz \(8\) (cyfra \(2\) odpada, bo wtedy liczba będzie mniejsza od \(300\)), czyli mamy \(3\) możliwości.
· W rzędzie dziesiątek możemy mieć cyfry \(2, 4, 6, 8\) oraz \(0\), czyli mamy \(5\) możliwości.
· W rzędzie jedności możemy mieć cyfry \(2, 4, 6, 8\) oraz \(0\), czyli mamy \(5\) możliwości.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, takich liczb trzycyfrowych będziemy mieć \(3\cdot5\cdot5\).

C

Pierwszy rzut nie ma żadnego wpływu na rzut drugi. W związku z tym w drugim rzucie mamy standardowo \(6\) zdarzeń elementarnych (bo może wypaść \(1,2,3,4,5,6\)) i mamy \(2\) zdarzenia sprzyjające (podzielne przez \(3\) są zarówno \(3\) jak i \(6\)). To oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia tej sytuacji jest równe:
$$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

\(x\in(-\infty; -\frac{1}{3}\rangle\cup \langle3;+\infty)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie należy zacząć od przekształcenia nierówności, tak aby po prawej stronie otrzymać zero. Odejmując obustronnie \(3\), otrzymamy:
$$3x^2-8x\ge3 \\
3x^2-8x-3\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych, korzystając z tradycyjnej delty.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-8,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=64-(-36)=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-10}{2\cdot3}=\frac{8-10}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+10}{2\cdot3}=\frac{8+10}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczając na osi obliczone miejsca zerowe, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Patrzymy się zatem co znajduje się nad osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie \(x\in(-\infty; -\frac{1}{3}\rangle\cup \langle3;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(-2,2,6\)

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro drugi wyraz ciągu jest równy \(y-4\), a trzeci jest równy \(y\), to różnica tego ciągu jest równa \(4\). Możemy do tego dojść też w bardziej matematyczny sposób:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=y-(y-4) \\
r=y-y+4 \\
r=4$$

Krok 2. Zapisanie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu jest zapisany jako niewiadoma \(x\). Spróbujmy teraz zapisać ten wyraz przy użyciu niewiadomej \(y\), tak aby potem móc ułożyć równanie z jedną niewiadomą. Skoro różnica ciągu to \(r=4\) oraz \(a_{2}=y-4\), to:
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=y-4-4 \\
a_{1}=y-8$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości wszystkich wyrazów ciągu.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(6\), zatem:
$$(y-8)+(y-4)+y=6 \\
3y-12=6 \\
3y=18 \\
y=6$$

Obliczona wartość to trzeci wyraz naszego ciągu, czyli \(a_{3}=6\). To oznacza, że:
$$a_{2}=y-4=6-4=2 \\
a_{1}=y-8=6-8=-2$$

To oznacza, że wyrazami tego ciągu są kolejno \(-2\), \(2\) oraz \(6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania z niewiadomymi \(x\) oraz \(y\) np. \((y-4)-x=y-(y-4)\) oraz \(x+(y-4)+y=6\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0 \\
a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0 \\
(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.

Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0 \\
2(a-b)^2+3b^2\gt0$$

I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(2(a-b)^2+3b^2\gt0\) lub \(a^2+(a-2b)^2+b^2\gt0\) i nie uzasadnisz, dlaczego ta nierówność jest poprawna.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(-3\) oraz \(2\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Równanie ma w mianowniku niewiadomą \(x\), więc musimy zapisać odpowiednie założenia. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość mianownika musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania, a zaczniemy od wymnożenia obydwu stron przez \(x+2\), otrzymując:
$$\frac{4}{x+2}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\
4=(x-1)\cdot(x+2) \\
4=x^2+2x-x-2 \\
4=x^2+x-2 \\
x^2+x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 4. Weryfikacja wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\), ale musimy jeszcze sprawdzić, czy te rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W tym przypadku wszystko jest w porządku, żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, więc możemy stwierdzić, że podane równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|EF|=18\)

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny o boku długości \(a=24\). Korzystając ze wzoru na wysokość takiego trójkąta, wyjdzie nam, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\sqrt{3}}{2} \\
h=12\sqrt{3}$$

Tym samym możemy zapisać, że \(|CD|=12\sqrt{3}\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DS\) oraz \(AD\).
Środek wysokości \(S\) dzieli wysokość \(CD\) na dwie równe części, zatem długość odcinka \(DS\) będzie równa:
$$|DS|=12\sqrt{3}:2 \\
|DS|=6\sqrt{3}$$

Dodatkowo możemy od razu policzyć długość odcinka \(AD\). W trójkątach równobocznych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem:
$$|AD|=24:2 \\
|AD|=12$$



Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\), to trójkąty \(ADC\) oraz \(EDS\) są trójkątami podobnymi. Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DS|}{|ED|} \\
\frac{12\sqrt{3}}{12}=\frac{6\sqrt{3}}{|ED|}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$12\sqrt{3}\cdot|ED|=12\cdot6\sqrt{3} \\
|ED|=6$$

Ewentualnie można do tematu podejść jeszcze inaczej, korzystając ze skali podobieństwa. Spójrzmy na trójkąty prostokątne \(ADC\) oraz \(EDS\). Są to trójkąty podobne w skali podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) (bo wysokość \(SD\) jest dwa razy mniejsza od wysokości \(CD\)). Skoro tak, to dolna przyprostokątna \(ED\) jest dwa razy krótsza od przyprostokątnej \(AD\), więc:
$$|ED|=k\cdot|AD| \\
|ED|=\frac{1}{2}\cdot12=6$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(EF\).
Spójrzmy na trójkąt \(EBF\). Jest on trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\), a więc też jest on równoboczny. Z dotychczasowych obliczeń wynika, że \(|ED|=6\) oraz \(|DB|=12\), a więc \(|EB|=6+12=18\). To oznacza, że długość wszystkich boków tego trójkąta ma długość \(18\), czyli tym samym \(|EF|=18\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przynajmniej jednego z kluczowych odcinków (patrz: Krok 1., 2. oraz 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(p=\frac{12}{25}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest ze zwracaniem (czyli można wylosować dwa razy tą samą liczbę). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie wylosowanie pary, której iloczyn da wynik ujemny. Ujemny wynik otrzymamy tylko wtedy, gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia (lub na odwrót). Wypiszmy zatem interesujące nas zdarzenia:
$$(-5;1), (-5;2), (-5;3), \\
(-4;1), (-4;2), (-4;3), \\
(1;-5), (2;-5), (3;-5), \\
(1;-4), (2;-4), (3;-4).$$

To oznacza, że \(12\) par spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{b}=504\sqrt{3}\) oraz \(V=1296\sqrt{3}\)

Krok 1. Obliczenie długości boków podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(BCD\), w którym znamy długość przeciwprostokątnej. Jeśli długość boku \(BC\) oznaczymy jako \(x\), to zgodnie z treścią zadania bok \(CD\) będzie mieć długość \(x+3\).


Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(x+3)^2=15^2 \\
x^2+x^2+6x+9=225 \\
2x^2+6x=216 \\
2x^2+6x-216=0 \\
x^2+3x-108=0$$

Tak na marginesie, nie ma konieczności dzielenia całego równania przez \(2\) (tak jak ja to zrobiłem na samym końcu), ale dzięki temu później będziemy mieć mniejsze liczby.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc rozwiążemy je przy pomocy delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=-108\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-108)=9-(-432)=441 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9$$

Krok 3. Obliczenie długości \(BC\) oraz \(CD\).
Wyszło nam, że rozwiązaniem równania jest \(x=-12\) oraz \(x=9\), ale oczywiście ujemny wynik musimy odrzucić, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam \(x=9\), czyli tym samym (zgodnie z oznaczeniami) \(|BC|=9\) oraz \(|CD|=9+3=12\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(DCG\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długość dolnej przyprostokątnej \(|CD|=9+3=12\) i znamy miarę kąta ostrego \(|\sphericalangle CDG|=60°\). Chcąc obliczyć wysokość graniastosłupa (czyli bok \(CG\)) możemy więc wykorzystać funkcje trygonometryczne, a konkretnie tangensa:
$$tg60°=\frac{H}{12} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{12} \\
H=12\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie miary krawędzi graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej stanowią dwa prostokąty o wymiarach \(9\times12\sqrt{3}\) i dwa prostokąty o wymiarach \(12\times12\sqrt{3}\), zatem:
$$P_{b}=2\cdot9\cdot12\sqrt{3}+2\cdot12\cdot12\sqrt{3} \\
P_{b}=216\sqrt{3}+288\sqrt{3} \\
P_{b}=504\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Celem zadania jest także obliczenie objętości, zatem:
$$V=9\cdot12\cdot12\sqrt{3} \\
V=1296\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą w oparciu o twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość jednej z krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie objętość graniastosłupa (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.