Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2018 – Odpowiedzi

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10 \\
x=20180zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$

Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$

A

Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt{2^\frac{1}{3}}=(2^\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{6}}$$

A

Najprościej to zadanie rozwiążemy rozpisując całą sytację w następujący sposób:
$$\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}}=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$

D

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{4}96-log_{4}6=log_{4}\frac{96}{6}=log_{4}16=2$$

B

I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.
Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:

Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)
$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$
W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).

Odp. B. Dla \(a=1\)
$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$
Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.

II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.
Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:
Lewa strona równania:
$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$

Prawa strona równania:
$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$

Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).

B

Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.

Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to musimy zapisać założenia do naszego równania, tak aby mianownik tego ułamka nie był równy zero. W związku z tym:
$$3(x+2)\neq0 \\
x+2\neq0 \\
x\neq-2$$

W tym konkretnym zadaniu zapisanie założeń nie przyda nam się do dalszej części zadania, ale bardzo często w takich zadaniach jakieś rozwiązanie będzie się wykluczać z założeniami i pewne wyniki będziemy musieli wykluczać. Stąd też dobrze jest nabrać wprawy i zapisywać takie założenia zawsze w tego typu zadaniach.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Tego typu równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9} \\
9\cdot(x-2)=3(x+2) \\
9x-18=3x+6 \\
6x=24 \\
x=4$$

Rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem \(x=4\).

C

Funkcja \(g(x)=f(-x)\) jest lustrzanym odbiciem funkcji \(f(x)\) względem osi igreków. Musimy więc najpierw narysować funkcję wykładniczą \(f(x)=3^x\), a potem narysować jej pożądane przekształcenie. Aby narysować wykres funkcji \(f(x)=3^x\) wystarczy obliczyć wartości dla kilku kluczowych argumentów, np.:
Dla \(x=-2\) otrzymamy \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
Dla \(x=-1\) otrzymamy \(3^{-1}=\frac{1}{3}\)
Dla \(x=0\) otrzymamy \(3^0=1\)
Dla \(x=1\) otrzymamy \(3^1=3\)
Dla \(x=2\) otrzymamy \(3^2=9\)

Teraz możemy narysować funkcję \(f(x)\) oraz jej odbicie względem osi igreków, czyli \(g(x)\).



Z rysunku możemy odczytać, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i ma on współrzędne \((0;1)\).

D

Aby poznać współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne znanego nam punktu do wzoru funkcji. Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) otrzymamy:
$$y=2\sqrt{3}x+b \\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b \\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}+b \quad\bigg/-2\sqrt{3} \\
b=-\sqrt{3}$$

D

Współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że współczynnik \(a=1\), natomiast \(b=-2\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Chcąc skorzystać ze wzoru na współrzędną \(q\) musimy najpierw policzyć deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$

W związku z tym:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-48}{4\cdot1} \\
q=-12$$

Mogliśmy też wyznaczyć współrzędną \(q\) nieco szybciej. Skoro znamy już współrzędną \(p=1\), to wystarczy podstawić do wzoru funkcji pod iksa jedynkę i zobaczyć jaką wartość przyjmuje ta funkcja właśnie dla jedynki. Otrzymamy wtedy:
$$q=1^2-2\cdot1-11 \\
q=1-2-11 \\
q=-12$$

To oznacza, że wierzchołek na współrzędne \(W=(1;-12)\).

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Musimy na początek wyznaczyć miejsca zerowe naszej funkcji. Funkcja przedstawiona jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. W związku z tym:
$$-3(x-2)(x-9)=0 \\
x-2=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Obliczenie sumy miejsc zerowych.
Obliczyliśmy przed chwilą, że funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x=2 \lor x=9\). Z odpowiedzi wynika, że te dwa wyniki musimy zsumować, zatem:
$$x_{1}+x_{2}=2+9=11$$

D

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \\
f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$

To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).

A

Korzystając ze własności ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{4}-r \\
a_{5}=a_{4}+r$$

W związku z tym:
$$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 \\
a_{4}-r+a_{4}+a_{4}+r=15 \\
3a_{4}=15 \\
a_{4}=5$$

B

Krok 1. Zapisanie równania.
Między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru otrzymamy:
$$(x+4)^2=x\cdot16 \\
x^2+8x+16=16x \\
x^2-8x+16=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Jeżeli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to możemy zauważyć że \(x^2-8x+16\) jest równe tak naprawdę \((x-4)^2\). Otrzymanie takiej postaci pozwoliłoby nam bardzo szybko obliczyć rozwiązanie równania, bo otrzymalibyśmy wtedy:
$$(x-4)^2=0 \\
x-4=0 \\
x=4$$

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tutaj wzoru skróconego mnożenia, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczenie delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$

Delta wyszła równa zero, zatem otrzymamy tylko jedno rozwiązanie:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(sinα\).
Funkcją trygonometyczną opisującą stosunek między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej jest sinus. W związku z tym:
$$sinα=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
sinα\approx\frac{1,73}{3} \\
sinα\approx0,58$$

Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta \(α\).
Musimy teraz spojrzeć na tablice matematyczne i odczytać dla jakiej wartości kąta sinus przyjmuje wartość w przybliżeniu \(0,58\). W tablicach możemy odczytać, że dla kąta \(36°\) sinus przyjmuje wartość \(0,5878\) i to jest najlepsze przybliżenie jakie możemy znaleźć. Stąd też wiemy, że \(α\in(30°, 40°)\).

A

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{25}=1 \\
sin^2α=\frac{16}{25} \\
sinα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{16}{25}} \\
sinα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{4}{5}\).

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\
tgα=\frac{4}{5}:\frac{3}{5} \\
tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} \\
tgα=\frac{4}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot tgα\).
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć wartość wyrażenia \(sinα\cdot tgα\), bo tego tak naprawdę dotyczy całe zadanie:
$$sinα\cdot tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}$$

B

Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że jeżeli dwa kąty są oparte na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego. To oznacza, że:
$$α=2β$$

Podstawiając tę zależność do równania z treści zadania otrzymamy:
$$α+β=114° \\
2β+β=114° \\
3β=114° \\
β=38°$$

C

W tym zadaniu wykorzystamy jedną z własności równoległoboku, która mówi nam o tym, że suma dwóch kątów przy jednym boku jest równa \(180°\). Jeżeli więc oznaczylibyśmy te dwa kąty jako \(α\) oraz \(β\) to mielibyśmy równanie \(α+β=180°\). Z treści zadania wynika, że jeden z tych kątów jest o \(80°\) większy od drugiego. Załóżmy sobie, że to \(α\) jest tym mniejszym kątem, a \(β\) jest większym, zatem możemy zapisać, że:
$$α=β-80°$$

W związku z tym:
$$α+β=180° \\
β-80°+β=180° \\
2β-80°=180° \\
2β=260° \\
β=130°$$

D

Skoro znamy długości dwóch boków i miarę kąta między nimi, to możemy skorzystać z następującego wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot sin60° \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=9\sqrt{3}$$

A

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczbę stojącą przed iksem. W związku z tym:
$$3m-4=12-m \\
4m=16 \\
m=4$$

D

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AM\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(M\) możemy obliczyć długość odcinka \(AM\) korzystając ze wzoru:
$$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2} \\
|AM|=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-2)^2} \\
|AM|=\sqrt{(4+3)^2+(-1)^2} \\
|AM|=\sqrt{7^2+(-1)^2} \\
|AM|=\sqrt{49+1} \\
|AM|=\sqrt{50} \\
|AM|=\sqrt{25\cdot2} \\
|AM|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Skoro punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\) to znaczy, że odcinek \(AM\) stanowi połowę długości odcinka \(AB\). W związku z tym:
$$|AB|=2\cdot|AM| \\
|AB|=2\cdot5\sqrt{2} \\
|AB|=10\sqrt{2}$$

D

Krawędź sześcianu, przekątna ściany bocznej oraz przekątna sześcianu tworzą trójkąt prostokątny. Sinus bada stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) (czyli w tym przypadku krawędzi podstawy) do długości przeciwprostokątnej (czyli w tym przypadku przekątnej sześcianu). Z własności sześcianu wiemy, że przekątna sześcianu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem:

$$sinα=\frac{a}{a\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{1}{\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$a\sqrt{2}=10\sqrt{2} \\
a=10$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia podstawy oraz wysokości walca.
Promień podstawy walca jest połową długości boku kwadratu, zatem:
$$r=10:2 \\
r=5$$

Wysokość walca to po prostu długość boku kwadratu, czyli:
$$H=10$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mając wszystkie dane możemy obliczyć pole powierzchni bocznej, korzystając ze wzoru:
$$P_{b}=2\pi rH \\
P_{b}=2\pi\cdot5\cdot10 \\
P_{b}=100\pi$$

C

Krok 1. Zapisanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby przystąpić do obliczenia mediany musimy ułożyć oceny od najmniejszej do największej, zatem:
$$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Wszystkich ocen mamy łącznie \(2+3+5+5+1=16\). To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną ósmej i dziewiątej oceny zapisanej w ciągu z kroku pierwszego. Ósmą i dziewiątą oceną jest czwórka, zatem:
$$m=\frac{4+4}{2} \\
m=\frac{8}{2} \\
m=4$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną osobę spośród \(29\) uczniów, zatem \(|Ω|=29\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dziewczynę. Skoro chłopców jest \(15\), to dziewczyn mamy \(29-15=14\). W związku z tym możemy zapisać, że \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{29}$$

\(x\in(-8,2)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(-16)=36-(-64)=36+64=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-10}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+10}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe, które przed chwilą obliczyliśmy (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą od zera, czyli patrzymy na to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-8;2)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-3 \lor x=4 \lor x=-4\)

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+27)(x^2-16)=0 \\
x^3+27=0 \quad\lor\quad x^2-16=0 \\
x^3=-27 \quad\lor\quad x^2=16 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=-4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^3+27=0 \lor x^2-16=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z informacjami z treści zadania możemy oznaczyć sobie długości odcinków \(CE\) oraz \(EB\) jako \(x\), natomiast odcinek \(AD\) jako \(x+x=2x\). Dodatkowo oznaczmy też odcinek \(AB\) jako \(a\) oraz odcinek \(BF\) jako \(b\).



Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zapisanie równania.
Trójkąty \(BFE\) oraz \(AFD\) są trójkątami podobnymi. Możemy być tego pewni, gdyż proste \(AD\) oraz \(BE\) są prostymi równoległymi (bo jest to równoległobok). Skoro tak, to możemy zapisać stosunki długości poszczególnych boków tworzą następujące równanie:
$$\frac{b}{x}=\frac{a+b}{2x}$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie, które musimy teraz rozwiązać. Najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$b\cdot2x=(a+b)\cdot x \\
2bx=ax+bx \quad\bigg/-bx \\
bx=ax \quad\bigg/:x \\
a=b$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się udowodnić, że odcinek \(a\) (czyli \(AB\)), jest równy odcinkowi \(b\) (czyli \(BF\)). To oznacza, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\), bo tylko środek odcinka może podzielić go na dwie równe części. Dowodzenie możemy uznać więc za skończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(BFE\) oraz \(AFD\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\
1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\
a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz pożądaną postać \((a-b)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz dlaczego ta nierówność jest prawdziwa.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\)

Krok 1. Ułożenie układu równań
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{1}+8r=34$$

To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\
110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\
110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\
a_{1}+a_{8}=27,5 \\
a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\
2a_{1}+7r=27,5$$

To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
a_{1}+8r=34 \\
2a_{1}+7r=27,5
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:
$$\begin{cases}
a_{1}=34-8r \\
2a_{1}+7r=27,5
\end{cases}$$

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\
68-16r+7r=27,5 \\
68-9r=27,5 \\
-9r=-40,5 \\
r=4,5$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:
$$a_{1}=34-8r \\
a_{1}=34-8\cdot4,5 \\
a_{1}=34-36 \\
a_{1}=-2$$

To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz układ równań składający się z równań typu \(a_{1}+8r=34\) oraz \(2a_{1}+7r=27,5\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=\frac{1}{3}x\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
x_{D}=\frac{2+4}{2} \\
x_{D}=\frac{6}{2} \\
x_{D}=3 \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
y_{D}=\frac{4+(-2)}{2} \\
y_{D}=\frac{4-2}{2} \\
y_{D}=\frac{2}{2} \\
y_{D}=1$$

To oznacza, że \(D=(3;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$

Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
$$\begin{cases}
0=0+b \\
1=3a+b \\
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
b=0 \\
1=3a+b
\end{cases}$$

Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:
$$1=3a+b \\
1=3a+0 \\
a=\frac{1}{3}$$

W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:



Musimy obliczyć cosinus kąta \(α\), czyli:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$

To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków \(OC\) oraz \(SC\). Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością \(a\). Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Odcinek \(OC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h \\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|OC|=\frac{2a\sqrt{3}}{6} \\
|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) (wysokość ściany bocznej oznaczona jako \(h\)) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku \(SC\). Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:
$$P_{b}=2P_{p} \\
P_{b}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{b}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku \(a\) oraz wysokości \(h\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$$

Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:
$$\frac{3}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
3a\cdot h=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:3a \\
h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a} \\
h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

W związku z tym: \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Długość kluczowego odcinka \(SC\) (oznaczonego na rysunku jako \(b\)) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek \(DC\) będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{2}a\) (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek \(DS\) który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że \(DS=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), zatem:
$$|DC|^2+|DS|^2=|SC|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=b^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=b^2 \\
\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=b^2 \\
\frac{3a^2}{12}+\frac{4a^2}{12}=b^2 \\
\frac{7a^2}{12}=b^2 \\
b=\sqrt{\frac{7a^2}{12}} \\
b=\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{12}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{4\cdot3}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
b=\frac{\sqrt{21}a}{2\cdot3} \\
b=\frac{\sqrt{21}a}{6}$$

To oznacza, że krawędź boczna ma długość \(|SC|=\frac{\sqrt{21}a}{6}\).

Krok 5. Obliczenie wartości \(cosα\).
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|} \\
cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}a}{6}} \\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{21}a}{6} \\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\cdot a} \\
cosα=\frac{2}{\sqrt{7}} \\
cosα=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} \\
cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy i zapiszesz, że \(cosα=\frac{|OC|}{|SC|}\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(OC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DS\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy długość odcinka \(OC\) (patrz: Krok 2.) oraz \(DS\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(SC\) (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{8}\)

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby, ponieważ istnieje tutaj bardzo szybka droga do poznania prawidłowej odpowiedzi.

I sposób - obliczając liczbę zdarzeń elementarnych i sprzyjających.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z pierwszego zbioru możemy wylosować jedną z sześciu liczb. Z drugiego zbioru możemy wylosować jedną z czterech liczb. W związku zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz ustalić jaka para liczb będzie tworzyć zdarzenie sprzyjające, zatem musimy ustalić które liczby ze zbioru \(A\) oraz \(B\) pasują nam do warunków zadania. Aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni. To oznacza, że z pierwszego zbioru interesują nas tylko liczby \(1,2,3\).

Teraz musimy ustalić jakie liczby interesują nas ze zbioru \(B\), a wpływ na to mieć będzie informacja mówiąca o tym, iż funkcja ma mieć dodatnie miejsca zerowe. Co to oznacza, że miejsca zerowe są dodatnie? Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=-2\), to znaczy że miejsce zerowe jest ujemne (taki przypadek nas nie interesuje). Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=3\) to wtedy miejsce zerowe jest dodatnie. Jak więc ustalić kiedy funkcja osiąga dodatnie miejsce zerowe?

Aby funkcja liniowa (która jest rosnąca) miała dodatnie miejsce zerowe dodatnie, to musi przecinać oś igreków w ujemnej wartości (czyli pod osią iksów), nie ma innej możliwości. O miejscu przecięcia się z osią igreków informuje nas współczynnik \(b\) i już po tej prostej analizie wiemy, że musi on być ujemny. To by oznaczało, że ze zbioru \(B\) interesowałaby nas jedynie wartość \(-1\).

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to możemy podejść do zagadnienia z innej strony. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji (jakiekolwiek) to musimy przyrównać wzór funkcji do zera. Zatem:
$$ax+b=0 \\
ax=-b \\
x=\frac{-b}{a}$$

My musimy mieć to miejsce zerowe większe od zera, czyli interesuje nas sytuacja w której:
$$\frac{-b}{a}\gt0$$

Skoro w naszym przypadku \(a\) jest dodatnie, to aby wyrażenie \(\frac{-b}{a}\) było większe od zera, to w liczniku musimy mieć także liczbę dodatnią. To oznacza, że \(b\) musi być liczbą ujemną. Z podanych liczb w zbiorze \(B\) tylko liczba \(-1\) spełnia ten warunek.

Skoro więc ze zbioru \(A\) interesują nas liczby \(1,2,3\), a ze zbioru \(B\) interesuje nas jedynie \(-1\), to zdarzeniami sprzyjającymi będą:
$$(1;-1), (2;-1), (3;-1)$$

Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

II sposób - dostrzegając własności wykresu funkcji liniowej.
Moglibyśmy dostrzec, że aby funkcja była rosnąca i miała dodatnie miejsce zerowe, musi ona wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Funkcja ma być rosnąca, czyli współczynnik \(a\) musi być dodatni. Z sześciu podanych liczb tylko trzy są dodatnie, więc prawdopodobieństwo wylosowania dodatniego współczynnika \(a\) jest równe \(\frac{1}{2}\). Z analizy wykresu wynika też, że współczynnik \(b\) musi być ujemny, bo prosta przetnie nam oś \(OY\) dla ujemnej wartości \(y\). Tylko jedna z czterech proponowanych liczb jest ujemna, więc szanse wylosowania ujemnej liczby wyniosą \(\frac{1}{4}\). Prawdopodobieństwo wylosowania więc jednocześnie odpowiedniej liczby \(a\) oraz \(b\) będzie równe iloczynowi wyznaczonych przed chwilą prawdopodobieństw:
$$p=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=24\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni, czyli że ze zbioru \(A\) interesują nas liczby \(1,2,3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że ze zbioru \(B\) interesuje nas jedynie wartość \(-1\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=24\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz jakie liczby nas interesują ze zbioru \(A\) lub \(B\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz jakie liczby interesują nas ze zbioru \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=24\) (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających \(|A|=3\) (patrz: Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=30\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:



Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\
(2+x)^2+5^2=(3+x)^2 \\
4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
4+4x+25=9+6x \\
4x+29=9+6x \\
-2x+29=9 \\
-2x=-20 \\
x=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro \(x=10\), to znaczy że:
$$|AB|=2+x \\
|AB|=2+10 \\
|AB|=12$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P=6\cdot5 \\
P=30$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy korzystając z własności stycznych do okręgu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \((2+x)^2+5^2=(3+x)^2\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.