Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2022
Zadanie 3. (1pkt) Liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) jest równa:
A. \(log12\)
B. \(log36\)
C. \(log10\)
D. \(log25\)
Wyjaśnienie:
Dla przypomnienia - jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku), to domyślnie podstawa logarytmu wynosi \(10\). Czyli przykładowo \(log3=log_{10}3\).
I sposób - zaczynając od obliczenia sumy logarytmów.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, korzystając z działań na potęgach możemy obliczyć sumę logarytmów podanych w treści zadania:
$$log3+log2=log(3\cdot2)=log6$$
Liczba dwukrotnie większa od \(log6\) to \(2\cdot log6\). Przenosząc teraz dwójkę stojącą przed logarytmem do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej, wyjdzie nam, że:
$$2log6=log6^2=log36$$
II sposób - zaczynając od wymnożenia logarytmów przez \(2\).
Możemy też zapisać, że liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) to:
$$2\cdot(log3+log2)=2log3+2log2$$
Teraz, korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$log3^2+log2^2=log9+log4$$
Aby dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, wystarczy wymnożyć liczby logarytmowane, stąd też:
$$log9+log4=log(9\cdot4)=log36$$
Zadanie 18. (1pkt) Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Odcinek \(AD\) jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(A\) na przeciwprostokątną \(BC\). Wtedy:
A. \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
B. \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|}\)
C. \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}\)
D. \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc jeśli jeden z kątów ostrych (np. przy wierzchołku \(B\)) oznaczymy jako \(\alpha\), to drugi kąt ostry (przy wierzchołku \(C\)) będzie miał miarę \(\beta\), która będzie tak naprawdę równa \(90°-\alpha\). Po dorysowaniu wysokości \(AD\) powstanie nam m.in. trójkąt \(ABD\) w którym znane będą dwa kąty - kąt prosty oraz \(\alpha\), więc sytuacja będzie wyglądać następująco:
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że powstały nam na rysunku trójkąty podobne \(ABD\) oraz \(ADC\). Musimy tylko dobrze ustalić odpowiadające sobie boki, tak aby za chwilę zapisać poprawną proporcję. Rozdzielając te trójkąty, wyglądałoby to w następujący sposób:
Teraz patrząc się na pary boków odpowiadających i korzystając z własności trójkątów, możemy stwierdzić, że \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\).
Zadanie 19. (1pkt) Pole rombu o obwodzie \(20\) i kącie rozwartym \(120°\) jest równe:
A. \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\frac{25}{2}\)
D. \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb ma cztery boki o jednakowej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(20\), to:
$$a=20:4 \\
a=5$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W zadaniu będziemy chcieli skorzystać ze wzoru:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$
Po podstawieniu znanych danych wyjdzie nam, że:
$$P=5^2\cdot sin120°$$
Musimy więc ustalić jaką wartość przyjmuje \(sin120°\), a tej niestety nie ma w tablicach trygonometrycznych. Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$
Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$
Wyszło nam więc, że \(sin120°\) jest równy tyle samo co \(cos30°\). Z tablic odczytujemy, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem \(sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Wracając do obliczenia pola powierzchni rombu, możemy zapisać, że:
$$P=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=25\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$
Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(-3x^2+8\ge10x\)
Odpowiedź
\(x\in\langle-4;\frac{2}{3}\rangle\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń musimy przenieść \(10x\) na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$-3x^2+8\ge10x \\
-3x^2-10x+8\ge0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od obliczenia miejsc zerowych, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-10,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot(-3)\cdot8=100-(-96)=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-14}{2\cdot(-3)}=\frac{10-14}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+14}{2\cdot(-3)}=\frac{10+14}{-6}=\frac{24}{-6}=-4$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i mamy taką oto sytuację:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in\langle-4;\frac{2}{3}\rangle$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 30. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\) prawdziwa jest nierówność:
$$\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5}$$
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając nierówność i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25 \\
x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2 \\
-4x^2+8xy-4y^2\lt0 \\
-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4) \\
x^2-2xy+y^2\gt0 \\
(x-y)^2\gt0$$
Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \((x-y)^2\gt0\) i nie uzasadnisz, dlaczego ta nierówność jest poprawna.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 31. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe \(2\). Ponadto \(f(0)=8\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Odpowiedź
\(f(x)=2\cdot(x-2)^2\), ewentualnie \(f(x)=2x^2-8x+8\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli funkcja kwadratowa ma tylko jedno miejsce zerowe równe \(2\), a w dodatku \(f(0)=8\), to wykres funkcji musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Z analizy rysunku wynika, że współrzędne wierzchołka paraboli to \(p=2\) oraz \(q=0\). Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do wyznaczenia wzoru funkcji w postaci kanonicznej, zatem:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-2)^2+0 \\
f(x)=a(x-2)^2$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) i zapisanie wzoru funkcji.
Do pełnego wzoru brakuje nam tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy do wyznaczonego wzoru \(f(x)=a(x-2)^2\) podstawić współrzędne jednego z punktów, który należy do wykresu - w naszym przypadku będzie to punkt o współrzędnych \((0;8)\), zatem:
$$8=a(0-2)^2 \\
8=a\cdot(-2)^2 \\
8=4a \\
a=2$$
To oznacza, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=2\cdot(x-2)^2\) i taka też jest odpowiedź do tego zadania.
Tak na marginesie - nie jest to konieczne, ale możemy też zapisać sobie ten wzór w postaci ogólnej (treść zadania nie precyzuje tego w jakiej postaci ma być podany wzór). W tym celu należy wykonać potęgowanie nawiasu (pamiętając przy okazji o wzorach skróconego mnożenia). Wyglądałoby to w następujący sposób:
$$f(x)=2\cdot(x-2)^2 \\
f(x)=2\cdot(x^2-4x+4) \\
f(x)=2x^2-8x+8$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej (bez wyznaczenia współczynnika \(a\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+8\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (2pkt) Trójwyrazowy ciąg \((x, 3x+2, 9x+16)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\).
Wyjaśnienie:
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tej zależności dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+2)^2=x\cdot(9x+16) \\
9x^2+12x+4=9x^2+16x \\
12x+4=16x \\
4=4x \\
x=1$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które wynika z własności ciągów geometrycznych np. \((3x+2)^2=x\cdot(9x+16)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (2pkt) Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia \(AD\).
Odpowiedź
\(|AD|=9\frac{3}{13}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. To oznacza, że brakującą długość \(AC\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
a^2+24^2=26^2 \\
a^2+576=676 \\
a^2=100 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$
Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem \(|AC|=10\).
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(ACD\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na trójkąt \(ABC\) - jeżeli kąt \(ABC\) oznaczymy jako \(\alpha\), to kąt \(CAB\) ma miarę \(90°-\alpha\). Skoro tak, to kąt \(DAC\) musi mieć miarę \(\alpha\), a tym samym kąt \(ACD\) ma miarę \(90°-\alpha\). W ten oto sposób wykazaliśmy, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary, zatem są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
Krok 3. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
W trójkątach podobnych stosunek długości boków sobie odpowiadających musi być jednakowy. Mówiąc obrazowo - jeżeli przeciwprostokątna trójkąta \(ABC\) jest \(2,6\) razy większa od przeciwprostokątnej \(ACD\) (bo \(26:10=2,6\)), to analogicznie długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta jest \(2,6\) razy większa od naszego boku \(AD\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=24:2,6 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$
Do tego samego wyniku dojdziemy układając proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|AD|} \\
\frac{26}{10}=\frac{24}{|AD|}$$
Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$26\cdot|AD|=10\cdot24 \\
26|AD|=240 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 34. (2pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od \(53\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(7\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{7}{46}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeniami elementarnymi są liczby dwucyfrowe większe od \(53\), czyli \(54,55,...,99\). I tu mamy największą trudność tego zadania, czyli musimy ustalić ile jest tych liczb, bo wcale nie jest ich \(99-54=45\). Takich liczb jest dokładnie \(46\). Dobrze to widać na poniższej rozpisce:
\(54,55,56,57,58,59\) to \(6\) liczb
\(60-69\) to \(10\) liczb
\(70-79\) to \(10\) liczb
\(80-89\) to \(10\) liczb
\(90-99\) to \(10\) liczb
Łącznie jest to \(|Ω|=46\) liczb.
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby dwucyfrowe, większe od \(53\), które są podzielne przez \(7\). Takimi liczbami są:
$$56,63,70,77,84,91,98$$
Łącznie jest to \(|A|=7\) liczb.
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{46}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 35. (5pkt) Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu \(y=x+10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Odpowiedź
\(B=(9;1)\) oraz \(C=\left(-\frac{1}{3};9\frac{2}{3}\right)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, bo boki \(AC\) oraz \(BC\) mają jednakową długość. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy taką oto sytuację:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
Znamy współrzędne punktu \(A=(1,-3)\) oraz środek odcinka \(AB\), czyli \(S=(5,-1)\). W związku z tym bez problemy możemy obliczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{1+x_{B}}{2} \\
10=1+x_{B} \\
x_{B}=9 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-1=\frac{-3+y_{B}}{2} \\
-2=-3+y_{B} \\
y_{B}=1$$
To oznacza, że \(B=(9;1)\).
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Chcemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\), aby za chwilę móc wyznaczyć równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(S\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), więc możemy nawet wyznaczyć równanie prostej \(AB\) (korzystając albo z długiego wzoru z tablic, albo z metody układu równań). Skoro jednak nam potrzebny jest tylko współczynnik kierunkowy \(a\), to możemy posłużyć się sprytnym wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Podstawiając współrzędne punktów \(A=(1,-3)\) oraz \(B=(9;1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-3)}{9-1} \\
a=\frac{4}{8} \\
a=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Z rysunku wynika, że chcąc wyznaczyć współrzędne punktu \(C\), musimy najpierw wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S=(5,-1)\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W poprzednim kroku ustaliliśmy już, że prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), więc prosta prostopadła będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). To oznacza, że prostą prostopadłą możemy zapisać jako \(y=-2x+b\).
Do pełnego równania prostej prostopadłej brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Chcemy, by prosta prostopadła przechodziła przez punkt \(S=(5,-1)\), zatem podstawiając \(x=5\) oraz \(y=-1\) do równania \(y=-2x+b\), otrzymamy:
$$-1=-2\cdot5+b \\
-1=-10+b \\
b=9$$
To oznacza, że interesująca nas prosta prostopadła (pokrywająca się z wysokością trójkąta \(ABC\)) wyraża się równaniem \(y=-2x+9\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych prostopadłych określonych równaniami \(y=x+10\) oraz \(y=-2x+9\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases}
y=x+10 \\
y=-2x+9
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania wyjdzie nam, że:
$$x+10=-2x+9 \\
3x=-1 \\
x=-\frac{1}{3}$$
Pierwszą współrzędną punktu \(C\) już więc znamy. Współrzędną \(y\) obliczymy podstawiając \(x=-\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu, np. do pierwszego \(y=x+10\), czyli:
$$y=-\frac{1}{3}+10 \\
y=9\frac{2}{3}$$
To oznacza, że \(C=\left(-\frac{1}{3};9\frac{2}{3}\right)\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współrzędne punktu \(C\) to \(C=(x; x+10)\).
2 pkt
• Gdy wykonasz dwie czynności ocenione na 1 punkt.
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współrzędne punktu \(C\) to \(C=(x; x+10)\) oraz zapiszesz równanie z dwiema niewiadomymi, bazujące na jednakowej długości ramion, wykorzystując wzór na długość odcinka.
4 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.), bez obliczenia współrzędnych punktu \(B\).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.) i zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, bazujące na jednakowej długości ramion, wykorzystując wzór na długość odcinka.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
fajna zabawa lubię te zadania z prawdopodobieństwa
hej, czy w zadaniu 33 trzeba podawać wynik w postaci ułamka mieszanego?
To nie ma znaczenia – może zostać postać ułamka niewłaściwego 120/13 :)
dziekuje :)
czy w zad 19 można jako wzoru redukcyjnego użyć że sin120 to jest to samo co sin 60?
Jak najbardziej! :)
w 21 skąd wiadomo że ten trójkąt będzie równoramienny?
Trójkąt BCE ma takie same długości boków co kwadrat (tak wynika z treści zadania), więc odcinek CD ma taką samą długość jak CE, czyli DCE jest trójkątem równoramiennym ;)
dzięki, teraz już widzę :)
W zadaniu 30 przekształciłem to do formy x+y>2,takim rozwiązaniem też można to udowodnić skoro wiemy że rzeczywiste to liczby od 1 a x jest nierówny y więc x+y wychodzi minimalnie 3?
Liczby rzeczywiste to nie są liczby od 1 ;) Liczby rzeczywiste to tak naprawdę wszystkie liczby występujące na matematyce, czyli np. -9 także ;) Stąd też Twoje rozwiązanie będzie błędne.