Matura – Matematyka – Czerwiec 2013 – Odpowiedzi

B

Wykonując poprawnie działania na pierwiastkach i ułamkach oraz pamiętając, że \(16=4^2\), otrzymamy:
$$(\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3=(16^{\frac{1}{3}}\cdot4^{-2})^3= \\
=(16^{\frac{1}{3}})^3\cdot(4^{-2})^3=16^{\frac{1}{3}\cdot3}\cdot4^{-2\cdot3}= \\
=16^1\cdot4^{-6}=4^2\cdot4^{-6}= \\
=4^{2-6}=4^{-4}$$

C

Zgodnie z treścią zadania:
$$x=70\%\cdot y \\
x=\frac{7}{10}\cdot y \quad\bigg/\cdot\frac{10}{7} \\
y=\frac{10}{7}x$$

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości środkowej przedziału.
Do zapisania nierówności potrzebujemy znaleźć środek naszego przedziału:
$$a=\frac{-1+3}{2} \\
a=\frac{2}{2} \\
a=1$$

Krok 2. Ustalenie wzoru nierówności.
Po lewej stronie nierówności znajdzie się wartość \(|x-a|\). Skoro \(a=1\), to wiemy już, że po lewej stronie znajdzie się zapis \(|x-1|\).
Musimy jeszcze ustalić znak tej nierówności i wartość liczby po prawej stronie. Odległość od wyznaczonego przed chwilą środka przedziału do dowolnej wartości w tym przedziale jest mniejsza niż dwie jednostki, zatem cała nierówność przybierać będzie wzór: \(|x-1|\le2\).

B

Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c} \\
\log_{2}20-\log_{2}5=\log_{2}\frac{20}{5}=\log_{2}4=2$$

C

Analizując informację o miejscu zerowym możemy wywnioskować, że funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) dla \(x=-3\). To oznacza, że gdybyśmy do wzoru tej funkcji podstawili trójkę, to powinniśmy otrzymać zero i właśnie na podstawie tego równania wyznaczymy wartość parametru \(m\):
$$f(-3)=0 \\
(2m-1)\cdot(-3)+9=0 \\
-6m+3+9=0 \\
-6m=-12 \\
m=2$$

C

Naszym zadaniem będzie tak naprawdę wyciągnięcie przed nawias wartości \(cos^2α\) i wykorzystanie tak zwanej jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+sin^2α\cdot cos^2α+cos^4α= \\
=sin^2α+sin^2α\cdot cos^2α+cos^2α\cdot cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\
=sin^2α+cos^2α\cdot1= \\
=sin^2α+cos^2α=1$$

A

Wiedzą, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:
$$\require{cancel}
1+tgα\cdot cosα=1+\frac{sinα}{\cancel{cosα}}\cdot\cancel{cosα}= \\
=1+sinα=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

A

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(5\), zatem poszukiwanym przedziałem jest \(\langle-3;5\rangle\).

B

Szukamy takich argumentów, dla których wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\). Wyraźnie widzimy, że funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne w przedziale \((5;7\rangle\).

A dlaczego przed wartością \(5\) znalazł się nawias otwarty, a nie domknięty? Jest tak dlatego, że dla \(x=5\) funkcja przyjmuje wartość równą zero, a nas interesują wartości ujemne. Stąd też za pomocą odpowiednich nawiasów musimy wykluczyć \(x=5\) z naszego przedziału.

B

Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości kąta środkowego.
Musimy obliczyć miarę kąta środkowego przy punkcie \(O\). Skorzystamy tutaj z trójkąta, którego miary dwóch kątów są tak naprawdę podane, to \(40°\) oraz \(90°\). Oznaczmy więc sobie trzeci kąt tego trójkąta jako \(β\) (patrz rysunek).



Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$β=180°-40°-90° \\
β=50°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt wpisany ma dwa razy mniejszą miarę od kąta środkowego opartego na tym samym łuku, zatem:
$$α=50°:2=25°$$

A

Aby obliczyć iloczyn tych wielomianów musimy tak naprawdę poprawnie wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy:
$$(2x-3)\cdot(-4x^2-6x-9)= \\
=-8x^3-12x^2-18x+12x^2+18x+27= \\
=-8x^3+27$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i obliczenie długości przekątnej mniejszego prostokąta.
Zgodnie z treścią zadania nasze prostokąty będą wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Aby móc porównać oba prostokąty i poznać skalę ich podobieństwa potrzebujemy znać długość przekątnej mniejszego prostokąta \(EFGH\) (patrz rysunek). Obliczymy to oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa:
$$2^2+3^2=d^2 \\
4+9=d^2 \\
d^2=13 \\
d=\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABCD\).
Skoro przekątna prostokąta \(ABCD\) jest dwukrotnie większa od przekątnej prostokąta \(EFGH\), to wszystkie boki tego prostokąta są także dwa razy większe. To oznacza, że również i obwód musi być dwukrotnie większy:
Obwód prostokąta \(EFGH\) to \(2\cdot2+2\cdot3=4+6=10\).
Obwód prostokąta \(ABCD\) to \(2\cdot10=20\).

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta ostrego rombu.
Sprawdzamy w tablicach dla jakiego kąta ostrego funkcja cosinus przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Jest to kąt o mierze \(30°\).

Krok 2. Obliczenie pola rombu.
Znając miarę kąta możemy teraz skorzystać z następującego wzoru na pole rombu:
$$P=a^2\cdot sinα \\
P=3^2\cdot sin30° \\
P=9\cdot\frac{1}{2} \\
P=\frac{9}{2}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Skoro w sześcianie mamy sześć ścian, a pole każdej z nich możemy zapisać jako \(a^2\), to znając pole powierzchni całkowitej możemy wyznaczyć długość krawędzi sześcianu:
$$6a^2=12 \\
a^2=2 \\
a=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
W sześcianie znajduje się \(12\) krawędzi, zatem:
$$12\cdot a=12\sqrt{2}$$

A

Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$a_{n}=4 \\
-2+\frac{12}{n}=4 \\
\frac{12}{n}=6 \\
12=6n \\
n=2$$

B

Aby wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji wystarczy przyrównać wielomian \(3x(x^2+5)(2-x)(x+1)\) do zera. Jest to postać iloczynowa, więc aby wartość takiego wyrażenia była równa zero, to któryś z czynników musi być równy zero, zatem:
$$3x(x^2+5)(2-x)(x+1)=0 \\
3x=0 \quad\lor\quad x^2+5=0 \quad\lor\quad 2-x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-5 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-1$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to z równania \(x^2=-5\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-1\).

D

Na podstawie rysunku spróbujmy określić wzór funkcji w postaci ogólnej \(y=ax+b\), którą następnie odpowiednio przekształcimy, tak aby dopasować się do naszych odpowiedzi.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Zaczniemy od współczynnika \(b\), który możemy od razu odczytać z wykresu. Współczynnik \(b\) mówi nam w którym miejscu funkcja liniowa przetnie oś \(Oy\). W naszym przypadku funkcja przecina oś \(Oy\) dla \(y=2\), zatem \(b=2\).

Wiemy już, że nasza funkcja ma postać \(y=ax+2\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((4;0)\), czyli dla \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość \(y=0\). Podstawmy te współrzędne do wzoru zapisanego w pierwszym kroku i tym samym wyznaczmy wartość współczynnika \(a\):
$$y=ax+2 \\
0=a\cdot4+2 \\
4a=-2 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Wskazanie równania prostej.
Nasza prosta przyjmuje wzór \(y=-\frac{1}{2}x+2\), jednak nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc odpowiednio przekształcić to równanie (przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę), tak aby dopasować się do odpowiedzi:
$$y=-\frac{1}{2}x+2 \\
\frac{1}{2}x+y-2=0 \quad\bigg/\cdot2 \\
x+2y-4=0$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wbrew pozorom jest to chyba najważniejsza część zadania, bo kluczem do sukcesu jest prawidłowe oznaczenie poszczególnych miar tego trójkąta. Pamiętaj, że \(\sqrt{3}\approx1,73\), więc to będzie długość dłuższej przyprostokątnej. W związku z tym najmniejszy kąt (oznaczony jako \(α\)) znajdzie się w tym miejscu:



Krok 2. Obliczenie miary kąta.
Miarę najmniejszego kąta w tym trójkącie, którą oznaczyliśmy sobie jako \(α\) możemy obliczyć korzystając z funkcji tangensa:
$$tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta \(30°\).

C

Wartość pierwszego wyrazu obliczymy korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(a_{1}\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{20}=a_{1}+(20-1)r \\
17=a_{1}+19\cdot(-2) \\
17=a_{1}-38 \\
a_{1}=55$$

C

Do rozwiązania tego zadania wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(q\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
\frac{1}{3}=\frac{9}{8}\cdot q^{3} \quad\bigg/\cdot\frac{8}{9} \\
q^{3}=\frac{8}{27} \\
q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \\
q=\frac{2}{3}$$

C

Łącznie wszystkich uczniów jest:
$$1+5+7+8+3+2=26$$

W związku z tym ich średnia ocen będzie równa:
$$\overline{x}=\frac{1\cdot1+5\cdot2+7\cdot3+8\cdot4+3\cdot5+2\cdot6}{26} \\
\overline{x}=\frac{1+10+21+32+15+12}{26} \\
\overline{x}=\frac{91}{26} \\
\overline{x}=3,5$$

D

Wzór na objętość stożka możemy zapisać jako:
$$V=\frac{1}{3}πr^2h$$

Skoro \(r=\frac{1}{3}h\), to:
$$V=\frac{1}{3}π\cdot\left(\frac{1}{3}h\right)^2\cdot h \\
V=\frac{1}{3}π\cdot\frac{1}{9}h^2\cdot h \\
V=\frac{1}{27}πh^3$$

C

Każdy kolejny rzut monetą jest zdarzeniem niezależnym. Nie ma więc znaczenia jakie wartości wypadły na monetach w pierwszym czy drugim rzucie. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszkę. Stąd też prawdopodobieństwo wypadnięcia orła czy to w trzecim, czy w jakimkolwiek innym rzucie jest równe \(\frac{1}{2}\).

A

Krok 1. Określenie wartości współczynnika \(a\) prostej równoległej.
Skoro obie proste są względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być taki sam. Prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{2}{5}\), zatem i prosta \(k\) musi mieć identyczny. W naszych odpowiedziach pojawiają się jednak ułamki dziesiętne, zatem zapiszmy, że \(a=-0,4\).

Krok 2. Określenie wartości współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji przecina oś \(Oy\). Widzimy, że funkcja przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;3)\), zatem \(b=3\).

To oznacza, że poszukiwanym równaniem prostej równoległej będzie:
$$y=-0,4x+3$$

C

W tym zadaniu będziemy musieli skorzystać ze wzorów na sumę i różnicę logarytmów.
$$\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b\cdot c) \\
\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$

Trzeba też pamiętać, że skoro logarytm nie ma wpisanej podstawy (tak jak tutaj) to domyślnie znajduje się tam wartość \(10\). Całość obliczeń będzie więc wyglądać następująco:
$$log4+log5-log2=log(4\cdot5)-log2= \\
=log20-log2=log\frac{20}{2}=log10=1$$

\(1\), \(-1\) oraz \(\frac{4}{3}\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$3x^3-4x^2-3x+4=0 \\
3x^2\left(x-\frac{4}{3}\right)-3\left(x-\frac{4}{3}\right)=0 \\
\left(3x^2-3\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby całe równanie dało wartość równą zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$3x^2-3=0 \quad\lor\quad x-\frac{4}{3}=0 \\
3x^2=3 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3} \\
x^2=1 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3} \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3}$$

Rozwiązaniem tego równania są więc liczby \(1\), \(-1\) oraz \(\frac{4}{3}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wartość wyrażenia jest równa \(2\frac{3}{4}\).

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{7}{16}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{16} \\
sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \\
sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże - znacznie upraszcza to wszystkie rachunki.
$$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α= \\
=2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\
=2+sinα\cdot1=2+sinα$$

Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania:
$$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy otrzymasz równanie w postaci \(sin^3α+sinα\cdot cos^2α=sinα\).
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie rysując trójkąt prostokątny i obliczysz, że długość drugiej przyprostokątnej jest równa \(3\), a także zaznaczysz poprawnie kąt \(α\) dla którego \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(630\)

Krok 1. Wypisanie wariantów, w których cyfra jedności jest o o \(3\) większa od cyfry setek.
Wypiszmy sobie wszystkie możliwe warianty, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek:
$$■0■3 \\
■1■4 \\
■2■5 \\
■3■6 \\
■4■7 \\
■5■8 \\
■6■9$$

To oznacza, że mamy \(7\) różnych zapisów drugiej i czwartej cyfry jednocześnie.

Krok 2. Wskazanie na ile sposobów można wpisać pierwszą i trzecią cyfrę liczby.
Teraz zastanówmy się, na ile sposobów możemy wpisać pierwszą i trzecią cyfrę tej liczby. Pierwszą liczbę możemy wpisać na \(9\) różnych sposobów, bo pasują nam wszystkie cyfry od \(1\) do \(9\) (czyli wszystkie oprócz zera). Trzecią liczbę możemy wpisać już na \(10\) sposobów, bo tutaj może pojawić się zero.

Krok 3. Obliczenie ilości liczb, które spełniają warunki zadania.
Z obliczeń przeprowadzonych w kroku pierwszym i drugim wynika, że wszystkich poszukiwanych liczb czterocyfrowych będzie zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=7\cdot9\cdot10=630$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wypiszesz wszystkie możliwe warianty, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wskażesz na ile sposobów można wpisać pierwszą i trzecią cyfrę liczby (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.

Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\
=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\
=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\
(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$

Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$

To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias otrzymując postać np. \(2014\cdot(1+2013^2+2013^4+2013^6)\) i nie zakończysz dowodzenia.
ALBO
• Gdy potraktujesz całą liczbę jako ciąg arytmetyczny i zapiszesz, że \(a_{1}=1\), \(q=2013\) oraz \(a_{8}=2013^7\), ale nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(q=3\)

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Aby obliczyć iloraz ciągu potrzebujemy znać wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Obliczmy więc wartość pierwszego i drugiego wyrazu, podstawiając odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=7\cdot3^{1+1} \\
a_{1}=7\cdot3^{2} \\
a_{1}=7\cdot9 \\
a_{1}=63$$

$$a_{2}=7\cdot3^{2+1} \\
a_{2}=7\cdot3^{3} \\
a_{2}=7\cdot27 \\
a_{2}=189$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) tego ciągu.
Znamy już wartości dwóch kolejnych wyrazów, więc możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{189}{63} \\
q=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz dwa kolejne wyrazy tego ciągu np. pierwszy i drugi (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz, że np. \(a_{2}=a_{1}\cdot q\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{n}=63\cdot3^{n-1}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(V=162\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:



Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).

Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.

Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9 \\
a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2 \\
9+9\cdot3=|DB|^2 \\
9+27=|DB|^2 \\
|DB|^2=36 \\
|DB|=6$$

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\
H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=54\cdot3 \\
V=162$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta oraz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa \(P_{p}=9\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz dodatkowo wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(6\) osób

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba znajomych
\(y\) - opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet

Po miesiącu:
\(x+2\) - liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) - nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases}
x\cdot y=120 \\
(x+2)\cdot(y-5)=120
\end{cases}

\begin{cases}
y=\frac{120}{x} \\
xy-5x+2y-10=120
\end{cases}

Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120 \\
\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120} \\
-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x \\
-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5) \\
x^2+2x-48$$

Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(x\) lub \(y\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\((x+3)^2+(y-5)^2=72\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych w którym zaznaczymy wszystkie potrzebne informacje:



Aby zapisać równanie okręgu potrzebujemy poznać współrzędne jego środka oraz promień okręgu. Aby wyznaczyć współrzędne środka musimy poznać wzory prostych \(AD\) oraz \(BC\), których to punkt przecięcia się jest jednocześnie środkiem okręgu. Długość promienia wyznaczymy za to ze wzoru na odległość punktu od prostej.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostych \(AD\) oraz \(BC\).
Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej, która przechodzi przez dwa punkty:
Prosta \(AD\):
$$(y-y_{A})(x_{D}-x_{A})-(y_{D}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-(-5))(-2-(-1))-(0-(-5))(x-(-1))=0 \\
(y+5)(-2+1)-(0+5)(x+1)=0 \\
(y+5)(-1)-5(x+1)=0 \\
-y-5-5x-5=0 \\
-y-5x-10=0 \\
y=-5x-10$$

Prosta \(BC\):
$$(y-y_{B})(x_{C}-x_{B})-(y_{C}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-1)(1-5)-(3-1)(x-5)=0 \\
(y-1)\cdot(-4)-2\cdot(x-5)=0 \\
-4y+4-2x+10=0 \\
-4y-2x+14=0 \\
-4y=2x-14 \quad\bigg/:(-4) \\
y=-\frac{2}{4}x+\frac{14}{4} \\
y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

Do wyznaczenia wzorów poszczególnych prostych mogliśmy też wykorzystać układ równań, gdzie pod wzór \(y=ax+b\) podstawialibyśmy poszczególne współrzędne, wyznaczając w ten sposób współczynniki \(a\) oraz \(b\).

Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych (czyli środka okręgu).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest są współrzędne punktu przecięcia się prostych, czyli w tym przypadku będą to współrzędne środka okręgu, czyli naszego punktu \(S\).
\begin{cases}
y=-5x-10 \\
y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}
\end{cases}

Równanie to możemy rozwiązać np. metodą podstawiania, otrzymując wtedy:
$$-5x-10=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \\
-5x+\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}+10 \\
-4\frac{1}{2}x=13\frac{1}{2} \\
x=-3$$

Wartość współrzędnej \(y\) obliczymy podstawiając \(x=-3\) do jednego z równań:
$$y=-5\cdot(-3)-10 \\
y=15-10 \\
y=5$$

Współrzędne środka okręgu to w takim razie \(S=(-3;5)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Potrzebujemy poznać równanie prostej \(AB\), aby móc wyznaczyć odległość punktu \(S\) od tej prostej, dzięki czemu wyznaczymy długość promienia okręgu. Równanie prostej \(AB\) wyznaczymy dokładnie tak samo jak prostych z drugiego kroku, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-(-5))(5-(-1))-(1-(-5))(x-(-1))=0 \\
(y+5)(5+1)-(1+5)(x+1)=0 \\
(y+5)\cdot6-6\cdot(x+1)=0 \\
6y+30-6x-6=0 \\
6y-6x+24=0 \\
6y=6x-24=0 \quad\bigg/:6 \\
y=x-4$$

Zapiszmy sobie jeszcze postać ogólną tego wzoru, czyli taką gdzie po prawej stronie mamy wartość zero. Jest to konieczne, bo w kolejnym kroku będziemy musieli podstawiać do wzoru współczynniki z postaci ogólnej, zatem:
$$y=x-4 \Rightarrow x-y-4=0$$

Krok 5. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu \(S=(x_{o};y_{o})\) od prostej opisanej wzorem ogólnym \(Ax+By+C=0\) możemy obliczyć w następujący sposób:
$$r=\frac{|A\cdot x_{o}+B\cdot y_{o}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
r=\frac{|1\cdot (-3)+(-1)\cdot5+(-4)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\
r=\frac{|-3+(-5)-4|}{\sqrt{1+1}} \\
r=\frac{|-3-5-4|}{\sqrt{1+1}} \\
r=\frac{|-12|}{\sqrt{2}} \\
r=\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$

Uwaga: Gdybyśmy nie pamiętali, że taki wzór znajduje się w tablicach, to moglibyśmy wyznaczyć współrzędne punktu \(E\), który jest punktem styczności okręgu i prostej \(AB\) (patrz: rysunek z pierwszego kroku). Aby wyznaczyć współrzędne tego punktu trzeba byłoby wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S\). Znając to równanie stworzylibyśmy układ równań tych dwóch prostych prostopadłych, którego rozwiązaniem byłyby współrzędne punktu \(E\), czyli \(E=(3;-1)\). Znając współrzędne punktów \(E\) oraz \(S\) wyznaczylibyśmy długość promienia okręgu ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych.

Krok 6. Zapisanie równania okręgu.
Okrąg o środku \(S=(-3;5)\) oraz promieniu \(r=6\sqrt{2}\) możemy opisać równaniem:
$$(x-(-3))^2+(y-5)^2=(6\sqrt{2})^2 \\
(x+3)^2+(y-5)^2=36\cdot2 \\
(x+3)^2+(y-5)^2=72$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AD\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka okręgu (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość promienia okręgu (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy błędnie wyznaczysz jedną z wartości/długości, ale konsekwentnie do tego błędu rozwiążesz całe zadanie.
ALBO
• Gdy potrzebne współrzędne (np. punktu \(S\)) odczytasz z rysunku, całość zadania zrobisz dobrze, ale nie sprawdzisz czy ten punkt należy do prostych \(AB\) oraz \(BC\).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.