Matura próbna – Matematyka – Operon 2016 – Odpowiedzi

B

Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach otrzymamy:
$$\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot4^{-\frac{1}{4}}}{0,25}=
\frac{-\frac{1}{2}\cdot(2^2)^{-\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}= \\
=\frac{-2^{-1}\cdot2^{-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}=
\frac{-1\cdot2^{-1}\cdot2^{-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}= \\
=\frac{-1\cdot2^{-1-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}=
\frac{-1\cdot2^{-\frac{3}{2}}}{2^{-2}}= \\
=-1\cdot2^{-\frac{3}{2}}:{2^{-2}}=
-1\cdot2^{-\frac{3}{2}-(-2)}= \\
=-1\cdot2^{\frac{1}{2}}=
-1\cdot\sqrt{2}=
-\sqrt{2}$$

W zadaniu proszą nas o podanie drugiej potęgi otrzymanej liczby, czyli proszą nas tak naprawdę o podniesienie otrzymanego wyniku do kwadratu:
$$(-\sqrt{2})^2=2$$

D

Jedyną prawdziwą równością jest ta z ostatniej odpowiedzi:
$$\frac{log_{5}50-log_{5}2}{2}=\frac{log_{5}\frac{50}{2}}{2}=\frac{log_{5}25}{2}=\frac{2}{2}=1$$

A

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - pensja w październiku
\(1,1x\) - pensja w listopadzie
\(0,6x\) - pensja w grudniu

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Średnia arytmetyczna pensji wynosi:
$$\frac{x+1,1x+0,6x}{3}=\frac{2,7x}{3}=0,9x$$

Skoro w październiku pan Jan zarabiał \(x\), a średnia zarobków z trzech miesięcy jest równa \(0,9x\), to znaczy że średnia pensja jest o \(10\%\) mniejsza niż pensja październikowa.

D

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Z racji tego iż mamy nierówność zapisaną w formie iloczynowej, to chcąc wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, stąd też:
$$x-2=0 \quad\lor\quad 2+x=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry (bo po wymnożeniu nawiasów przed \(x^2\) nie stałaby żadna liczba ujemna). Zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe i powstaje nam taki oto wykres:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-2,2)\).

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x(x+3)\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Na początek musimy wymnożyć obie strony równania przez \(x(x+3)\), pozbywając się w ten sposób mianownika:
$$\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot x(x+3) \\
-3(9-x^2)(x+3)=0 \quad\bigg/:-3 \\
(9-x^2)(x+3)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem aby wartość równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam tę równość wyzerować. W związku z tym:
$$9-x^2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad x=-3 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Jednak z założeń wynika, że \(x\neq-3\) i dlatego też to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=3\).

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy wykonywać obliczenia to musimy jeszcze uwzględnić fakt, że mianownik ułamka musi być różny od zera, zatem:
$$a+1\neq0 \\
a\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania dokładnie tak samo jak rozwiązujemy inne równania wymierne (czyli z niewiadomą w mianowniku). Najprościej będzie więc wykonać mnożenie na krzyż:
$$\frac{2+\sqrt{3}}{a+1}=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \\
a+1=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\
a+1=4-3 \\
a+1=1 \\
a=0$$

Otrzymany wynik nie jest sprzeczny z założeniami, dlatego ostatecznym rozwiązaniem będzie \(a=0\).

C

Obydwa równania prostych są zapisane w postaci kierunkowej, zatem aby obydwie te proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy (czyli liczbę stojącą przed iksem). W związku z tym:
$$m+2=2m-1 \\
-m=-3 \\
m=3$$

D

Pierwiastki równania to tak naprawdę rozwiązania równania. Nasze równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać wartość równą zero, zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Suma pierwiastków (czyli rozwiązań) jest równa:
$$2-1+3=4$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja \(f(-x)\) jest tak naprawdę odbiciem lustrzanym (względem osi igreków) funkcji \(f(x)\). Możemy więc sobie narysować taką funkcję i odczytywać z niej to co jest nam potrzebne:



Krok 2. Odczytanie najmniejszej wartości.
Wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Interesują nas jedynie wartości przyjmowane dla argumentów z przedziału \(\langle-4,-1\rangle\), a w nim funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą \(0\) (dla \(x=-4\)).

D

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych jest ich punkt przecięcia się (czyli dokładnie to czego szukamy, bo przecież dwusieczna kąta musi przechodzić przez punkt przecięcia się prostych). W związku z tym:
$$\begin{cases}
y=x-1 \\
y=-x+1
\end{cases}$$

$$x-1=-x+1 \\
2x=2 \\
x=1$$

Znając wartość współrzędnej iksowej możemy obliczyć wartość współrzędnej igrekowej, podstawiając \(x=1\) do jednego z równań:
$$y=1-1 \\
y=0$$

To oznacza, że poszukiwanym punktem jest \(P=(1;0)\).

C

Z tabelki wynika wprost, że z każdym kolejnym argumentem \(x\) funkcja rośnie o dwie jednostki. Już z tej prostej obserwacji jesteśmy w stanie zapisać, że \(f(2)=f(1)+2\), czyli \(f(2)=-2+2=0\). Gdybyśmy tego nie dostrzegli, to moglibyśmy nawet narysować wykres tej funkcji albo moglibyśmy wyznaczyć wręcz jej wzór z którego obliczymy wartość dla dowolnego argumentu. Podstawiając pod równanie prostej \(y=ax+b\) dwóch dowolnych punktów z tabeli otrzymamy przykładowo:
$$\begin{cases}
-6=-1\cdot a+b \\
-4=0\cdot a+b
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
-6=-a+b \\
-4=b
\end{cases}$$

Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
$$-6=-a-4 \\
-2=-a \\
a=2$$

Obliczyliśmy w ten sposób współczynnik kierunkowy \(a=2\). Znamy też już wartość współczynnika \(b\), bo wyszło nam wprost z jednego równania, że \(b=-4\). W związku z tym wiemy, że prosta ta jest opisana wzorem:
$$y=2x-4$$

Skoro szukamy wartości \(f(2)\) to pod iksa do wzoru tej funkcji musimy podstawić \(x=2\), zatem:
$$y=2\cdot2-4 \\
y=4-4 \\
y=0$$

W ten oto sposób wyszło nam, że \(f(2)=0\).

A

Jeżeli współczynnik \(b\) jest równy \(-3\), a iloczyn \(ab\lt0\), to:
$$ab\lt0 \\
-3a\lt0 \quad\bigg/:(-3) \\
a\gt0$$

Dodatni współczynnik kierunkowy \(a\) oznacza, że prosta jest rosnąca.

B

Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja jest określona wzorem w postaci kanonicznej, czyli takiej z której łatwo możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli. Funkcja opisana wzorem \(f(x)=a(x-p)^2+q\) ma współrzędne wierzchołka równe \(W=(p;q)\). W naszym przypadku \(p=1\) oraz \(q=2\), zatem wierzchołek paraboli leży w punkcie \(W=(1;2)\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie zbioru wartości.
Ta funkcja jest kwadratowa, czyli jej wykresem będzie parabola. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo po wykonaniu potęgowania przed iksem nie będzie stać żadna wartość ujemna. Zaznaczamy współrzędne wierzchołka \(W=(1;2)\) i całość będzie wyglądać w następujący sposób:



Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wyraźnie wynika, że zbiorem wartości tej funkcji są wszystkie liczby większe lub równe \(2\), czyli \(\langle2,+\infty)\).

C

Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zapis \(h(x)=g(x+1)\) mówi nam, że aby otrzymać funkcję \(h(x)\) to musimy pod iksa z funkcji \(g(x)\) podstawić \(x+1\). Dodatkowo na końcu wzoru funkcji \(h(x)\) pojawia się jeszcze wartość \(-4\), zatem dodatkowo będziemy musieli jeszcze tę czwórkę odjąć. W związku z tym:
$$h(x)=3^{(x+1)-1}+1-4 \\
h(x)=3^{x+1-1}-3 \\
h(x)=3^{x}-3$$

Krok 2. Obliczenie miejsca zerowego funkcji \(h(x)\).
Musimy znaleźć miejsce zerowe \(h(x)\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3^x-3\) będzie równe \(0\), zatem:
$$3^{x}-3=0 \\
3^x=3 \\
3^x=3^1 \\
x=1$$

D

W tym przykładzie dobrze jest na początku wymnożyć licznik naszego ułamka i uprościć w ten sposób cały zapis:
$$x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1 \\
x-1\le\frac{x^2-x-x^2}{2}\le1 \\
x-1\le\frac{-x}{2}\le1$$

Teraz możemy dla przejrzystości działań rozbić ten zapis na dwie nierówności:
$$x-1\le\frac{-x}{2} \quad\land\quad \frac{-x}{2}\le1 \\
2x-2\le-x \quad\land\quad -x\le2 \\
3x-2\le0 \quad\land\quad x\ge-2 \\
3x\le2 \quad\land\quad x\ge-2 \\
x\le\frac{2}{3} \quad\land\quad x\ge-2$$

Szukamy więc liczb całkowitych, które są mniejsze lub równe od \(\frac{2}{3}\) i jednocześnie większe lub równe niż \(-2\). Istnieją tylko trzy takie liczby: \(-2,-1,0\).

A

Krok 1. Ustalenie kluczowych danych na temat ciągu arytmetycznego.
Liczby podzielne przez \(5\) i mniejsze od \(400\) będą tworzyć ciąg w stylu:
$$5,10,15,20,..., 390,395$$

Powstał nam więc ciąg w którym:
$$a_{1}=5 \\
a_{n}=395 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Brakuje nam jeszcze informacji dotyczącej tego ile jest wyrazów w naszym ciągu. W związku z tym:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
395=5+(n-1)\cdot5 \\
395=5+5n-5 \\
5n=395 \\
n=79$$

Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu.
Teraz mamy komplet danych, więc możemy bez problemu obliczyć sumę interesujących nas wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{79}=\frac{5+395}{2}\cdot79 \\
S_{79}=\frac{400}{2}\cdot79 \\
S_{79}=200\cdot79 \\
S_{79}=15800$$

C

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\), zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=18 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=18 \\
3a_{1}+3r=18 \quad\bigg/:3 \\
a_{1}+r=6$$

Wiedząc, że \(a_{1}+r=6\) wiemy, że drugi wyraz tego ciągu jest równy właśnie \(6\).

B

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Szukamy wyrazów mniejszych od \(2\), zatem możemy ułożyć następującą nierówność:
$$\sqrt{n-2}\lt2 \quad\bigg/^2 \\
n-2\lt4 \\
n\lt6$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz ustalić co wynika z otrzymanego wyniku, pamiętając że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną. Z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\) natomiast z nierówności wynika, że \(n\) musi być mniejsze od \(6\). W związku z tym są cztery wyrazy, które spełniają te dwa warunki: \(n=\{2,3,4,5\}\).

A

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$2^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
a_{1}\cdot a_{3}=4$$

Naszym zadaniem jest obliczenie ile jest równe \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\). Skoro \(a_{2}=2\) oraz \(a_{1}\cdot a_{3}=4\), to znaczy że:
$$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=a_{2}\cdot a_{1}\cdot a_{3}=2\cdot4=8$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda zbyt wielu danych nie mamy, ale narysujmy sobie trójkąt prostokątny z zaznaczonymi kątami, tak aby potem móc poprawnie odnosić się do poszczególnych funkcji trygonometrycznych:



Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).
Z dwóch równań z treści zadania możemy ułożyć następujący układ:
$$\begin{cases}
sinα+sinβ=\frac{17}{13} \\
sinα-sinβ=\frac{7}{13}
\end{cases}$$

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$2sinα=\frac{24}{13} \\
sinα=\frac{12}{13}$$

Krok 3. Obliczenie długości jednej przyprostokątnej.
Sinus jest funkcją trygonometryczną, która opisuje nam zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(α\) oraz przeciwprostokątną. W naszym przypadku \(sinα=\frac{a}{c}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(c=13\), a \(sinα=\frac{12}{13}\), to znaczy że \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Wiemy już, że w tym trójkącie są boki długości \(12\) i \(13\), zatem trzeci bok (drugą przyprostokątną oznaczoną jako \(b\)) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$12^2+b^2=c^2 \\
144+b^2=169 \\
b^2=25 \\
b=5 \quad\lor\quad b=-5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=5\).

Krok 5. Wyznaczenie wartości tangensa.
Znamy miary wszystkich boków trójkąta, zatem możemy bez problemu obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{a}{b} \\
tgα=\frac{12}{5}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), czyli że \(sin^2α=1-cos^2α\). Podstawiając to do naszego równania otrzymamy:
$$sin^2α-cos^2α=\frac{1}{2} \\
1-cos^2α-cos^2α=\frac{1}{2} \\
-2cos^2α=-\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{2} \\
cos^2α=\frac{1}{4} \\
cosα=\frac{1}{2} \quad\lor\quad cosα=-\frac{1}{2}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest miara kąta \(α\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(60°\), zatem kąt \(α\) mieści się w przedziale \(51°\lt α \lt70°\).

D

Krok 1. Obliczenie długości promienia \(EG\).
Odcinek \(EF\) składa się z sumy odcinków \(|EG|\), \(|GH|\) oraz \(|HF|\). Z rysunku wynika, że |\(EG|=r\) oraz \(|GH|=|HF|=3\), zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$|EG|+|GH|+|HF|=8 \\
|EG|+3+3=8 \\
|EG|+6=8 \\
|EG|=2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni dużego koła.
Długość promienia dużego koła jest podana w treści zadania i jest równa \(|GH|=3\), zatem:
$$P_{d}=πr^2 \\
P_{d}=π\cdot3^2 \\
P_{d}=9π$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni małego koła.
Promień małego koła obliczyliśmy w pierwszym kroku, zatem:
$$P_{m}=πr^2 \\
P_{m}=π\cdot2^2 \\
P_{m}=4π$$

Krok 4. Obliczenie różnicy pól powierzchni.
Na koniec musimy zgodnie z poleceniem obliczyć różnicę pól powierzchni:
$$P_{d}-P_{m}=9π-4π=5π$$

B

W tym zadaniu musimy pamiętać o własnościach trójkątów równoramiennych prostokątnych, czyli trójkąta o kątach \(45°,45°,90°\). W takim trójkącie przyprostokątne o długości \(a\) mają przeciwprostokątną \(\sqrt{2}\) razy większą, czyli mają przeciwprostokątną równą \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że powstanie nam taka oto sytuacja:



Spójrzmy najpierw na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt równoramienny o boku \(a\), zatem przeciwprostokątna \(AC\) ma długość \(a\sqrt{2}\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). To także jest trójkat równoramienny, czyli skoro \(|AC|=a\sqrt{2}\) to także \(|BC|=a\sqrt{2}\). W związku z tym przeciwprostokątna \(AB\) będzie mieć długość \(a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\) i to będzie najdłuższy bok tego trójkąta.

To oznacza, że najdłuższy bok w tym trapezie ma długość \(2a\).

A

Korzystając z własności stycznych do okręgu (które w tym momencie tworzą trójkąt) możemy stworzyć następujący rysunek:



W związku z tym obwód tego trójkąta jest równy:
$$Obw=3+3+5+5+12+12=40$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować całą tę sytuację, zaznaczając przy okazji środek odcinka \(AB\):



Okazuje się, że punkt M jest tak naprawdę środkiem odcinka \(AS\). Musimy zatem najpierw wyznaczyć współrzędne punktu \(S\) (który jest środkiem odcinka \(AB\)), a następnie przejdziemy do wyznaczenia współrzędnych punktu \(M\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:

$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
x_{S}=\frac{-23+17}{2} \\
x_{S}=\frac{-6}{2} \\
x_{S}=-3 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{-9+21}{2} \\
y_{S}=\frac{12}{2} \\
y_{S}=6$$

To oznacza, że \(S=(-3;6)\).

Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(M\).
Zgodnie z analizą rysunku pomocniczego, punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AS\), zatem korzystając z tych samych wzorów co w drugim kroku możemy zapisać, że:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{S}}{2} \\
x_{M}=\frac{-23-3}{2} \\
x_{M}=\frac{-26}{2} \\
x_{M}=-13 \\
\quad \\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{S}}{2} \\
y_{M}=\frac{-9+6}{2} \\
y_{M}=\frac{-3}{2} \\
y_{M}=-\frac{3}{2}$$

To oznacza, że \(M=\left(-13;-\frac{3}{2}\right)\).

Krok 4. Obliczenie iloczynu współrzędnych punktu \(M\).
Na koniec zgodnie z poleceniem musimy podać wartość iloczynu obydwu współrzędnych punktu \(M\), zatem:
$$-13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{39}{2}=19,5$$

\(x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy wykonać odpowiednie działania i przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, zatem:
$$x(x-1)\gt2(x+1)-4 \\
x^2-x\gt2x+2-4 \\
x^2-3x+2\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=2\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono wymnażając poszczególne wielomiany.

Wymnażając poszczególne jednomiany otrzymamy:
$$2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1 \\
2(x^2-1)-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-2-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-4xy+2y^2=1 \\
2(x^2-2xy+y^2)=1 \\
x^2-2xy+y^2=\frac{1}{2} \\
(x-y)^2=\frac{1}{2} \\
x-y=\sqrt{\frac{1}{2}} \\
x-y=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci typu \((x-y)^2=\frac{1}{2}\) lub podobnej polegającej na zwinięciu wyrażenia przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować trójkąt, który będzie opierał się na średnicy tego półokręgu i będzie miał wierzchołek w punkcie \(C\). Z własności trójkątów wpisanych w okrąg wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie jednocześnie trójkątem prostokątnym.



Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zakończenie dowodzenia.
Poza tym, że mamy jeden duży trójkąt \(ABC\) to powstały nam dwa prostokątne trójkąty podobne \(ADC\) oraz \(DBC\) (cecha kąt-bok-kąt). Korzystając z tego podobieństwa możemy zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|BD|}{|CD|} \\
\frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
ab=2$$

Otrzymaliśmy dokładnie to co mieliśmy wykazać, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąt \(ACB\) jest prosty i zapiszesz jakieś równanie wynikające z podobieństwa trójkątów.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(f(x)=2x^2+4x-6\)

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8) \\
f(x)=a(x+1)^2-8$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że:
$$a\cdot(-3+1)^2-8=0 \\
a\cdot(-2)^2-8=0 \\
4a-8=0 \\
4a=8 \\
a=2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$

Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8 \\
f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8 \\
f(x)=2x^2+4x+2-8 \\
f(x)=2x^2+4x-6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że drugim miejscem zerowym jest \(x=1\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=(-2-2\sqrt{2})x \lor y=(-2+2\sqrt{2})x\)

Krok 1. Ułożenie układu równań.
Każdą prostą w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Z własności postaci kierunkowej wiemy, że współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. W naszym przypadku prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem \(b=0\). To oznacza, że naszą prostą możemy opisać wzorem \(y=ax\).

Szukamy miejsca przecięcia się prostej z parabolą. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się ze wzorów dwóch funkcji otrzymamy właśnie miejsce/miejsca przecięcia się wykresów. W związku z tym musimy ułożyć i rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=ax \\
y=(x-1)^2+1
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$ax=(x-1)^2+1 \\
ax=x^2-2x+1+1 \\
ax=x^2-2x+2 \\
ax-x^2+2x-2=0 \\
-x^2+ax+2x-2=0 \\
-x^2+(a+2)x-2=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe rozwiążemy dokładnie tak jak każde inne. Musimy tylko uważać na symbole, bo współczynnik \(a\) będzie nam się trochę "dublował" z niewiadomą \(a\):
Współczynniki: \(a=-1,\;b=a+2,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(a+2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=a^2+4a+4-8=a^2+4a-4$$

Teraz musimy skorzystać z bardzo ważnej informacji zaszytej w treści zadania, a mianowicie faktu, iż prosta z parabolą przecinają się tylko w jednym miejscu. Ta informacja mówi nam, że istnieje w takim razie tylko jedno rozwiązanie tego równania kwadratowego, a to z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie delta musi być równa \(0\) (bo tylko wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie). W związku z tym otrzymujemy równanie:
$$a^2+4a-4=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\)
Powstało nam więc tak naprawdę drugie równanie kwadratowe \(a^2+4a-4=0\), które tym razem da nam odpowiedź na pytanie - dla jakiego \(a\) delta jest równa \(0\), czyli dla jakiego \(a\) funkcja \(y=ax\) ma jedno miejsce przecięcia się z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-4)=16-(-16)=32 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2}=-2-2\sqrt{2} \\
a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2}=-2+2\sqrt{2}$$

Krok 5. Zapisanie równania prostej.
Żadnego z rozwiązań z poprzedniego kroku wykluczyć nie możemy, a to oznacza że warunki tego zadania będą spełniać dwie proste:
$$y=(-2-2\sqrt{2})x \quad\lor\quad y=(-2+2\sqrt{2})x$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że delta jest równa \(a^2+4a-4\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań z treści zadania.
Zadanie jest trochę zagmatwane i wszystko sprowadza się tak naprawdę do poprawnego ułożenia dwóch równań z których stworzymy układ równań. Przyjmijmy, że:
\(a\) - obecny wiek Anki
\(d\) - obecny wiek Danki
\(a-d\) - różnica wieku między Anką i Danką

Teraz ułóżmy pierwsze równanie. Ze zdania "Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza" wynika, że:
$$a-(a-d)=3(d-(a-d))$$
lub też po prostu:
$$d=3(d-(a-d))$$

Drugie równanie wynika ze zdania "Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata", czyli:
$$a+(a-d)=42$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań wyznaczonych w pierwszym kroku powstaje nam układ równań, który musimy po prostu rozwiązać:
$$\begin{cases}
d=3(d-(a-d)) \\
a+(a-d)=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(d-a+d) \\
a+a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(2d-a) \\
2a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=6d-3a \\
d+42=2a
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
5d-3a=0 \\
d=2a-42
\end{cases}$$

Podstawiając \(d=2a-42\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$5\cdot(2a-42)-3a=0 \\
10a-210-3a=0 \\
7a=210 \\
a=30$$

Znając wiek Anki możemy obliczyć także wiek Danki, podstawiając \(a=30\) do jednego z równań:
$$d=2a-42 \\
d=2\cdot30-42 \\
d=60-42 \\
d=18$$

To oznacza, że Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia i ułożysz dwa równania z których da się później ułożyć układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Obw=104\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu trzeba pamiętać, że przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym oraz że dzielą nam kąty rozwarte na dwie równe miary. W związku z tym całość wyglądać będzie w następujący sposób:



Krok 2. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wiemy, że suma długości przekątnych jest równa \(68\), czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$2x+2y=68$$

Dodatkowo wiemy, że tangens kąta \(α\) jest równy \(2,4\). Tangens opisuje zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(α\) do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, zatem:
$$tgα=2,4 \\
\frac{y}{x}=2,4$$

I to właśnie z tych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
\begin{cases}
2x+2y=68 \\
\frac{y}{x}=2,4
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ równań metodą podstawiania. W tym celu możemy wyznaczyć np. wartość igreka z drugiego równania i podstawić go do równania pierwszego:
$$\begin{cases}
2x+2y=68 \quad\bigg/:2 \\
\frac{y}{x}=2,4 \quad\bigg/\cdot x
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x+y=34 \\
y=2,4x
\end{cases}$$

Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
$$x+2,4x=34 \\
3,4x=34 \\
x=10$$

Znając wartość \(x=10\) możemy obliczyć brakującą wartość igreka, podstawiając iksa do jednego z równań:
$$10+y=34 \\
y=24$$

Krok 4. Obliczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na jeden z czterech trójkątów prostokątnych, które powstały nam w rombie. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$x^2+y^2=a^2 \\
10^2+24^2=a^2 \\
100+576=a^2 \\
a^2=676 \\
a=26 \quad\lor\quad a=-26$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=26\).

Krok 5. Obliczenie obwodu rombu.
Samo obliczenie obwodu jest już formalnością, bo już wiemy że nasz romb ma cztery boki o długości \(26\), zatem:
$$Obw=4\cdot26 \\
Obw=104$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długości połowy przekątnych (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=7\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) prostej \(AB\).
Prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(CP\). Wiemy, że prosta \(CP\) wyraża się wzorem \(-x-y=0\), czyli \(y=-x\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta symetralna ma ten współczynnik równy \(-1\) (bo przed iksem nie ma żadnej liczby i stoi minus), zatem prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot(-1)=-1 \\
a=1$$

To oznacza, że prosta \(AB\) wyraża się wzorem \(y=1x+b\), czyli \(y=x+b\).

Krok 3. Wyznacznie współczynnika \(b\) prostej \(AB\).
Do wyznaczenia współczynnika \(b\) posłuży nam punkt \(A\), którego współrzędne mamy podane w treści zadania. Podstawiając te współrzędne do wzoru \(y=x+b\) otrzymamy:
$$1=-4+b \\
b=5$$

To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana wzorem \(y=x+5\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt P jest miejscem przecięcia się dwóch prostych, których wzory są nam już znane. To oznacza, że możemy z równań tych prostych ułożyć układ równań, a rozwiązaniem tego układu będą właśnie współrzędne punktu \(P\).
$$\begin{cases}
y=-x \\
y=x+5
\end{cases}$$

Dodając równanie stronami otrzymamy:
$$2y=5 \\
y=\frac{5}{2}$$

Znamy już współrzędną igrekową, teraz musimy obliczyć współrzędną iksową, a zrobimy to podstawiając \(y=\frac{5}{2}\) do jednego z równań:
$$\frac{5}{2}=-x \\
x=-\frac{5}{2}$$

To oznacza, że \(P=\left(-\frac{5}{2};\frac{5}{2}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\) i \(AB\).
Długość odcinka \(AP\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}-(-4)\right)^2+\left(\frac{5}{2}-1\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}+4\right)^2+\left(\frac{5}{2}-1\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}} \\
|AP|=\sqrt{\frac{18}{4}} \\
|AP|=\sqrt{\frac{9}{2}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3}{\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Długość odcinka \(AP\) przyda nam się tak naprawdę tylko do tego, aby wyznaczyć długość odcinka \(AB\). Symetralna dzieli bok na dwie równe części, zatem odcinek \(AB\) będzie dwukrotnie dłuższy od odcinka \(AP\), czyli:
$$|AB|=2\cdot|AP| \\
|AB|=2\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
|AB|=3\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(CP\).
Odcinek \(CP\) jest wysokością naszego trójkąta, czyli miarą którą potrzebujemy do obliczenia pola powierzchni trójkąta. Znamy współrzędne punktu \(C\) oraz \(P\), zatem:
$$|CP|=\sqrt{(x_{P}-x_{C})^2+(y_{P}-y_{C})^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-5-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^2+\left(5-\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-5+\frac{5}{2}\right)^2+\left(5-\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}} \\
|CP|=\sqrt{\frac{50}{4}} \\
|CP|=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} \\
|CP|=\frac{\sqrt{25\cdot2}}{2} \\
|CP|=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Krok 7. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Znamy długość podstawy \(|AB|=3\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość trójkąta jest równa \(|CP|=\frac{5\sqrt{2}}{2}\), zatem pole powierzchni tej figury będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CP| \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{15\cdot2}{2\cdot2} \\
P=\frac{30}{4} \\
P=7\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\) (patrz: Krok 5.) oraz wysokość trójkąta (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ciąg arytmetyczny \((0, 3, 6)\). Ciąg geometryczny \((3, 6, 12)\).

Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych.
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{x-3+y}{2} \\
2x=x-3+y \\
x=-3+y$$

Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
y^2=x\cdot2y$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
$$\begin{cases}
x=-3+y \\
y^2=x\cdot2y
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$y^2=(-3+y)\cdot2y \\
y^2=-6y+2y^2 \\
y^2-6y=0 \\
y(y-6)=0 \\
y=0 \quad\lor\quad y=6$$

Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\).

Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$x=-3+y \\
x=-3+6 \\
x=3$$

Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy:
Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\)
Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu geometrycznego ułożysz dwa równania (lub wręcz układ równań) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy rozwiązując układ równań doprowadzisz do równania z jedną niewiadomą, np. \(y^2-6y=0\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wartości \(x\) oraz \(y\), odrzucając rozwiązanie \(y=0\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.