Matura – Matematyka – Czerwiec 2021 – Odpowiedzi

D

Na początek ważne przypomnienie - aby dobrze rozwiązać to zadanie, musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Wymnażając poszczególne pierwiastki przez liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1$$

B

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(7^{\frac{6}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=7^{\frac{6}{4}\cdot\frac{2}{3}}=7^{\frac{12}{12}}=7^1$$

C

Powinniśmy dostrzec, że \(54\) to tak naprawdę \(18\cdot3\). Skoro tak, to:
$$log_{3}54=log_{3}(18\cdot3)$$

Teraz zadanie jest już proste, ponieważ ze wzoru na sumę logarytmów \(log_{a}b+log_{a}c=log_{a}(b\cdot c)\) wynika, że:
$$log_{3}(18\cdot3)=log_{3}18+log_{3}3=c+1$$

B

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena drukarki
\(0,8x\) - cena drukarki po pierwszej
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena drukarki po drugiej obniżce

Skoro na początku drukarka kosztowała \(x\), a teraz kosztuje \(0,72x\) , to znaczy, że cena drukarki spadła o:
$$x-0,72x=0,28x$$

To oznacza, że spadek wyniósł \(28\%\).

A

W tym zadaniu nie chodzi o żadne podstawianie liczb, czy też rozwiązanie równania kwadratowego (bo to nie jest w ogóle równanie, gdyż nie mamy znaku "równa się"). Naszym celem jest po prostu uproszczenie podanego wyrażenia. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$(x-1)^2-(2-x)^2=x^2-2x+1-(4-4x+x^2)= \\
=x^2-2x+1-4+4x-x^2=2x-3$$

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek, rozwiążmy obydwie podane nierówności. Przy okazji musimy pamiętać, że gdy zajdzie konieczność pomnożenia lub podzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, to trzeba będzie zmienić znak nierówności na przeciwny. W związku z tym:

Pierwsza nierówność:
$$0\lt7-3x \\
3x\lt7 \\
x\lt\frac{7}{3}$$

Druga nierówność:
$$7-3x\le5x-3 \\
7-8x\le-3 \\
-8x\le-10 \quad\bigg/:(-8) \\
x\ge\frac{10}{8} \\
x\ge\frac{5}{4}$$

Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Interesuje nas przedział liczb, które są jednocześnie mniejsze od \(\frac{7}{3}\) i większe lub równe \(\frac{5}{4}\). Taki przedział znajduje się na rysunku z odpowiedzi B.

A

Przenosząc "iksy" na jedną stronę oraz liczby na drugą, otrzymamy:
$$x\sqrt{3}+2=2x-8 \\
x\sqrt{3}-2x=-8-2 \\
x\sqrt{3}-2x=-10$$

Jak rozwiązać tego typu równanie? Musimy po lewej stronie wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem \(x\sqrt{3}\) oraz \(-2x\) jest oczywiście \(x\), zatem:
$$x\sqrt{3}-2x=-10 \\
x(\sqrt{3}-2)=-10 \\
x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczony przed chwilą wynik jest jak najbardziej poprawny, ale nie znalazł się on w proponowanych odpowiedziach. To dlatego, że powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku otrzymamy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2} \\
x=\frac{-10\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)} \\
x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{3-4} \\
x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{-1} \\
x=10\sqrt{3}+20=10(\sqrt{3}+2)=10(2+\sqrt{3})$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x^2-49\neq0 \\
x^2\neq49 \\
x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem:
$$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49) \\
x^2-7x=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2-7x=0 \\
x(x-7)=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-7=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=7$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).

C

Przeanalizujmy po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi.
Odp A. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nasza funkcja ma tylko dwa miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=4,5\). Gdyby ostatnia kropka była zamalowana, to wtedy miejscem zerowym byłoby jeszcze \(x=7\).
Odp. B - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nie zgadza się tutaj nawias przy liczbie \(1\). Owszem, po lewej stronie wykresu kropka jest niezamalowana, co mogłoby sugerować że wartość równa \(1\) nie jest przyjmowana, ale przecież wartość równa \(1\) jest przyjmowana chociażby dla argumentów \(x=5\) czy \(x=6\). Zbiorem wartości będzie więc tutaj \(\langle-1, 1\rangle\)
Odp. C. - to zdanie jest prawdą, bowiem faktycznie największą wartością przyjmowaną przez tę funkcję jest \(1\) (ta wartość jest przyjmowana dla wszystkich argumentów od \(x=5\) aż do \(x=6\) włącznie).
Odp. D. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż ujemne wartości są przyjmowane dla argumentów ze zbioru \((1;4,5)\)

B

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci iloczynowej, co znacząco ułatwia wyznaczenie miejsc zerowych tej funkcji. Chcąc poznać miejsca zerowe, musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli de facto rozwiązać równanie kwadratowe:
$$-3(x+4)(x-2)=0$$

Skoro jest to postać iloczynowa, to wystarczy przyrównać wartości z nawiasów do zera, zatem:
$$x+4=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=-4 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spoglądając na wzór funkcji widzimy, że współczynnik kierunkowy \(a=-3\). Skoro jest on ujemny, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczając na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, otrzymamy zatem taką oto sytuację:


Krok 3. Ustalenie wartości \(p\) oraz \(q\).
Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że współrzędna \(p\) jest tak naprawdę średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-4+2}{2} \\
p=\frac{-2}{2} \\
p=-1$$

Z samego rysunku szkicowego jasno wynika, że funkcja przyjmuje w swoim wierzchołku wartość dodatnią (tak na marginesie, moglibyśmy ją nawet policzyć - w tym celu wystarczyłoby do wzoru funkcji podstawić \(x=-1\)).

To oznacza, że \(p\lt0\) i \(q\gt0\).

D

Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Znane nam miejsce zerowe \(x=2\) jest oddalone od osi symetrii \(x=-2\) o \(4\) jednostki, wiec analogicznie poszukiwane miejsce zerowe także musi być o te \(4\) jednostki oddalone:


Oczywiście do tego samego wyniku możemy dojść w nieco bardziej matematyczny sposób, przy użyciu średniej arytmetycznej. Wiedząc, że oś symetrii znajduje się dokładnie między dwoma miejscami zerowymi, moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{x+2}{2}=-2 \\
x+2=-4 \\
x=-6$$

C

Wbrew pozorom nie musimy niczego tutaj wyliczać, ani też nie musimy wyznaczać wzoru funkcji. Skoro prosta \(x=-2\) jest osią symetrii, to wartość funkcji dla argumentu \(x=-4\) (czyli argumentu oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki) musi być taka sama, jak wartość funkcji dla argumentu \(x=0\) (czyli także oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki).

Z wykresu odczytujemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\) i taką samą przyjmie więc dla argumentu \(x=-4\).

B

Aby dowiedzieć się, który ciąg jest tym poszukiwanym, wystarczy podstawić do każdego z nich wartość \(n=10\). W ten sposób obliczymy wartość dziesiątego wyrazu każdego z tych ciągów:
$$a_{10}=20\cdot10+3 \\
a_{10}=200+3 \\
a_{10}=203$$

$$b_{10}=2\cdot10^2-3 \\
b_{10}=2\cdot100-3 \\
b_{10}=200-3 \\
b_{10}=197$$

$$c_{10}=10^2+10\cdot10-2 \\
c_{10}=100+100-2 \\
c_{10}=198$$

$$d_{10}=\frac{10+187}{10} \\
d_{10}=\frac{197}{10} \\
d_{10}=19,7$$

Widzimy, że liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu \(b_{n}\).

B

Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do równania z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}\cdot a_{2} \\
a_{1}\cdot q^2=a_{1}\cdot a_{1}\cdot q \\
q^2=a_{1}\cdot q \\
a_{1}=q$$

A

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z zależności między funkcjami trygonometrycznymi wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\sqrt{5} \\
\frac{sinα}{cosα}=\sqrt{5}$$

Mnożąc obie strony przez \(cosα\), otrzymamy:
$$sinα=\sqrt{5}cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2\alpha\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Wiemy też, że \(sinα=\sqrt{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\sqrt{5}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
5cos^2α+cos^2α=1 \\
6cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{6}$$

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BOC\).
Wiemy, że suma kątów przyległych jest równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle BOC|=180°-82°=98°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(OBC\).
Spójrzmy na trójkąt \(BOC\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że ramiona \(BO\) oraz \(CO\) są jednocześnie promieniami okręgu. Wiemy już, że kąt między tymi ramionami ma miarę \(98°\), zatem suma miar dwóch pozostałych kątów musi być równa \(180°-98°=82°\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle OBC|=82°:2=41°$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z własności stycznych do okręgu jest fakt, iż promień okręgu przechodzący przez punkt styczności będzie do tej stycznej prostopadły. Mamy więc taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Spójrzmy najpierw na kąt \(BAS\). Jego miara będzie równa \(90°-40°=50°\). Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Odcinki \(AS\) oraz \(BS\) mają jednakową miarę, bo są to promienie okręgu. Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, a skoro tak, to kąt \(ABC\) będzie miał taką samą miarę co kąt \(BAS\), czyli \(50°\).

B

Jedną z własności trójkąta prostokątnego jest to, że dwusieczne jego kątów przecinają się w punkcie, który jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Można więc powiedzieć, że poszukiwana odległość \(x\) to nic innego jak promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Do obliczenia długości takiego promienia możemy skorzystać ze wzoru na promień okręgu wpisanego (który znajduje się w tablicach), czyli:
$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Podstawiając teraz do tego wzoru długości boków \(a=24\), \(b=10\) oraz \(c=26\), otrzymamy:
$$r=\frac{24+10-26}{2} \\
r=\frac{8}{2} \\
r=4$$

C

Do zadania trzeba podejść analitycznie. Powinniśmy dostrzec, że połówki przekątnych oraz bok równoległoboku tworzą trójkąt:


Całe zadanie polega teraz na tym, by określić, kiedy taki trójkąt w ogóle może powstać. Z własności trójkątów wiemy, że aby trójkąt (dowolny) mógł powstać, to suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości boku najdłuższego. Przykładowo:
· Gdyby przekątne miały długość \(4\) oraz \(6\), to połówki tych długości byłyby równe \(2\) oraz \(3\). Czy może powstać trójkąt o bokach \(2\), \(3\) oraz \(5\)? Niestety nie może, bo suma \(2+3\) nie jest większa od \(5\).
· Gdyby przekątne miały długość \(4\) oraz \(3\), to połówki tych długości byłyby równe \(2\) oraz \(1,5\). Czy może powstać trójkąt o bokach \(2\), \(1,5\) oraz \(5\)? Niestety nie może, bo suma \(2+1,5\) nie jest większa od \(5\).
· Gdyby przekątne miały długość \(10\) oraz \(10\), to połówki tych długości byłyby równe \(5\) oraz \(5\). Czy może powstać trójkąt o bokach \(5\), \(5\) oraz \(5\)? Może, bo suma \(5+5\) jest większa od \(5\) (swoją drogą będzie to trójkąt równoboczny).
· Gdyby przekątne miały długość \(5\) oraz \(5\), to połówki tych długości byłyby równe \(2,5\) oraz \(2,5\). Czy może powstać trójkąt o bokach \(2,5\), \(2,5\) oraz \(5\)? Niestety nie może, bo suma \(2,5+2,5\) nie jest większa od \(5\).

W ten oto sposób doszliśmy do tego, że jedyną pasującą parą przekątnych będzie ta z trzeciej odpowiedzi.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rysując wysokość padającą na bok o znanej nam długości, otrzymamy następującą sytuację:


Podzieliliśmy w ten sposób naszą figurę na dwa trójkąty prostokątne o kątach \(30°\), \(60°\) oraz \(90°\) i to z własności tych trójkątów teraz skorzystamy.

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszej wysokości.
Najkrótsza wysokość trójkąta to ta, która pada na najdłuższy bok. W naszym trójkącie najkrótszym bokiem jest podstawa, zatem to wysokość padająca na podstawę będzie tą, której poszukujemy.

Z własności trójkątów o kątach \(30°\), \(60°\) oraz \(90\)° wynika, że przyprostokątna leżąca przy kącie o mierze \(30°\) jest \(\sqrt{3}\) razy większa od przyprostokątnej leżącej przy kącie o mierze \(60°\). Mówiąc wprost, jeżeli interesującą nas wysokość opiszemy jako \(x\), to bok o długości \(6\) będzie równy \(x\sqrt{3}\). Skoro tak, to:
$$x\sqrt{3}=6 \\
x=\frac{6}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x=\frac{6\sqrt{3}}{3} \\
x=2\sqrt{3}$$

B

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, musimy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic, albo po prostu z układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, bo wbrew pozorom jest ona znacznie prostsza. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy najpierw podstawić współrzędne pierwszego punktu, a potem drugiego. Dzięki temu otrzymamy:
\begin{cases}
-1=-4a+b \\
5=5a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-9a \\
a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

Skoro współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), to możemy stwierdzić, że nasza prosta przyjmuje postać \(y=\frac{2}{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać brakujący współczynnik \(b\). W tym celu wystarczy do wybranego równania z układu (np. drugiego) podstawić obliczone przed chwilą \(a=\frac{2}{3}\), zatem:
$$5=5\cdot\frac{2}{3}+b \\
5=\frac{10}{3}+b \\
\frac{15}{3}=\frac{10}{3}+b \\
b=\frac{5}{3}$$

To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\).

B

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W pierwszej prostej ten współczynnik jest równy \(a=-\frac{1}{m-2}\), natomiast w drugiej jest to \(a=\frac{1}{3}\). Skoro te wartości muszą być sobie równe, to:
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3}$$

I tu zanim zaczniemy liczyć, to taka mała uwaga - w mianowniku ułamka pojawiła się niewiadoma \(m\). Wiemy, że wartość mianownika musi być zawsze różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), z tego też względu powinniśmy zapisać, że \(m\neq2\). Teraz możemy przystąpić do liczenia. Całość będzie najprościej zacząć od wymnożenia obu stron przez \(3\):
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot 3 \\
-\frac{3}{m-2}=1 \quad\bigg/\cdot(m-2) \\
-3=m-2 \\
m=-1$$

D

Krok 1. Obliczenie długości boku \(CD\).
Na początek obliczmy długość jednego z boków prostokąta, czyli boku \(CD\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2} \\
|CD|=\sqrt{(2-(-3))^2+(1-1)^2} \\
|CD|=\sqrt{5^2+0^2} \\
|CD|=\sqrt{25} \\
|CD|=5$$

Krok 2. Obliczenie pola prostokąta.
Widzimy wyraźnie, że mamy do czynienia z prostokątem o wymiarach \(6\times5\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=6\cdot5 \\
P=30$$

C

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Nasze równanie prostej zapisane jest w postaci ogólnej, a aby je przekształcić, potrzebujemy postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Przekształćmy zatem to równanie. W tym celu wystarczy przenieść wszystkie wyrazy w taki sposób, by po lewej stronie został \(y\), a po prawej cała reszta:
$$x-2y+3=0 \\
x+3=2y \\
y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Krok 2. Przekształcenie względem osi \(Oy\).
Przekształceniem funkcji \(f(x)\) względem osi \(Oy\) będzie \(f(-x)\) (mówiąc obrazowo - wartości argumentów \(x\) muszą zmienić swój znak na przeciwny). Skoro tak, to we wzorze naszej funkcji \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\) musimy zmienić wartość \(\frac{1}{2}x\) na \(-\frac{1}{2}x\), otrzymując:
$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Krok 3. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Aby dopasować się do proponowanych odpowiedzi, musimy przekształcić zapis do postaci ogólnej, czyli takiej, gdzie po prawej stronie mamy jedynie zero. W związku z tym:
$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
$$2y=-x+3 \\
x+2y-3=0$$

B

Krok 1. Ustalenie jaka figura jest w podstawie graniastosłupa.
Aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, musimy na wstępie określić z jakim w ogóle graniastosłupem mamy do czynienia (czyli co znajduje się w jego podstawie). Ta informacja jest dla nas kluczowa, bowiem póki co, nie wiemy ile ścian bocznych ma nasza bryła. Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi. Skoro tych krawędzi mamy mieć \(36\), to:
$$3n=36 \\
n=12$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się dwunastokąt.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Jeżeli w podstawie mamy dwunastokąt, to wiemy już, że będziemy mieć \(12\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że każda z tych ścian to tak naprawdę kwadrat o boku \(4\), zatem:
$$P_{b}=12\cdot 4^2 \\
P_{b}=12\cdot16 \\
P_{b}=192$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Na podstawie tych danych, musimy teraz obliczyć pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej tworzy \(6\) trójkątów o podstawie \(x\) i wysokości \(2x\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{b}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x \\
P_{b}=6x^2$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Korzystając ze wzoru na pole sześciokąta możemy zapisać, że:
$$P_{p}=6\cdot\frac{x^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2$$

Krok 4. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Na sam koniec musimy obliczyć stosunek tych dwóch pól, czyli podzielić pole powierzchni bocznej przez pole podstawy:
$$\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{6x^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=6:\frac{3\sqrt{3}}{2}=6\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale musimy jeszcze wyłączyć niewymierność z mianownika, zatem:
$$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

C

Krok 1. Wprowadzenie danych do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba samogłosek
\(1,25x\) - liczba spółgłosek
\(x+1,25x=2,25x\) - suma wszystkich liter

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liter) mamy \(2,25x\). Zdarzeń sprzyjających (czyli samogłosek) mamy \(x\). Skoro tak, to prawdopodobieństwo wylosowania samogłoski będzie równe:
$$P(A)=\frac{x}{2,25x}=\frac{4}{9}$$

D

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną, możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3x+3x+2+3x+4}{4}=\frac{13}{2} \\
\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2} \\
9x+8=26 \\
9x=18 \\
x=2$$

\(x\in(1;3)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń, musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć nawiasy znajdujące się po lewej stronie i całość zapisu przekształcić w taki sposób, by po prawej stronie zostało samo zero.
$$2(x+1)(x-3)\lt x^2-9 \\
2(x^2-3x+x-3)\lt x^2-9 \\
2x^2-6x+2x-6\lt x^2-9 \\
2x^2-4x-6\lt x^2-9 \\
x^2-4x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2}{2\cdot1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2}{2\cdot1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)). Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, czyli całość będzie wyglądać następująco:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in(1;3)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przekształcając podane nierówności.

Skoro \(\frac{a+b}{2}\gt c\) oraz \(\frac{b+c}{2}\gt a\), to możemy zapisać, że suma \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\) musi być większa od sumy \(c+a\). Zapiszmy zatem, że:
$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a \\
\frac{a+2b+c}{2}\gt c+a \\
a+2b+c\gt2c+2a \\
2b\gt a+c \\
b\gt\frac{a+c}{2} \\
\frac{a+c}{2}\lt b$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy połączysz wszystkie informacje w jedną nierówność np. \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(r=-\frac{31}{105}\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$

Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem:
$$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62 \\
(a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62 \\
a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2 \\
2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2 \\
-21r=6,2 \\
-21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right) \\
r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{21}=a_{1}+20r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wysokość została skrócona o \(20\%\)

Krok 1. Zapisanie wzorów na pole trapezu.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$

Wiemy, że podstawy naszego początkowego trapezu zostały wydłużone o \(25\%\), czyli wynoszą teraz \(1,25a\) oraz \(1,25b\). Naszym celem jest poznanie długości nowej wysokości, którą oznaczymy sobie jako \(x\). Wzór na pole zmienionego trapezu będziemy więc mogli zapisać jako:
$$P=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$

Krok 2. Obliczenie nowej wysokości trapezu.
Pola powierzchni jednego i drugiego trapezu muszą być równe, zatem:
$$\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x \\
(a+b)\cdot h=(1,25a+1,25b)\cdot x \\
(a+b)\cdot h=1,25(a+b)\cdot x \quad\bigg/:(a+b) \\
h=1,25x \\
h=\frac{5}{4}x \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
x=\frac{4}{5}h$$

Skoro nowa wysokość stanowi \(\frac{4}{5}\) starej wysokości, to znaczy, że wysokość została skrócona o \(20\%\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie składające się z dwóch wzorów na pole trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\frac{|CE|}{|EB|}=2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W treści mamy sporo danych, więc spróbujmy je uporządkować na rysunku pomocniczym:


Z treści zadania wynika wprost, że nasz trójkąt jest równoramienny. W takim razie kluczem do sukcesu będą teraz dwie rzeczy - po pierwsze, musimy dostrzec, że cały trójkąt \(ABC\) ma pole powierzchni równe \(17P+P=18P\). Po drugie, jeżeli dorysujemy sobie wysokość z wierzchołka \(C\), to otrzymamy dwa trójkąty o polu \(9\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli nam trójkąty na dwie równe części).


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Spójrzmy na trójkąty \(FBC\) oraz \(DBE\). Dzięki temu, że odcinki \(FC\) oraz \(DE\) są względem siebie równoległe (obydwa są prostopadłe do prostej \(AB\)) to możemy być pewni, że trójkąty \(FBC\) oraz \(DBE\) są trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt).

Spróbujmy zatem wyznaczyć skalę podobieństwa tych trójkątów. Widzimy, że pole trójkąta \(FBC\) wynosi \(9P\), a pole trójkąta \(DBE\) jest równe \(1P\). Z własności trójkątów podobnych wiemy, że gdy dany trójkąt jest podobny do drugiego w skali \(k\) to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku trójkąt \(FBC\) ma pole \(9\) razy większe od pola trójkąta \(DBE\), zatem:
$$k^2=9 \\
k=3 \quad\lor\quad k=-3$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(k=3\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Wiemy już, że skala podobieństwa trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) jest równa \(k=3\). To oznacza, że jeżeli bok \(BE\) ma długość \(x\), to odcinek \(BC\) będzie trzykrotnie większy, czyli jego długość będziemy mogli oznaczyć jako \(3x\).

Interesujący nas odcinek \(CE\) jest różnicą między długością odcinka \(BC\) oraz \(BE\), zatem:
$$|CE|=|BC|-|BE| \\
|CE|=3x-x \\
|CE|=2x$$

Krok 4. Obliczenie zależności \(\frac{|CE|}{|EB|}\).
Na sam koniec musimy obliczyć wartość \(\frac{|CE|}{|EB|}\). Znamy już długości obydwu odcinków, zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{|CE|}{|EB|}=\frac{2x}{x}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz związek między polami trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{3}{10}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest liczb dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\). Widzimy, że cyfrą dziesiątek może być jedna z sześciu liczb, a cyfrą jedności może być jedna z pięciu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb mamy \(|Ω|=6\cdot5=30\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\). Nie znajdziemy tutaj za bardzo szybkiego sposobu na obliczenie ile jest tych liczb, ale możemy spróbować je wypisać. Nie będzie to trudne, bo liczba podzielna przez \(4\) na pewno nie ma w cyfrze jedności liczb \(1\) oraz \(3\), zatem wiele wariantów nam odpadnie. Pasującymi liczbami będą jedynie:
$$32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84$$

Mamy zatem \(9\) takich liczb, czyli \(|A|=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(A=(6,6;2,8)\) oraz \(P=30,6\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Zapisanie równania wynikającego z równej długości ramion.
Skoro trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, to długość odcinka \(AC\) musi być równa długości \(BC\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka moglibyśmy więc zapisać, że:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$

Teraz do tego równania musimy podstawić współrzędne z treści zadania. Oczywiście brakuje nam współrzędnych punktu \(A\) (to właśnie ich szukamy), ale i tutaj możemy już dokonać ważnej obserwacji. Skoro prosta \(y=-2x+16\) przechodzi przez punkt \(A\), to znaczy, że współrzędna \(y_{A}\) da się opisać równaniem \(-2x+16\). Moglibyśmy nawet zapisać, że współrzędne punktu \(A\) to \(A=(x;-2x+16)\). Podstawiając zatem te współrzędne oraz współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\), otrzymamy:
$$(-2-x)^2+(3-(-2x+16))^2=(-2-3)^2+(3-10)^2 \\
(-2-x)^2+(3+2x-16)^2=(-5)^2+(-7)^2 \\
(-2-x)^2+(2x-13)^2=25+49 \\
4+4x+x^2+4x^2-52x+169=74 \\
5x^2-48x+99=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem skorzystamy z niezawodnej delty:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-48,\;c=99\)
$$Δ=b^2-4ac=(-48)^2-4\cdot5\cdot99=2304-1980=324 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{324}=18$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-48)-18}{2\cdot5}=\frac{48-18}{10}=\frac{30}{10}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-48)+18}{2\cdot5}=\frac{48+18}{10}=\frac{66}{10}=6,6$$

Krok 4. Zapisanie współrzędnych punktu \(A\).
Otrzymaliśmy dwie możliwości współrzędnej \(x\) punktu \(A\). Ta wartość może być równa \(x=3\) oraz \(x=6,6\). Pierwszy przypadek musimy odrzucić, a to dlatego, że \(x=3\) to współrzędna punktu \(B\) (który przecież leży na tej samej prostej co punkt \(A\)). Punkty \(A\) oraz \(B\) nie mogą się pokrywać, więc zostaje nam, że \(x=6,6\).

Skoro tak, to obliczmy teraz współrzędną \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=6,6\) do równania prostej \(y=-2x+16\), zatem:
$$y=-2\cdot6,6+16 \\
y=-13,2+16 \\
y=2,8$$

To oznacza, że \(A=(6,6;2,8)\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Na sam koniec musimy obliczyć pole powierzchni tego trójkąta. Nie będzie to trudne, bo mając współrzędne wszystkich wierzchołków tej figury, możemy skorzystać ze specjalnego wzoru z tablic:
$$P=\frac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})| \\
P=\frac{1}{2}|(3-6,6)\cdot(3-2,8)-(10-2,8)\cdot(-2-6,6)| \\
P=\frac{1}{2}|(-3,6)\cdot(0,2)-(7,2)\cdot(-8,6)| \\
P=\frac{1}{2}|(-0,72)-(-61,92)| \\
P=\frac{1}{2}|-0,72+61,92| \\
P=\frac{1}{2}|61,2| \\
P=\frac{1}{2}\cdot61,2 \\
P=30,6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość ramienia \(|BC|=\sqrt{74}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z punktu \(C\), czyli \(y=\frac{1}{2}x+4\).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BC\), czyli \(a=\frac{7}{5}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z równoramienności trójkąta ABC (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz środek odcinka \(AB\), czyli \(D=\left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AC\), czyli \(y=-\frac{1}{43}x+\frac{127}{43}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(A\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość podstawy \(|AB|=\frac{18\sqrt{5}}{5}\) oraz wysokość \(h=\frac{17\sqrt{5}}{5}\).
ALBO
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.