Statystyka – zadania (egzamin ósmoklasisty)

C

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. O godzinie 10:00 glazurnik rozpoczął godzinną przerwę.
Komentarz: To jest prawda, bo od 10:00 do 11:00 nie została ułożona żadna płytka.

Odp. B. Od 7:00 do 8:00 glazurnik ułożył mniej płytek niż od 11:00 do 12:00.
Komentarz: To jest prawda, bo między 7:00 i 8:00 glazurnik ułożył około \(35\) płytek, a między 11:00 i 12:00 aż \(50\) płytek.

Odp. C. W ciągu każdej godziny glazurnik układał taką samą liczbę płytek.
Komentarz: To jest nieprawda, są godziny kiedy glazurnik nie ułożył nic, a są godziny kiedy układał nawet po \(50\) płytek.

Odp. D. Przez ostatnie trzy godziny pracy glazurnik ułożył \(50\) płytek.
Komentarz: To prawda, od 12:00 do 15:00 glazurnik ułożył dokładnie \(50\) płytek.

B

W stolicy Mongolii mieszka \(627\) tysięcy osób. Wszystkich mieszkańców tego kraju jest \(2538\) tysięcy. To oznacza, że mieszkańcy stolicy stanowią w przybliżeniu:
$$\frac{627}{2538}\approx\frac{1}{4}$$

W stolicy Mongolii mieszka więc około \(\frac{1}{4}\) ludności, a to oznacza że mieszka tam prawie co czwarty mieszkaniec.

D

Krok 1. Obliczenie udziałów procentowych każdej grupy wiekowej.
W obozie uczestniczyło \(5+3+4+8=20\) osób. W związku z tym udział procentowy każdej z grup wiekowych prezentuje się następująco:
\(10\)-latkowie: \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%\)
\(14\)-latkowie: \(\frac{3}{20}=15\%\)
\(15\)-latkowie: \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=20\%\)
\(16\)-latkowie: \(\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=40\%\)

Krok 2. Analiza poszczególnych wykresów.
Poprawne wartości procentowe znalazły się jedynie na diagramie kołowym z ostatniej odpowiedzi i to jest poszukiwany przez nas wykres.

Kąt środkowy ma miarę \(72°\).

Skoro wypoczynek w górach wybrało \(20\%\) ankietowanych, to nasz poszukiwany kąt środkowy będzie stanowić \(20\%\) miary kąta pełnego. W takim razie będzie to kąt:
$$0,2\cdot360°=72°$$

D

Prześledźmy poprawność każdej z podanych odpowiedzi:
Odp. A. Ameryka Północna i Azja zajmują łącznie więcej niż połowę lądów Ziemi.
Komentarz: To nieprawda. Ameryka Północna zajmuje \(16\%\), natomiast Azja zajmuje \(30\%\). Łącznie jest to \(46\%\), a więc mniej niż połowa.

Odp. B. Europa ma najmniejszą powierzchnię spośród wszystkich kontynentów.
Komentarz: To nieprawda, bo Europa zajmuje \(7\%\) i mniejsza od niej jest Australia, która zajmuje \(6\%\).

Odp. C. Afryka i Azja mają łącznie większą powierzchnię niż pozostałe lądy Ziemi.
Komentarz: To nieprawda. Afryka ma \(20\%\), Azja ma \(30\%\), więc razem mają \(50\%\). To oznacza, że także \(50\%\) mają wszystkie pozostałe lądy, co oznacza że zdanie o tym że Afryka i Azja mają większą powierzchnię jest fałszywe.

Odp. D. Powierzchnia Azji stanowi mniej niż jedną trzecią powierzchni lądów Ziemi.
Komentarz: To prawda. Powierzchnia Azji to \(30\%\), a więc faktycznie jest to mniej niż jedna trzecia powierzchni lądów Ziemi.

A

Generalnie zadanie polega na tym by przeanalizować sobie mniej więcej jak wyglądają te wykresy, bo już po szybkiej analizie możemy określić w której klasie sprawdzian poszedł najgorzej. Zauważmy, że w klasie IIa tylko czterech uczniów zdobyło \(8\) punktów lub więcej. W pozostałych klasach liczba takich uczniów jest znacznie większa (\(7\) osób w klasie IIb oraz \(11\) osób w klasie IIc). Jednocześnie w klasie IIa mamy zdecydowanie najwięcej uczniów, którzy uzyskali bardzo niską punktację \(3\) punkty lub mniej. Takich osób jest aż \(13\). W klasie IIb uczniów mających maksymalnie \(3\) punkty jest tylko trzech, a w klasie IIc jest wręcz tylko jedna taka osoba. To oznacza, że bez cienia wątpliwości możemy stwierdzić, że sprawdzian był najtrudniejszy dla uczniów klasy IIa.

Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie by dokonać tu obliczeń, które potwierdzą nasze spostrzeżenia. Aby odpowiedzieć sobie na pytanie dla której klasy ten sprawdzian był najtrudniejszy musimy wyliczyć średnią liczbę uzyskanych punktów dla każdej z klas. Aby to zrobić musimy obliczyć jaka jest liczba uczniów w każdej klasie i ile łącznie punktów oni zdobyli. Liczbę uczniów obliczymy dodając uczniów którzy zdobyli poszczególną liczbę punktów, natomiast łączną liczbę punktów obliczymy mnożąc ilość zdobytych punktów przez uczniów którzy osiągnęli dany wynik.

Klasa IIa:
Liczba uczniów: \(4+5+4+3+1+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$4\cdot1+5\cdot2+4\cdot3+3\cdot6+1\cdot8+2\cdot9+1\cdot10= \\
=4+10+12+18+8+18+10=80$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{80}{20}=4\)

Klasa IIb:
Liczba uczniów: \(1+2+2+6+2+4+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$1\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+6\cdot5+2\cdot7+4\cdot8+2\cdot9+1\cdot10= \\
2+6+8+30+14+32+18+10=120$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{120}{20}=6\)

Klasa IIc:
Liczba uczniów: \(1+3+1+4+5+4+2=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów:
$$1\cdot3+3\cdot4+1\cdot5+4\cdot6+5\cdot8+4\cdot9+2\cdot10= \\
3+12+5+24+40+36+20=140$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{140}{20}=7\)

C

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby lat wszystkich dzieci.
Wiemy, że średnia arytmetyczna wieku Ani i Pawła jest równa \(12\), to znaczy że łącznie mają oni:
$$2\cdot12=24$$

Oprócz tej dwójki mamy jeszcze \(6\)-letnią Kasię, zatem łączna suma lat dzieci będzie równa:
$$24+6=30$$

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetyczne wieku dzieci.
Skoro dzieci mają łącznie \(30\) lat i jest ich trójka, to średnia arytmetyczna ich wieku wyniesie:
$$30:3=10$$

Uzasadniono obliczając średnią arytmetyczną pięciu liczb.

Krok 1. Obliczenie łącznej wartości trzech pierwszych liczb.
O trzech pierwszych liczbach wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(4\). Skoro tak, to łączna wartość tych trzech liczb jest równa:
$$4\cdot3=12$$

Krok 2. Obliczenie łącznej wartości dwóch pozostałych liczb.
O parze kolejnych liczb wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(2\). Czyli łączna wartość tych trzech liczb będzie równa:
$$2\cdot2=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Suma tych pięciu cyfr jest zatem równa \(12+4=16\). Średnia arytmetyczna pięciu cyfr których suma jest równa \(16\) wynosi \(\frac{16}{5}=3,2\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy obliczysz łączną wartość trzech pierwszych liczb (Krok 1.) oraz łączną wartość dwóch pozostałych liczb (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

B

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej wyników skoku wzwyż.
Z diagramu możemy odczytać, że zawodnicy (począwszy od pierwszego) skoczyli:
$$200cm, 205cm, 202cm, 206cm, 208cm, 198cm, 202cm$$

Skoro tak, to średnia arytmetyczna wyników tych siedmiu zawodników będzie równa:
$$śr=\frac{200+205+202+206+208+198+202}{7} \\
śr=\frac{1421}{7} \\
śr=203[cm]$$

Krok 2. Ustalenie ilu zawodników uzyskało wynik wyższy niż średnia.
Wyższy niż \(203cm\) uzyskali zawodnicy numer \(2\), \(4\) oraz \(5\), zatem są to trzy osoby.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na początek zsumujmy liczbę wszystkich zdobytych medali:
$$3+2+5+4+5+2+3+1+7+2+3+6=43$$

Złotych medali było:
$$3+4+3+2=12$$

To oznacza, że złote medale stanowią \(\frac{12}{43}\) wszystkich medali, a to nieco mniej niż \(\frac{1}{3}\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Przed chwilą obliczyliśmy, że na \(4\) igrzyskach, nasi olimpijczycy zdobyli łącznie \(12\) złotych medali. Średnia zdobytych złotych medali jest więc równa:
$$śr=\frac{12}{4}=3$$

Zdanie jest więc prawdą.

C

Krok 1. Obliczenie sumy wszystkich ocen Jacka.
Skoro Jacek ma pięć ocen i ich średnia jest równa \(3,4\), to suma wszystkich ocen jest równa:
$$5\cdot3,4=17$$

Krok 2. Obliczenie nowej średniej ocen.
Dotychczasowa suma ocen Jacka to \(17\). Jak zdobędzie jeszcze jedną czwórkę, będzie miał już sześć ocen, a ich suma wyniesie \(17+4=21\). To oznacza, że nowa średnia ocen będzie równa:
$$\frac{21}{6}=3,5$$

C

Skoro średnia dwóch ocen Janka jest równa \(3,5\), to suma jego ocen będzie równa \(7\), bo \(3,5\cdot2=7\). Chcemy, by dopisując trzecią ocenę (niech to będzie ocena \(x\)), średnia ocen wyniosła \(4\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{7+x}{3}=4 \\
7+x=12 \\
x=5$$

To oznacza, że Janek musi otrzymać piątkę.

C

Chcąc obliczyć medianę moglibyśmy wypisać po kolei wiek wszystkich użytkowników w porządku niemalejącym, czyli \(10,10,10,(...),16,16,16\). Mediana będzie wartością środkową w takim ciągu. Nie musimy jednak wypisywać sobie wieku tych wszystkich uczestników, bo mamy dane podane w bardzo wygodnej tabelce. Musimy tylko ustalić który wyraz tego ciągu jest poszukiwaną przez nas medianą.

W obozie brało udział \(5+3+4+8=20\) uczestników. W związku z tym, że jest to parzysta liczba osób, to mediana będzie średnią arytmetyczną między \(10\)-tym i \(11\)-tym wyrazem.
\(10\)-tym i \(11\)-stym wyrazem w tym ciągu będzie na pewno \(15\) (bo ośmioro dzieci ma wiek \(10\) lub 14 lat, dopiero dziewiąte, dziesiąte, jedenaste i dwunaste dziecko ma \(15\) lat). To oznacza, że mediana jest równa \(15\).

D

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Pracę klasową pisało \(30\) uczniów
Komentarz: To nieprawda, bo pracę klasową napisało \(2+2+8+7+4+2=25\) uczniów.

Odp. B. Najczęściej powtarzającą się oceną jest \(4\)
Komentarz: To nieprawda, bo najczęściej powtarzającą się oceną jest \(3\).

Odp. C. Mediana wyników z pracy klasowej wynosi \(2\)
Komentarz: To nieprawda. Aby obliczyć medianę powinniśmy ułożyć zdobywane oceny od najmniejszej do największej, a mediana byłaby środkową wartością w tym ciągu. Tutaj jednak nie musimy tego ciągu wypisywać, wystarczy przyjrzeć się danym w treści zadania. Mamy \(25\) ocen, więc medianą byłaby \(13\)-sta ocena w takim ciągu. Skoro mamy tylko dwie jedynki oraz dwie dwójki, to początek tego ciągu wyglądałby w ten sposób: \(1,1,2,2,3,3...\). Piąta i każda kolejna ocena w tym ciągu jest już większa od dwójki. To właśnie sugeruje nam, że mediana wyników z pracy klasowej nie może być równa \(2\).

Odp. D. Średnia wyników z pracy klasowej jest równa \(3,6\)
Komentarz: To prawda. Suma wszystkich ocen jest równa:
$$2\cdot1+2\cdot2+8\cdot3+7\cdot4+4\cdot5+2\cdot6=2+4+24+28+20+12=90$$
Sprawdzian pisało \(25\) uczniów, więc średnia arytmetyczna będzie równa \(\frac{90}{25}=3,6\).

D

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Dokonano \(7\) pomiarów, zatem ich średnia arytmetyczna będzie równa:
$$\frac{-2+3+4+0+(-3)+2+3}{7}=\frac{7}{7}=1$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Aby wyznaczyć medianę musimy uporządkować temperatury w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej):
$$−3; −2; 0; 2; 3; 3; 4$$

Mediana to środkowy wyraz tego ciągu liczb, a skoro mamy \(7\) odczytów to medianą będzie czwarta liczba. W tym przypadku jest ona równa \(2\).

Krok 3. Obliczenie amplitudy.
Amplituda to różnica między najwyższą i najniższą temperaturą. Najwyższa temperatura jest równa \(4\), najniższa wynosi \(-3\), zatem amplituda wynosi:
$$4-(-3)=4+3=7$$

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby \(a\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że mediana liczb \(1, a, b\) jest równa \(3\). Mediana to wartość środkowa, a taką jest w tym przypadku nasza liczba \(a\). To oznacza, że \(a=3\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby \(b\) oraz \(c\).
Tym razem skorzystamy z informacji, że mediana liczb \(a, b, c, 10\) jest równa \(5\). Pod \(a\) możemy już podstawić trójkę, co nam da:
$$3, b, c, 10$$

Z racji tego iż jest tutaj parzysta liczba wyrazów, to mediana będzie równa średniej arytmetycznej liczb \(b\) oraz \(c\). Jakie to mogłyby być liczby, jeżeli wiemy że są zapisane w kolejności od najmniejszej do największej?
Nie mogą to być dwie piątki, bo w treści zadania mamy podaną informację, że są to liczby różne. Nie może to też być \(3\) i \(7\), bo powtórzyłaby się trójka. Jedyną pasującą zatem opcją jest to, że \(b=4\) oraz \(c=6\), wtedy mediana będzie równa:
$$\frac{4+6}{2}=5$$

To oznacza, że poszukiwaną przez nas liczbą jest \(c=6\).

Uzasadniono obliczając medianę po dodaniu liczby mniejszej lub równej \(5\) i większej od \(5\).

Krok 1. Obliczenie mediany z zestawu liczb \(3, 5, 9\).
Mediana to tak zwana wartość środkowa. Aby obliczyć medianę należy najpierw uporządkować liczby od najmniejszej do największej. To mamy już akurat zrobione w treści zadania, więc możemy przejść do obliczeń. Mediana nieparzystej ilości liczb jest po prostu środkowym wyrazem, zatem mediana z liczb \(3, 5, 9\) jest równa \(m=5\).

Krok 2. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu mniejszej lub równej \(5\).
Po dopisaniu liczby mniejszej lub równej \(5\) otrzymamy zestaw liczb:
$$x, 3, 5, 9 \\
\text{lub} \\
3, x, 5, 9$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{3+5}{2}=4 \\
\text{lub} \\
m=\frac{x+5}{2}\le5$$

Wniosek: dodając liczbę mniejszą lub równą \(5\), mediana na pewno nie będzie większa od \(5\).

Krok 3. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu liczby większej niż \(5\).
Po dopisaniu liczby większej niż \(5\) otrzymamy zestaw czterech liczb:
$$3, 5, x, 9 \\
\text{lub} \\
3, 5, 9, x$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{5+x}{2}\ge5 \\
\text{lub} \\
m=\frac{5+9}{2}=7$$

W ten sposób udowodniliśmy, że mediana większa od \(5\) jest tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy dopisana liczba jest większa od \(5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozpatrzysz wartość mediany tylko dla jednej z możliwych wartości niewiadomej \(x\) (patrz: Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.