Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2017 – Odpowiedzi

C

Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy:
$$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$

C

Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$

B

Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{4}8+5log_{4}2=log_{4}2^3+log_{4}2^5=log_{4}(2^3\cdot2^5)=log_{4}2^8=log_{4}(2^2)^4=log_{4}4^4=4$$

D

Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2 \\
P_{2}=π{r_{2}}^2$$

Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.

A

Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$

D

Aby się nie zgubić w obliczeniach, to najlepiej jest tego typu nierówności rozbić na dwie części:
$$11\le2x-7\le15 \\
11\le2x-7 \quad\land\quad 2x-7\le15 \\
18\le2x \quad\land\quad 2x\le22 \\
9\le x \quad\land\quad x\le11 \\
x\ge9 \quad\land\quad x\le11$$

Szukamy zatem rysunku na którym zaznaczono zbiór liczb większych lub równych \(9\) i mniejszych lub równych \(11\). Taka sytuacja jest przedstawiona na ostatnim rysunku.

A

Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60 \\
2(a+b)=60$$

Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.

D

$$\frac{x+1}{x+2}=3 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\
x+1=3(x+2) \\
x+1=3x+6 \\
-2x=5 \\
x=-2,5$$

To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).

A

Skoro stosunek długości lin wynosi \(3:4:5\) to możemy zapisać, że kawałki te mają długości \(3x,4x,5x\). W związku z tym:
$$3x+4x+5x=100 \\
12x=100 \\
x=\frac{100}{12} \\
x=\frac{25}{3}[m]$$

Nas interesuje długość najdłuższego boku, czyli tego co ma długość \(5x\), zatem:
$$5x=5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}[m]$$

A

Krok 1. Ustalenie znaku współczynnika \(c\).
Zacznijmy od prostszego współczynnika, a mianowicie współczynnika \(c\). Z własności postaci ogólnej funkcji kwadratowej (czyli tej zapisanej w treści zadania) wynika, że o ile współczynnik \(a\) decyduje o tym czy ramiona są skierowane do góry czy do dołu, o tyle współczynnik \(c\) mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków dla \(y=2\), to współczynnik \(c=2\).

W naszym przypadku parabola przecina oś igreków w dodatnim miejscu, a to oznacza, że \(c\gt0\).

Krok 2. Ustalenie znaku współczynnika \(b\).
Ze współczynnikiem \(b\) nie wiążą się jakieś szczególne cechy, ale możemy poznać znak tego współczynnika korzystając z wierzchołka paraboli. Ze wzorów na współrzędną iksową paraboli (czyli współrzędną \(p\)) wynika, że:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynnik \(a\) jest akurat znany i jest on równy \(1\), bo przed \(x^2\) we wzorze funkcji nie stoi żadna wartość. Współrzędna iksowa wierzchołka (czyli współrzędna \(p\)) jest dodatnia, co widzimy na rysunku. To by oznaczało, że:
$$\frac{-b}{2a}\gt0 \\
\frac{-b}{2\cdot1}\gt0 \\
\frac{-b}{2}\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\
-b\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\
b\lt0$$

Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.

To oznacza, że \(b\lt 0, c\gt 0\).

C

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znamy dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, zatem różnica między nimi da nam odpowiedź na pytanie jaka jest różnica tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=9-2 \\
r=7$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(n\).
Szukamy wartości \(n\) dla której ciąg przyjmuje wartość równą \(79\) (czyli tak naprawdę chcemy się dowiedzieć który wyraz tego ciągu jest równy \(79\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
79=2+(n-1)\cdot7 \\
79=2+7n-7 \\
79=7n-5 \\
84=7n \\
n=12$$

B

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając nasze wyrazy otrzymamy:
$$(3x)^2=81\cdot4 \\
9x^2=9\cdot9\cdot4 \\
x^2=9\cdot4 \\
x^2=36 \\
x=6 \quad\lor\quad x=-6$$

Z racji tego iż ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, to zostaje nam \(x=6\).

B

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4\cdot6}{49}+cos^2α=1 \\
\frac{24}{49}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{25}{49} \\
cosα=\frac{5}{7} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{7}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{5}{7}\).

D

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CBO\).
Na wstępie musimy dostrzec, że trójkąty \(BCO\) oraz \(ABO\) są równoramienne, bo ich ramiona mają długość równą promieniowi okręgu. Spójrzmy zatem na trojkąt \(BCO\). Wiemy, że kąt \(BOC\) ma miarę \(40°\), a to oznacza, że kąt \(CBO\) znajdujący się przy podstawie ma miarę:
$$|\sphericalangle CBO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Wiemy, że kąt \(ABC\) ma miarę \(121°\) i widzimy na rysunku, że składa się on z kątów \(CBO\) oraz \(ABO\). Miarę kąta \(CBO\) wyliczyliśmy przed chwilą, zatem:
$$|\sphericalangle ABO|=121°-70°=51°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABO\). Wiemy że kąty przy podstawie mają tutaj \(51°\), bo jest to trójkąt równoramienny, zatem kąt \(AOB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=180°-2\cdot51°=180°-102°=78°$$

C

Trójkąty \(ABC\) oraz \(EDC\) są podobne (cecha kąt-kąt-kąt), zatem możemy zapisać prostą propocję:
$$\frac{|CA|}{|AB|}=\frac{|CE|}{|ED|} \\
\frac{|CE|+4}{6}=\frac{|CE|}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4\cdot(|CE|+4)=6|CE| \\
4|CE|+16=6|CE| \\
16=2|CE| \\
|CE|=8$$

C

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy obliczyć, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
6\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
24\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=24 \\
a=\sqrt{24} \quad\lor\quad a=-\sqrt{24}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{24}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punktu \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odległość między tymi punktami jest równa długości boku kwadratu. Korzystając zatem ze wzoru na długość odcinka wyjdzie nam, że:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} \\
|BC|=\sqrt{(5+2)^2+(-3)^2} \\
|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2} \\
|BC|=\sqrt{49+9} \\
|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Skoro bok kwadratu jest równy \(\sqrt{58}\), to znaczy że:
$$P=|BC|^2 \\
P=(\sqrt{58})^2 \\
P=58$$

A

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do ostrosłupa tworzą boki \(SA\) oraz \(AO\), zatem poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle SAO\).

B

Krok 1. Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym:
$$2n=14 \\
n=7$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt.

Krok 2. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem:
$$3n=3\cdot7=21$$

A

Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4;-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób:



Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.

A

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym:
$$a=tg30° \\
a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Do objętości potrzebna nam jest znajomość promienia podstawy, a tę wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+h^2=l^2 \\
r^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \\
r^2+36=9\cdot5 \\
r^2+36=45 \\
r^2=9 \\
r=3 \quad\lor\quad r=-3$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo promień musi mieć dodatnią długość, zatem \(r=3\).

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem podstawiając do wzoru na objętość stożka otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot h \\
V=\frac{1}{3}πr^2\cdot h \\
V=\frac{1}{3}π\cdot3^2\cdot6 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot6 \\
V=3π\cdot6 \\
V=18π$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9 \\
\frac{x+56}{8}=9 \\
x+56=72 \\
x=16$$

Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$

Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2} \\
m=\frac{18}{2} \\
m=9$$

D

Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to:
$$1000,1001,1002,...,2015,2016$$

Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda.

Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem:
$$2016-999=1017$$

D

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest kul w pudełku, a tych jest \(6+n\). Skoro więc losujemy jedną kulę, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6+n\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowaliśmy kulę białą. Skoro białych kul jest \(6\), to możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie liczby czarnych kul.
Skoro prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{1}{3}\) to możemy zapisać, że:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\
\frac{1}{3}=\frac{6}{6+n} \quad\bigg/\cdot(6+n) \\
\frac{1}{3}\cdot(6+n)=6 \\
2+\frac{1}{3}n=6 \\
\frac{1}{3}n=4 \\
n=12$$

\(x\in\left\langle-2, \frac{3}{2}\right\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Zadanie obliczymy tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=1-(48)=1+48=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-7}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+7}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-2\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\left\langle-2;\frac{3}{2}\right\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-\frac{2}{3}\)

Równanie jest przedstawione w wygodnej postaci iloczynowej. Całe równanie będzie równe zero wtedy, gdy w jednym z nawiasów otrzymamy zero, zatem:
$$(x^2-6)(3x+2)=0 \\
x^2-6=0 \quad\lor\quad 3x+2=0 \\
x^2=6 \quad\lor\quad 3x=-2 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^2-6=0 \lor 3x+2=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x\\
4x^2+1\ge4x \\
4x^2-4x+1\ge0 \\
(2x-1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \((2x-1)^2\ge0\) ale nie dokończysz uzasadnienia.
ALBO
• Gdy mając postać \(4x^2-4x+1\ge0\) obliczysz jedynie, że delta jest równa \(0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wykazano korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:



Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)).
Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}y=h \\
y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:
$$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinka \(AD\) oraz \(DB\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że odcinek \(BC\) jest dwukrotnie krótszy od \(AB\) oraz że odcinek \(DB\) jest dwukrotnie krótszy od \(BC\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W naszym zbiorze mamy pięć liczb. Skoro losowanie odbywa się ze zwracaniem, to znaczy że za pierwszym razem możemy wylosować jedną z pięciu liczb i za drugim razem wylosujemy także jedną z pięciu. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których dzieląc liczbę pierwszą przez drugą otrzymamy liczbę całkowitą. Wypiszmy zatem te wszystkie możliwości:
$$(1,1), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2), (4,4), \\
(5,1), (5,5), (10,1), (10,2), (10,5), (10,10)$$

Mamy \(12\) takich przypadków, zatem \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{25}+a_{26}=50\)

Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.
Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

W związku z tym:
$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100 \\
(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100 \\
4a_{1}+98r=100 \\
2a_{1}+49r=50$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).
Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:
$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r) \\
a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$

Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:
$$a_{25}+a_{26}=50$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz równanie \(2a_{1}+49r=50\) lub inne podobne (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(-\frac{16}{3}\)

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\
f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:
$$-5=a(1+2)(1-6) \\
-5=a\cdot3\cdot(-5) \\
-5=-15a \\
a=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{-2+6}{2} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \\
f(2)=-\frac{16}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jedynie wzór w postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pełny wzór w postaci iloczynowej (z obliczonym współczynnikiem \(a\)), czyli \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz pełny wzór w postaci iloczynowej (z obliczonym współczynnikiem \(a\)), czyli \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(A=\left(\frac{25}{3},0\right)\), \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right)\), \(|AB|=\frac{125}{12}\)

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Równanie prostej przybiera postać \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią igreków. W naszym przypadku prosta \(CD\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem przecina oś igreków dla \(y=0\). To oznacza, że także \(b=0\), czyli prostą \(CD\) możemy opisać wzorem \(y=ax\).

To czego teraz potrzebujemy, to wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej. Zrobimy to podstawiając współrzędne punktu \(D=(3,4)\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=ax \\
4=a\cdot3 \\
a=\frac{4}{3}$$

Wyszło nam więc, że prosta \(CD\) przyjmuje postać \(y=\frac{4}{3}x\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(CD\), a to oznacza, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy \(-1\). Skoro prosta \(CD\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{4}{3}\), to znaczy że prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{4}{3}=-1 \\
a=-\frac{3}{4}$$

Możemy więc już zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) naszej prostej, a zrobimy to podstawiając do wzoru współrzędne punktu \(D\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \\
4=-\frac{3}{4}\cdot3+b \\
4=-\frac{9}{4}+b \\
\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}+b \\
b=\frac{25}{4}$$

W ten sposób poznaliśmy już pełne równanie prostej \(AB\) i jest to \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
O punkcie \(A\) wiemy tyle, że na pewno jego współrzędna igrekowa jest równa \(0\), bo leży ten punkt na osi iksów. Skoro tak, to brakuje nam już tylko współrzędnej iksowej tego punktu, a obliczymy ją podstawiając do równania prostej \(AB\) właśnie \(y=0\):
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
0=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
\frac{3}{4}x=\frac{25}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
x=\frac{25}{3}$$

Możemy więc zapisać, że \(A=\left(\frac{25}{3},0\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędna iksowa punktu \(B\) jest dość oczywista, bo skoro punkt \(B\) leży na osi igreków, to współrzędna iksowa jest równa \(0\). Współrzędną igrekową możemy wprost odczytać z równania prostej \(AB\). Skoro współczynnik \(b\) tej prostej jest równy \(\frac{25}{4}\), to współrzędna igrekowa także będzie równa \(y=\frac{25}{4}\). Gdybyśmy nie pamiętali o tej własności, to wystarczy do równania prostej \(AB\) podstawić \(x=0\), otrzymamy dokładnie to samo:
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
y=-\frac{3}{4}\cdot0+\frac{25}{4} \\
y=\frac{25}{4}$$

W związku z tym \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) nie pozostaje nam nic innego jak podstawić je do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(0-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}-0\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{9}+\frac{625}{16}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625\cdot16}{9\cdot16}+\frac{625\cdot9}{16\cdot9}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{10000}{144}+\frac{5625}{144}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{15625}{144}} \\
|AB|=\frac{125}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(CD\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=192\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5 \\
|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\
(4x)^2+(3x)^2=10^2 \\
16x^2+9x^2=100 \\
25x^2=100 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x \\
|AC|=4\cdot2 \\
|AC|=8 \\
\quad \\
|BC|=3x \\
|BC|=3\cdot2 \\
|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE| \\
48=6\cdot|BE| \\
|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8 \\
V=192$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz boku \(AB\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że np. \(|AC|=4x\) oraz \(|BC|=3x\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \((4x)^2+(3x)^2=10^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długości wszystkich boków trójkąta (patrz: Krok 1. oraz 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.