Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2019 – Odpowiedzi

D

Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Zanim wyznaczymy liczbę przeciwną to wykonajmy potęgowanie, które znalazło się w naszej liczbie. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Liczbę przeciwną tworzymy zmieniając znak naszej liczby, czyli tak naprawdę stawiając minusa z przodu. Ważne jest to, żeby postawić minusa nie tylko przed pierwszą liczbą (czyli przed czwórką), tylko przed całym wyrażeniem. Skoro tak, to liczbą przeciwną będzie:
$$-(4-2\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Na początek musimy wykonać potęgowanie, tak aby uprościć cały zapis. Stosując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{(5^{1,2})^3\cdot\sqrt{5}^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{1,2\cdot3}\cdot\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{3,6}\cdot5^{0,4}}{5^3}=\frac{5^{3,6+0,4}}{5^3}=\frac{5^4}{5^3}=5$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby odwrotnej.
Liczbę \(5\) możemy zapisać jako \(\frac{5}{1}\). Liczba odwrotna powstaje po zamianie miejscami licznika z mianownikiem, zatem liczbą odwrotną do \(5\) będzie \(\frac{1}{5}\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

B

Krok 1. Ustalenie, czy liczba pod nawiasami bezwzględności jest dodatnia czy ujemna.
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(|3\sqrt{2}-5|\). Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczba z której wyznaczamy wartość bezwzględną jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem jaka wartość znalazła się w naszych nawiasach.

Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) wyjdzie nam, że:
$$3\sqrt{2}-5\approx3\cdot1,41-5\approx4,23-5\approx-0,77$$

Krok 2. Obliczenie wartości bezwzględnej.
Liczba pod nawiasami bezwzględności wyszła nam ujemna, zatem opuszczając nawiasy musimy zmienić znaki na przeciwne. W związku z tym:
$$|3\sqrt{2}-5|=-(3\sqrt{2}-5)=-3\sqrt{2}+5=5-3\sqrt{2}$$

D

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=3000\)
\(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\)
\(n=3\cdot2=6\)

Dlaczego \(p=\frac{1}{100}\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(2\%\), czyli \(0,02\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,02\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\).

Dlaczego \(n=6\)?
Lokata jest na \(3\) lata, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(3\cdot2=6\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{6}=k\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^{6}$$

B

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby rozwiązać nierówność musimy najpierw sprawdzić jakie ma miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \((x+3)^2=0\). Nie musimy wykonywać potęgowania, zastosujemy tutaj własność znaną z funkcji zapisanych w postaci iloczynowej, czyli wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera:
$$x+3=0 \\
x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsce zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna wartość), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero. Patrząc się na wykres widzimy, że pożądana wartość przyjmowana jest jedynie dla \(x=-3\). Dla wszystkich pozostałych argumentów wartości są większe od zera. To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności jest tylko liczba \(-3\).

A

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(3x-y)^2-(x-3y)^2=9x^2-6xy+y^2-(x^2-6xy+9y^2)= \\
=9x^2-6xy+y^2-x^2+6xy-9y^2=8x^2-8y^2$$

A

Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases}
2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\\
-3x+6y=-4
\end{cases}

\begin{cases}
-3x+6y=-\frac{9}{2} \\
-3x+6y=-4
\end{cases}

W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.

B

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Na początek ustalmy co to są pierwiastki równania. To nic innego jak po prostu rozwiązania tego równania. To ważne, by nie mylić tego pojęcia ze standardowymi pierwiastkami, ani tym bardziej by nie wyliczać później pierwiastków z otrzymanych rozwiązań.

Przejdźmy zatem do rozwiązania równania. Aby wartość tego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$2x-3=0 \quad\lor\quad x^2+2x=0 \\
2x=3 \quad\lor\quad x(x+2)=0 \\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Oczywiście równanie \(x^2+2x=0\) moglibyśmy rozwiązać także metodą liczenia delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), jednakże sposób z wyłączeniem iksa przed nawias był znacznie prostszy.

Krok 2. Obliczenie iloczynu pierwiastków równania.
Jak już sobie powiedzieliśmy - pierwiastkami równania są po prostu rozwiązania, które przed chwilą otrzymaliśmy. Zgodnie z treścią zadania musimy podać jeszcze iloczyn tych rozwiązań, zatem:
$$1\frac{1}{2}\cdot0\cdot(-2)=0$$

A

Krok 1. Obliczenie długości boku drugiej przyprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta:
$$5^2+b^2=13^2 \\
25+b^2=169 \\
b^2=144 \\
b=12 \quad\lor\quad b=-12$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania (w tym kąt ostry, który nas najbardziej interesuje) będzie wyglądać następująco:


Przy okazji warto pamiętać, że w trójkącie prostokątnym zawsze będzie tak, że większy kąt ostry znajduje się przy krótszym boku.

Krok 3. Obliczenie sinusa kąta ostrego.
Sinus to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta względem długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{12}{13}$$

B

Musimy do każdej z odpowiedzi podstawić pod \(p\) wartość \(log5\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy prawidłowe równanie. Przy okazji warto sobie powiedzieć, że skoro w logarytmie nie mamy podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log5\) to tak naprawdę \(log_{10}5\).

Zanim zaczniemy podstawianie to warto też sobie powiedzieć, że kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, że \(1\) to jest \(log10\) (lub jak kto woli \(log_{10}10\)). Analogicznie \(2\) to jest \(2log10\), co zapisać też możemy jako \(log10^2=log100\). Zamiana tych liczb na logarytmy umożliwi nam wykonywanie działań na logarytmach. Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi i policzmy wartości, które znalazły się po lewej stronie każdego z równań:

Odp. A.
\(p+1=log5+log10=log(5\cdot10)=log50\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{2}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.

Odp. B.
\(2p-2=2log5-2log10=log25-log100=log\frac{25}{100}=log\frac{1}{4}\)
Otrzymaliśmy wartość \(log\frac{1}{4}\), czyli tą samą, która znalazła się po prawej stronie równania, zatem to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

Odp. C.
\(p-1=log5-log10=log\frac{5}{10}=log\frac{1}{2}\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{20}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.

Odp. D.
\(p^2-2=(log5)^2-2log10=log^{2}5-log100\)
Tego działania już za bardzo nie uprościmy, a tym bardziej nie osiągniemy wartości \(log\frac{1}{4}\). Tutaj ważne było to, aby nie pomylić \((log5)^2\) z \(log5^2\), bo z tej drugiej formy faktycznie wyszłoby nam że całe wyrażenie jest równe \(log\frac{1}{4}\).

To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

A

Przesunięcie o trzy jednostki w prawo oznacza, że mamy tak naprawdę funkcję \(g(x)=f(x-3)\). Mówiąc nieco prościej, kiedy do wzoru \(-2x+1\) podstawimy w miejsce iksa wyrażenie \(x-3\), to poznamy wzór funkcji \(g(x)\):
$$g(x)=-2(x-3)+1=-2x+6+1=-2x+7$$

D

Skoro te dwie funkcje mają to samo miejsce zerowe, to znaczy, że w tym punkcie się po prostu te dwie funkcje przecinają. Miejsce przecięcia się dwóch prostych wyznaczamy budując układ równań.

Trudność tego zadania polega na tym, że musimy policzyć nie tyle miejsce przecięcia się prostych, co brakujący współczynnik \(b\) pierwszej funkcji. Jakbyśmy zbudowali układ równań ze wzorów \(y=-3x+2b\) oraz \(y=\frac{1}{2}x+2\) to mielibyśmy aż trzy niewiadome. Takiego układu równań nie bylibyśmy w stanie rozwiązać. I tu z pomocą przechodzi nam właśnie informacja o tym, że te funkcje przecinają się w miejscu zerowym. To oznacza, że miejscem przecięcia się tych dwóch funkcji będzie punkt \(W=(x;0)\). Możemy zatem od razu podstawić \(y=0\), tworząc następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{1}{2}x+2=0 \quad\bigg/\cdot2 \\
-3x+2b=0
\end{cases}

\begin{cases}
x+4=0 \\
-3x+2b=0
\end{cases}

\begin{cases}
x=-4 \\
-3x+2b=0
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-3\cdot(-4)+2b=0 \\
12+2b=0 \\
2b=-12 \\
b=-6$$

C

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=-3\), to znaczy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest równa \(p=-3\).

Wiemy też, że największa wartość tej funkcji jest równa \(4\). Z własności funkcji kwadratowych wynika, że przyjmują one swoje największe lub najmniejsze wartości właśnie w wierzchołku. Z tego też względu wiemy już, że \(q=4\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z zapisaniem funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając do tej postaci wyznaczone współrzędne \(p\) oraz \(q\) otrzymamy:
$$y=a(x-p)^2+q \\
y=a(x-(-3))^2+4 \\
y=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Jeśli spojrzymy się na proponowane odpowiedzi, zauważymy, że pasują nam już tylko dwie możliwości - odpowiedź A oraz C. Musimy teraz ustalić jaki jest współczynnik \(a\) i dopiero wtedy, będziemy mogli wybrać prawidłową odpowiedź. Niestety nie jesteśmy w stanie obliczyć konkretnej wartości współczynnika \(a\). Możemy jednak określić, czy jest on dodatni, czy ujemny.

W treści zadania jest informacja, że funkcja posiada swoją największą wartość i jest ona równa \(4\). To prowadzi nas do wniosku, że parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu (gdyby ramiona były skierowane do góry, to największą wartością byłoby zawsze \(+\infty\)). Skoro tak, to współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem pasuje nam jedynie odpowiedź C.

C

Podstawiając do wzoru funkcji współrzędne naszego punktu otrzymamy następującą sytuację:
$$y=a^x \\
2=a^{\frac{1}{3}}$$

Aby rozwiązać tego typu równanie musimy podnieść lewą i prawą stronę równania do potęgi trzeciej, dzięki czemu po prawej stronie zostanie nam samotna wartość \(a\), którą musimy wyznaczyć:
$$2^3=(a^{\frac{1}{3}})^3 \\
2^3=a^1 \\
a=8$$

A

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj mamy klasyczną pułapkę związaną z odczytywaniem tych wartości, bowiem patrząc się na kropki mogłoby się wydawać, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2;2)\). Jednak jak się przypatrzymy tej funkcji nieco bliżej, to zauważymy, że dla argumentów większych od zera aż do jedynki wartość funkcji jest równa \(2\). To oznacza, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2,2\rangle\).

B

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{4}\cdot q^2 \\
1=16\cdot q^2 \\
q^2=\frac{1}{16} \\
q=\frac{1}{4} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{4}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu ciągu.
Wyszły nam dwa różne ilorazy ciągu geometrycznego, dlatego rozpatrzmy dwie możliwości:
Gdy \(q=\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q \\
a_{5}=16\cdot\frac{1}{4} \\
a_{5}=4\)

Czyli mamy ciąg malejący: \((...,16,4,1,...)\).

Gdy \(q=-\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q \\
a_{5}=16\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) \\
a_{5}=-4\)

Czyli mamy ciąg niemonotoniczny: \((...,16,-4,1,...)\).

Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz miał być rosnący, raz malejący), a taka sytuacja ma miejsce w tym drugim przypadku. Z tego też względu \(a_{5}=-4\).

D

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru, bowiem jest to liczba znajdująca się przed \(n\). W naszym przypadku przed \(n\) znajduje się \(-3\), stąd też \(r=-3\).

Gdybyśmy jednak nie pamiętali o tej własności, to moglibyśmy korzystając ze wzoru ciągu wyznaczyć dwa dowolne wyrazy (np. pierwszy i drugi) i na tej podstawie moglibyśmy wyznaczyć poszukiwaną różnicę ciągu:
$$a_{1}=5-3\cdot1 \\
a_{1}=5-3 \\
a_{1}=2 \\
\text{oraz} \\
a_{2}=5-3\cdot2 \\
a_{2}=5-6 \\
a_{2}=-1$$

Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu możemy zapisać, że:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=-1-2 \\
r=-3$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy podany środek i narysujmy okrąg o promieniu \(r=5\):


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Z rysunku wynika, że nasz okrąg przecina początek układu współrzędnych i dlatego ma on trzy punkty wspólne z osiami układu współrzędnych. Nie mniej jednak dobrze byłoby się upewnić, czy rzeczywiście tak jest, bo rysunek szkicowy może nie być dokładny. Z tego też względu obliczmy długość odcinka \(x\), czyli odległość od początku układu współrzędnych do środka okręgu. Jeżeli ta długość będzie równa długości promienia (czyli będzie równa \(5\)), to nasz okrąg faktycznie będzie przechodził przez początek układu współrzędnych. Długość odcinka \(x\) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=x^2 \\
9+16=x^2 \\
x^2=25 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka musi być dodatnia. Z tego też względu \(x=5\), czyli jest to dokładnie ta sama długość co nasz promień. To nas upewnia, że okrąg przechodzi przez środek układu współrzędnych i tym samym ma on \(3\) punkty wspólne z tym układem.

D

Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Aby zacząć wyznaczenie prostej równoległej, to musimy najpierw zapisać prostą z treści zadania w postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść wyrazy w taki sposób, by po lewej stronie został igrek, a po prawej by była cała reszta:
$$-2x-4y+3=0 \\
-4y=2x-3 \quad\bigg/:(-4)\\
y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$

Krok 2. Zapisanie prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\), zatem i prosta równoległa musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).

Standardowo w takich zadaniach znając już współczynnik \(a\) moglibyśmy zapisać, że prosta wyznacza się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\) i podstawiając współrzędne punktu \(P\) obliczylibyśmy brakujący współczynnik \(b\). Jednak w tym zadaniu współczynnik \(b\) możemy poznać bez wykonywania obliczeń, wystarczy odczytać go wprost z treści zadania. Zwróćmy uwagę na to, że punkt \(P=(0,-2)\) to miejsce przecięcia się z osią igreków. Współczynnik \(b\) informuje nas właśnie o tym gdzie dana prosta przecina się z osią igreków. Możemy więc już zapisać, że w takim razie \(b=-2\).

Skoro więc \(a=-\frac{1}{2}\) oraz \(b=-2\), to prosta równoległa przechodząca przez punkt \(P\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x-2\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Opisana w zadaniu sytuacja będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny. Jest to klasyczny trójkąt o kątach \(45°,45°,90°\). Jedną z własności takich trójkątów jest to, że jeżeli przyprostokątne mają długość \(a\), to przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku przyprostokątna ma długość \(h=6\), zatem przeciwprostokątna (która jest bokiem rombu) będzie miała długość \(a=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Znając długość boku rombu oraz jego wysokość możemy już bez przeszkód obliczyć pole naszej figury:
$$P=a\cdot h \\
P=6\sqrt{2}\cdot6 \\
P=36\sqrt{2}[cm^2]$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób:


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta wpisanego.
Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że kąt środkowy ma miarę dwukrotnie większą od kąta wpisanego. To by oznaczało, że dwukrotność kąta wpisanego (czyli \(2α\)) będzie równa mierze kąta środkowego (czyli \(α+40°\)). Możemy więc zapisać, że:
$$2α=α+40° \\
α=40°$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
To zadanie w dużej mierze na wyobraźnię. Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że promień koła będzie tak zwaną tworzącą naszego stożka. Ta połówka koła złoży się na stożek mniej więcej tak, jak składamy czapeczki z papieru.


Możemy więc już zapisać, że \(l=10\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni połowy koła (czyli pola powierzchni bocznej).
Wzór na pole koła to \(P=π\cdot r^2\). Nas interesuje połowa koła o promieniu \(r=10\) i wiemy, że ta połowa koła będzie jednocześnie polem powierzchni bocznej naszego stożka. W związku z tym:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot r^2 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot 10^2 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot 100 \\
P_{b}=50π$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia podstawy stożka.
Obliczając pole połowy koła wiemy już, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe \(50π\). Wiemy też z rysunku, że \(l=10\). Korzystając teraz ze wzoru na pole powierzchni bocznej \(P_{b}=πrl\) wyznaczymy poszukiwaną długość promienia podstawy walca:
$$P_{b}=50π \\
πrl=50π \\
rl=50 \\
r\cdot10=50 \\
r=5$$

C

Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+2\) ścian. Skoro nasza bryła ma \(12\) ścian, to:
$$n+2=12 \\
n=10$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby krawędzi graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. W podstawie naszej bryły znajduje się dziesięciokąt, zatem liczba krawędzi będzie równa:
$$3n=3\cdot10=30$$

D

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucając kostką mamy możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy dwa. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, których suma daje łącznie \(8\) oczek. Wypiszmy zatem wszystkie takie możliwości:
$$(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$$

Widzimy, że warunki zadania spełnia pięć par, zatem możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

\(x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić tę nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$4x^2-12x+9-4\ge0 \\
4x^2-12x+5\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe (patrz: Krok 2.), a w dalszej części zadania popełnisz błędy.
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(\frac{3}{2}\)

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z treści zadania wynika, że \(cosα=\frac{2}{3}\), w związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{2}{3}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{4}{9}=1 \\
sin^2α=\frac{5}{9} \\
sinα=\sqrt{\frac{5}{9}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{5}{9}}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(\sqrt{\frac{5}{9}}\). Możemy jeszcze ten zapis uprościć do postaci \(sinα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) i znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy bez obliczyć, że:
$$tgα=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}:\frac{2}{3} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Znając wartość tangensa możemy już bez problemu obliczyć wartość wyrażenia z treści zadania:
$$\sqrt{tg^2α+1}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.) oraz tangensa (patrz: Krok 2.), ale błędnie wyliczysz wartość wyrażenia.
ALBO
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.), ale błędnie obliczysz wartość tangensa (patrz: Krok 2.) i konsekwentnie do tego błędu niepoprawnie obliczysz wartość wyrażenia.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{3}{38}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na początek musimy ustalić ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od \(30\), czyli tak naprawdę ile jest liczb od \(10\) do \(29\) włącznie. Takich liczb jest dokładnie \(20\). Będziemy losować dwie liczby (bez zwracania), zatem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=20\cdot19=380$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, w których obie wylosowane liczby są podzielne przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\), to suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). W naszym zestawie będą to liczby:
$$12,15,18,21,24,27$$

Widzimy, że jest to \(6\) różnych liczb. Zgodnie z regułą mnożenia, skoro losowanie jest bez zwracania, to takich par w których jedna i druga liczba są podzielne przez \(3\), uda nam się utworzyć:
$$|A|=6\cdot5=30$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{30}{380}=\frac{3}{38}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S=472\)

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{5}=a_{2}+3r$$

Znając wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\) możemy obliczyć różnicę ciągu, zatem:
$$7=-2+3r \\
9=3r \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Nie mamy wzoru na obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego. Powinniśmy jednak zauważyć, że to czego szukamy da się obliczyć nieco sprytniej. Wystarczy policzyć ile to jest \(S_{20}\) i odjąć od tego \(S_{4}\). Do jednego i drugiego wzoru przyda nam się poznanie wartości \(a_{1}\), zatem policzmy ją teraz. Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i informacji o tym, że przykładowo \(a_{2}=-2\) oraz \(r=3\). Otrzymamy zatem:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=-2-3 \\
a_{1}=-5$$

Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zgodnie z przyjętą strategią musimy obliczyć wartość \(S_{4}\), zatem podstawiając \(a_{1}=-5\) oraz \(n=4\) do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{2\cdot(-5)+(4-1)\cdot3}{2}\cdot4 \\
S_{4}=\frac{-10+3\cdot3}{2}\cdot4 \\
S_{4}=\frac{-10+9}{2}\cdot4 \\
S_{4}=-\frac{1}{2}\cdot4 \\
S_{4}=-2$$

Krok 4. Obliczenie sumy dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Analogicznie jak w poprzednim kroku, tym razem obliczymy \(S_{20}\), zatem:
$$S_{20}=\frac{2\cdot(-5)+(20-1)\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+57}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \\
S_{20}=470$$

Krok 5. Obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego.
Na sam koniec musimy już tylko od \(S_{20}\) odjąć wartość \(S_{4}\) i otrzymamy to czego szukamy:
$$S_{5-20}=S_{20}-S_{4} \\
S_{5-20}=470-(-2) \\
S_{5-20}=472$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu (patrz: Krok 1.) oraz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy przy wyliczaniu różnicy ciągu lub wartości pierwszego wyrazu (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.) i konsekwentnie do tego błędu otrzymasz niepoprawny wynik końcowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x \\
9x^2+1\ge-6x \\
9x^2+6x+1\ge0 \\
(3x+1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \((3x+1)^2\ge0\) lub \(\frac{(3x+1)^2}{x}\ge0\), ale nie wyciągniesz żadnego wniosku.
ALBO
• Gdy mając postać \(9x^2+6x+1\ge0\) obliczysz, że delta jest równa \(0\) lub obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=\left(-\frac{1}{3};0\right)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów \(DEP\) oraz \(ABP\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(a\) - bok kwadratu
\(h_{1}\) - wysokość trójkąta \(ABP\)
\(h_{2}\) - wysokość trójkąta \(DEP\)

Co więcej, możemy zauważyć, że \(h_{1}+h_{2}=a\).

Powinniśmy też dostrzec, że trójkąty \(ABP\) oraz \(DEP\) są trójkątami podobnymi zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt (bardzo podobna sytuacja ma miejsce w trapezach).


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Jesteśmy w stanie obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów, bowiem podstawa trójkąta \(ABP\) ma długość \(a\), natomiast podstawa trójkąta \(DEP\) ma długość \(\frac{1}{2}a\). Jeżeli więc potraktujemy mniejszy trójkąt \(DEP\) jako podstawowy, a większy \(ABP\) jako podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=2\).

Oczywiście moglibyśmy też potraktować duży trójkąt jako podstawowy, a mały jako podobny - wtedy skala podobieństwa byłaby równa \(k=\frac{1}{2}\). Dla końcowych wyników nie będzie to miało znaczenia, tylko konsekwentnie musielibyśmy się trzymać tego jaki trójkąt jest podstawowy, a jaki podobny.

Krok 3. Zapisanie pól trójkątów i zakończenie dowodzenia.
Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to \(h_{1}\) jest dwukrotnie większe od \(h_{2}\). Wiemy też, że \(h_{1}+h_{2}=a\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$h_{1}=\frac{2}{3}a \\
h_{2}=\frac{1}{3}a$$

Dodatkowo wiemy, że duży trójkąt ma podstawę równą \(a\), natomiast mały ma podstawę równą \(\frac{1}{2}a\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{1} \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{2}{3}a \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{2}{3}a \\
P_{ABP}=\frac{2}{6}a^2 \\
P_{ABP}=\frac{1}{3}a^2 \\
\text{oraz} \\
P_{DEP}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot h_{2} \\
P_{DEP}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{3}a \\
P_{DEP}=\frac{1}{12}a^2$$

To oznacza, że:
$$P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{12}a^2 \\
P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{4}{12}a^2+\frac{1}{12}a^2 \\
P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{5}{12}a^2$$

Skoro pole kwadratu jest równe \(a^2\) to nasze dowodzenie można uznać za zakończone, bowiem suma pól tych dwóch trójkątów faktycznie jest równa \(\frac{5}{12}\) pola kwadratu.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pola trójkątów \(ABP\) oraz \(DEP\) w zależności od długości boku kwadratu (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(f(x)=-x^2-2x+4\)

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, czyli postacią \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Skoro więc \(W=(-1,5)\), to możemy zapisać, że:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+5 \\
f(x)=a(x+1)^2+5$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(a\) i właśnie teraz spróbujemy ją wyznaczyć.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na podstawie informacji o tym, że w przedziale \(\langle-2,2\rangle\) funkcja osiąga najmniejszą wartość równą \(-4\) musimy wyciągnąć bardzo ważny, choć nieoczywisty wniosek. Wnioskiem do którego powinniśmy dojść jest to, że parabola tej funkcji ma ramiona skierowane do dołu. Skąd to wiemy? W przedziale \(\langle-2,2\rangle\) mieści się nasz wierzchołek, bo przecież \(p=-1\). Gdyby więc ta funkcja miała ramiona skierowane do góry, to ta najmniejsza wartość na pewno byłaby przyjmowana właśnie w wierzchołku, a wiemy że tak nie jest, bo w wierzchołku wartość funkcji jest równa \(5\). Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:


Ale to nie koniec ważnych wniosków. Wartość funkcji w danym przedziale jest najmniejsza (lub największa) na krańcach przedziału lub w wierzchołku. Wierzchołek z tych rozważań już odrzuciliśmy, bo tutaj funkcja przyjmuje największą wartość. To oznacza, że funkcja przyjmuje wartość równą \(-4\) dla jednego z dwóch argumentów: albo dla \(x=-2\), albo dla \(x=2\). Właśnie z rysunku powinniśmy odczytać i wywnioskować, że ta wartość będzie przyjmowana dla argumentu \(x=2\), bo jest to miejsce bardziej oddalone od wierzchołka. To z kolei prowadzi nas do kluczowej informacji, dzięki której będziemy mogli policzyć brakujący współczynnik \(a\) - nasza funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \(A=(2;-4)\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Wiemy już, że wzór funkcji w postaci kanonicznej przybiera postać \(f(x)=a(x+1)^2+5\). Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktu \(A=(2;-4)\) obliczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$f(x)=a(x+1)^2+5 \\
-4=a\cdot(2+1)^2+5 \\
-4=a\cdot3^2+5 \\
-4=9a+5 \\
9a=-9 \\
a=-1$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci kanonicznej wygląda następująco: \(f(x)=-1(x+1)^2+5\), czyli po prostu \(f(x)=-(x+1)^2+5\)

Krok 4. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Na sam koniec musimy przekształcić wzór z postaci kierunkowej do postaci ogólnej, a osiągniemy to wykonując potęgowanie, które znalazło się we wzorze:
$$f(x)=-(x+1)^2+5 \\
f(x)=-(x^2+2x+1)+5 \\
f(x)=-x^2-2x-1+5 \\
f(x)=-x^2-2x+4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2;-4)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie podstawisz współrzędne punktu \(A\) do postaci kanonicznej (patrz: Krok 3.), ale popełnisz później błąd rachunkowy lub też nie przekształcisz wzoru do postaci ogólnej.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=\left(\frac{1}{2};6\frac{1}{2}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Cała sytuacja w układzie współrzędnych będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Skoro trójkąt jest równoramienny, to wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części. To oznacza, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). My znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
D=\left(\frac{2+6}{2};\frac{1+5}{2}\right) \\
D=\left(\frac{8}{2};\frac{6}{2}\right) \\
D=(4;3)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Potrzebujemy poznać wartość współczynnika kierunkowego prostej \(AB\), bowiem przyda nam się on do wyznaczenia prostej prostopadłej \(CD\). Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy wyznaczyć nawet cały wzór prostej \(AB\) (korzystając z długiego wzoru z tablic lub z metody układu równań). Mimo wszystko nam wystarczy poznanie jedynie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\), a osiągniemy to za pomocą prostego sprytnego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{5-1}{6-2} \\
a=\frac{4}{4} \\
a=1$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Prosta \(CD\) jest prostopadła do prostej \(AB\). Wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy \(a=1\), to prosta \(CD\) będzie mieć współczynnik \(a=-1\), bowiem \(-1\cdot1=1\). Skoro tak, to już wiemy, że prosta \(CD\) będzie wyrażać się wzorem \(y=-1x+b\), czyli \(y=-x+b\). Musimy jeszcze tylko wyznaczyć wartość współczynnika \(b\), a zrobimy to podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(D=(4;3)\):
$$y=-x+b \\
3=-4+b \\
b=7$$

Współczynnik \(b\) wyszedł równy \(7\), a to oznacza, że prosta \(CD\) wyraża się wzorem \(y=-x+7\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wiemy, że \(|CD|=\frac{7\sqrt{2}}{2}\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2} \\
\frac{7\sqrt{2}}{2}=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2} \quad\bigg/^{2} \\
\frac{49}{2}=(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2$$

Wiemy, że prosta \(y=-x+7\) przechodzi przez nasz punkt \(C\). To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) moglibyśmy zapisać jako \(C=(x;y)\), czyli \(C=(x;-x+7)\). Teraz podstawiając do powyższego wzoru współrzędne \(C=(x;-x+7)\) oraz \(D=(4;3)\) otrzymamy:
$$\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3-(-x+7))^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3-(-x+7))^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3+x-7)^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2$$

I tu się na chwilę zatrzymamy. Moglibyśmy dostrzec, że prawą stronę równania da się zapisać jako \(2\cdot(x-4)^2\), przez co otrzymalibyśmy:
$$2\cdot(x-4)^2=\frac{49}{2} \\
(x-4)^2=\frac{49}{4}$$

W takiej sytuacji moglibyśmy sprytnie zapisać, że:
$$x-4=\frac{7}{2} \quad\lor\quad x-4=-\frac{7}{2} \\
x=7\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

Jednak nie ma co się oszukiwać, z takiego sposobu rozwiązywania rzadko kiedy korzystamy na matematyce, wiele osób nawet go nie kojarzy, no i łatwo tu też o pomyłkę kiedy brakuje nam wprawy. Z tego też względu mając postać \(\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2\) możemy po prostu wykonać pojawiające się potęgowanie, a rozwiązanie równania obliczymy z użyciem standardowej delty:
$$\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2 \\
\frac{49}{2}=16-8x+x^2+x^2-8x+16 \\
\frac{49}{2}=2x^2-16x+32 \\
2x^2-16x+7\frac{1}{2}=0 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x^2-32x+15=0$$

Współczynniki: \(a=4,\;b=-32,\;c=15\)
$$Δ=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot4\cdot15=1024-240=784 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{784}=28$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-32)-28}{2\cdot4}=\frac{32-28}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-32)+28}{2\cdot4}=\frac{32+28}{8}=\frac{60}{8}=7\frac{1}{2}$$

Po dość długich obliczeniach wyszło nam że współrzędna iksowa punktu \(C\) jest równa \(x=\frac{1}{2}\) lub też \(x=7\frac{1}{2}\). Sprawdźmy zatem jakie współrzędne igrekowe otrzymamy dla każdego z tych argumentów:
Gdy \(x=\frac{1}{2}\), to:
$$y=-x+7 \\
y=-\frac{1}{2}+7 \\
y=6\frac{1}{2}$$

Gdy \(x=7\frac{1}{2}\), to:
$$y=-x+7 \\
y=-7\frac{1}{2}+7 \\
y=-\frac{1}{2}$$

Z treści zadania wynika, że obydwie współrzędne punktu \(C\) muszą być dodatnie, zatem ten drugi wariant musimy odrzucić, bo tam wyszło nam \(y=-\frac{1}{2}\). To oznacza, że mamy tylko jedną prawidłową odpowiedź do tego zadania i będzie to \(C=\left(\frac{1}{2};6\frac{1}{2}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 2.), gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) jako \(C=(x;-x+7)\) i podstawisz je poprawnie do wzoru na długość odcinka (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz równanie kwadratowe z którego otrzymasz dwie współrzędne \(x\) punktu \(C\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=21\frac{1}{3}\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy wskazany ostrosłup, nanosząc na niego dane z treści zadania (w szczególności kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy). Warto tutaj od razu pamiętać, że skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat.


Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością ściany bocznej i krawędzią podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Dolna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), natomiast przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej. Stosunek długości tych dwóch boków opisuje nam właśnie cosinus kąta \(α\), który jest równy \(\frac{1}{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$cosα=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}} \\
\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}} \quad\bigg/\cdot h_{b} \\
\frac{1}{3}h_{b}=\frac{1}{2}a \quad\bigg/\cdot3 \\
h_{b}=\frac{3}{2}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h_{b}\), która ja już ustaliliśmy jest równa \(\frac{3}{2}a\). Skoro pole tego trójkąta jest równe \(12\), to:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b} \\
12=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{3}{2}a \\
12=\frac{3}{4}a^2 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej.
Wiemy już, że \(h_{b}=\frac{3}{2}\). Skoro więc \(a=4\), to:
$$h_{b}=\frac{3}{2}\cdot4 \\
h_{b}=6$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Odcinek \(AB\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), czyli \(|AB|=2\). Wiemy też, że przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość równą \(6\). W związku z tym korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć brakującą wysokość całego ostrosłupa:
$$2^2+H^2=6^2 \\
4+H^2=36 \\
H^2=32 \\
H=\sqrt{32} \quad\lor\quad H=-\sqrt{32}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. To oznacza, że \(H=\sqrt{32}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako \(H=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\).

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mając długość krawędzi podstawy \(a=4\) oraz wysokość bryły \(H=4\sqrt{2}\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot4\sqrt{2} \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot4\sqrt{2} \\
V=21\frac{1}{3}\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wysokością ściany bocznej i krawędzią podstawy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość wysokości ściany bocznej (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.