Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – Nowa Era 2023. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2023

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \(log_{4}2+log_{4}8+log_{4}16\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) wyrażenie \((2a-3b)^2-(3a+2b)^2\) jest równe:

Zadanie 4. (1pkt) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych większych od \(20\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry parzyste?

Zadanie 5. (2pkt) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Punkt przecięcia dwu prostych oraz ich punkty wspólne z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku powyżej, jest układ:

Zadanie 6. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=2(x-1)(x+3)(x^2+4)\). Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków tego wielomianu jest równy:

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:

Zadanie 8. (1pkt) Równanie \(|x-3|=m\) z niewiadomą \(x\) ma dwa rozwiązania. Jednym z nich jest liczba \(5\). Drugim rozwiązaniem tego równania jest liczba:

Zadanie 9. (1pkt) Dla \(x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\) wartość wyrażenia \(\dfrac{-2}{x-1}\) jest równa:

Zadanie 10. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge2\) liczba \(8^n-2^n\) jest podzielna przez \(12\).

Zadanie 11. (5pkt) Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), a jej wierzchołkiem jest punkt \((1,4)\).
matura z matematyki

Zadanie 11.1. (1pkt) Wyznacz i zapisz równanie osi symetrii wykresu funkcji \(f\).

Zadanie 11.2. (3pkt) Wyznacz wzór funkcji \(f\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 11.3. (1pkt) Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)+m\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Liczba \(m\) jest równa:

Zadanie 12. (4pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=a^x\) oraz leżący na tym wykresie punkt \(A=(2,3)\).
matura z matematyki

Zadanie 12.1. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba \(f(0)-f(3)\) jest ujemna.

P

F

Liczba \(log_{3}f(2)\) jest równa \(1\).

P

F

Zadanie 12.2. (2pkt) Oblicz wartość \(a\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 12.3. (1pkt) Jeden z poniższych rysunków przedstawia fragment wykresu funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\). Fragment wykresu funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku:

Zadanie 13. (1pkt) Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+4\). Prosta \(l\) o równaniu \(y=(2m+1)x-2\), gdzie \(m\) to pewna liczba rzeczywista, jest prostopadła do prostej \(k\).

Liczba \(m\) jest równa:

Zadanie 14. (1pkt) Na początku listopada w bufecie pracowniczym podniesiono cenę za obiad z \(20 zł\) do \(24 zł\). Z końcem miesiąca okazało się, że sprzedano mniej obiadów niż w październiku, ale wpływy z ich sprzedaży w listopadzie były o \(8\%\) wyższe niż w miesiącu przed podwyżką.

Liczba sprzedanych obiadów w listopadzie spadła o:

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3\cdot(-2)^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\).

P

F

Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.

P

F

Zadanie 16. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry, a \(sin\alpha=2\cdot cos\alpha\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

\(tg\alpha=2\)

P

F

\(sin\alpha=\frac{1}{2}\)

P

F

Zadanie 17. (1pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(2\cdot|AB|=3\cdot|BC|=4\cdot|AC|=12\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(12\).

P

F

Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny.

P

F

Zadanie 18. (1pkt) Punkt \(A\) jest środkiem okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i leży na prostej o równaniu \(y=-3x+8\). Obie współrzędne punktu \(A\) są dodatnie.

Promień omawianego okręgu jest równy:

Zadanie 19. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC|=5\). Dwusieczna \(CD\) kąta \(ACB\) dzieli bok \(AB\) na odcinki o długości \(|AD|=4\), \(|DB|=3\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz długość \(a\) boku \(BC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 20. (1pkt) Punkty \(A=(1,1)\) i \(C=(5,5)\) są przeciwległymi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Wierzchołek \(B\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.

Wierzchołek \(B\) ma współrzędne:

Zadanie 21. (1pkt) Na okręgu o środku \(S\) wybrano takie punkty: \(A\), \(B\) i \(C\), że \(|\sphericalangle ASB|=124°\), a \(|\sphericalangle BSC|=92°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta \(ABC\) jest równa:

Zadanie 22. (1pkt) Trójkąt \(ABC\) jest trójkątem równoramiennym, w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\) trójkąta, a \(E\) – środkiem boku \(AC\). Półproste \(EF\) i \(AG\) przecinają odcinek \(CD\) w punktach \(F\) i \(G\) (jak na rysunku).
matura z matematyki

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) jest punkt:

A.
B.
\(F\)
\(G\)
ponieważ jest on punktem przecięcia
1
2
3
symetralnych boków trójkąta \(ABC\).
dwusieczną kątów trójkąta \(ABC\).
środkowych trójkąta \(ABC\).

Zadanie 23. (1pkt) Okrąg o środku \(S\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(A\). Punkt \(B\) leży na prostej \(k\) w odległości \(24\) od punktu \(A\) i w odległości \(26\) od punktu \(S\).

Promień tego okręgu jest równy:

Zadanie 24. (1pkt) W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej jest pięć razy dłuższa od przekątnej podstawy.

Stosunek długości krawędzi bocznej tego graniastosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy:

Zadanie 25. (1pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Pole ściany bocznej ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Wysokość ostrosłupa poprowadzona z wierzchołka \(C\) do ściany bocznej \(ABS\) jest równa:

Zadanie 26. (1pkt) W dwóch pudełkach umieszczono \(7\) kul. W jednym z pudełek znalazły się cztery kule ponumerowane liczbami: \(1\), \(2\), \(3\) i \(4\), a w drugim pudełku − trzy kule ponumerowane liczbami: \(2\), \(3\) i \(4\). Gra polega na losowaniu dwóch kul – po jednej z każdego pudełka, a kończy się wygraną, jeśli suma liczb z wylosowanych kul jest podzielna przez \(3\).

Prawdopodobieństwo wygranej w tej grze jest równe:

Zadanie 27. (3pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) ma dwanaście wyrazów, których suma jest równa \(168\). Różnica \(a_{1}-a_{12}\) wynosi \(22\).

Wyznacz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 28. (7pkt) Rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AC\), w których \(A=(0,0)\), \(B=(m,0)\), a wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+5\) i obie jego współrzędne są liczbami dodatnimi. Na rysunku przedstawiono jeden z takich trójkątów.
matura z matematyki

Zadanie 28.1. (3pkt) Wyznacz długość przeciwprostokątnej \(AC\) trójkąta – spośród rozważanych – w którym długość przyprostokątnej \(BC\) jest równa \(2\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 28.2. (4pkt) Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola trójkąta \(ABC\) od \(m\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego spośród rozważanych trójkątów, który ma największe pole. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

3 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Gibi

Polecam serdecznie gruby gibi

Sara

w 10 jest błąd, 2n x 4n da nam przecież 8n2