Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2023 – Odpowiedzi

D

Wszystkie występujące w wyrażeniu logarytmy mają jednakową podstawę. Możemy więc skorzystać z własności działań na logarytmach i zapisać, że całość będzie równa:
$$log_{4}2+log_{4}8+log_{4}16=log_{4}(2\cdot8\cdot16)=log_{4}256$$

Jeśli jesteśmy w stanie obliczyć ten logarytm w pamięci, to od ręki możemy zapisać, że \(log_{4}256=4\). Jeśli jednak chcielibyśmy to rozpisać do postaci potęgi, to całość wyglądałaby następująco:
$$log_{4}256=x \quad\Longleftrightarrow\quad 4^x=256$$

Musimy teraz rozwiązać równanie \(4^x=256\). Wiedząc, że \(256=4^4\), możemy rozpisać, że:
$$4^x=256 \\
4^x=4^4 \\
x=4$$

Wartość tego wyrażenia jest więc równa \(4\).

C

Najlepszym sposobem na rozwiązanie tego zadania będzie przejście z postaci pierwiastków na potęgi, korzystając z zależności \(\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\). Z tej zależności wynika, że przykładowo \(\sqrt[3]{2}=2^\frac{1}{3}\), więc całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}=\sqrt[2]{2\cdot2^\frac{1}{3}}=\sqrt[2]{2^1\cdot2^\frac{1}{3}}= \\
=\sqrt[2]{2^\frac{4}{3}}=\left(2^\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\frac{2}{3}}$$

C

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Nasze wyrażenie z treści zadania możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(2a-3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)= \\
=4a^2-12ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2=-5a^2-24ab+5b^2$$

B

Ustalmy jakie cyfry mogą się pojawić w naszej poszukiwanej liczbie dwucyfrowej. Chcemy, by ta liczba była większa od \(20\) i by wszystkie cyfry były parzyste, zatem:
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć cyfry \(2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(4\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć cyfry \(0, 2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

Jest jednak mały problem, ponieważ w ten sposób uwzględnilibyśmy liczbę \(20\) jako pasującą do naszego zdarzenia, a chcemy by ta liczba była większa od \(20\). Najlepiej będzie więc zastosować tradycyjnie regułę mnożenia, a na koniec odejmiemy tą jedną, niepasującą liczbę. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia takich liczb mielibyśmy:
$$5\cdot4=20$$

I od tego odejmujemy jedną liczbę (czyli dwudziestkę), która nam nie pasuje do rozwiązania, stąd też wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$20-1=19$$

B, F

Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.

Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.

Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).

Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:

Odp. A. (drugie równanie)
$$-4y-7(x-7)=0 \\
-4y-7x+49=0 \\
-4y=7x-49 \\
y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

Odp. B. (drugie równanie)
$$4y+2(x-7)=0 \\
4y+2x-14=0 \\
4y=-2x+14=0 \\
y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$

To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F.

Odp. C. (drugie równanie)
$$4y-2(x-7)=0 \\
4y-2x+14=0 \\
4y=2x-14 \\
y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.

B

Pierwiastkami wielomianu nazywamy wszystkie te zmienne \(x\), dla których wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc wprost, musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2(x-1)(x+3)(x^2+4)=0$$

Jest to równanie w postaci iloczynowej, więc wystarczy przyrównać wszystkie wartości do zera, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z ostatniego równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy rozwiązań, ponieważ nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Stąd też jedynymi pierwiastkami tego wielomianu będą \(x=1\) oraz \(x=-3\).

Celem zadania jest podanie iloczynu wszystkich rzeczywistych pierwiastków, zatem:
$$1\cdot(-3)=-3$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że:
$$(1-x)(2-x)\neq0$$

Mamy postać iloczynową, zatem:
$$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0 \\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x) \\
(2x-4)(2x-6)^2=0$$

Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0 \\
2x=4 \quad\lor\quad 2x=6 \\
x=2 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro jednym z rozwiązań tego równania jest \(x=5\), to możemy podstawić to rozwiązanie do naszego równania, co pozwoli nam dowiedzieć się jaka jest wartość \(m\), zatem:
$$|5-3|=m \\
|2|=m \\
m=2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro \(m=2\), to istota zadania opiera się tak naprawdę na tym, by rozwiązać równanie z wartością bezwzględną \(|x-3|=2\). Wartość bezwzględna z \(x-3\) będzie równa \(2\) wtedy, gdy \(x-3\) będzie równe \(2\), lub też gdy \(x-3\) będzie równe \(-2\). W związku z tym możemy zapisać, że:
$$x-3=2 \quad\lor\quad x-3=-2 \\
x=5 \quad\lor\quad x=1$$

Widzimy więc, że drugim rozwiązaniem tego równania będzie \(x=1\).

B

Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Całe zadanie będzie nieco prostsze w momencie, gdy trochę przekształcimy podaną liczbę \(x\). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymamy taką oto sytuację:
$$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \\
=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz wyznaczoną przed chwilą wartość \(x\) do naszego wyrażenia, otrzymamy takie oto działanie:
$$\frac{-2}{x-1}=\frac{-2}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1}=\frac{-2}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}= \\
=\frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2:\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}= \\
=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \\
=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz własności podzielności liczb.

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$8^n-2^n=2^{n}\cdot(4^{n}-1)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że wyrażenie w nawiasie da się rozpisać wykorzystując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Dzięki temu otrzymamy taką oto sytuację:
$$2^{n}\cdot(2^{n}-1)\cdot(2^{n}+1)$$

Jeśli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że liczby \(2^{n}-1\), \(2^{n}\) oraz \(2^{n}+1\) to po prostu trzy kolejne liczby naturalne. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez \(3\).

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\), a to by oznaczało, że liczba \(2^n\) jest na pewno liczbą parzystą i to taką, która jest podzielna przez \(4\).

To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i przez \(4\) jednocześnie, więc jest tym samym podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(2n\cdot(2n−1)(2n+1)\) lub innej podobnej.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

B

Dwie proste są względem siebie prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(2m-1\). Skoro ich iloczyn ma być równy \(-1\), to:
$$\frac{1}{3}\cdot(2m+1)=-1 \\
\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}=-1 \\
\frac{2}{3}m=-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
m=-\frac{4}{2} \\
m=-2$$

B

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba sprzedanych obiadów w październiku (po cenie \(20zł\))
\(y\) - liczba sprzedanych obiadów w listopadzie (po cenie \(24zł\))

To z kolei oznacza, że na obiadach w październiku zarobiono \(20x\), a w listopadzie \(24y\).

Krok 2. Ustalenie spadku liczby sprzedanych obiadów.
Z treści zadania wynika, że jak wpływy z października powiększymy o \(8\%\), to otrzymamy wpływy z listopada, czyli możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x\cdot1,08=24y \\
21,6x=24y \quad\bigg/\:24 \\
y=0,9x$$

Otrzymany zapis oznacza, że liczba sprzedanych obiadów w listopadzie stanowi \(90\%\) tych, które były sprzedane w październiku, czyli tym samym sprzedaż spadła o \(10\%\).

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wzór ciągu możemy zauważyć, że \(q=-2\), bo to właśnie liczba \(-2\) jest podnoszona do potęgi \(n\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy obliczyć wartości dwóch przykładowych wyrazów, np. \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\), zatem:
$$a_{1}=3\cdot(-2)^1=3\cdot(-2)=-6 \\
a_{2}=3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$$

W takim razie iloraz będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{12}{-6} \\
q=-2$$

Zdanie jest więc fałśzem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Już po obliczeniu pierwszych dwóch wyrazów w pierwszym kroku widać wyraźnie, że ten ciąg na pewno nie jest malejący (nie będzie też rosnący, tylko będzie niemonotoniczny), więc zdanie jest fałszem.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Skoro tak, to podane w treści równanie możemy przekształcić w następujący sposób:
$$sin\alpha=2\cdot cos\alpha \\
\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2 \\
tg\alpha=2$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tym razem skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli zależności \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Z równania \(sin\alpha=2\cdot cos\alpha\) wynika, że \(cos\alpha=\frac{1}{2}sin\alpha\). Podstawiając to teraz do jedynki trygonometrycznej, otrzymamy:
$$sin^2\alpha+\left(\frac{1}{2}sin\alpha\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{1}{4}sin^2\alpha=1 \\
\frac{5}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
sin^2\alpha=\frac{4}{5} \\
sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{4}{5}}$$

Skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym, to sinus takiego kąta musi być dodatni, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy i zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako $$sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Sinus nie jest więc równy \(\frac{1}{2}\), czyli zdanie jest fałszem.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
Z równania wynika, że:
$$2|AB|=12 \\
|AB|=6$$

$$3|BC|=12 \\
|BC|=4$$

$$4|AC|=12 \\
|AC|=3$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obwód tego trójkąta jest równy:
$$Obw=6+4+3 \\
Obw=13$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że jeżeli \(a^2+b^2=c^2\) to trójkąt jest prostokątny. Możemy tutaj też dodać, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\) to trójkąt jest ostrokątny, a jeżeli \(a^2+b^2\lt c^2\) to trójkąt jest rozwartokątny. Musimy więc obliczyć ile to jest \(a^2+b^2\) i odnieść ten wynik do wartości \(c^2\). I tu uwaga - pod \(a\) oraz \(b\) zawsze podstawimy krótsze boki, natomiast pod \(c\) zawsze ten najdłuższy. W związku z tym:
$$a^2+b^2=3^2+4^2 \\
a^2+b^2=9+16 \\
a^2+b^2=25$$

$$c^2=6^2 \\
c^2=36$$

Wyszło nam więc, że \(a^2+b^2\lt c^2\), ponieważ \(25\lt36\). To oznacza, że ten trójkąt jest rozwartokątny, czyli zdanie jest fałszem.

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych i obie współrzędne ma dodatnie, to musi znajdować się w pierwszej ćwiartce układu. Jeżeli do tego dorysujemy prostą o równaniu \(y=-3x+8\), to całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Tu powinniśmy dostrzec, że aby okrąg był styczny do osi układu, to jego współrzędne środka okręgu muszą mieć jednakową współrzędną. Po prowadzi nas do wniosku, że środkiem okręgu jest punkt \(S=(2;2)\). Tym samym widzimy, że promień okręgu musi mieć długość \(r=2\).

\(|BC|=\frac{15}{4}\)

W tym zadaniu skorzystamy z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie. Na jego podstawie możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{a}{3}=\frac{5}{4} \quad\bigg/\cdot3 \\
a=\frac{15}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz proporcję \(\frac{a}{3}=\frac{5}{4}\)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane punkty \(A\) oraz \(C\) i spróbujmy naszkicować omawiany romb. Wiemy, że wszystkie boki rombu mają jednakową długość, czyli punkt \(B\) (który leży na osi \(Ox\)) musi być oddalony o jednakową odległość zarówno od punktu \(A\) jak i \(C\). Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Wiemy, że wierzchołek \(B\) leży na osi \(Ox\), czyli wiemy, że jego współrzędna \(y_{B}=0\). Brakuje nam tylko współrzędnej \(x\) tego punktu. Punktem wyjścia do jej wyznaczenia będzie obserwacja, że długości boków rombu mają jednakową miarę, zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka moglibyśmy zapisać, że:
$$|AB|=|BC| \\
\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$

Teraz wystarczy podstawić do tego równania znane nam współrzędne. W przypadku punktu \(B\) w miejsce \(y_{B}\) podstawimy oczywiście \(0\), a w miejsce \(x_{B}\) możemy podstawić \(x\), tak aby była lepsza przejrzystość zapisu, zatem:
$$(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(x-1)^2+(0-1)^2=(5-x)^2+(5-0)^2 \\
x^2-2x+1+1=25-10x+x^2+25 \\
-2x+2=-10x+50 \\
8x=48 \\
x=6$$

To oznacza, że wierzchołek \(B\) ma współrzędne \((6;0)\).

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASC\).
Kąt \(ASC\) oraz kąty \(124°\) i \(92°\) tworzą kąt pełny. To oznacza, że miara kąta \(ASC\) będzie równa:
$$|\sphericalangle ASC|=360°-124°-92°=144°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt \(ABC\) jest kątem wpisanym, który opiera się na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że miara kąta wpisanego \(ABC\) będzie w takim razie dwa razy mniejsza od kąta środkowego \(ASC\), zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=144°:2=72°$$

B. 2,

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest zawsze punkt przecięcia się dwusiecznych trójkąta. W takim razie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) jest punkt \(G\), ponieważ jest on punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta \(ABC\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie dobry rysunek pomocniczy. Tu powinniśmy pamiętać o tym, że z własności stycznych do okręgu wynika, że promień naszego okręgu jest prostopadły do takiej stycznej, a to sprawi, że otrzymamy taki oto trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Mamy trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. Trzecim bokiem jest promień, którego szukamy, zatem jest to idealna sytuacja do zastosowania twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+24^2=26^2 \\
r^2+576=676 \\
r^2=100 \\
r=10 \quad\lor\quad r=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, stąd też zostaje nam \(r=10\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2 \\
a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2 \\
a^2+b^2=50a^2 \\
b^2=49a^2 \\
b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2} \\
b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, spróbujmy zaznaczyć na rysunku jakiej wysokości szukamy, bo jest to dość rzadko spotykana sytuacja:


Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy wysokości ostrosłupa, tak jakby ostrosłup \(ABCS\) był przewrócony (trójkąt \(ABS\) byłby wtedy jego podstawą).

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa z wierzchołka \(C\).
Niezależnie od tego jak jest ułożony ostrosłup, to jego objętość będzie taka sama i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Jeżeli przyjmiemy, że pole podstawy \(ABC\) jest równe \(x\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}x\cdot6 \\
V=2x$$

Z treści zadania wynika, że ściana boczna ma pole powierzchni dwa razy większe od podstawy. Tym samym pole ściany \(ABS\) będzie równe \(2x\). Jeżeli potraktujemy teraz ścianę \(ABS\) jako podstawę ostrosłupa, to opuszczona na nią wysokość z wierzchołka \(C\) musi być na tyle długa, by objętość bryły w dalszym ciągu była równa \(2x\), czyli:
$$2x=\frac{1}{3}\cdot2x\cdot H_{C} \\
H_{C}=3$$

C

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pierwszym pudełku mamy \(4\) kule, w drugim mamy \(3\) kule, czyli zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=4\cdot3=12\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowane kule utworzą liczbę podzielną przez \(3\). Spróbujmy zatem wypisać interesujące nas możliwości:
$$(1;2), (2;4), (3;3), (4;2)$$

Widzimy, że są \(4\) sprzyjające zdarzenia, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

\(a_{n}=-2n+27\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2} \\
a_{1}+a_{12}=28$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że:
$$22+a_{12}+a_{12}=28 \\
2a_{12}=6 \\
a_{12}=3$$

Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem:
$$a_{1}=22+3 \\
a_{1}=25$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{12}=a_{1}+11r$$

Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy:
$$3=25+11r \\
11r=-22 \\
r=-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru.
Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy:
$$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2) \\
a_{n}=25-2n+2 \\
a_{n}=-2n+27$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i zapiszesz równanie w którym są dwie niewiadome (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań z którego możemy obliczyć \(a_{1}\) oraz \(r\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.