Matura próbna – Matematyka – Listopad 2009 – Odpowiedzi

A

Zadanie to można rozwiązać obliczając każdą z nierówności podaną w odpowiedziach. Jeśli chcemy obliczyć to w sposób matematyczny, to możemy skorzystać z interpretacji geometrycznej zbioru rozwiązań nierówności. Na początek musimy wyznaczyć środek odcinka o końcach w punkcie \(-2\) oraz \(6\), a będzie to:
$$a=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Wyznaczony punkt \(a=2\) jest odległy od punktów końcowych (\(-2\) oraz \(6\)) o cztery jednostki. Skoro przedziały idą do plus/minus nieskończoności to zaznaczony zbiór jest zbiorem liczb odległych od punktu \(a=2\) o ponad \(4\) jednostki. Stąd też poszukiwaną nierównością jest \(|x-2|\gt4\).

C

Bilety ulgowe stanowiły \(\frac{126}{280}=0,45=45\%\) wszystkich biletów.

B

Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(6\%\) jest równe \(9\)
to \(1\%\) jest równy \(1,5\)
więc \(100\%\) jest równe \(150\).

B

Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem:
$$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \\
=2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$

C

Wynik logarytmu (w tym przypadku \(9\)) mówi nam do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (w tym przypadku \(3\)), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (czyli nasz \(x\)). W tablicach znajdziemy nawet matematyczny zapis tej definicji:
$$\log_{a}c=b \Longleftrightarrow a^b=c$$

Podstawiając wprost liczby z naszego zadania (\(a=3\), \(b=9\) oraz \(c=x\)) widzimy wyraźnie, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(x=3^9\).

A

Możemy wymnożyć wyrazy w każdej z poszczególnych odpowiedzi i sprawdzić który wynik będzie równy iloczynowi z treści zadania. My jednak skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, a dokładniej to ze wzoru na sumę sześcianów:
$$\color{orange}{a^3}+\color{green}{b^3}=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
\color{orange}{27x^3}+\color{green}{y^3}=...$$

Ustalmy sobie co jest naszym wyrazem \(a\) oraz \(b\) w tym wzorze. Na pewno \(b=y\). Ale ile jest równe \(a\)? I tu klasyczna pułapka przy stosowaniu tego wzoru, bowiem \(a\neq27x\). Dlaczego? Ponieważ \((27x)^3=19683x^3\). W naszym przypadku \(a=3x\), bo \((3x)^3=27x^3\). Zatem:
$$27x^3+y^3=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2) \\
27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$$

B

Przy tego typu zadaniach musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy wielomianów. W tym konkretnym przypadku od razu widać, że prawidłowa musi być odpowiedź druga, bo powstały wielomian na pewno będzie wielomianem szóstego stopnia, a tylko w drugiej odpowiedzi znalazła się taka opcja. Jeśli jednak tego nie dostrzeżemy, to możemy zawsze wymnożyć wszystkie wyrazy, zatem:
$$W(x)\cdot V(x)=(x^3-3x+1)\cdot2x^3= \\
=x^3\cdot2x^3-3x\cdot2x^3+1\cdot2x^3=2x^6-6x^4+2x^3$$

A

Parabola określona wzorem \(y=a(x-p)^2+q\) ma swój wierzchołek w punkcie \(W=(p;q)\). Spróbujmy więc dopasować równanie z treści zadania do tego wzoru i tym samym określić współrzędne wierzchołka. Krótko mówiąc - musimy doprowadzić do sytuacji, by w nawiasie zamiast sumy znalazła się różnica dwóch liczb (bo tak jest we wzorze):
$$y=-3(x+1)^2 \\
y=-3(x-(-1))^2+0$$

Z takiego zapisu jasno wynika, że \(p=-1\) oraz \(q=0\). W związku z tym współrzędne paraboli to \(W=(-1;0)\).

D

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).

Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2 \\
f(-1)=1-1-2 \\
f(-1)=-2$$

To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).

A

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Wbrew pozorom jest to dość ważny punkt, bo może się okazać, że otrzymany wynik będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, dlatego wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x+3\neq0 \\
x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Samo równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc poszczególne wyrazy na krzyż:
$$(x-5)\cdot3=(x+3)\cdot2 \\
3x-15=2x+6 \\
3x-2x=6+15 \\
x=21$$

C

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu \((x+1)(x-3)\).
Aby wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wielomian \((x+1)(x-3)\) do zera. Wielomian jest podany w postaci iloczynowej, co znacznie upraszcza ustalenie miejsc zerowych, bo tak naprawdę musimy przyrównać do zera wartości w każdym z nawiasów, zatem:
$$(x+1)(x-3)=0 \\
x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do góry, bo po wymnożeniu wartości w nawiasach otrzymamy \(x^2\), czyli współczynnik \(a\gt0\). Zaznaczamy na osi wyliczone miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Poszukujemy wartości większych od zera, tak więc interesuje nas przedział \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\). Taki zbiór został przedstawiony na trzecim rysunku i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

B

Musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli tak naprawdę podstawić do wzoru \(n=3\). Zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-3) \\
a_{3}=-1\cdot0 \\
a_{3}=0$$

B

Krok 1. Zapisanie wzoru na trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Podstawiając do niego \(n=3\) oraz \(n=11\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy tego ciągu.
Korzystając ze wzorów które wypisaliśmy sobie w pierwszym kroku i z wartości poszczególnych wyrazów podanych w treści zadania możemy ułożyć prosty układ równań:
\begin{cases}
a_{1}+2r=14 \\
a_{1}+10r=34
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać w dowolny sposób np. metodą podstawiania, gdzie do drugiego równania podstawimy \(a_{1}=14-2r\). Możemy też odjąć te równania stronami i tak też będzie najprościej. Otrzymamy wtedy:
$$-8r=-20 \\
8r=20 \\
r=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$$

C

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, zatem możemy podstawić \(n=4\) i dzięki temu jedyną niewiadomą w tym wzorze będzie poszukiwany iloraz ciągu. W związku z tym:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
-4=32\cdot q^3 \\
q^3=-\frac{1}{8} \\
q=-\frac{1}{2}$$

C

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α \\
cos^2α=1-\left(\frac{8}{9}\right)^2 \\
cos^2α=1-\frac{64}{81} \\
cos^2α=\frac{17}{81} \\
cosα=\sqrt{\frac{17}{81}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{17}{81}}$$

Ujemną wartość musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{17}{81}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{17}}{9}\).

D

Tangens kąta \(α\) jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Zatem zgodnie z rysunkiem:
$$tgα=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Z własności trójkąta równoramiennego wiemy, że jego wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. Stąd też powstaną nam odcinki \(|AD|=|DB|=6\) (patrz rysunek):


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$|DB|^2+|CD|^2=|BC|^2 \\
6^2+|CD|^2=7^2 \\
36+|CD|^2=49 \\
|CD|^2=13 \\
|CD|=\sqrt{13}$$

D

Krok 1. Zbudowanie równania na podstawie danych z treści zadania.
Wiedząc, że proste \(AB\) oraz \(CD\) są równoległe możemy stwierdzić, że trójkąty \(EAB\) oraz \(ECD\) są trójkątami podobnymi. W związku z tym prawdziwa będzie relacja:
$$\frac{|EA|}{|AB|}=\frac{|EC|}{|CD|} \\
\frac{x}{6}=\frac{x+4}{8}$$

Zwróć szczególną uwagę na odcinek \(EC\). Bardzo często w tego typu zadaniach uczniowie wpisują w tym miejscu długość odcinka \(AC\), co jest błędem.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Najprościej będzie wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$8x=6\cdot(x+4) \\
8x=6x+24 \\
2x=24 \\
x=12$$

Długość odcinka \(|AE|\) oznaczono na rysunku jako \(x\), więc \(|AE|=12\).

C

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(6-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+3^2} \\
|AB|=\sqrt{36+9} \\
|AB|=\sqrt{45}$$

D

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) możemy zapisać jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Przyrównując ten wzór do równania z treści zadania widzimy wyraźnie, że:
$$r^2=16 \\
r=4$$

Tak na marginesie, to możemy także określić środek tego okręgu, wystarczy że dostosujemy równanie z treści zadania do wzoru z tablic:
$$(x-1)^2+y^2=16 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=16$$
Współrzędne środka okręgu to \(S=(1;0)\).

A

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(3\), zatem poszukiwana przez nas prosta prostopadła musi mieć:
$$a\cdot3=-1 \\
a=-\frac{1}{3}$$

Taki współczynnik znajduje się tylko w pierwszej odpowiedzi, więc to jest poszukiwany przez nas wzór.

A

Do równania z treści zadania musimy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\) i rozwiązać powstałe równanie:
$$y=-4x+(2m-7) \\
-1=-4\cdot2+(2m-7) \\
-1=-8+2m-7 \\
-1=-15+2m \\
2m=14 \\
m=7$$

D

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, więc pole powierzchni każdej z nich będzie równe:
$$P=150cm^2:6=25cm^2$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Każda ze ścian jest kwadratem, więc krawędź sześcianu ma długość:
$$P=a^2 \\
25cm^2=a^2 \\
a=5cm$$

D

Układamy równanie ze średnią arytmetyczną pięciu liczb, którego rozwiązaniem będzie właśnie niewiadoma \(x\), zatem:
$$\frac{5+x+1+3+1}{5}=3 \quad\bigg/\cdot5 \\
10+x=15 \\
x=5$$

A

Aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą to musimy pomnożyć przez siebie dwie nieparzyste liczby. Przykładowo \(3\cdot3=9\) albo \(5\cdot7=35\) itd.
W zbiorze \(A\) mamy dwie takie liczby (\(3\) i \(5\)), w zbiorze \(B\) jest tylko jedna taka liczba (\(1\)). To oznacza, że uda nam się utworzyć tylko dwie takie pary:
$$3\cdot1=3 \\
\text{ oraz } \\
5\cdot1=5$$

\(x\in\langle1;2\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Skorzystamy tutaj z tradycyjnej metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i przystępujemy do rysowania paraboli. Pamiętaj, by kółka przy miejscach zerowych były zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero. W związku z tym: \(x\in\langle1;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=7\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Musimy wyłączyć odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, by wartości w dwóch nawiasach były identyczne - to pozwoli nam przekształcić to równanie na postać iloczynową.
$$x^3-7x^2+2x-14=0 \\
x^2(x-7)+2(x-7)=0 \\
(x^2+2)(x-7)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Mamy już równanie w postaci iloczynowej. Aby było ono równe zero, to któryś z nawiasów musi "zerować" to równanie, tak więc:
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x-7=0 \\
x^2=-2 \quad\lor\quad x=7$$

Z pierwszej części tego równania nie wyznaczymy żadnych rozwiązań, bo wartość \(x^2\) jest zawsze dodatnia. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=7\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-2x+14\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku dobrze jest zaznaczyć sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\), a także prostą na której znajdą się brakujące punkty \(B\) oraz \(D\). I tu pierwsze bardzo ważne spostrzeżenie - przekątne kwadratu przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a więc nasza prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(S\), który jest środkiem odcinka \(AC\).



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Skorzystamy ze wzorów, które dostępne są w tablicach matematycznych:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6 \\
S=(4;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej \(AC\).
Nasz plan działania jest dość prosty. Wyznaczymy sobie wzór prostej \(AC\), a następnie wzór prostej prostopadłej, która będzie przechodzić przez punkt \(S\). To właśnie ta prosta prostopadła jest przez nas poszukiwana. Prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=ax+b\), więc możemy podstawić pod ten wzór najpierw współrzędne punktu \(A\), następnie punktu \(C\) i w ten sposób stworzymy prosty układ równań:
\begin{cases}
5=2a+b \\
7=6a+b
\end{cases}

Możemy zastosować tu metodę podstawiania, przyjmując z pierwszego równania \(b=5-2a\), jednak znacznie prościej i szybciej będzie po prostu odjąć to równanie stronami. Otrzymamy wtedy:
$$-2=-4a \quad\bigg/:(-4) \\
a=\frac{1}{2}$$

Możemy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej, choć nie będzie nam on już potrzebny do dalszych obliczeń. Podstawiamy obliczoną przed chwilą wartość współczynnika \(a\) do wybranego równania, otrzymując:
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b \\
5=1+b \\
b=4$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) to \(y=\frac{1}{2}+4\).

Krok 4. Wyznaczenie wzoru prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie na pewno prostopadła do prostej \(AC\) oraz będzie przechodzić przez punkt \(S\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\) to druga musi mieć:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

Wiemy już, że prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze tylko współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając współrzędne punktu \(S\), przez który musi ta prosta przechodzić, stąd też:
$$6=-2\cdot4+b \\
6=-8+b \\
b=14$$

Wzór prostej \(BD\) to w takim razie \(y=-2x+14\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne przecięcia się przekątnych (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(C\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiązanie zadania nie jest do końca poprawne, ale wynika to z błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα+cosα=1\frac{2}{5}\)

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na wartość sinusa.
Z funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Podstawmy więc znaną nam wartość tangensa i spróbujmy wyznaczyć z niej wartość sinusa:
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3} \\
sinα=\frac{4}{3}cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Tym razem skorzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, dzięki któremu obliczymy dokładną wartość cosinusa.
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Podstawiając do tego wzoru wyznaczoną wartość sinusa z poprzedniego kroku otrzymamy:
$$\left(\frac{4}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{9}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{9}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{25} \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bowiem w treści zadania mowa jest o kącie ostrym, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni.

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa.
Obliczoną wartość cosinusa możemy podstawić do wzoru wyprowadzonego w pierwszym kroku, tak więc:
$$sinα=\frac{4}{3}cosα \\
sinα=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{5} \\
sinα=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znamy już wartość sinusa i cosinusa, tak więc:
$$sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie z użyciem jedynki trygonometrycznej i z wykorzystaniem własności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy lub na tym poprzestaniesz rozwiązanie zadania.
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny, ale np. pomylisz się przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej.
ALBO
• Gdy w trakcie obliczeń wartości sinusa lub cosinusa nie odrzucisz ujemnego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności ciągów arytmetycznych.

Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z treści zadania.
Zgodnie z własnościami ciągów artmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Z racji tego, że dużo w tym zadaniu będzie działań na ułamkach, to może od razu pomnóżmy sobie obie strony tej zależności przez \(2\), tak aby ułatwić sobie obliczenia w dalszej fazie, zatem:
$$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$

Podstawiając do naszego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Możemy to równanie rozwiązać w dowolny sposób, ale chyba najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków i wymnożyć obie strony przez \(12\).
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
2\cdot(2m+6)=(3m+3)+(m+9) \\
4m+12=4m+12$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Po obu stronach równania otrzymaliśmy tą samą wartość. Jest to więc równanie tożsamościowe, czyli takie które spełnia każda liczba. W związku z tym otrzymany wynik kończy nasze dowodzenie, bo w ten sposób udało nam się dowieść, że ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz relację między trzema wyrazami ciągu i na tej podstawie ułożysz równanie (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz do rozwiązania otrzymanego równania (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z niego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy udowodnisz to zadanie np. korzystając z własności ciągów arytmetycznych (tak jak w przykładzie), albo udowadniając że ciąg jest arytmetyczny bo różnica między poszczególnymi wyrazami jest jednakowa.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Połączmy sobie punkty \(K\), \(L\) oraz \(M\) - tworzą one wierzchołki trójkąta, którego cechę równoboczności musimy udowodnić. Skoro trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoboczne, to możemy na rysunek nanieść też ich miary \(60°\).



Krok 2. Dostrzeżenie par odcinków równoległych.
Zarówno bok \(AB\) jak i \(CD\) są nachylone do podstawy czworokąta \(AEDB\) pod kątem \(60°\). To oznacza, że te odcinki są względem siebie równoległe, czyli \(AB||CD\).

Punkty \(K\) oraz \(M\) dzielą odcinki łączące te dwie proste równoległe dokładnie w połowie swojej długości, stąd też odcinek \(KM\) jest równoległy do odcinków \(AB\) i \(CD\), a więc i on jest nachylony do podstawy czworokąta pod kątem \(60°\). Ta zależność wynika także z Twierdzenia Talesa. Wiemy już więc, że \(\sphericalangle MKL=60°\).

Analogicznie sytuacja wygląda po drugiej stronie czworokąta. Odcinki \(CB\) oraz \(ED\) są nachylone do podstawy czworokąta pod tym samym kątem \(60°\), są więc względem siebie równoległe. Odcinek \(ML\) jest równoległy względem zarówno odcinka \(CB\) jak i \(ED\) (dokładnie z tego samego powodu o jakim mówiliśmy powyżej, analizując odcinek \(KM\)), a więc \(\sphericalangle MLK=60°\).

Dwa kąty w trójkącie KLM mają miarę \(60°\) więc i trzeci kąt musi mieć \(60°\), czyli jest to trójkąt równoboczny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy zapiszesz (bez udowodnienia), że poszczególne kąty mają 60° i dlatego trójkąt jest równoboczny.
1 pkt
• Gdy udowodnisz równoległość boków \(AB||CD\) albo \(CB||ED\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy udowodnisz jakąś inną własność (np. omówioną w kroku 2.), ale nie doprowadzisz dowodu do końca.
2 pkt
• Gdy w pełni zakończysz dowodzenie zadania.

\(15\) dni.

Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z zadania.
Oznaczmy sobie jako \(x\) liczbę dni jakie zajęło uczniowi czytanie książki. Skoro każdego dnia czytał tyle samo stron, to dziennie czytał ich \(\frac{480}{x}\). Wiemy też, że gdyby czytał o \(8\) stron więcej (czyli gdyby czytał \(\frac{480}{x}+8\)), to czytałby o \(3\) dni krócej (czyli czas czytania wyniósłby \(x-3\)). W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$\left(\frac{480}{x}+8\right)\cdot(x-3)=480$$

Krok 2. Rozwiązanie utworzonego równania.
Możemy albo najpierw wymnożyć oba nawiasy przez siebie, a następnie pomnożyć obie strony równania przez \(x\), albo można też od razu pomnożyć obie strony przez \(x\) i dopiero potem wymnożyć przez siebie wyrazy w nawiasach. Obydwie metody są skuteczne, tak więc może zróbmy to po kolei i wymnóżmy poszczególne wyrazy. Otrzymamy wtedy:
$$\require{cancel}
480-\frac{1440}{x}+8x-24=480 \quad\bigg/\cdot x \\
\cancel{480x}-1440+8x^2-24x=\cancel{480x} \\
8x^2-24x-1440=0$$

Możemy jeszcze uprościć to równanie dzieląc wszystko przez \(8\) (nie jest to konieczne, ale dzięki temu będziemy mieć mniejsze liczby w obliczeniach), zatem otrzymamy:
$$x^2-3x-180=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-180\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-180)=9-(-720)=9+720=729 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot1}=\frac{3-27}{2}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot1}=\frac{3+27}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc otrzymaliśmy wynik \(x=15\), a to oznacza że uczeń czytał książkę przez \(15\) dni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z którego potem można dokonać obliczenia prowadzące do rozwiązania zadania (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy rozwiążesz otrzymane równanie i doprowadzisz je do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz otrzymane równanie kwadratowe i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania (Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy popełniony gdzieś w trakcie obliczeń.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)\)

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Każdy punkt w układzie współrzędnych możemy opisać jako \(C=(x;y)\). W treści zadania mamy jednak podaną bardzo ważną informację, która mówi nam że punkt \(C\) leży na prostej \(y=x\). Możemy więc podstawić "iksa" pod drugą współrzędną punktu \(C\), dzięki czemu otrzymamy współrzędne \(C=(x;x)\). To nam bardzo uprości rozwiązanie tego zadania, bo w ten sposób pozbyliśmy się już jednej niewiadomej. Całą resztę możemy już obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Długość poszczególnych odcinków (np. odcinka \(AB\)) w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

W Twierdzeniu Pitagorasa musimy każdą wartość podnieść do kwadratu, więc pierwiastek z powyższego równania zniknie nam w trakcie obliczeń. Przykładowo:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$

Z treści zadania wynika, że przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\), tak więc:
$$\color{orange}{|AC|^2}+\color{blue}{|BC|^2}=\color{green}{|AB|^2} \\
\color{orange}{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}+\color{blue}{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}=\color{green}{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiamy współrzędne: \(A=(2,0)\), \(B=(12,0)\) oraz \(C=(x;x)\):
$$(x-2)^2+(x-0)^2+(x-12)^2+(x-0)^2=(12-2)^2+(0-0)^2 \\
x^2-4x+4+x^2+x^2-24x+144+x^2=100 \\
4x^2-28x+48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Korzystając z metody delty otrzymamy:
Współczynniki: \(a=4,\;b=-28,\;c=48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-28)^2-4\cdot4\cdot48=784-768=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot4}=\frac{28-4}{8}=\frac{24}{8}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot4}=\frac{28+4}{8}=\frac{32}{8}=4$$

Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu \(C\).
Nie możemy odrzucić żadnego z otrzymanych rozwiązań równania kwadratowego z trzeciego kroku, a to oznacza że będziemy mieli dwa rozwiązania tego zadania. Zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - współrzędne punktu \(C\) określić możemy jako \((x;x)\), zatem:
$$C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje między długościami boków korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, ale nie obliczysz z nich współrzędnych punktu \(C\) i zakończysz na tym zadanie (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy rozpiszesz równanie ułożone na podstawie Twierdzenia Pitagorasa, wykorzystasz wzory na długość odcinka i podstawisz odpowiednie dane z treści zadania (patrz: Krok 2.) ale nie dostrzeżesz tego, że współrzędna "iksowa" punktu \(C\) jest równa współrzędnej "igrekowej".
3 pkt
• Gdy dojdziesz do końca zadania, ale otrzymasz zły wynik w wyniku błędu rachunkowego.
ALBO
• Gdy otrzymane rozwiązanie jest niepełne (np. zawiera tylko jedną z dwóch możliwości).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(z=17\)

Krok 1. Stworzenie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Oznaczmy sobie przyprostokątne jako \(x\) oraz \(y\), a przeciwprostokątną jako \(z\). Ze wzoru na pole trójkąta wiemy, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot x \cdot y \\
60=\frac{1}{2}\cdot x \cdot y \\
x\cdot y=120$$
I to będzie nasze pierwsze równanie.

Z samej treści zadania wynika, że jedna z tych przyprostokątnych jest o \(7cm\) dłuższa od drugiej (nie ma dla nas znaczenia która krótsza, a która dłuższa), czyli:
$$x=y+7$$

I tu mała uwaga: W tym przypadku założyliśmy sobie, że przyprostokątna \(x\) jest dłuższa. Równie dobrze możemy zapisać to jako \(x=y-7\), wtedy to przyprostokątna \(y\) będzie dłuższa. Wbrew pozorom nie ma to dla nas generalnie znaczenia, bo naszym celem i tak jest wyznaczenie długości przeciwprostokątnej.

Z naszych rozważań możemy zbudować następujący układ równań:
\begin{cases}
x\cdot y=120 \\
x=y+7
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Podstawiamy dane z drugiego równania do pierwszego, otrzymując w ten sposób:
$$(y+7)\cdot y=120 \\
y^2+7y-120=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Do obliczenia tego równania skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=7,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-120)=49-(-480)=49+480=529 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{529}=23$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-23}{2\cdot1}=\frac{-30}{2}=-15 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+23}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo długość odcinka musi być dodatnia. To oznacza, że przyprostokątna \(y=8\). Podstawiając tą wartość do dowolnego z równań możemy szybko wyznaczyć długość także drugiej przyprostokątnej:
$$x=8+7 \\
x=15$$

Krok 4. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Znając długości dwóch przyprostokątnych możemy za pomocą Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość przeciwprostokątnej, zatem:
$$x^2+y^2=z^2 \\
15^2+8^2=z^2 \\
225+64=z^2 \\
z^2=289 \\
z=17$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między długościami boków (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dane w formie układu równań i rozwiążesz ten układ. (patrz: Krok 1. oraz 2.)
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe i na tym zakończysz zadanie lub błędnie wywnioskujesz że otrzymany wynik jest już długością przeciwprostokątnej.
ALBO
• Gdy rozwiążesz zadanie do końca, ale otrzymasz zły wynik w wyniku jakiegoś błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.