Matura poprawkowa – Matematyka – Wrzesień 2020 – Odpowiedzi

C

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2= \\
=5+4\sqrt{15}+4\cdot3=5+4\sqrt{15}+12=17+4\sqrt{15}$$

A

W tym zadaniu musimy poprawnie skorzystać z działań na potęgach i pierwiastkach. Wiedząc, że \(9=3^2\) i że \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}=\sqrt[4]{3^2\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{2+\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{\frac{5}{2}}}=\left(3^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{8}}$$

D

Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść liczby stojące przed logarytmami do wykładników potęg, co pozwoli nam rozpisać całość w następujący sposób:
$$2log5+3log2=log5^2+log2^3=log(5^2\cdot2^3)$$

C

Rozwiązując nierówność otrzymamy:
$$\frac{5(4-x)}{2}\lt x \\
5(4-x)\lt2x \\
20-5x\lt2x \\
20\lt7x \\
x\gt2\frac{6}{7}$$

Otrzymaliśmy informację, że nierówność jest spełniana przez wszystkie liczby większe od \(2\frac{6}{7}\), zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełnianą przez tę nierówność będzie \(3\).

A

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb.
Na początek musimy poznać dokładną wartość średniej arytmetycznej zestawu naszych liczb. Skoro mamy \(128\) razy liczbę \(4\) i \(122\) razy liczbę \(2\), to średnia będzie równa:
$$\bar{a}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250} \\
\bar{a}=\frac{512+244}{250} \\
\bar{a}=\frac{756}{250} \\
\bar{a}=3,024$$

Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru:
$$Δx=|x-p|$$

W powyższym wzorze \(Δx\) to błąd bezwzględny, \(x\) to wartość dokładna, natomiast \(p\) to wartość przybliżona. Wiemy już, że dokładna średnia jest równa \(x=3,024\), natomiast wartość przybliżona to \(p=3\), zatem:
$$Δx=|3,024-3| \\
Δx=|0,024| \\
Δx=0,024$$

C

Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)

To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).

C

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego.
Wiemy, że te dwie funkcje mają jednakowe miejsce zerowe. Możemy je wyliczyć, bazując na funkcji \(f(x)\). Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-4x+12=0 \\
-4x=-12 \\
x=3$$

To oznacza, że miejscem zerowym funkcji \(f\) (a tym samym także funkcji \(g\)) będzie \(x=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(k\).
Wiemy już, że nasza funkcja \(g\) ma miejsce zerowe \(x=3\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-2x+k+3=0 \\
-2\cdot3+k+3=0 \\
-6+k+3=0 \\
k-3=0 \\
k=3$$

B

Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Możemy więc zauważyć, że parametr \(m\) jest równy współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.

Z własności funkcji kwadratowych wynika, że funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w swoim wierzchołku. Nasza funkcja ma ramiona paraboli skierowane do dołu (bowiem współczynnik \(a\) jest ujemny), czyli w wierzchołku będzie przyjmowana największa wartość tej funkcji. Ze zbioru wartości wynika, że największą wartością funkcji jest \(-5\), czyli że \(q=-5\). To oznacza, że tym samym \(m=-5\).

A

Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli:


Widzimy więc, że musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka naszej paraboli, a w tym celu możemy posłużyć się następującym wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynniki \(b\) oraz \(a\) odczytamy wprost ze wzoru funkcji \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\). Funkcja ta jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), zatem widzimy, że w naszym przypadku \(a=\frac{1}{3}\) oraz \(b=4\). Podstawiając te współczynniki do wzoru na współrzędną \(p\), otrzymamy:
$$p=\frac{-4}{2\cdot\frac{1}{3}} \\
p=\frac{-4}{\frac{2}{3}} \\
p=(-4)\cdot\frac{3}{2} \\
p=-6$$

To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-6\).

D

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Współczynnik \(a\) informuje nas o kierunku ułożenia ramion paraboli. W naszym przypadku ramiona paraboli są skierowane do góry, a to oznacza, że \(a\gt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(c\).
Współczynnik \(c\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Możemy powiedzieć, że parabola przecina oś w punkcie \(P=(0;c)\). Podana na rysunku parabola przecina oś \(OY\) dla dodatniej wartości (czyli nad osią iksów), zatem \(c\gt0\).

To oznacza, że obydwa współczynniki są dodatnie, czyli że \(\begin{cases}a\gt0 \\ c\gt0 \end{cases}\).

C

Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x^2+x\neq0 \\
x(x+1)\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x+1\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając założenia możemy przejść do obliczeń. Mnożąc obydwie strony równania przez \(x^2+x\) otrzymamy:
$$\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+x) \\
x^2-3x=0$$

Ponownie mamy na swojej drodze równanie kwadratowe. Możemy oczywiście obliczyć deltę (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), natomiast dużo prościej będzie po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias:
$$x^2-3x=0 \\
x(x-3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić nasze rozwiązania z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=0\) musimy odrzucić, zatem zostaje nam jedynie \(x=3\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Długość promienia okręgu możemy obliczyć korzystając ze wzoru na długość odcinka. Jednak prościej będzie skorzystać z rysunku pomocniczego, bowiem wprost widzimy, że utworzył nam się tutaj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długości \(1\) (taka połówka kwadratu). Możemy więc od razu zauważyć, że \(r=\sqrt{2}\) (bo przekątna kwadratu jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od boku kwadratu). Ewentualnie możemy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:
$$1^2+1^2=r^2 \\
1+1=r^2 \\
r^2=2 \\
r=\sqrt{2} \quad\lor\quad r=-\sqrt{2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości okręgu.
Korzystając ze wzoru na obwód okręgu możemy zapisać, że:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot\sqrt{2}$$

D

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki \(a\). To oznacza, że prosta \(l\) musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\) prostej \(l\).
Punkt \(P\) należący do prostej \(l\) jest bardzo charakterystyczny - jest to miejsce przecięcia się prostej z osią \(OY\). Z własności prostych wiemy, że w takiej sytuacji współczynnik \(b=7\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+7\).

A

Krok 1. Zapisanie znanych współrzędnych punktów \(P\) oraz \(Q\).
Jeżeli punkt \(P\) leży na osi \(OY\) to na pewno współrzędne tego punktu będziemy mogli zapisać jako \(P=(0;y_{P})\). Analogicznie skoro punkt \(Q\) leży na osi \(OX\), to \(Q=(x_{Q};0)\).

Krok 2. Obliczenie brakujących współrzędnych punktów \(P\) oraz \(Q\).
Teraz będziemy korzystać ze wzorów na środek odcinka. Możemy zapisać, że:
$$x_{S}=\frac{x_{P}+x_{Q}}{2} \\
4=\frac{0+x_{Q}}{2} \\
8=0+x_{Q} \\
x_{Q}=8 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{P}+y_{Q}}{2} \\
8=\frac{y_{P}+0}{2} \\
16=y_{P}+0 \\
y_{P}=16$$

To oznacza, że \(P=(0;16)\) oraz \(Q=(8;0)\).

D

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Z własności podobieństwa wynika, że jeżeli jakiś trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od trójkąta \(CDB\), zatem:
$$k^2=4 \\
k=2 \quad\lor\quad k=-2$$

Skala podobieństwa nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(k=2\).

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).
Wiemy już, że skala podobieństwa jest równa \(k=2\), czyli że wszystkie boki trójkąta \(ADC\) są dwa razy większe od analogicznych boków trójkąta \(CDB\).

Bok \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CDB\), tak samo jak bok \(CA\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ADC\). Skoro tak, to bok \(BC\) będzie dwa razy krótszy od boku \(CA\), czyli \(|BC|=3\).

B

W tym zadaniu mamy klasyczną sytuację w której jedno ramię kąta pokrywa się z osią \(OX\), a wierzchołek kąta jest w początku układu współrzędnych. Obliczenie wartości tangensa takiego kąta będzie niezwykle proste, wystarczy że skorzystamy ze wzoru z tablic matematycznych:
$$tg\alpha=\frac{y}{x}$$

W powyższym wzorze wartości \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu P, który znajduje się na ramieniu naszego kąta. Skoro tak, to:
$$tg\alpha=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$$

B

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4\cdot5}{25}+cos^2α=1 \\
\frac{20}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{5} \\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\). Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi, usuwając po drodze niewymierność z mianownika:
$$cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

A

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=5\), to różnica ciągu będzie równa:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=5-2 \\
r=3$$

Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot3 \\
a_{n}=2+3n-3 \\
a_{n}=3n-1$$

D

Aby dowiedzieć się jaką wartość przyjmie funkcja dla wskazanego argumentu wystarczy podstawić \(x=-3\) do wzoru naszej funkcji. Pamiętając o tym, że ujemny wykładnik potęgi związany jest z odwrotnością liczby potęgowanej, otrzymamy:
$$f(-3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \\
f(-3)=2^3 \\
f(-3)=8$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(a\).
Z tabeli wynika, że możemy ułożyć następującą zależność:
\begin{gather*}a \quad\Rightarrow\quad 36 \\
3 \quad\Rightarrow\quad 24\end{gather*}

Skoro są to wartości odwrotnie proporcjonalne, to będziemy mnożyć w linii, a nie na krzyż. Możemy zatem zapisać, że:
$$a\cdot36=3\cdot24 \\
36a=72 \\
a=2$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(b\).
Analogicznie jak w kroku pierwszym, możemy ułożyć następującą zależność:
\begin{gather*}3 \quad\Rightarrow\quad 24 \\
8 \quad\Rightarrow\quad b\end{gather*}

I tutaj także będziemy mnożyć w linii, zatem:
$$3\cdot24=8\cdot b \\
8b=72 \\
b=9$$

B

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb znajdujących się przed \(x\)) musi być równy \(-1\). Taka sytuacja ma miejsce jedynie w drugiej odpowiedzi, albowiem \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).

A

Znając współrzędne trzech wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole korzystając ze wzoru:
\begin{gather*}P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\Big|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})\Big|\end{gather*}

Teraz wystarczy już tylko podstawić do tego wzoru odpowiednie współrzędne, zatem:
\begin{gather*}P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\Big|(1-4)(-1-1)-(3-1)(4-4)\Big| \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\Big|(-3)(-2)-(2)\cdot0\Big| \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\Big|6-0\Big| \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot6 \\
P_{ABC}=3\end{gather*}

D

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale trzeba tutaj być wyjątkowo precyzyjnym, bo widzimy że poszczególne pary odpowiedzi różnią się zaledwie o jedną liczbę. Spróbujmy zatem wyznaczyć ilość tych liczb w taki sposób, by nie mieć wątpliwości czy wszystkie liczby zostały uwzględnione.

W tym celu wystarczy potraktować to zadanie jak ciąg arytmetyczny w którym \(r=4\) (bo co czwarta liczba jest podzielna przez \(4\)), \(a_{1}=1000\) (bo jest to najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez \(4\)) oraz \(a_{n}=2016\) (bo jest to największa liczba czterocyfrowa, która jest mniejsza od \(2020\) i która jest podzielna przez \(4\).

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
2016=1000+(n-1)\cdot4 \\
2016=1000+4n-4 \\
2016=996+4n \\
4n=1020 \\
n=255$$

To oznacza, że mamy \(255\) poszukiwanych wyrazów.

D

Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków.
Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków.

Z treści zadania wynika, że liczba wierzchołków graniastosłupa jest o \(9\) większa, zatem:
$$W_{graniastosłupa}=W_{ostrosłupa}+9 \\
2n=n+1+9 \\
2n=n+10 \\
n=10$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian. Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(12\), to pole takiej pojedynczej ściany będzie równe:
$$P=12:6 \\
P=2$$

Wiemy, że każda taka ściana sześcianu jest kwadratem, zatem korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2 \\
2=a^2 \\
a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi, zatem suma ich długości będzie równa \(12\sqrt{2}\).

\(x\in(-\infty;-\frac{1}{2}\rangle\cup\langle3;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot3=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i szkicujemy wykres paraboli:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą od zera lub równą zero, czyli patrzymy na to co znalazło się pod osią lub na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:
$$x\in(-\infty;-\frac{1}{2}\rangle\cup\langle3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\)

Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:
$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$

Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\
16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\
15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:

Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-\frac{6}{5} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wykazano korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcić nierówność do postaci \((a-b)^2\gt0\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(\Delta=0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając z własności trójkątów podobnych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Całą sytuację możemy sprowadzić do schematu znanego z trójkątów podobnych:


Warto też pamiętać, że jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że tworzą one z promieniem okręgu kąt prosty (można więc powiedzieć, że dzięki temu mamy na rysunku podobne trójkąty prostokątne).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Z własności figur podobnych wiemy, że stosunek przeciwprostokątnej \(x\) względem przyprostokątnej o długości \(2\), musi być taki sam jak przeciwprostokątnej o długości \(x+8\) względem przyprostokątnej o długości \(6\). Możemy zatem ułożyć takie oto równanie:
$$\frac{x}{2}=\frac{x+8}{6}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$x\cdot 6=2\cdot(x+8) \\
6x=2x+16 \\
4x=16 \\
x=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(x=4\), to cała przeciwprostokątna naszego trójkąta ma długość równą \(12\). Wiemy też, że przyprostokątna ma długość \(6\), czyli, że jest ona dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Powinno nam to zasugerować, że ten trójkąt jest klasycznym trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\), bowiem to właśnie w nim mamy taką sytuację, że jedna przyprostokątna jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, co mogłoby zakończyć nasze dowodzenie.

Aby jednak pokazać wprost, że ten kąt ma miarę \(30°\) wystarczy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
$$sin\alpha=\frac{6}{12} \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$

Z małej tabelki trygonometrycznej odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość równą \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z podobieństwa trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-3, x=-2, x=3\).

To równanie możemy potraktować tak samo, jak standardowe równanie w postaci iloczynowej, czyli możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Zapisując to bardziej przejrzyście możemy powiedzieć, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-2, x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przyrównasz wartości w nawiasach do zera, ale same równania rozwiążesz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(n=28\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wiemy, że na początku mamy 8 kul, do których dorzucono potem \(n\) kul. Wszystkich kul mamy więc łącznie:
$$|Ω|=8+n$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Na początku takich kul było 5, ale dorzucono do tego jeszcze \(n\) kul, więc wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=5+n\).

Krok 3. Obliczenie wartości n.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{11}{12}\). Podstawiając wypisane dane do wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymamy:

$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\
\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}$$

Najprościej będzie teraz wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$11\cdot(8+n)=12\cdot(5+n) \\
88+11n=60+12n \\
n=28$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że wszystkich kul w pudełku jest \(36\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sin\alpha=\frac{24\sqrt{97}}{485}\)

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że ich wysokość przecina podstawę w połowie jej długości, zatem mamy taką oto sytuację:


Powstał nam trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest wysokość naszego trójkąta \(ABC\), zatem:
$$6^2+H^2=10^2 \\
36+H^2=100 \\
H^2=64 \\
H=8 \quad\lor\quad H=-8$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=8\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Skoro podstawa trójkąta ma długość \(a=12\), a wysokość to \(H=8\), to pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\
P=6\cdot8 \\
P=48$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta, która pada na ramię trójkąta.
Spróbujmy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, która pada nie na podstawę, tylko na ramię. Pole powierzchni jest już nam znane, wiemy że \(P=48\). W tym przypadku podstawa będzie miała długość ramienia, czyli \(a=10\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
48=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
48=5\cdot h \\
h=9,6$$

Krok 4. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mamy w tym momencie taką oto sytuację:


Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|EB|^2+9,6^2=12^2 \\
|EB|^2+92,16=144 \\
|EB|^2=51,84 \\
|EB|=7,2 \quad\lor\quad |EB|=-7,2$$

Długość odcinka nie może być ujemna, więc zostaje nam \(|EB|=7,2\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(ED\).
Długość odcinka \(ED\) jest różnicą między długością odcinka \(EB\) oraz \(DB\), zatem:
$$|ED|=7,2-5 \\
|ED|=2,2$$

Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie \(AED\):
$$9,6^2+2,2^2=|AD|^2 \\
92,16+4,84=|AD|^2 \\
|AD|^2=97 \\
|AD|=\sqrt{97} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{97}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{97}\).

Krok 8. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(ADC\). Jego pole powierzchni jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot9,6 \\
P=24$$

Wiedząc jakie jest pole tego trójkąta oraz znając długości odcinków \(AC\) oraz \(AD\), możemy teraz obliczyć poszukiwaną wartość \(sin\alpha\). W tym celu musimy skorzystać z tak zwanego wzoru na pole powierzchni trójkąta "z sinusem":
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
24=5\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\cdot\sqrt{97}}{5\sqrt{97}\cdot\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{5\cdot97}=\frac{24\sqrt{97}}{485}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 2.) lub \(ADC\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AD\) (patrz: Krok 7.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=72\pi\)

Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:
$$P_{b}=\pi rl \\
P_{p}=\pi r^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\
\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\
\pi rl=3\pi r^2 \\
rl=3r^2 \\
l=3r$$

Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:


Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.

Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$r^2+12^2=(3r)^2 \\
r^2+144=9r^2 \\
8r^2=144 \\
r^2=18 \\
r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.

Krok 4. Obliczenie objętości stożka.
Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\
V=72\pi$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między \(r\) i \(l\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz promień podstawy stożka (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość tworzącej stożka.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Q=\left(-\frac{4}{5};\frac{13}{5}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(PQ\).
Symetralna jest prostą prostopadłą, która przechodzi przez środek odcinka. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-2\), to prosta przechodząca przez odcinek \(PQ\) (możemy ją nawet roboczo nazwać prostą \(PQ\)) będzie mieć współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(PQ\).
Wiemy już, że współczynnik \(a\) prostej \(PQ\) jest równy \(a=\frac{1}{2}\), czyli że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Wiemy też, że prosta ta przechodzi przez punkt \(P=(4;5)\), zatem podstawiając \(x=4\) oraz \(y=5\) poznamy brakujący współczynnik \(b\):
$$5=\frac{1}{2}\cdot4+b \\
5=2+b \\
b=3$$

To oznacza, że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się prostych.
Skoro znamy równanie prostej \(PQ\) i znamy równanie symetralnej, to możemy obliczyć miejsce przecięcia się tych prostych, czyli współrzędne środka odcinka \(PQ\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne przecięcia się tych prostych, zatem:
\begin{cases}
y=-2x+7 \\
y=\frac{1}{2}x+3
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-2x+7=\frac{1}{2}x+3 \\
2\frac{1}{2}x=4 \\
x=1,6$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(x=1,6\) do dowolnego z równań z układu (np. pierwszego) otrzymamy:
$$y=-2\cdot(1,6)+7 \\
y=3,8$$

To oznacza, że środek odcinka \(PQ\) znajduje się w punkcie \(S=(1,6; 3,8)\).

Krok 5. Obliczenie współrzędnych punktu \(Q\).
Znamy współrzędne punktu \(P\) oraz środka \(S\), stąd też możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(Q\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową punktu \(Q\):
$$x_{S}=\frac{x_{P}+x_{Q}}{2} \\
1,6=\frac{4+x_{Q}}{2} \\
3,2=4+x_{Q} \\
x_{Q}=-0,8 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{P}+y_{Q}}{2} \\
3,8=\frac{5+y_{Q}}{2} \\
7,6=5+y_{Q} \\
y_{Q}=2,6$$

To oznacza, że \(Q=(-0,8; 2,6)\) lub jak kto woli \(Q=\left(-\frac{4}{5};\frac{13}{5}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu przecięcia się prostych (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równania pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(Q\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.