Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2014 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – grudzień 2014. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2014

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(0,6\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{8}\). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy:

Zadanie 2. (1pkt) Dany jest okrąg o środku \(S=(-6,-8)\) i promieniu \(2014\). Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest okrąg o środku w punkcie \(S_{1}\). Odległość między punktami \(S\) i \(S_{1}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Rozwiązaniami równania \((x^3-8)(x-5)(2x+1)=0\) są liczby:

Zadanie 4. (1pkt) Cena towaru została podwyższona o \(30\%\), a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o \(10\%\). W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o:

Zadanie 5. (1pkt) Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorami \(f(x)=-5x+1\) oraz \(g(x)=5^x\). Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji wynosi:

Zadanie 6. (1pkt) Wyrażenie \((3x+1+y)^2\) jest równe:

Zadanie 7. (1pkt) Połowa sumy \(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}\) jest równa:

Zadanie 8. (1pkt) Równania \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) oraz \(y=-\frac{4}{3}\) opisują dwie proste:

Zadanie 9. (1pkt) Na płaszczyźnie dane są punkty \(A=(\sqrt{2},\sqrt{6})\), \(B=(0,0)\) i \(C=(\sqrt{2},0)\). Kąt \(BAC\) jest równy:

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja \(f\) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \(x\) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \(f\) zawiera dokładnie:

Zadanie 11. (1pkt) Ekipa złożona z \(25\) pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu \(156\) dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu \(100\) dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o:

Zadanie 12. (1pkt) Z sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości a odcięto ostrosłup \(ABDE\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?

Zadanie 13. (1pkt) W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \(A=(2,4)\), która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\).

matura z matematyki

Funkcja \(f\) może być opisana wzorem:

Zadanie 14. (1pkt) Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2}, 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2}, -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2}, 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie:

Zadanie 15. (1pkt) Liczba \(sin150°\) jest równa liczbie:

Zadanie 16. (1pkt) Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \(1m\), a bok każdego z następnych trójkątów jest o \(10cm\) dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \(5,9m\). Ile trójkątów przedstawia mural?

Zadanie 17. (1pkt) Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości \(20\) tworzy z podstawą kąt \(67,5°\). Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 18. (1pkt) Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.

matura z matematyki

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(b\). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \(b\)?

Zadanie 19. (1pkt) Na okręgu o środku \(S\) leżą punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą \(AC\) jest równy \(21°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Kąt \(α\) między cięciwami \(AD\) i \(CD\) jest równy:

Zadanie 20. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x\) jest równa \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=-\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\), \(a_{3}=-2\sqrt{2}\). Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \(a_{10}\), jest równy:

Zadanie 22. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{24-4n}{n}\) dla \(n\ge1\). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:

Zadanie 23. (1pkt) Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p_{i}\) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia \(i\) oczek w \(i\)-tym rzucie. Wtedy:

Zadanie 24. (1pkt) Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(4^x=9\).

Zadanie 25. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(-x^2-4x+21\lt0\).

Zadanie 26. (2pkt) Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).

Zadanie 27. (2pkt) Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze \(100\%\) pierwiastka pozostało \(50\%\) tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po \(x\) okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\). W przypadku izotopu jodu \(^{131}I\) czas połowicznego rozpadu jest równy \(8\) dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \(1g\) \(^{131}I\) nie więcej niż \(0,125g\) tego pierwiastka.

Zadanie 28. (2pkt) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).

Zadanie 29. (2pkt) Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez miejscowość \(B\), która znajduje się w połowie drogi z \(A\) do \(C\). Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z \(A\) do \(B\) była równa \(40km/h\), a na trasie z \(B\) do \(C\) wyniosła \(60km/h\). Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z \(A\) do \(C\).

Zadanie 30. (4pkt) Zakupiono \(16\) biletów do teatru, w tym \(10\) biletów na miejsca od \(1.\) do \(10.\) w pierwszym rzędzie i \(6\) biletów na miejsca od \(11.\) do \(16.\) w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że \(2\) wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

Zadanie 31. (4pkt) W trapezie \(ABCD\) (\(AB||CD\)) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO|:|OC|=5:1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).

matura z matematyki

Zadanie 32. (4pkt) Punkty \(A=(3,3)\) i \(B=(9,1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), a punkt \(M=(1,6)\) jest środkiem boku \(AC\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

Zadanie 33. (4pkt) Tworząca stożka ma długość \(17\), a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o \(22\). Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz