Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2013
Zadanie 8. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-2(x+3)(x-4)\) jest przedział:
A. \(\left(-\infty,24\frac{1}{2}\right\rangle\)
B. \(\left\langle-24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
C. \(\left\langle24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
D. \(\left\langle-25\frac{1}{2},+\infty\right)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować to zadanie. Narysujmy parabolę (jej ramiona będą skierowane do dołu, bo po wymnożeniu wszystkich wyrazów współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie ujemny) i zobaczmy jak będzie wyglądać zbiór wartości funkcji. Z postaci iloczynowej możemy też szybko wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, bo wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-4=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=4$$
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).
Krok 2. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a żeby obliczyć deltę to najpierw całe równanie musimy zapisać w postaci ogólnej, zatem wymnażając wszystkie wyrazy otrzymamy:
$$f(x)=-2(x+3)(x-4) \\
f(x)=-2(x^2-4x+3x-12) \\
f(x)=-2(x^2-x-12) \\
f(x)=-2x^2+2x+24$$
Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(q\).
Najpierw obliczmy potrzebną deltę:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=2,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot24=4-(-192)=196$$
W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-196}{4\cdot(-2)} \\
q=\frac{-196}{-8} \\
q=24\frac{1}{2}$$
Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle \\
y\in(-\infty,24\frac{1}{2}\rangle$$
Zadanie 15. (1pkt) Pan Nowak wpłacił do banku \(k\) zł na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi \(4\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się co pół roku. Po \(6\) latach oszczędzania Pan Nowak zgromadzi na koncie kwotę:
A. \(k(1+0,02)^{12}\)zł
B. \(k(1+0,04)^{12}\)zł
C. \(k(1+0,02)^6\)zł
D. \(k(1+0,4)^6\)zł
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Z treści zadania wynika, że:
\(K=k\)
\(p=0,04:2=0,02\)
\(n=6\cdot2=12\)
Dlaczego \(p=0,02\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(4\%\), czyli \(0,04\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,04\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,04:2=0,02\).
Dlaczego \(n=12\)?
Lokata jest na \(6\) lat, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(6\cdot2=12\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{12}=k\cdot(1+0,02)^{12}$$
Zadanie 19. (1pkt) Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa:
A. \(\frac{9\sqrt{3}}{4}\)
B. \(4\)
C. \(4\sqrt{3}\)
D. \(4\sqrt{2}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że w tym trójkącie znalazły się kąty \(30°\) oraz \(90°\), zatem trzeci kąt tego trójkąta ma miarę:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-30°-90°=60°$$
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(DCA\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(CAD\). Wiemy że kąt \(CAD\) ma miarę \(60°\) (bo \(|\sphericalangle CAD|=|\sphericalangle CAB|=60°\)). Wiemy też że \(|\sphericalangle CDA|=60°\), zatem:
$$|\sphericalangle DCA|=180°-60°-60°=60°$$
Możemy więc już wywnioskować, że trójkąt \(CAD\) jest trójkątem równobocznym.
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(BCD\).
Teraz spójrzmy na kąt \(BCA\), który ma miarę \(90°\). Składa się on z kąta \(DCA\) (którego miarę obliczyliśmy przed chwilą) oraz kąta \(BCD\), który ma w takim razie ma miarę:
$$|\sphericalangle BCD|=90°-60°=30°$$
To oznacza, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie \(30°\).
Krok 4. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Skoro trójkąt \(CAD\) jest równoboczny, to \(|CD|=|CA|\), czyli \(|CD|=4\).
Skoro trójkąt \(BCD\) jest równoramienny, to \(|BD|=|CD|\), czyli \(|BD|=4\).
Zadanie 23. (1pkt) Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,6,8,12,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba \(3\), wynosi:
A. \(\frac{5}{9}\)
B. \(\frac{4}{9}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb w tym zbiorze) jest \(9\), czyli \(|Ω|=9\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór liczby podzielnej przez \(3\). Takimi liczbami z naszego zbioru są: \(3,6,12,15\). Są to więc \(4\) liczby, czyli \(|A|=4\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$
Zadanie 25. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(-2x^2+3x\lt4\).
Odpowiedź
\(x\in\mathbb{R}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć \(0\). Zatem:
$$-2x^2+3x\lt4 \\
-2x^2+3x-4\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-2)\cdot(-4)=9-32=-23$$
Delta wyszła ujemna, zatem nie będziemy mieć miejsc zerowych.
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
To, że delta wyszła ujemna nie oznacza, że nierówność nie ma żadnych rozwiązań. To oznacza tylko i wyłącznie tyle, że nie mamy miejsc zerowych. Spróbujmy zatem naszkicować wykres naszej paraboli. Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-2\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. W naszym przypadku cała parabola jest pod osią iksów, czyli dla każdego argumentu \(x\) otrzymamy wartość ujemną. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest cały zbiór liczb rzeczywistych \(x\in\mathbb{R}\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (2pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=-2x^3+3x^2-(k+2)x-6\). Wyznacz wartość \(k\), wiedząc, że liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Wyjaśnienie:
Skoro liczba \(-2\) jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) wielomianu, to znaczy że podstawiając do tego wielomianu \(x=-2\) otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-(k+2)\cdot(-2)-6=0 \\
-2\cdot(-8)+3\cdot4-(-2k-4)-6=0 \\
16+12+2k+4-6=0 \\
26+2k=0 \\
26=-2k \\
k=-13$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru liczbę \(-2\), ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 27. (2pkt) Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.
Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując własności kątów w trapezie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy przedstawić sytuację z treści zadania na rysunku poglądowym:
Krok 2. Dostrzeżenie kątów naprzemianległych.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe, zatem prowadząc prostą przecinającą te proste równoległe (w naszym przypadku są to przekątne) możemy korzystać z własności kątów naprzemianległych i tak oto otrzymamy następującą sytuację:
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt, który przy podstawie ma kąty tej samej miary \(α\). To oznacza, że jest to trójkąt równoramienny. Analogiczny wniosek dotyczy trójkąta \(BCD\). Możemy więc zapisać, że:
$$|AD|=|DC| \\
|DC|=|BC|$$
Łącząc te dwie równości możemy zapisać, że \(|AD|=|DC|=|BC|\), co oznacza, że odcinek \(AD\) jest równy odcinkowi \(BC\) i właśnie to jest dowód na to, że ten trapez jest równoramienny.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z własności kątów naprzemianległych (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz wniosku, że te dwa trójkąty są dzięki temu równoramienne.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 28. (2pkt) Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.
Odpowiedź
\(\cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania możemy narysować mniej więcej taki oto trójkąt prostokątny:
Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=c^2 \\
x^2+4x^2=c^2 \\
c^2=5x^2 \\
c=\sqrt{5}x \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}x$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5}x\).
Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Wiedząc, że cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do przeciwprostokątnej możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{c} \\
cosα=\frac{x}{\sqrt{5}x} \\
cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przeciwprostokątnej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 29. (2pkt) Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Odpowiedź
\(r_{1}=5\), \(r_{2}=3\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie równań.
Jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa sumie promieni. My wiemy, że ta odległość jest równa \(8cm\), zatem:
$$r_{1}+r_{2}=8$$
Jeżeli dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa różnicy promieni. My wiemy że ta odległość jest równa \(2cm\), zatem:
$$r_{2}-r_{1}=2$$
(tu zakładamy, że okrąg oznaczony promieniem \(r_{2}\) jest większy)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z wyznaczonych w pierwszym kroku równań możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
r_{2}+r_{1}=8 \\
r_{2}-r_{1}=2
\end{cases}$$
Ten układ możemy rozwiązać dowolną metodą, ale najprościej będzie dodać wszystko stronami, otrzymując:
$$2r_{2}=10 \\
r_{2}=5$$
Skoro drugi promień jest \(5\), to korzystając z pierwszego równania:
$$r_{1}+r_{2}=8 \\
r_{1}+5=8 \\
r_{1}=3$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 30. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.
Odpowiedź
\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2} \\
x_{S}=\frac{-4}{2} \\
x_{S}=-2 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
y_{S}=\frac{-2+4}{2} \\
y_{S}=\frac{2}{2} \\
y_{S}=1$$
Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.
Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).
Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases}
-2=-3a+b \\
4=-1a+b
\end{cases}$$
Odejmując równania stronami otrzymamy:
$$-6=-2a \\
a=3$$
Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.
Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1 \\
a=-\frac{1}{3}$$
Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b \\
1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b \\
1=\frac{2}{3}+b \\
b=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka boku \(AC\) (patrz: Krok 1.) oraz wyznaczysz wartość współczynnika kierunkowego \(a\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 31. (4pkt) Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5 \\
r=2$$
Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480 \\
\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480 \\
\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480 \\
\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480 \\
\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2 \\
(2n+8)\cdot n=960 \\
2n^2+8n=960 \\
2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2 \\
n^2+4n-480=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-480\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-480)=16-(-40)=16-(-1920)=1936 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-44}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+44}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).
Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że dane zadanie można rozwiązać za pomocą ciągu arytmetycznego w którym \(a_{1}=5\) oraz \(r=2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy podstawisz dane do wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (5pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
Odpowiedź
\(\sinα=\frac{3}{5}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania.
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że:
$$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2 \\
H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64 \\
2H^2+8H+16=H^2+16H+64 \\
H^2-8H-48=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-48)=64-(-192)=64+192=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$
$$H_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-16}{2\cdot1}=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \\
H_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+16}{2\cdot1}=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\).
Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{H}{H+8} \\
sinα=\frac{12}{12+8} \\
sinα=\frac{12}{20} \\
sinα=\frac{3}{5}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy wraz z poprawnymi oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość bryły (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (5pkt) Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)
Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6 \\
\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x \\
6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5) \\
6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p \\
6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5) \\
6x+30+6x=x^2+5x \\
12x+30=x^2+5x \\
x^2-7x-30=0$$
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawne równanie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.