Wyjaśnienie:
To zadanie jest jednym z tych, które jest dość czasochłonne, bo paradoksalnie najlepszym (a już na pewno najbezpieczniejszym) sposobem byłoby wypisanie tych liczb, a następnie zsumowanie ich wartości. Cyfry mogą się powtarzać, więc skoro na każdym miejscu może się znaleźć jedna z czterech cyfr, to będziemy mieli aż \(4\cdot4\cdot4=64\) kombinacje.
Musielibyśmy więc wypisywać po kolei:
$$111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144 \\
211, 212, 213, 214...$$
Podczas tego wypisywania możemy jednak dostrzec tutaj pewną prawidłowość, która skróci nasze obliczenia. Tak naprawdę kiedy będziemy wypisywać teraz liczby z cyfrą setek równą \(2\), to każda kolejna liczba będzie o \(100\) większa od analogicznej liczby z cyfrą setek równą \(1\). Przykładowo: \(213-113=100\), albo \(214-114=100\). Możemy więc policzyć sumę tych wszystkich \(16\) liczb z cyfrą setek równą \(1\) i zapisać, że suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) będzie o \(16\cdot100=1600\) większa. Analogicznie jak będziemy wypisywać liczby z cyfrą setek równą \(3\), to ich suma będzie o \(16\cdot200=3200\) większa od tych z cyfrą setek równą \(1\) itd. Zatem:
Suma liczb z cyfrą setek równą \(1\) wynosi: \(111+112+113+...+144=2040\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) wynosi: \(2040+16\cdot100=3640\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(3\) wynosi: \(2040+16\cdot200=5240\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(4\) wynosi: \(2040+16\cdot300=6840\)
Suma tych wszystkich liczb jest więc równa:
$$2040+3640+5240+6840=17760$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz że istnieją \(64\) liczby spełniające warunki zadania.
2 pkt
• Gdy wypiszesz część liczb i zapiszesz jakąś prawidłowość, która związana będzie z kolejnymi liczbami, ale nie obliczysz sumy tych liczb.
ALBO
• Gdy wypiszesz wszystkie liczby spełniające warunki zadania (możesz pominąć maksymalnie trzy z nich), ale nie obliczysz sumy tych liczb.
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy lub też ze względu na pominięcie którejś liczby.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zad. 25
Skąd wiemy, że trójkąt MDC jest równoboczny?
Jeżeli trójkąt ABC jest równoboczny (a tak wynika z treści zadania) to przecinając go dowolną prostą równoległą do któregoś boku (w tym przypadku do boku AB) otrzymamy mniejszy trójkąt równoboczny :)