Matura – Matematyka – Czerwiec 2011 – Odpowiedzi

D

Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$

B

Podnoszenie liczby do potęgi ujemnej możemy zastąpić potęgowaniem odwrotności tej liczby w następujący sposób:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-5}=\left(\frac{b}{a}\right)^{5}$$

A

I sposób:
Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie zapisać liczbę \(8\) jako wynik potęgowania \(2^3\), wtedy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3log_{\frac{1}{2}}2$$

Musimy się teraz zastanowić ile to jest \(log_{\frac{1}{2}}2\). Jest to \(-1\), bo \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\). W związku z tym:
$$3log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3$$

II sposób:
Możemy też skorzystać ze wzoru \(log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\), wtedy otrzymamy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=\frac{log_{2}8}{log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{3}{-1}=-3$$

B

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe:
$$|4x-5|=x \\
|4\cdot1-5|=1 \\
|4-5|=1 \\
|-1|=1 \\
1=1 \\
L=P$$

Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy:
$$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0 \\
4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5 \\
x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$

Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym:

Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku:
$$|4x-5|=x \\
4x-5=x \\
3x=5 \\
x=\frac{5}{3}$$

Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak:
$$|4x-5|=x \\
-(4x-5)=x \\
-4x+5=x \\
-5x=-5 \\
x=1$$

W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.

C

Krok 1. Obliczenie ceny towaru po obniżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po obniżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(80\%\cdot x=0,8x\).

Krok 2. Obliczenie ceny towaru po podwyżce.
Cena towaru teraz ulega podwyżce. Punktem wyjściowym jest jednak już nie \(x\), tylko \(0,8x\). Nowa cena jest więc równa: $$110\%\cdot0,8x=1,1\cdot0,8x=0,88x$$

Krok 3. Obliczenie o ile ostatecznie zmniejszyła się cena towaru.
Cena towaru zmalała o \(x-0,88x=0,12x\), więc zmalała o \(12\%\).

B

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) możemy zapisać, że:
$$x^2-100=x^2-10^2=(x-10)(x+10)$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Musimy uwzględnić fakt, że mianownik naszego równania jest różny od zera, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym:
$$x-5\neq0 \\
x\neq5$$

W tym zadaniu jak się za chwilę okaże ten krok nie jest niezbędny, ale dobrze jest zawsze pamiętać o założeniach do równań wymiernych (czyli takich z iksem w mianowniku), bo czasem założenia mogą nam wykluczyć niektóre rozwiązania.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy wymnożyć obie strony przez wartość znajdującą się w mianowniku. Tutaj sytuacja jest o tyle prosta, że po prawej stronie mamy zero, co pozwoli nam bardzo szybko uprościć cały zapis:
$$\frac{x^2+25}{x-5}=0 \quad\bigg/\cdot(x-5) \\
x^2+25=0 \\
x^2=-25$$

Otrzymaliśmy równanie, które nie ma rozwiązań, bowiem nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. W związku z tym nie istnieje jakakolwiek liczba, która po podstawieniu do tego równania dałaby wynik równy \(0\).

B

Krok 1. Rozpisanie nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
To zadanie śmiało możemy obliczyć podstawiając do równania poszczególne odpowiedzi (i to będzie prawdopodobnie najszybszy sposób). Chcąc jednak rozwiązać je samodzielnie dobrze byłoby rozpisać tę nierówność korzystając z dwóch wzorów skróconego mnożenia:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

W związku z tym:
$$(3-x)(3+x)\gt(3-x)^2 \\
9-x^2\gt9-6x+x^2 \\
-x^2\gt-6x+x^2 \\
-2x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe naszego wielomianu, czyli musimy przyrównać wyrażenie \(-2x^2+6x\) do zera. Najszybciej rozwiązalibyśmy to równanie sprowadzając całość do postaci iloczynowej:
$$-2x^2+6x=0 \quad\bigg/:-2 \\
x^2-3x=0 \\
x(x-3)=0$$

Mając tak zapisane równanie dość szybko wyszło nam, że miejscami zerowymi są \(x=0 \lor x=3\). Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej postaci iloczynowej, to możemy po prostu obliczyć to równanie korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-2)\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-6}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+6}{2\cdot(-2)}=\frac{0}{-4}=0$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy obliczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym by kółka były niezamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\))


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera, czyli \(x\in(0;3)\). Najmniejszą liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(1\) (bo \(0\) nie wchodzi w skład rozwiązania).

D

Krok 1. Odczytanie współczynnika kierunkowego \(a\) i ustalenie, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.
Ze wzoru funkcji wynika, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Skoro współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Krok 2. Ustalenie przez który punkt przechodzi funkcja liniowa.
Wszystkie wypisane punkty mają wartość współrzędnej iksowej równą \(x=0\), zatem podstawiając zero do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(0)=-\frac{1}{2}\cdot0+3 \\
f(0)=0+3 \\
f(0)=3$$

To oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,3)\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź ostatnia.

B

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Przedstawione w zadaniu równanie jest tak naprawdę równaniem kwadratowym zapisanym w postaci iloczynowej. To oznacza, że możemy bardzo szybko znaleźć jego rozwiązania, wystarczy że przyrównamy wartości w nawiasach do zera (bo postać iloczynowa ma to do siebie, że któryś z tych nawiasów musi nam zerować to równanie). W związku z tym:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+7=0 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-7$$

Otrzymaliśmy w ten sposób informację, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x_{1}=5\) oraz \(x_{2}=-7\).

Krok 2. Wyznaczenie sumy rozwiązań.
W treści zadania proszą nas o podanie wyniku sumy \(x_{1}+x_{2}\), zatem:
$$x_{1}+x_{2}=5+(-7)=5-7=-2$$

C

Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Funkcja ta przyjmuje wartości od \(-4\) do \(-1\) (dolny fragment wykresu) oraz wartości od \(1\) do \(3\) (góry fragment wykresu).

Musimy jeszcze tylko ustalić jakie nawiasy będziemy przy każdej z tych wartości granicznych. W przypadku dolnej części wykresu obydwa nawiasy muszą być domknięte, bo mamy zamalowane kropki. W przypadku górnej części wykresu okazuje się, że wartość równa \(1\) jest tak naprawdę przez naszą funkcję nieprzyjmowana, bo dla argumentu \(x=-2\) mamy kropkę niezamalowaną, dlatego tu pojawi się nawias otwarty. Wartość równa \(3\) jest przyjmowana przez funkcję, więc tutaj nawias też będzie domknięty. To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji jest:
$$y\in\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle$$

D

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, które znajdziemy w tablicach maturalnych. Z nich możemy odczytać, że:
$$cosα=sin(90°-α)$$
To znaczy, że:
$$cos41°=sin(90°-41°)=sin49°$$

Udało nam się w ten sposób pokazać, że \(cos41°\) jest równy dokładnie tyle samo co \(sin49°\). Skoro tak, to w miejscu gdzie w równaniu pojawi nam się wartość \(sin49°\) będziemy mogli podstawić wartość \(cos41°\). To sprawi, że cały zapis bardzo nam się uprości:
$$\require{cancel}\frac{cos41°+sin49°}{cos41°}=\frac{cos41°+cos41°}{cos41°}=\frac{2\cdot \cancel{cos41°}}{\cancel{cos41°}}=2$$

C

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru (to będzie ta liczba stojąca przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\)). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów arytmetycznych, to możemy różnicę ciągu wyznaczyć obliczając dwa następujące po sobie wyrazy (np. pierwszy i drugi).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Podstawiając \(n=1\) obliczymy wartość pierwszego wyrazu, a podstawiając \(n=2\) obliczymy wartość drugiego wyrazu, zatem:
$$a_{1}=2\cdot1-1=2-1=1 \\
a_{2}=2\cdot2-1=4-1=3$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica ciągu będzie różnicą między dwoma sąsiednimi wyrazami, zatem:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=3-1 \\
r=2$$

A

I sposób:
Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest to, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Wykorzystując tę zależność możemy bez problemu obliczyć wartość poszukiwanego pierwszego wyrazu:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot(-1) \\
\frac{2}{4}=-a_{1} \\
a=-\frac{1}{2}$$

II sposób:
Jeśli nie pamiętamy o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy obliczyć najpierw wartość ilorazu ciągu geometrycznego, a następnie wartość pierwszego wyrazu.

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znamy wartość drugiego i trzeciego wyrazu, zatem możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
-1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot q \quad\cdot\frac{2}{\sqrt{2}} \\
q=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu obliczymy dzięki znajomości wartości drugiego wyrazu oraz ilorazu ciągu:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
\frac{\sqrt{2}}{2}=a_{1}\cdot(-\sqrt{2}) \quad\bigg/:(-\sqrt{2}) \\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$

A

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Znamy współrzędne obydwu punktów, zatem możemy podstawić odpowiednie liczby, obliczając w ten sposób poszukiwany współczynnik kierunkowy \(a\):
$$a=\frac{-2-2}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$$

C

Środek okręgu określamy równaniem \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to długość jego promienia.

Musimy teraz przekształcić równanie z treści zadania do takiej postaci jaka jest we wzorze (czyli żeby w nawiasach było odejmowanie). To pozwoli nam na odczytanie współrzędnych środka okręgu:
$$(x+2)^2+(y-3)^2=5 \\
(x-(-2))^2+(y-3)^2=5$$

Z takiej postaci możemy teraz odczytać, że \(a=-2\) oraz \(b=3\), zatem \(S=(-2;3)\).

B

Krok 1. Zapisanie długości boków w postaci wyrażeń algebraicznych.
Skoro stosunek długości boków prostokąta jest równy \(3:4\), to możemy zapisać, że:
\(3x\) - długość krótszego boku
\(4x\) - długość dłuższego boku

Krok 2. Obliczenie długości dłuższego boku prostokąta.
Obwód prostokąta składa się z dwóch krótszych i dwóch dłuższych boków i wynosi \(28\), zatem:
$$2\cdot3x+2\cdot4x=28 \\
6x+8x=28 \\
14x=28 \\
x=2$$

To jednak nie jest jeszcze koniec zadania, bowiem dłuższy odcinek ma miarę \(4x\), zatem jego miara będzie równa:
$$4\cdot2=8$$

D

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma zawsze średnicę równą długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. To jedna z ważniejszych własności trójkątów prostokątów. W związku z tym jeżeli obliczymy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, to poznamy średnicę naszego okręgu, a znając średnicę bez problemu obliczymy długość promienia.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej (i tym samym średnicy okręgu).
Długość przeciwprostokątnej wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
6^2+8^2=c^2 \\
36+64=c^2 \\
100=c^2 \\
c=10 \quad\lor\quad c=-10$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka nie może być ujemna. Przeciwprostokątna trójkąta (a tym samym średnica okręgu) ma więc długość \(10\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Znamy długość średnicy okręgu, ale nas interesuje długość promienia. Musimy więc jeszcze podzielić otrzymany wynik przez dwa i otrzymamy w ten sposób długość promienia:
$$r=10:2=5$$

C

W tym zadaniu bardzo mocno pomoże nam sam rysunek szkicowy:


Szukamy odległości między środkami tych okręgów. Z rysunku szkicowego wynika wprost, że ta odległość będzie równa długości promienia większego okręgu, czyli \(17\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.


Krok 2. Odczytanie odpowiedzi z rysunku.
Z rysunku możemy odczytać, że promień podstawy stożka jest równy długości dłuszej przyprostokątnej, zatem \(r=13\).

A

Zastanówmy się jakie trójkąty znajdą się w naszej siatce ostrosłupa.

Trójkąty \(ABE\) oraz \(ADE\) to trójkąty prostokątne równoramienne (wynika to z tego, że odcinki \(AE, AB, AD\) mają jednakową długość, równą długości krawędzi sześcianu). Oprócz tego mamy jeszcze dwa trójkąty \(BCE\) oraz \(CDE\), które także będą prostokątne, ale nie będą już równoramienne (będą tak jakby wydłużone).

Po tej prostej analizie możemy odrzucić odpowiedzi \(C\) oraz \(D\), bo tam wszystkie trójkąty mają jednakowe rozmiary. Teraz musimy zastanowić się, która siatka - \(A\) czy \(B\) jest tą poszukiwaną. Te dwie siatki różni tylko ułożenie "dłuższych" trójkątów. W siatce \(A\) przeciwprostokątne dłuższych trójkątów wychodzą z jednego wierzchołka, zatem składając siatkę te długości się na siebie nałożą i to jest to, co nas interesuje. Siatka \(B\) nie złoży się poprawnie, bo ma właśnie źle ułożone te dłuższe trójkąty (dłuższe przeciwprostokątne nie zetkną się).

To oznacza, że poprawną siatką jest ta z pierwszej odpowiedzi.

D

W zadaniu skorzystamy z własności prawdopodobieństwa: \(P(A')=1-P(A)\). Z treści zadania wiemy też, że \(P(A)=6\cdot P(A')\), więc podstawiając tę informację do naszego wzoru wyliczymy pożądaną wartość \(P(A)\).
$$P(A)=6\cdot P(A') \\
P(A)=6\cdot(1-P(A)) \\
P(A)=6-6\cdot P(A) \\
7\cdot P(A)=6 \\
P(A)=\frac{6}{7}$$

\(x\in\langle-3;4\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=2,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot24=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot(-2)}=\frac{-16}{-4}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny i wynosi \(-2\). Zaznaczamy więc na osi liczbowej miejsca zerowe \(x_{1}=4\) oraz \(x_{2}=-3\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero. Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc przedział:
$$x\in\langle-3;4\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(b=3\)

Do obliczenia współczynnika \(b\) skorzystamy z informacji, że \(f(14)=5\). Ta informacja mówi nam, że dla argumentu \(x=14\) funkcja przyjmuje wartość równą \(5\). Podstawiając więc te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9} \\
5=\frac{2\cdot14-b}{14-9} \\
5=\frac{28-b}{5} \quad\bigg/\cdot5 \\
25=28-b \\
b=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz dane i otrzymasz równanie \(\frac{2\cdot14-b}{14-9}=5\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z własności kątów przyległych.

Krok 1. Dorysowanie odcinka \(MD\).
To zadanie możemy udowodnić tak naprawdę na kilka sposobów, ale najprostszy z nich opierać się będzie na zaznaczeniu punktu \(D\) na odcinku \(BC\) w taki sposób, by odcinek \(MD\) był równoległy do odcinka \(AB\).



W ten sposób po dorysowaniu prostej równoległej otrzymaliśmy trójkąt równoboczny \(MDC\), co z kolei oznacza, że \(|CM|=|MD|\).
Ale to nie koniec spostrzeżeń. Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=|CN|\), a to oznacza, że także \(|BD|=|CN|\).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(MCN\) oraz \(BDM\).
Jak już sobie powiedzieliśmy wcześniej, dorysowując prostą równoległą w trójkącie równobocznym \(ABC\) otrzymaliśmy mniejszy trójkąt równoboczny \(MDC\). To oznacza, że kąty wewnątrz tej figury są na pewno równe \(60°\). Skoro tak, to korzystając z własności kątów przyległych bez przeszkód wyznaczymy miary kątów \(MCN\) oraz \(BDM\) (patrz: rysunek).

$$|\sphericalangle MCN|=180°-60°=120° \\
|\sphericalangle BDM|=180°-60°=120°$$



Krok 3. Interpretacja wyników.
W pierwszym kroku udowodniliśmy że dwie pary boków są tej samej długości: \(|CM|=|MD|\) oraz \(|BD|=|CN|\). W drugim kroku udowodniliśmy, że kąt między tymi bokami ma identyczną miarę. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające zgodnie z zasadą bok-kąt-bok. To kończy nasz dowód, bo skoro trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające to \(|BM|=|MN|\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz odcinek \(MD\) i dostrzeżesz fakt, że powstaną trójkąty przystające, ale nie udowodnisz tego w żaden geometryczny sposób (np. korzystając z cechy bok-kąt-bok).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a=-1\) oraz \(b=1\)

Krok 1. Wymnożenie wielomianów \(W(x)\) oraz \(Q(x)\).
Skoro iloczyn \(W(x)\cdot Q(x)\) ma być równy \(P(X)\) to poznajmy na początku wartość tego iloczynu:
$$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)= \\
=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b= \\
=2ax^3-ax^2+2bx^2-ax-bx-b= \\
=2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b$$

Krok 2. Przyrównanie wielomianu \(P(x)\) do otrzymanego wyniku iloczynu.
Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian \(P(x)\) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretniej wartości stojące przed \(x^3\), przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyrazy wolne:

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^3\) mamy liczbę \(-2\). W iloczynie przed \(x^3\) otrzymaliśmy \(2a\). Zatem:
$$-2=2a \\
a=-1$$

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^2\) mamy liczbę \(3\). W iloczynie przed \(x^2\) otrzymaliśmy \(-a+2b\). Wartość \(a\) już znamy, zatem:
$$3=-a+2b \\
3=-(-1)+2b \\
3=1+2b \\
2=2b \\
b=1$$

Dalej już porównywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań wyszło nam, że \(a=-1\) oraz \(b=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uprościsz wielomian do postaci \(2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomej \(n\).
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3^n\cdot10-2^n\cdot5\) i nie udowodnisz dlaczego jest ona wielokrotnością liczby \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(m=3\) oraz \(\bar{a}=3,25\)

Krok 1. Uporządkowanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować uzyskane oceny w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Korzystając z tabeli możemy odczytać, że jedynkę otrzymało dwóch uczniów, dwójkę czterech uczniów itd., zatem:
$$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Wszystkich uczniów jest \(1+2+6+5+4+2=20\). Jest to parzysta ilość, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna \(10\)-tego oraz \(11\)-tego wyrazu w ciągu który sobie wypisaliśmy w pierwszym kroku. Dziesiątym wyrazem jest liczba \(3\), jedenastym wyrazem jest także liczba \(3\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+3}{2}=3$$

Krok 3. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartości wszystkich zdobytych ocen i podzielić je przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot4+1\cdot2}{1+2+6+5+4+2} \\
\bar{a}=\frac{65}{20} \\
\bar{a}=3,25$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz tylko medianę (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz tylko średnią arytmetyczną (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{5}{36}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą następujące rzuty:
$$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$$

To oznacza, że tylko pięć przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{8}=\frac{1}{81}\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu.
Ten krok nie jest konieczny do rozwiązania zadania, ale ułatwia nam odnalezienie ilorazu ciągu geometrycznego. Spróbujmy odnaleźć wartość drugiego wyrazu naszego ciągu geometrycznego. Dla trzech kolejnych liczb ciągu geometrycznego zajdzie równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając nasze dane \(a_{1}=27\) oraz \(a_{3}=3\) do tego wzoru otrzymamy:
$${a_{2}}^2=27\cdot3 \\
{a_{2}}^2=81 \\
a_{2}=9 \quad\lor\quad x_{2}=-9$$

Musimy się teraz zastanowić, czy przypadkiem któregoś z otrzymanych wyników nie należy odrzucić.
Gdy \(a_{2}=9\), to mamy ciąg \(27,9,3\), czyli mamy ciąg malejący
Gdy \(a_{2}=-9\), to mamy ciąg \(27,-9,3\), czyli ciąg niemonotoniczny

W treści zadania mamy podaną informację, że nasz ciąg musi być malejący, zatem drugi wyraz tego ciągu musi być równy \(a_{2}=9\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając przynajmniej dwa następujące po sobie wyrazy ciągu geometrycznego bez przeszkód obliczymy iloraz naszego ciągu.
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{9}{27} \\
q=\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy podeszli do zadania bez wykonywania obliczeń wartości drugiego wyrazu, to iloraz \(q\) moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{2} \\
3=27\cdot q^{2} \\
q^{2}=\frac{1}{9} \\
q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ciąg ma być malejący, zatem musimy odrzucić \(q=-\frac{1}{3}\) (dla którego ciąg staje się niemonotoniczny). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{3}\).

Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu.
Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy też wartość ilorazu tego ciągu, zatem bez przeszkód obliczymy wartość ósmego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{8}=a_{1}\cdot q^{8-1} \\
a_{8}=a_{1}\cdot q^7 \\
a_{8}=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7$$

To potęgowanie i mnożenie przez \(27\) możemy obliczyć śmiało na kalkulatorze, ale prawdopodobnie potem będziemy mieć problem ze skróceniem ułamka. Dlatego też jeżeli dobrze opanowaliśmy działania na potęgach to warto to rozpisać nieco sprytniej:
$$a_{8}=3^3\cdot3^{-7} \\
a_{8}=3^{3+(-7)} \\
a_{8}=3^{-4} \\
a_{8}=\frac{1}{81}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(17760\)

To zadanie jest jednym z tych, które jest dość czasochłonne, bo paradoksalnie najlepszym (a już na pewno najbezpieczniejszym) sposobem byłoby wypisanie tych liczb, a następnie zsumowanie ich wartości. Cyfry mogą się powtarzać, więc skoro na każdym miejscu może się znaleźć jedna z czterech cyfr, to będziemy mieli aż \(4\cdot4\cdot4=64\) kombinacje.

Musielibyśmy więc wypisywać po kolei:
$$111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144 \\
211, 212, 213, 214...$$

Podczas tego wypisywania możemy jednak dostrzec tutaj pewną prawidłowość, która skróci nasze obliczenia. Tak naprawdę kiedy będziemy wypisywać teraz liczby z cyfrą setek równą \(2\), to każda kolejna liczba będzie o \(100\) większa od analogicznej liczby z cyfrą setek równą \(1\). Przykładowo: \(213-113=100\), albo \(214-114=100\). Możemy więc policzyć sumę tych wszystkich \(16\) liczb z cyfrą setek równą \(1\) i zapisać, że suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) będzie o \(16\cdot100=1600\) większa. Analogicznie jak będziemy wypisywać liczby z cyfrą setek równą \(3\), to ich suma będzie o \(16\cdot200=3200\) większa od tych z cyfrą setek równą \(1\) itd. Zatem:
Suma liczb z cyfrą setek równą \(1\) wynosi: \(111+112+113+...+144=2040\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) wynosi: \(2040+16\cdot100=3640\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(3\) wynosi: \(2040+16\cdot200=5240\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(4\) wynosi: \(2040+16\cdot300=6840\)

Suma tych wszystkich liczb jest więc równa:
$$2040+3640+5240+6840=17760$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz że istnieją \(64\) liczby spełniające warunki zadania.
2 pkt
• Gdy wypiszesz część liczb i zapiszesz jakąś prawidłowość, która związana będzie z kolejnymi liczbami, ale nie obliczysz sumy tych liczb.
ALBO
• Gdy wypiszesz wszystkie liczby spełniające warunki zadania (możesz pominąć maksymalnie trzy z nich), ale nie obliczysz sumy tych liczb.
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy lub też ze względu na pominięcie którejś liczby.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα=\sqrt{\frac{22}{23}}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\((x-5)^2+(y-5)^2=25\) oraz \((x-13)^2+(y-13)^2=169\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku naszkicujmy sobie opisywaną sytuację:


Co z tego rysunku możemy odczytać?
- będą dwa okręgi, które spełnią warunki zadania (aczkolwiek jakbyśmy dostrzegli tylko jeden okrąg, to nic się złego nie stanie, bo wszystko wyjdzie w trakcie obliczeń)
- na pewno te nasze okręgi znajdą się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych
- zarówno w przypadku mniejszego jak i większego okręgu odległości od osi iksów i igreków są równe długości promieni tych okręgów. Skoro tak, to możemy zapisać że współrzędne środka każdego z tych okręgów będą przybierać postać typu \(S=(r;r)\).

Krok 2. Podstawienie współrzędnych punktu \(A=(1;8)\) do wzoru na równanie okręgu.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Ustaliliśmy już, że środek naszego okręgu ma współrzędne \(S=(r;r)\), czyli możemy całość zapisać jako:
$$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$$

Podstawmy teraz do tego wzoru współrzędne punktu \(A=(1;8)\), czyli \(x=1\) oraz \(y=8\). Otrzymamy w ten sposób:
$$(1-r)^2+(8-r)^2=r^2 \\
1-2r+r^2+64-16r+r^2=r^2 \\
2r^2-18r+65=r^2 \\
r^2-18r+65=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając z delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=65\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot65=324-260=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-8}{2\cdot1}=\frac{18-8}{2}=\frac{10}{2}=5 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+8}{2\cdot1}=\frac{18+8}{2}=\frac{26}{2}=13$$

Krok 4. Zapisanie równań okręgów przechodzących przez wskazany punkt.
Z obliczeń wyszły nam dwie możliwości długości promienia: \(r=5 \lor r=13\). Obydwie możliwości są poprawne, żadnej z nich nie odrzucamy (odrzucilibyśmy gdyby np. jedna z nich była ujemna). To oznacza, że warunki naszego zadania spełniają dwa okręgi (czyli tak jak wynikało to z rysunku szkicowego). Musimy już teraz tylko zapisać równania tych okręgów, pamiętając o tym że współrzędne środka okręgów są równe długości promienia:
Okrąg mniejszy: \((x-5)^2+(y-5)^2=5^2\), czyli \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)
Okrąg większy: \((x-13)^2+(y-13)^2=13^2\), czyli \((x-13)^2+(y-13)^2=169\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że współrzędne środka okręgu są równe \(S=(r;r)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że środek okręgu znajduje się na prostej o równaniu \(y=x\).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej z której potem można obliczać deltę (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.