Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2015 (stara matura) – Odpowiedzi

A

Podstawiając wartości \(a\) oraz \(b\) do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$\frac{a+b}{a\cdot b}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}}{\frac{2}{6}}=\frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{6}}= \\
=\frac{7}{6}:\frac{2}{6}=\frac{7}{6}\cdot\frac{6}{2}=\frac{7}{2}$$

B

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,8x=0,64x\) - cena towaru po drugiej obniżce

To oznacza, że cena towaru spadła o \(x-0,64x=0,36x\), czyli o \(36\%\).

A

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{5^{12}\cdot9^5}{15^{10}}=\frac{5^{12}\cdot(3^2)^5}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}\cdot3^{10}}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}}{5^{10}}=5^{12-10}=5^2=25$$

D

Na początku musimy podzielić na kalkulatorze \(2:7\) i zapisać wynik w postaci ułamka dziesiętnego okresowego:
$$0,285714285714...=0,(285714)$$

Teraz musimy ustalić jaka cyfra znajdzie się na trzydziestym miejscu. Skoro na szóstym miejscu znalazła się czwórka, to na dwunastym, osiemnastym, dwudziestym czwartym i tym samym na trzydziestym miejscu także będziemy mieć czwórkę.

B

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tej nierówności, stosując przybliżenie \(\sqrt{3}\approx1,73\).
$$\frac{x}{4}-\sqrt{3}\lt0 \\
\frac{x}{4}\lt\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \\
x\lt4\sqrt{3} \\
x\lt4\cdot1,73 \\
x\lt4\cdot1,73 \\
x\lt6,92$$

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest oczywiście \(6\).

B

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$9-(y-3)^2=9-(y^2-6y+9)=9-y^2+6y-9=-y^2+6y$$

D

Krok 1. Przekształcenie i uproszczenie równania.
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0 \\
x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
x^2-x-\frac{24}{4}=0 \\
x^2-x-6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu liczb spełniających równanie.
Musimy jeszcze obliczyć iloczyn tych rozwiązań, czyli:
$$x_{1}\cdot x_{2}=-2\cdot3=-6$$

A

Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Na początek sprawdźmy kiedy funkcja przyjmuje jakiekolwiek miejsca zerowe, czyli kiedy \(x+3m\) jest równe zero:
$$x+3m=0 \\
x=-3m$$

Krok 2. Ustalenie kiedy miejsce zerowe jest większe od \(2\).
Teraz musimy sprawdzić kiedy argument funkcji dla którego przyjmowane jest to miejsce zerowe jest większy od \(2\), czyli:
$$-3m\gt2 \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{3} \\
m\lt-\frac{2}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczby ujemne zmieniamy znak nierówności.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie na początku jak będzie wyglądała ta druga funkcja, która powstanie po przekształceniu względem osi igreków:



Krok 2. Zapisanie wzoru nowej funkcji.
Nowa funkcja jest po prostu przesunięciem starej funkcji o \(4\) jednostki w lewą stronę. To oznacza, że wzorem nowej funkcji będzie \(y=f(x+4)\).

Zwróć uwagę na znak w nawiasie, bo nie jest on intuicyjny. Gdyby funkcja była przesunięta w prawą stronę o \(4\) jednostki, to mielibyśmy wzór \(y=f(x-4)\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii każdej paraboli przechodzi przez wierzchołek. To oznacza, że musimy znaleźć najpierw współrzędne wierzchołka paraboli (wystarczy nam tak naprawdę współrzędna iksowa wierzchołka, oznaczana zazwyczaj jako \(p\)):



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Współrzędną \(p\) wyznaczymy korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynnik \(b\) oraz \(a\) odczytamy ze wzoru funkcji: \(b=-8\) oraz \(a=-2\), zatem:
$$p=\frac{-(-8)}{2\cdot(-2)} \\
p=\frac{8}{-4} \\
p=-2$$

Krok 3. Zapisanie równania prostej będącej osią symetrii.
Aby prosta była osią symetrii paraboli to musi przyjąć postać \(x=p\), czyli w naszym przypadku \(x=-2\).

B

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy jedenastu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{1}=2\cdot1-1 \\
a_{1}=2-1 \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{2}=2\cdot2-1 \\
a_{2}=4-1 \\
a_{2}=3$$

W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=3-1 \\
r=2$$

Krok 3. Obliczenie sumy jedenastu początkowych wyrazów ciągu.
Podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego znane nam wartości \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=11\) (bo mamy obliczyć sumę jedenastu wyrazów) otrzymamy, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{11}=\frac{2\cdot1+(11-1)\cdot2}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2+10\cdot2}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2+20}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{22}{2}\cdot11 \\
S_{11}=11\cdot11 \\
S_{11}=121$$

C

Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r \\
\quad\\
a_{100}=a_{1}+(100-1)r \\
a_{100}=a_{1}+99r$$

To oznacza, że:
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r) \\
a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r \\
a_{100}-a_{10}=90r$$

Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy:
$$111-11=90r \\
100=90r \\
r=\frac{100}{90} \\
r=\frac{10}{9}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych:



Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
$$cosα=\frac{2}{c}$$

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$2^2+5^2=c^2 \\
4+25=c^2 \\
c^2=29 \\
c=\sqrt{29}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej:
$$cosα=\frac{2}{\sqrt{29}}$$

D

Korzystając z tego, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$3sinα-\sqrt{3}cosα=0 \\
3sinα=\sqrt{3}cosα \quad\bigg/:cosα \\
\frac{3sinα}{cosα}=\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym mamy trzy dłuższe przekątne równej miary, które przecinają się w połowie swojej długości. Wiemy, że każda taka dłuższa przekątna ma miarę \(2\sqrt{2}\), zatem cała sytuacja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczego trójkąta.
Powstało nam sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku \(a=\sqrt{2}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy obliczyć, że pole każdego z tych pojedynczych trójkątów jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola sześciokąta.
Sześciokąt składa się z sześciu takich trójkątów równobocznych, zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=3\sqrt{3}$$

B

Jeżeli dwie figury są do siebie podobne w skali podobieństwa \(k\) to pola ich powierzchni są podobne w skali \(k^2\). W naszym przypadku skala podobieństwa pól wyraża się stosunkiem \(1:4\) (czyli jest równa \(\frac{1}{4}\)), zatem możemy zapisać że:
$$k^2=\frac{1}{4} \\
k=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że interesuje nas sytuacja w której obwód drugiego trójkąta będzie dwukrotnie większy od pierwszego i taką sytuację mamy w drugiej odpowiedzi.

A

Środek odcinka \(AC\) możemy opisać wzorem:
$$O=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(O\) oraz punktu \(A\), stąd też możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową środka okręgu:
$$x_{O}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
6=\frac{3+x_{C})}{2} \\
12=3+x_{C} \\
x_{C}=9 \\
\quad \\
y_{O}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
5=\frac{2+y_{C}}{2} \\
10=2+y_{C} \\
y_{C}=8$$

To oznacza, że punkt \(C\) ma współrzędne \(C=(9;8)\).

C

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Spróbujmy teraz dopasować równanie z treści zadania do powyższej postaci (czyli musimy doprowadzić do sytuacji w której w obydwu nawiasach mamy minusy):
$$(x-3)^2+(y+2)^2=r^2 \\
(x-3)^2+(y-(-2))^2=r^2$$

Teraz możemy bez przeszkód odczytać, że współrzędne środka okręgu to \(S=(3;-2)\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy teraz okrąg o środku \(S=(3;-2)\), który jest styczny do osi igreków.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z rysunku możemy wprost odczytać, że aby taki okrąg był styczny do osi igreków, to jego promień musi mieć długość \(r=3\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku \(a=9\), zatem:
$$|BD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|BD|=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BO\).
Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego dzieli nam odcinek \(BD\) na dwa części z których odcinek \(BO=\frac{2}{3}BD\) oraz \(DO=\frac{1}{3}BD\) (wynika to wprost z własności trójkątów równobocznych). Nas interesuje długość odcinka \(BO\), zatem:
$$|BO|=\frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2} \\
|BO|=\frac{18\sqrt{3}}{6} \\
|BO|=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\).
Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(OBS\) możemy obliczyć wysokość bryły, czyli długość odcinka \(OS\):
$$|OB|^2+|OS|^2=|SB|^2 \\
(3\sqrt{3})^2+|OS|^2=9^2 \\
9\cdot3+|OS|^2=81 \\
27+|OS|^2=81 \\
|OS|^2=54 \\
|OS|=\sqrt{54} \quad\lor\quad |OS|=-\sqrt{54}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam:
$$|OS|=\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot6}=3\sqrt{6}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(-6-2)^2+(-3-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$

Ujemną długość odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest równoboczny i ma bok długości \(10\), to jego wysokość będzie równa:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równa \(\frac{1}{3}\) jego wysokości, zatem:
$$r=\frac{1}{3}h \\
r=\frac{1}{3}\cdot5\sqrt{3} \\
r=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a skoro jego pole jest równe \(36\), to każdy z boków ma długość \(a=6\). Nasz rysunek będzie więc wyglądał w ten oto sposób:



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Do obliczenia wysokości graniastosłupa będziemy za chwilę potrzebować długości przekątnej podstawy. Skoro w podstawie znajduje się kwadrat, to z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku \(a=6\), zatem przekątna ma długość \(d=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{H}{d} \\
tg30°=\frac{H}{6\sqrt{2}} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{6\sqrt{2}} \quad\bigg/\cdot6\sqrt{2} \\
H=\frac{\sqrt{3}\cdot6\sqrt{2}}{3} \\
H=\frac{6\sqrt{6}}{3} \\
H=2\sqrt{6}$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Możemy wylosować jedną z szesnastu liczb (łącznie z zerem), zatem \(|Ω|=16\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosujemy liczbę pierwszą, czyli interesują nas następujące przypadki:
$$2,3,5,7,11,13$$

Liczb pierwszych w naszym zbiorze jest dokładnie sześć, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$

D

Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,4,7,9,9$$

Jeżeli do tego zestawu dodamy liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(8\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(9\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=8\) mediana będzie równa \(\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}=5,5\)
Dla \(x=7\) mediana będzie równa \(\frac{7+7}{2}=\frac{14}{2}=7\)
Dla \(x=9\) mediana będzie równa \(\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\)

W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(9\).

B

Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby:

Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od \(3000\) i może zawierać tylko cyfry \(1\), \(2\) oraz \(3\), to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób.
Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: \(1\), \(2\) lub \(3\).
Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby.
Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$

\(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\) lub też \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(8x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$8x^3+8x^2-3x-3=0 \\
8x^2(x+1)+(-3)(x+1) \\
8x^2(x+1)-3(x+1) \\
(8x^2-3)(x+1)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$8x^2-3=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$

Rozwiążmy najpierw to pierwsze równanie. Możemy oczywiście tutaj zastosować metodę liczenia delty, ale możemy też zrobić to w następujący sposób:
$$8x^2-3=0 \\
8x^2=3 \\
x^2=\frac{3}{8} \\
x=\sqrt{\frac{3}{8}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Tutaj moglibyśmy się jeszcze pokusić o usunięcie niewymierności z mianownika (choć nie jest to konieczne):
$$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Jeżeli więc usuniemy tę niewymierność z mianownika to otrzymamy:
$$x=\frac{\sqrt{6}}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Przejdźmy do rozwiązania drugiego równania, tutaj będzie znacznie prościej:
$$x+1=0 \\
x=-1$$

To oznacza, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\).
Ewentualnie zapisując to inaczej: \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in\langle-3;3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Miejsca zerowe możemy tradycyjnie wyznaczyć metodą delty (pamiętając o tym, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale można tutaj pokusić się o nieco prostsze i szybsze wyznaczenie miejsc zerowych.
$$5x^2-45=0 \\
5x^2=45 \quad\bigg/:5 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=5\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-3\) oraz \(x=3\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\langle-3;3\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(P(A)=\frac{8}{45}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb dwucyfrowych. Skoro liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowana liczba jest podzielna przez \(9\) lub \(12\). Wypiszmy sobie zatem te liczby (uważając na to, by żadnej z liczb nie wypisać dwukrotnie):
$$18,27,36,45,54,63,72,81,90,99 \\
12,24,48,60,84,96$$

Takich liczb jest \(16\), zatem \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}\)

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\
tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:
$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\
sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}\) albo innej podobnej.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą rysunku trójkąta prostokątnego zapiszesz, że \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{c^2}{ab}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość jedną z wartości: \(sinα=\sqrt{\frac{7+\sqrt{33}}{14}}\) lub \(cosα=\frac{4}{\sqrt{98+14\sqrt{33}}}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2 \\
x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$

Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0 \\
(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$

Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni. Mamy więc iloczyn dwóch liczb dodatnich, a ten jest na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz nierówność w postaci \((x-y)(x^2-y^2)\ge0\) lub \((x-y)(x^2-2xy+y^2)\ge0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając miary pól poszczególnych trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:



Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).
$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\
P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\
P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).
Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\
P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\
P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:
$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pola "małych trójkątów" w zależności od długości \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz, że pole trójkąta \(APR\) jest stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy obliczysz, że suma pól \(P_{ADR}+P_{PCR}\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy przedłużysz prostą \(AR\) oraz bok \(BC\), zaznaczysz punkt przecięcia się tych prostych np. jako \(M\) i zauważysz, że \(P_{APR}=P_{RPM}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(q=2\)

Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco:
$$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$

Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy:
$$(2+r)^2=2\cdot(2+3r) \\
4+4r+r^2=4+6r \\
r^2-2r=0 \\
r(r-2)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-2=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=2$$

Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\).

Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Nasz ciąg geometryczny ma postać:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco:
$$2,\;4,\;8$$

Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{4}{2} \\
q=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz minimum cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, które potem wykorzystasz do zbudowania ciągu geometrycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągów arytmetycznych ułożysz odpowiednie równanie (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z własności ciągów geometrycznych ułożysz równanie w postaci \((2+r)^2=2\cdot(2+3r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=0\) oraz \(r=2\) i odrzucisz \(r=0\) ze względu na założenia z treści zadania (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-3x+16\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:



Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \(B\)? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona \(AB\) oraz \(BC\), a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek \(B\). Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu \(D\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są \(D=(4;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu \(D\) znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\
(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\
-2y-4-6x+36=0 \\
-2y-6x+32=0 \\
-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\
y=-3x+16$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości dwóch boków trójkąta (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy napiszesz, że poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy uzasadnisz (wskazując, że jest to trójkąt równoramienny), dlaczego poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie osi symetrii w postaci prostej przechodzącej przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz wyznaczysz współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka \(AC\), czyli \(a=-3\).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz zapiszesz, że poszukiwana oś symetrii przechodzi przez punkt \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie zależności między krawędzią podstawy i wysokością trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \\
\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \quad\bigg/\cdot h \\
\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}a \\
h=a$$

To oznacza, że wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej.
Korzystając z informacji, że pole ściany bocznej jest równe \(10\) możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
10=\frac{1}{2}a\cdot a \quad\bigg/\cdot2 \\
a^2=20 \\
a=\sqrt{20} \quad\lor\quad a=-\sqrt{20}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{20}\). Tym samym zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, także \(h=\sqrt{20}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Tutaj także skorzystamy z funkcji trygonometrycznych (tym razem z sinusa). Skoro odcinek \(SE\) (czyli wysokość ściany bocznej oznaczonej jako \(h\)) ma długość \(h=\sqrt{20}\), to:
$$sinα=\frac{H}{h} \\
sin60°=\frac{H}{\sqrt{20}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{\sqrt{20}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{20} \\
H=\frac{\sqrt{60}}{2} \\
H=\frac{\sqrt{4\cdot15}}{2} \\
H=\frac{2\sqrt{15}}{2} \\
H=\sqrt{15}$$

Krok 5. Obliczenie objętości bryły.
Znając długość krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{20})^2\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{1}{3}\cdot20\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{20\sqrt{15}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnie zaznaczonym kątem (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(h=a\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.