Matura próbna – Matematyka – Operon 2009 – Odpowiedzi

D

Aby rozwiązać to zadanie najprościej będzie zamienić wszystkie potęgi na takie, które mają jednakową podstawę. Jak już to zrobimy, to zostanie nam tylko wykonać poprawnie działania na potęgach. W tym przypadku wspólną podstawą może być trójka, zatem:
$$27^{-2}\cdot9^6=(3^3)^{-2}\cdot(3^2)^6=3^{-6}\cdot3^{12}=3^{6}$$

B

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Wartość sinusa znamy, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{7}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{49}+cos^2α=1 \quad\bigg/-\frac{4}{49} \\
cos^2α=\frac{45}{49} \\
cosα=\sqrt{\frac{45}{49}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{45}{49}}$$

Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, a to dlatego że w treści zadania jest podana informacja o tym iż kąt \(α\) jest ostry. Dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie, stąd też prawidłową odpowiedzią jest jedynie \(cosα=\sqrt{\frac{45}{49}}\).

B

Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-2|\lt4 \\
x-2\lt4 \quad\lor\quad x-2\gt-4 \\
x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-2 \\
x\in(-2;6)$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.

B

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Nas z tego wzoru interesuje tylko długość promienia. Przyrównując wzór z tablic do wzoru z treści zadania (a w zasadzie tylko to co pojawia się po prawej stronie po znaku równości) widzimy, że:
$$r^2=16 \\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo promień nie może być ujemny. To oznacza, że promień tego okręgu ma długość \(4\).

Krok 2. Obliczenie długości (czyli obwodu) tego okręgu.
Znając długość promienia możemy bez problemu obliczyć długość obwodu tego okręgu:
$$Obw=2π r \\
Obw=2π\cdot4 \\
Obw=8π$$

D

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Długość krawędzi sześcianu obliczymy korzystając z informacji o objętości tej bryły:
$$V=a^3 \\
125=a^3 \\
a=5$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, które są kwadratami. W naszym przypadku są to kwadraty o boku długości \(5\), zatem:
$$P_{c}=6a^2 \\
P_{c}=6\cdot5^2 \\
P_{c}=6\cdot25 \\
P_{c}=150$$

C

Zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych wpisanych w okrąg, promień takiego okręgu stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta. W związku z tym:
$$r=\frac{2}{3}\cdot6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$

D

Krok 1. Określenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa przedstawiona jest w postaci kanonicznej, czyli takiej z której w prosty sposób możemy odczytać wierzchołek paraboli. Postać kanoniczną opisujemy jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy (nawet znaki plus i minus się zgadzają), to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(4;5)\).

Krok 2. Ustalenie najmniejszej wartości funkcji kwadratowej.
Nasza funkcja kwadratowa jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (wiemy to, bo gdybyśmy przekształcili ją do postaci ogólnej, czyli wymnożyli to wszystko przez siebie, to przed \(x^2\) stałaby dodatnia wartość). Skoro tak, to najmniejszą wartość funkcja ta przyjmuje w swoim wierzchołku i my współrzędne tego wierzchołka już znamy. W związku z tym możemy stwierdzić, że nasza funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu \(x=-4\), a tą wartością będzie \(y=5\).

C

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu (a to za sprawą tego minusa, który znalazł się na początku nierówności). Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem rozwiązaniem naszej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle3,\infty)$$

C

Jeżeli logarytm nie ma podanej podstawy, to znaczy że domyślnie znajduje się tam \(10\) (czyli \(log0,1=log_{10}0,1\)). To oznacza, że te dwa logarytmy które pojawiły się w zadaniu mają dwie zupełnie różne podstawy. Skoro tak, to nie wykonamy tutaj żadnych działań bezpośrednio na logarytmach, ale możemy wprost obliczyć wartość jednego i drugiego logarytmu:
$$log0,1=-1 \\
log_{2}16=4$$

W związku z tym:
$$log0,1+log_{2}16=-1+4=3$$

D

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich uczniów w klasie.
W klasie jest:
$$5+9+10+4+2=30\text{ uczniów}$$

Krok 2. Obliczenie średniego wzrostu.
Skorzystamy tutaj ze średniej arytmetycznej. W liczniku dodajemy do siebie wszystkie wyniki pomiaru wzrostu, a w mianowniku zapisujemy łączną liczbę uczniów:
$$śr=\frac{160\cdot5+165\cdot9+170\cdot10+175\cdot4+180\cdot2}{30} \\
śr=\frac{800+1485+1700+700+360}{30} \\
śr=\frac{5045}{30} \\
śr\approx168,2[cm]$$

Krok 3. Ustalenie ilu uczniów ma wzrost powyżej średniego.
Powyżej średniego wzrostu (czyli wzrost \(170cm\), \(175cm\) lub \(180cm\)) ma łącznie:
$$10+4+2=16\text{ uczniów}$$

B

Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne punktu \(A\), czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=-4\).
$$y=mx+6 \\
-4=m\cdot2+6 \\
-10=2m \\
m=-5$$

B

Krok 1. Obliczenie wzrostu ceny torby.
Torba kosztowała \(40zł\), teraz kosztuje \(50zł\), zatem jej cena wzrosła o:
$$50zł-40zł=10zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent podwyższono cenę torby.
Torba kosztowała \(40zł\), podniesiono jej cenę o \(10zł\), zatem podniesiono jej cenę o:
$$\frac{10zł}{40zł}\cdot100\%=\frac{1}{4}\cdot100\%=25\%$$

B

Naszym zadaniem jest po prostu wymnożenie przez siebie tych dwóch wielomianów:
$$W(x)\cdot M(x)=(x-4)\cdot(x^2-2x)= \\
=x^3-2x^2-4x^2+8x= \\
=x^3-6x^2+8x$$

A

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(P\) oraz \(R\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to możemy korzystając z tej informacji obliczyć długość boku kwadratu. Najprościej będzie to zrobić stosując następujący wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2}$$

Stosując ten wzór do naszych danych otrzymamy:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2} \\
|PR|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-1-2)^2} \\
|PR|=\sqrt{4^2+(-3)^2} \\
|PR|=\sqrt{16+9} \\
|PR|=\sqrt{25} \\
|PR|=5$$

D

Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Znamy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, drugi wyraz jest opisany jako \(x+4\), zatem:
$$x+4=\frac{5+1}{2} \\
x+4=\frac{6}{2} \\
x+4=3 \\
x=-1$$

C

Aby poznać wartość parametru \(k\) wystarczy podstawić do wzoru tej funkcji współrzędne znanego nam punktu, czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\):
$$f(x)=4^x+k \\
-1=4^2+k \\
-1=16+k \\
k=-17$$

A

Z treści zadania wynika wprost, że iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy \(q=\frac{1}{2}\). Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy też iloraz ciągu, więc możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{2}=a_{1}\cdot q^{2-1} \\
a_{2}=a_{1}\cdot q^1 \\
a_{2}=1\cdot\frac{1}{2} \\
a_{2}=\frac{1}{2}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części w związku z tym:



To oznacza, że długość ramienia obliczymy wprost z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości ramienia trójkąta.
Korzystając z trójkąta prostokątnego, który stworzyła nam wysokość możemy zapisać zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$12^2+5^2=x^2 \\
144+25=x^2 \\
169=x^2 \\
x=13 \quad\lor\quad x=-13$$

Ujemną długość odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=13\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację:



Zgodnie z oznaczeniami na powyższym rysunku będziemy poszukiwać miary kąta wpisanego, czyli kąta \(β\).


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt \(α\) będzie stanowić \(\frac{1}{9}\) kąta pełnego, czyli będzie mieć miarę:
$$\frac{1}{9}\cdot360°=40°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(β\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych (które są oparte na tym samym łuku) wynika, że miara kąta wpisanego jest dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, czyli:
$$β=\frac{1}{2}α \\
β=\frac{1}{2}\cdot40° \\
β=20°$$

B

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Chcemy się dowiedzieć kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli kiedy zajdzie następująca nierówność:
$$-\frac{2}{3}x+4\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Teraz musimy rozwiązać naszą nierówność, pamiętając o tym by dzieląc lub mnożąc przez liczbę ujemną zmienić znak na przeciwny:
$$-\frac{2}{3}x+4\lt0 \\
-\frac{2}{3}x\lt-4 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
2x\gt12 \\
x\gt6$$

\(x=-1\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(1\). To oznacza, że:
$$x^3+x^2+x+1=0 \\
x^2(x+1)+1(x+1)=0 \\
(x^2+1)(x+1)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2+1=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0 \\
x^2=-1 \quad\quad\lor\quad\quad x=-1$$

Z pierwszego równania nie uzyskamy żadnego rozwiązania, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje liczbę ujemną. Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=-1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\)

To zadanie moglibyśmy rozwiązać jak klasyczną nierówność (czyli np. metodą delty), pamiętając o tym by najpierw przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Jednak w tym zadaniu proszą nas o graficzne rozwiązanie podanej nierówności, zatem powinniśmy zgodnie z poleceniem pokusić się o rozwiązanie tej nierówności rysując po prostu wykresy funkcji, których wzory znalazły się po lewej i prawej stronie nierówności, czyli \(x^2\) oraz \(x+2\).

Krok 1. Sporządzenie wykresów funkcji \(x^2\) oraz \(x+2\).
Z racji tego, iż mamy rozwiązać graficznie naszą nierówność, to nasz rysunek powinien być jak najdokładniejszy. W szczególności musimy zwrócić uwagę na to, by parabola \(x^2\) miała wierzchołek w początku układu współrzędnych, a prosta \(x+2\) przecinała oś igreków w punkcie \((0;2)\).



Krok 2. Interpretacja rysunku i odczytanie rozwiązań nierówności.
Po dokładnym narysowaniu obydwu wykresów widzimy że przecięły się one w dwóch punktach: \(A=(-1;-1)\) oraz \(B=(2;4)\). To właśnie te punkty będą kluczowymi do wyznaczenia rozwiązań nierówności. Interesuje nas sytuacja w której wyrażenie po lewej stronie jest większe od tego po prawej stronie, czyli interesują nas wszystkie te miejsca w których po prostu parabola \(x^2\) jest wyżej (czyli przyjmuje większe wartości) od prostej \(x+2\). Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc:
$$x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie narysujesz wykresy funkcji \(x^2\) oraz \(x+2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-1\) oraz \(x=5\)

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Spróbujmy przekształcić nasze równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci jak powyżej. Możemy to zrobić w następujący sposób:
$$x^2-4x+y^2-2y-4=0 \\
(x-2)^2-4+(y-1)^2-1-4=0 \\
(x-2)^2+(y-1)^2-9=0 \\
(x-2)^2+(y-1)^2=9$$

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia.
Z otrzymanej przed chwilą postaci po przyrównaniu poszczególnych liczb do wzoru na równanie okręgu możemy odczytać, że środek okręgu ma współrzędne \(S=(2;1)\), natomiast promień będzie równy \(r=3\) (bo \(r^2=9)\).

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie rozwiązania.
Na podstawie wyznaczonych informacji stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, który pozwoli nam odczytać rozwiązanie zadania.



Z rysunku wynika, że proste styczne do okręgu (które są jednocześnie równoległe do osi \(OY\)) to proste \(x=-1\) oraz \(x=5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie w postaci kanonicznej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Obw=14\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, który pozwoli nam dostrzec własności trapezu równoramiennego:



Krok 2. Obliczenie długości ramienia trapezu.
Spójrzmy na trójkąt \(FBC\). Z definicji cosinusa wynika, że:
$$cosα=\frac{FB}{BC}$$

Wartość cosinusa jest nam znana, znamy też długość odcinka \(FB\), zatem bez problemu obliczymy długość ramienia tego trapezu:
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{BC} \\
BC=2$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne długości boków, zatem możemy przejść do obliczenia obwodu trapezu:
$$Obw=6+4+2+2 \\
Obw=14$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z funkcji trygonometrycznych zapiszesz poprawne równanie lub wręcz obliczysz, że \(|BC|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(r=2\) oraz \(a_{1}=-1\)

I sposób - obliczając wartości pierwszego i drugiego wyrazu:
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Jeżeli podstawimy do wzoru \(n=1\), to otrzymamy "sumę pierwszego wyrazu", czyli tak naprawdę wartość tego pierwszego wyrazu. W związku z tym:
$$S_{n}=n(n-2) \\
S_{1}=1(1-2) \\
S_{1}=1\cdot-1 \\
S_{1}=-1$$

To oznacza, że \(a_{1}=-1\).

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Jeżeli tym razem podstawimy \(n=2\), to otrzymamy sumę dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy, więc dzięki temu będziemy w stanie obliczyć wartość drugiego wyrazu. Zatem:
$$S_{n}=n(n-2) \\
S_{2}=2(2-2) \\
S_{2}=2\cdot0 \\
S_{2}=0$$

Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy \(S_{2}=a_{1}+a_{2}\). Podstawiając pod to \(a_{1}=-1\) otrzymamy:
$$S_{2}=a_{1}+a_{2} \\
0=-1+a_{2} \\
a_{2}=1$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając dwa pierwsze wyrazy ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu arytmetycznego:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

II sposób - wyznaczając wzór ciągu:
Krok 1. Wyznaczenie wzoru ciągu arytmetycznego.
Dobrym sposobem na rozwiązanie tego zadania byłoby też wyznaczenie wzoru ciągu. Uda nam się to zrobić w następujący sposób:
$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \\
a_{n}=n(n-2)-(n-1)((n-1)-2) \\
a_{n}=n(n-2)-(n-1)(n-3) \\
a_{n}=n^2-2n-n^2+3n+n-3 \\
a_{n}=2n-3$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wzór ciągu możemy wyznaczyć bez problemu wartość dowolnego wyrazu. Szukając wartości pierwszego wyrazu podstawimy \(n=1\) i otrzymamy:
$$a_{1}=2\cdot1-3 \\
a_{1}=2-3 \\
a_{1}=-1$$

Krok 3. Wyznaczenie różnicy ciągu.
Tak naprawdę nie musimy nic więcej liczyć by poznać różnicę ciągu. Z własności wzorów ciągów arytmetycznych wynika, że różnicą ciągu jest liczba która znajduje się przed \(n\). W tym przypadku przed \(n\) znalazła się dwójka, czyli \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy wyliczyć wartość drugiego wyrazu i potem obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=2n-3 \\
a_{2}=2\cdot2-3 \\
a_{2}=4-3 \\
a_{2}=1$$

Zatem różnica ciągu wyniesie:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 1. Sposób I).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wzór ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1. Sposób II).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\)

Krok 1. Ustalenie, czy dana wartość jest dodatnia czy ujemna.
Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczby z których wyznaczamy wartości bezwzględne są dodatnie, czy też ujemne. Jeżeli wartość w nawiasie jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem po kolei jakie wartości znalazły się w nawiasach:

\(|x-1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest ujemna. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2-1|\), czyli \(|-0,8|\).
\(|x|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2|\).
\(|-x+1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|-0,2+1|\), czyli \(|0,8|\).

Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
Zgodnie więc z tym co zapisaliśmy powyżej, opuszczając pierwszy nawias wartości bezwzględnej będziemy musieli zmienić znaki, natomiast pozostałe nawiasy opuścimy bez zmiany znaków. Oprócz tego musimy uważać na to, że przed trzecim nawiasem stoi minus, który wpłynie na zmianę znaków:
$$|x-1|+|x|-|-x+1|= \\
=-x+1+x-(-x+1)= \\
=-x+1+x+x-1=x$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie opuścisz znaki wartości bezwzględnej, otrzymując równanie typu \(-x+1+x-(-x+1)\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(18\) lat

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i utworzenie równania.
\(x\) - wiek Julki
\(x+2\) - wiek Julki za dwa lata
\(x-8\) - wiek Julki osiem lat temu

Z treści zadania wiemy, że za dwa lata Julka będzie dwa razy starsza niż była osiem lat temu, czyli:
$$x+2=2\cdot(x-8)$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Musimy teraz rozwiązać powstałe równanie:
$$x+2=2\cdot(x-8) \\
x+2=2x-16 \\
-x=-18 \\
x=18$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z którego da się obliczyć wiek Julki (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono zapisując wzory na pola tych kwadratów.

Krok 1. Dostrzeżenie, że początkowy prostokąt musi być kwadratem.
Z treści zadania wiemy, że przekątna prostokąta dzieli kąt na dwie równe części (czyli na kąty \(45°\)). Jest to sytuacja charakterystyczna tylko i wyłącznie dla kwadratu i właśnie stąd też możemy wywnioskować, że nasz prostokąt wyjściowy jest po prostu kwadratem.

Krok 2. Wyznaczenie długości boku kwadratu zbudowanego na przekątnej.
Wiemy już, że nasz wyjściowy prostokąt jest kwadratem, a skoro tak to wiemy też, że jeżeli jego bok ma długość \(a\) to przekątną możemy zapisać jako \(d=a\sqrt{2}\). Tym samym długość boku kwadratu zbudowanego na tej przekątnej będzie równa właśnie \(a\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pól powierzchni obydwu kwadratów i zakończenie dowodzenia.
Pole pierwszego (wyjściowego) kwadratu jest równe: \(P=a\cdot a=a^2\)
Pole drugiego (zbudowanego na przekątnej) kwadratu jest równe: \(P=a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=2a^2\)

To oznacza, że pole drugiego kwadratu jest dwukrotnie większe i to właśnie należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że prostokąt jest kwadratem (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że jego przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(x=2\)

Krok 1. Rozpisanie wartości \(x\) z wykorzystaniem własności ciągów geometrycznych i arytmetycznych.
Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
x^2=4\cdot y$$

Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x+1=\frac{y+5}{2}$$

Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
W poprzednim kroku otrzymaliśmy dwa równania z których moglibyśmy stworzyć układ równań:
$$\begin{cases}
x^2=4y \\
x+1=\frac{y+5}{2}
\end{cases}$$

Spróbujmy teraz rozwiązać ten układ równań metodą podstawiania. Najlepiej będzie przekształcić drugie równanie tak aby dało się podstawić igreka z drugiego równania do równania pierwszego (podstawianie iksa też jest dobre, ale jest wbrew pozorom nieco trudniejsze, bo pojawi się potęgowanie). Zatem:
$$\begin{cases}
x^2=4y \\
x+1=\frac{y+5}{2} \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x^2=4y \\
2x+2=y+5 \quad\bigg/-5 \\
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x^2=4y \\
y=2x-3
\end{cases}$$

Podstawiając teraz igreka z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$x^2=4\cdot(2x-3) \\
x^2=8x-12 \\
x^2-8x+12=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwie możliwości \(x=2\) oraz \(x=6\). Musimy się zastanowić, czy przypadkiem którejś z nich nie trzeba odrzucić. Gdy \(x=2\), to ciąg geometryczny będzie malejący \((4,2,y)\). Gdy \(x=6\), to ciąg geometryczny jest rosnący \((4,6,y)\). W treści zadania mamy podane, że ciąg geometryczny ma być malejący, dlatego jedyną poprawną odpowiedzią jest \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wartość \(x\) korzystając z własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawny układ równań i w trakcie jego rozwiązywania uda Ci się powiązać jedną niewiadomą z drugą np. zapisując równanie \(y=2x-3\) (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej z którego potem można obliczyć deltę (patrz: Krok 2.)
4 pkt
• Gdy rozwiążesz równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.), ale nie odrzucisz żadnej z odpowiedzi.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(v=60\frac{km}{h}\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\)
\(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej


Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań:
$$\begin{cases}
s=v_{1}\cdot t_{1} \\
s=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
180=v_{1}\cdot t_{1} \\
180=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases}
180=v_{1}\cdot t_{1} \\
180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1)
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
v_{1}=\frac{180}{t_{1}} \\
180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1)
\end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$180=\left(\frac{180}{t_{1}}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180 \\
-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1} \\
-180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30 \\
-6+t_{1}^2-t_{1}=0 \\
t_{1}^2-t_{1}-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu.
Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{180km}{3h} \\
v=60\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.) i na ich podstawie ułożysz odpowiedni układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy rozwiązując układ równań otrzymasz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy doprowadzisz rozwiązanie układu równań do końca, otrzymując poprawne równanie kwadratowe (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\((0;2)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy zwizualizować sobie jak ten czworokąt będzie wyglądać i gdzie będzie miał punkt przeciecia się przekątnych:



Z pomocą tego rysunku możemy określić plan postępowania: musimy wyznaczyć równania prostych \(AC\) oraz \(BD\), a następnie z równań tych prostych ułożyć układ równań, którego wynikiem będą współrzędne poszukiwanego punktu przecięcia.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wyznaczmy równanie prostej \(AC\), czyli prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(C\), czyli przez które tworzą jedną z przekątnych czworokąta. Możemy to zrobić za pomocą wzoru z tablic, czyli:
$$(y-y_{A})(x_{C}-x_{A})-(y_{C}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Do tego wzoru wystarczy tylko podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i otrzymamy poszukiwany wzór. Istnieje też drugi sposób na wyznaczenie równania prostej, który jest nieco szybszy i właśnie z niego tutaj skorzystamy. Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
$$\begin{cases}
4=-2a+b \\
-3=5a+b
\end{cases}$$

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$7=-7a \\
a=-1$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$4=-2a+b \\
4=-2\cdot(-1)+b \\
4=2+b \\
b=2$$

To oznacza, że nasza prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=-1x+2\), czyli \(y=-x+2\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Postępujemy analogicznie jak w przypadku prostej \(AC\), podstawiając tym razem współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\):
$$\begin{cases}
-2=-2a+b \\
4=1a+b
\end{cases}$$

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-6=-3a \\
a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$-2=-2a+b \\
-2=-2\cdot2+b \\
-2=-4+b \\
b=2$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=2x+2\).

Krok 4. Wyznaczenie miejsca przecięcia się przekątnych.
Rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne punktu ich przecięcia (czyli dokładnie to czego szukamy). W związku z tym musimy stworzyć układ równań z dwóch równań prostych wyznaczonych przed chwilą i sprawdzić jakie współrzędne otrzymamy:
$$\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x+2
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-x+2=2x+2 \\
-3x=0 \\
x=0$$

Znając iksa możemy teraz obliczyć igreka, podstawiając \(x=0\) do jednego z równań:
$$y=-x+2 \\
y=-0+2 \\
y=2$$

To oznacza, że współrzędne punktu przecięcia się przekątnych są równe \((0;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie dwa układy równań (patrz: Krok 2. oraz 3.).
2 pkt
• Gdy rozwiążesz obydwa układy równań, otrzymując równania prostej \(AC\) oraz \(BD\) (patrz: Krok 2. oraz 3.)
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.