Wyjaśnienie:
Krok 1. Omówienie sytuacji z treści zadania.
Na początek warto zwrócić uwagę na to, że nasz ostrosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w tym konkretnym przypadku będziemy mieć w podstawie kwadrat.
Spójrzmy teraz na trójkąt \(AOS\). Jest to trójkąt prostokątny na który składa się połowa przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna ostrosłupa. Naszym zadaniem będzie tak naprawdę poznanie długości jednej i drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (poznanie dolnej przyprostokątnej doprowadzi nas do poznania długości krawędzi podstawy, no a wysokość jest sama w sobie niezbędna do obliczenia objętości).
Podaną mamy wartość tangensa kąta \(α\) i długość przeciwprostokątnej, która jest równa \(12\). Cała trudność tego zadania opiera się na tym, że tangens odpowiada przecież za stosunek długości przyprostokątnych (czyli tych boków, które szukamy) i nie jest on w żaden sposób powiązany z przeciwprostokątną. Gdybyśmy mieli podaną wartość np. cosinusa zamiast tangensa, to wtedy błyskawicznie obliczylibyśmy sobie wysokość bryły. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by tangensa zamienić na cosinusa i to będzie nasz kolejny krok.
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Wiemy też z jedynki trygonometrycznej, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W związku z tym możemy przystąpić do zamiany tangensa na cosinusa:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{5}} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}} \\
sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}cosα$$
Podstawiając teraz wyznaczonego sinusa do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{\sqrt{5}}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{5}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{9}{5}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{9} \\
cos^2α=\frac{5}{9} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$
Nad otrzymanymi wynikami musimy się jeszcze pochylić, zastanawiając się nad tym, czy przypadkiem któregoś cosinusa nie trzeba odrzucić. Co prawda nie mamy wprost podane w treści zadania, że \(α\) jest kątem ostrym (gdyby tak było, to ujemne rozwiązanie trzeba odrzucić), ale wiemy że tangens był wartością dodatnią, czyli \(α\) rzeczywiście musi być kątem ostrym. Stąd też ujemnego cosinusa możemy odrzucić i zostaje nam, że \(cosα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Teraz sprawa z obliczeniem wysokości ostrosłupa jest już bardzo prosta, bowiem korzystając z cosinusa możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{H}{12} \\
\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{H}{12} \\
H=\frac{12\sqrt{5}}{3} \\
H=4\sqrt{5}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W trójkącie \(AOS\) nasza dolna przyprostokątna \(AO\) ma długość równą połowie przekątnej podstawy. Wyznaczmy więc najpierw długość tej przyprostokątnej \(AO\), a potem obliczymy długość całej przekątnej \(AC\).
Do obliczenia długości \(AO\) możemy skorzystać albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo znamy już długości dwóch boków tego trójkąta), albo nawet z podanego tangensa (bo znamy już długość jednej przyprostokątnej). Korzystając więc z tangensa otrzymamy:
$$tgα=\frac{|AO|}{H} \\
\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|AO|}{4\sqrt{5}} \\
\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=|AO| \\
|AO|=8$$
Odcinek \(AO\) jest połową przekątnej naszej podstawy, zatem cała przekątna będzie mieć długość:
$$|AC|=2\cdot8 \\
|AC|=16$$
Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie bryły jest kwadrat, bo ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc przekątna kwadratu ma długość \(16\), to:
$$a\sqrt{2}=16 \\
a=\frac{16}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{16\sqrt{2}}{2} \\
a=8\sqrt{2}$$
Krok 6. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie jest kwadrat o boku \(a=8\sqrt{2}\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(8\sqrt{2})^2 \\
P_{p}=64\cdot2 \\
P_{p}=128$$
Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc już, że \(P_{p}=128\) oraz że \(H=4\sqrt{5}\) bez problemu obliczymy objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot128\cdot4\sqrt{5} \\
V=\frac{512\sqrt{5}}{3} \\
V=170\frac{2}{3}\sqrt{5}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek poprawną zależność np. \(\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) (patrz: Krok 2.) lub \(\frac{|AO|}{|SO|}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) lub \(|AO|^2+|SO|^2=12^2\) lub jakąś inną podobną.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie trygonometryczne do postaci w której wystąpi tylko jedna funkcja trygonometryczna (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania z niewiadomymi \(a\) oraz \(H\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.) oraz jedną z dwóch długości: przekątną podstawy (patrz: Krok 4.) lub długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Jestem pod wrażeniem jak dokładnie rozwiązywane są wszystkie te zadania :-)
Ja też!
Nie mogę znaleźć arkusza.
Domyślam się, że chodzi Pani o arkusz w formie PDF :) Myślę, że na dniach powinien być na tej stronie, więc proszę o cierpliwość :)
Tak o arkusz w PDF. Uzbrajam się w cierpliwość. Pozdrawiam
Arkusz PDF już jest na stronie ;)
https://szaloneliczby.pl/arkusz/matura-podstawowa-poprawkowa-matematyka-sierpien-2019.pdf
Bardzo podoba mi się taka organizacja pomocy uczniom w rozwiązywaniu zadań. Skłania do samodzielności poprzez ukrycie odpowiedzi. W razie potrzeby można skorzystać z bardzo dokładnego rozwiązania.
Przygotowywałem się do poprawki z matematyki z szalonymi liczbami. Dzisiaj się dowiedziałem, że zdałem mimo, że cały czas miałem duże problemy z matematyką, ale sposób w jaki jest tutaj wszystko wyjaśnione wszystko pokazuje czarno na białym :). Znajomym, którzy będą przystępować do matury w 2020 roku oczywiście polecę tę stronę. Pozdrawiam
Gratuluję! Cieszę się, że mogłem pomóc i dziękuję Ci za te miłe słowa :) Takie komentarze dają dużo energii do dalszego rozwijania tej strony. Pozdrawiam!
Gdzie moge pobrac arkusz w formie pdf
Można go pobrać w tym miejscu:
https://szaloneliczby.pl/arkusz/matura-podstawowa-poprawkowa-matematyka-sierpien-2019.pdf
Super strona polecam swoim uczniom. Dajecie szansę na sukces – gratuluję formy i treści.
Stronkę prowadzę samodzielnie w ramach hobby, więc tym milej mi słyszeć takie opinie, dziękuję :)
Bardzo pomocne materiały -dziękuję za pomoc
Naprawdę można na tej stronie nauczyć się matematyki!
w 34 można zostawić tg a odcinek |AO| zapisać jako połowa przekątnej kwadratu.
Można :) Aczkolwiek nie wiem czy jest to prostsza metoda, bo nie dość że łatwiej o pomyłkę rachunkową (mamy dość brzydkie liczby), to tych obliczeń finalnie wcale mniej nie jest ;)
W zasadzie zadanie 18 można było rozwiązać rysując sobie w układzie współrzędnych punkty K(0;8) oraz S(40;40) i orientacyjnie punkt L będący przedłużeniem prostej miedzy punktami S i K i w tym momencie jest tylko jedna oczywista odpowiedź. Świetna strona, pozdrawiam
Zgadza się ;) W przypadku tych konkretnych liczb można było rozwiązać to sprytniej ;)
w zadaniu 21 nie powinno być 40 zamiast 30 w obliczeniach przeciwprostokątnej ?
Zgodnie z tym co zapisałem – najpierw obliczamy przekątną podstawy, a w podstawie jest prostokąt o bokach 120 oraz 30, dlatego właśnie do tego pierwszego Twierdzenia Pitagorasa bierzemy 30 ;) Potem ta przekątna jest przyprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego i to z niego dopiero obliczymy przekątną bryły ;)
za kilka dni matura, to ostatnia która mi została do napisania w domu :) dziękuje za uratowanie mi tyłka :p
Gratuluję pomysłu na stronę! Świetne przygotowanie materiału. Szkoda, że nie ma takich opracowań z fizyki i matmy rozsz. Pozdrawiam serdecznie moderatora:) i dziękuje za pomoc!
Mam małe pytanko. Czy w zadaniu 28 po przeniesieniu x na prawą stronę można mnożyć na krzyż? Czy jednak taka możliwość istnieje tylko w równaniach?
PS. Super strona!
Witaj! Mnożenie na krzyż powinniśmy wykonywać tylko przy równaniach, bo przy nierówności powstałby problem co jest po lewej, a co po prawej stronie. Poza tym tutaj mnożenie na krzyż za bardzo nam nie pomoże (nawet gdyby to było równanie) – znacznie bezpiecznie będzie to wykonać tak jak ja zaprezentowałem :)
czy w zadaniu 28 można zastosować deltę?
Można, jak najbardziej ;)