Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2019
Zadanie 6. (1pkt) Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie:
A. jedno rozwiązanie: \(x=2\)
B. jedno rozwiązanie: \(x=-2\)
C. dwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\)
D. dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0 \\
x\neq4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2 \\
(x-2)(x+4)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).
Zadanie 14. (1pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\sphericalangle BCD=72°\) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę:
A. \(38°\)
B. \(36°\)
C. \(42°\)
D. \(40°\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ \(|BC|=|BD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(DC\) mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle CDB|=72°$$
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADC\) oraz obliczony przed chwilą \(CDB\) to kąty przyległe, czyli takie których suma miar jest równa \(180°\). Możemy więc zapisać, że:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-72°=108°$$
Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\). To także jest trójkąt równoramienny, bowiem \(|AD|=|CD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Wiemy już, że kąt \(ADC\) ma miarę \(108°\), czyli na dwa kąty przy podstawie \(AC\) zostaje nam: \(180°-108°=72°\). Skoro kąty przy podstawie \(AC\) muszą być jednakowej miary to:
$$|\sphericalangle ACD|=72°:2=36°$$
Zadanie 18. (1pkt) W układzie współrzędnych punkt \(S=(40; 40)\) jest środkiem odcinka \(KL\), którego jednym z końców jest punkt \(K=(0; 8)\). Zatem:
A. \(L=(20,24)\)
B. \(L=(-80,-72)\)
C. \(L=(-40,-24)\)
D. \(L=(80,72)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie współrzędnej iksowej punktu \(L\).
W tego typu zadaniach najlepiej jest obliczać oddzielnie współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową, tak aby nasz zapis był czytelny. Współrzędną iksową punktu \(L\) obliczymy z następującego wzoru:
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2}$$
Wiemy, że \(x_{S}=40\) oraz \(x_{K}=0\), zatem:
$$40=\frac{0+x_{L}}{2} \\
80=0+x_{L} \\
x_{L}=80$$
W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w ostatniej odpowiedzi mamy taką współrzędną iksową punktu \(L\), ale dla wprawy możemy jeszcze obliczyć brakującą współrzędną igrekową.
Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej punktu \(L\).
Skorzystamy z analogicznego wzoru co przed chwilą:
$$y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2}$$
Podstawiając \(y_{S}=40\) oraz \(x_{K}=8\) otrzymamy:
$$40=\frac{8+y_{L}}{2} \\
80=8+y_{L} \\
y_{L}=72$$
Zadanie 19. (1pkt) Punkt \(P=(-6,-8)\), przekształcono najpierw w symetrii względem osi \(Ox\), a potem w symetrii względem osi \(Oy\). W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt \(Q\). Zatem:
A. \(Q=(6,8)\)
B. \(Q=(-6,-8)\)
C. \(Q=(8,6)\)
D. \(Q=(-8,-6)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Przekształcenie względem osi \(Ox\).
Na początek przekształćmy punkt \(P\) względem osi \(Ox\). Przekształcenie punktu względem osi iksów polega na tym, że zmienia nam się na liczbę przeciwną wartość współrzędnej igrekowej (czyli z wartości \(-8\) zrobi nam się \(8\)). To oznacza, że punkt \(P\) po taki przekształceniu będzie mieć współrzędne:
$$P'=(-6;8)$$
Krok 2. Przekształcenie względem osi \(Oy\).
Teraz nasz punkt \(P'\) musimy jeszcze przekształcić względem osi \(Oy\). Przekształcenie punktu względem osi igreków polega na tym, że zmienia nam się na liczbę przeciwną wartość współrzędnej iksowej (czyli z wartości \(-6\) zrobi nam się \(6\)). W związku z tym nasz punkt \(Q\) będzie miał współrzędne:
$$Q=(6;8)$$
Zadanie 20. (1pkt) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest \(5\) punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\). Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt:
A. \(A\)
B. \(B\)
C. \(C\)
D. \(D\)
Wyjaśnienie:
Aby dwa punkty leżały w tej samej ćwiartce to muszą mieć jednakowe znaki przy współrzędnej iksowej oraz igrekowej. Nasz punkt \(P\) ma obydwie współrzędne ujemne, zatem spośród podanych punktów interesuje nas tylko ten, który także ma obydwie współrzędne ujemne. Takim punktem jest \(B\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Przy okazji możemy sobie dodać, że zarówno punkt \(P\) jak i \(B\) znajdą się w III ćwiartce układu współrzędnych.
Zadanie 21. (1pkt) Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30cm\times40cm\times120cm\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a,b,c,d\), o długościach - odpowiednio - \(119cm\), \(121cm\), \(129cm\) i \(131cm\).
Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:
A. tylko od odcinka \(a\)
B. tylko od odcinków \(a\) i \(b\)
C. tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\)
D. od wszystkich czterech danych odcinków
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.
Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2 \\
14400+900=c^2 \\
c^2=15300 \\
c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2 \\
15300+1600=d^2 \\
d^2=16900 \\
d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900} \\
d=130 \quad\lor\quad d=-130$$
Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).
Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Zadanie 23. (1pkt) Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa:
A. \(14\)
B. \(12\)
C. \(16\)
D. \(x\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.
Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12 \\
\frac{56+4x}{10}=12 \\
56+4x=120 \\
4x=64 \\
x=16$$
Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$
Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2} \\
m=\frac{28}{2} \\
m=14$$
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż równanie \((x^2-16)(x^3-1)=0\).
Odpowiedź
\(x=4 \quad\lor\quad x=-4 \quad\lor\quad x=1\)
Wyjaśnienie:
Aby to równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\). W związku z tym:
$$x^2-16=0 \quad\lor\quad x^3-1=0 \\
x^2=16 \quad\lor\quad x^3=1 \\
x=4\quad\lor\quad x=-4 \quad\lor\quad x=1$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania \(x^2-16=0\) oraz \(x^3-1=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-5x+3\le0\).
Odpowiedź
\(x\in\langle1;\frac{3}{2}\rangle\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot2}=\frac{5-1}{4}=\frac{4}{4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot2}=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem ramiona paraboli będą skierowane do góry. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:
Miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera dla przedziału \(x\in\langle1;\frac{3}{2}\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).
Odpowiedź
Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2+1-x\ge x \\
x^2-2x+1\ge0 \\
(x-1)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozpiszesz lewą stronę nierówności otrzymując postać typu \(x^2-2x+1\) (patrz: Krok 1.) lub jakiejkolwiek inną podobną.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 29. (2pkt) Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120°\).
Odpowiedź
Udowodniono dorysowując odcinek \(CS\) i korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz stycznych do okręgu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania zadania jest dorysowanie odcinka \(CS\), który jest promieniem okręgu. Z własności stycznych do okręgu wiemy, że styczna tworzy z promieniem kąt prosty i to będzie dla nas bardzo ważna informacja w tym zadaniu dowodowym.
Drugą rzeczą, którą musimy dostrzec to fakt, że dorysowując odcinek \(CS\) utworzy nam się trójkąt równoramienny \(ASC\), którego ramiona są promieniami okręgu, a podstawą jest bok \(AC\). Co więcej, w treści zadania mamy tę długość podstawy opisaną jako \(|AC|=r\sqrt{3}\).
Nanosząc te wszystkie informacje oraz dorysowując jeszcze wysokość trójkąta równoramiennego \(ASC\) otrzymamy następującą sytuację:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DC\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DSC\). Długość odcinka \(DC\) jest równa połowie długości odcinka \(AC\) (bo wysokość padająca na podstawę dzieli podstawę na dwa równe odcinki). Możemy więc zapisać, że:
$$|DC|=\frac{1}{2}\cdot|AC| \\
|DC|=\frac{1}{2}\cdot r\sqrt{3} \\
|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}$$
Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACS\).
Ponownie spoglądamy na trójkąt prostokątny \(DSC\). Wiemy, że \(|SC|=r\) oraz że \(|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|DC|}{|SC|} \\
cosα=\frac{\frac{r\sqrt{3}}{2}}{r} \\
cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}:r \\
cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{r} \\
cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\), czyli \(|\sphericalangle ACS|=30°\).
Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ACB\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(ACB\) jest sumą kątów \(ACS\) oraz \(SCB\). Przed chwilą wyliczyliśmy, że \(|\sphericalangle ACS|=30°\), a z własności stycznych do okręgu wiemy, że \(|\sphericalangle SCB|=90°\). W związku z tym:
$$|\sphericalangle ACB|=30°+90°=120°$$
W ten sposób dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz miarę przynajmniej jednego kąta np. \(ACS\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz cosinus jednego z kątów np. \(ACS\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 30. (2pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\) i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \(\{0,2,4,6,8\}\).
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{5}{18}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych. Skoro naturalnych liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy najpierw co to jest rząd dziesiątek i jedności. Jeżeli mamy liczbę \(75\), to cyfrą dziesiątek jest \(7\), a cyfrą jedności jest \(5\).
Sprzyjającymi zdarzeniami są liczby, które w rzędzie dziesiątek mają liczbę nieparzystą, a w rzędzie jedności mają liczbę parzystą. Takimi zdarzeniami byłyby więc przykładowo liczby \(14, 38, 52\) itd., ale już przykładowo \(21, 22, 84\) nie są sprzyjające.
Aby ustalić liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających skorzystamy z reguły mnożenia. W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z pięciu cyfr i w rzędzie jedności także możemy mieć jedną z pięciu cyfr. Zatem zgodnie z regułą mnożenia \(|A|=5\cdot5=25\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 31. (2pkt) Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(-\frac{21}{2},-1)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Odpowiedź
\(y=-3x-32\frac{1}{2}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).
Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:
$$\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=-3$$
Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:
$$y=-3x+b \\
-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b \\
-1=\frac{63}{2}+b \\
-1=31\frac{1}{2}+b \\
b=-32\frac{1}{2}$$
To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BD\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (4pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{1}, a_{2},...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340 \\
\text{oraz} \\
a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$
Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.
Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{4}=a_{3}+r \\
a_{40}=a_{39}+r$$
Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340 \\
\text{czyli:} \\
a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$
Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
$$1400+20r=1340 \\
20r=-60 \\
r=-3$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
$$S_{40}=1340+1400 \\
S_{40}=2740$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$
Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40 \\
2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40 \\
2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20 \\
137=2a_{1}-117 \\
2a_{1}=254 \\
a_{1}=127$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:
$$a_{40}=a_{1}+39r \\
a_{40}=127+39\cdot(-3) \\
a_{40}=127-117 \\
a_{40}=10$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dowolne równanie z dwiema niewiadomymi, które wynika z treści zadania np. \(\frac{a_{2}+a_{40}}{2}\cdot20=1340\) lub \(\frac{a_{1}+a_{39}}{2}\cdot20=1400\) lub \(\frac{a_{1}+a_{1}+19\cdot2r}{2}\cdot20=1400\) lub inne podobne.
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania z tymi samymi dwiema niewiadomymi.
3 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu (patrz: Krok 1.) oraz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (4pkt) Środek okręgu leży w odległości \(10cm\) od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o \(22cm\) większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować tę sytuację, tak aby mieć lepszy ogląd całej sytuacji:
Patrząc się na rysunek widzimy, że powstał nam trójkąt, który jest równoramienny. Skąd wiadomo, że jest on równoramienny? Po prostu jego ramiona są promieniami naszego okręgu, czyli mają jednakową miarę.
Teraz przeanalizujmy odcinek, który łączy środek okręgu i cięciwę. Zgodnie z treścią zadania ma on długość równą \(10\). Z podstaw geometrii wiemy, że odległość z punktu do prostej jest zawsze linią prostopadłą do prostej, nie ma innej możliwości. To sprawia, że ten omawiany odcinek jest tak naprawdę wysokością naszego trójkąta równoramiennego.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli powstaje nam taki oto trójkąt prostokątny:
Krok 2. Ułożenie równania kwadratowego.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(11+\frac{1}{2}r\right)^2+10^2=r^2 \\
121+11r+\frac{1}{4}r^2+100=r^2 \\
\frac{1}{4}r^2+11r+221=r^2 \quad\bigg/\cdot4 \\
r^2+44r+884=4r^2 \\
-3r^2+44r+884=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie długości promienia okręgu.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=44,\;c=884\)
$$Δ=b^2-4ac=44^2-4\cdot(-3)\cdot884=1936+10608=12544 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{12544}=112$$
$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-44-112}{2\cdot(-3)}=\frac{-156}{-6}=26 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-44+112}{2\cdot(-3)}=\frac{68}{-6}=-11\frac{1}{3}$$
Otrzymaliśmy dwie możliwości długości promienia, ale jedną z nich musimy odrzucić, bo promień nie może mieć ujemnej długości. W związku z tym jedyną poprawną odpowiedzią będzie \(r=26\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawną zależność między promieniem i długością cięciwy np. że cięciwa ma długość \(r+22\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz np. na rysunku pomocniczym, że powstanie trójkąt prostokątny w którym przeciwprostokątną jest promień, a przyprostokątnymi są odcinek o długości \(10\) oraz połowa długości cięciwy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa, ale będą w nim dwie niewiadome np. \(10^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=r^2\) i na tym zakończysz zadanie.
3 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa w którym będzie tylko jedna niewiadoma (patrz: Krok 3.) i na tym zakończysz zadanie.
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 34. (5pkt) Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa \(12\) (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(α\) taki, że \(tgα=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\(V=\frac{512\sqrt{5}}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Omówienie sytuacji z treści zadania.
Na początek warto zwrócić uwagę na to, że nasz ostrosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w tym konkretnym przypadku będziemy mieć w podstawie kwadrat.
Spójrzmy teraz na trójkąt \(AOS\). Jest to trójkąt prostokątny na który składa się połowa przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna ostrosłupa. Naszym zadaniem będzie tak naprawdę poznanie długości jednej i drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (poznanie dolnej przyprostokątnej doprowadzi nas do poznania długości krawędzi podstawy, no a wysokość jest sama w sobie niezbędna do obliczenia objętości).
Podaną mamy wartość tangensa kąta \(α\) i długość przeciwprostokątnej, która jest równa \(12\). Cała trudność tego zadania opiera się na tym, że tangens odpowiada przecież za stosunek długości przyprostokątnych (czyli tych boków, które szukamy) i nie jest on w żaden sposób powiązany z przeciwprostokątną. Gdybyśmy mieli podaną wartość np. cosinusa zamiast tangensa, to wtedy błyskawicznie obliczylibyśmy sobie wysokość bryły. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by tangensa zamienić na cosinusa i to będzie nasz kolejny krok.
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Wiemy też z jedynki trygonometrycznej, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W związku z tym możemy przystąpić do zamiany tangensa na cosinusa:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{5}} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}} \\
sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}cosα$$
Podstawiając teraz wyznaczonego sinusa do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{\sqrt{5}}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{5}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{9}{5}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{9} \\
cos^2α=\frac{5}{9} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$
Nad otrzymanymi wynikami musimy się jeszcze pochylić, zastanawiając się nad tym, czy przypadkiem któregoś cosinusa nie trzeba odrzucić. Co prawda nie mamy wprost podane w treści zadania, że \(α\) jest kątem ostrym (gdyby tak było, to ujemne rozwiązanie trzeba odrzucić), ale wiemy że tangens był wartością dodatnią, czyli \(α\) rzeczywiście musi być kątem ostrym. Stąd też ujemnego cosinusa możemy odrzucić i zostaje nam, że \(cosα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Teraz sprawa z obliczeniem wysokości ostrosłupa jest już bardzo prosta, bowiem korzystając z cosinusa możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{H}{12} \\
\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{H}{12} \\
H=\frac{12\sqrt{5}}{3} \\
H=4\sqrt{5}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W trójkącie \(AOS\) nasza dolna przyprostokątna \(AO\) ma długość równą połowie przekątnej podstawy. Wyznaczmy więc najpierw długość tej przyprostokątnej \(AO\), a potem obliczymy długość całej przekątnej \(AC\).
Do obliczenia długości \(AO\) możemy skorzystać albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo znamy już długości dwóch boków tego trójkąta), albo nawet z podanego tangensa (bo znamy już długość jednej przyprostokątnej). Korzystając więc z tangensa otrzymamy:
$$tgα=\frac{|AO|}{H} \\
\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|AO|}{4\sqrt{5}} \\
\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=|AO| \\
|AO|=8$$
Odcinek \(AO\) jest połową przekątnej naszej podstawy, zatem cała przekątna będzie mieć długość:
$$|AC|=2\cdot8 \\
|AC|=16$$
Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie bryły jest kwadrat, bo ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc przekątna kwadratu ma długość \(16\), to:
$$a\sqrt{2}=16 \\
a=\frac{16}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{16\sqrt{2}}{2} \\
a=8\sqrt{2}$$
Krok 6. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie jest kwadrat o boku \(a=8\sqrt{2}\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(8\sqrt{2})^2 \\
P_{p}=64\cdot2 \\
P_{p}=128$$
Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc już, że \(P_{p}=128\) oraz że \(H=4\sqrt{5}\) bez problemu obliczymy objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot128\cdot4\sqrt{5} \\
V=\frac{512\sqrt{5}}{3} \\
V=170\frac{2}{3}\sqrt{5}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek poprawną zależność np. \(\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) (patrz: Krok 2.) lub \(\frac{|AO|}{|SO|}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) lub \(|AO|^2+|SO|^2=12^2\) lub jakąś inną podobną.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie trygonometryczne do postaci w której wystąpi tylko jedna funkcja trygonometryczna (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania z niewiadomymi \(a\) oraz \(H\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.) oraz jedną z dwóch długości: przekątną podstawy (patrz: Krok 4.) lub długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Jestem pod wrażeniem jak dokładnie rozwiązywane są wszystkie te zadania :-)
Ja też!
Nie mogę znaleźć arkusza.
Domyślam się, że chodzi Pani o arkusz w formie PDF :) Myślę, że na dniach powinien być na tej stronie, więc proszę o cierpliwość :)
Tak o arkusz w PDF. Uzbrajam się w cierpliwość. Pozdrawiam
Arkusz PDF już jest na stronie ;)
https://szaloneliczby.pl/arkusz/matura-podstawowa-poprawkowa-matematyka-sierpien-2019.pdf
Bardzo podoba mi się taka organizacja pomocy uczniom w rozwiązywaniu zadań. Skłania do samodzielności poprzez ukrycie odpowiedzi. W razie potrzeby można skorzystać z bardzo dokładnego rozwiązania.
Przygotowywałem się do poprawki z matematyki z szalonymi liczbami. Dzisiaj się dowiedziałem, że zdałem mimo, że cały czas miałem duże problemy z matematyką, ale sposób w jaki jest tutaj wszystko wyjaśnione wszystko pokazuje czarno na białym :). Znajomym, którzy będą przystępować do matury w 2020 roku oczywiście polecę tę stronę. Pozdrawiam
Gratuluję! Cieszę się, że mogłem pomóc i dziękuję Ci za te miłe słowa :) Takie komentarze dają dużo energii do dalszego rozwijania tej strony. Pozdrawiam!
Gdzie moge pobrac arkusz w formie pdf
Można go pobrać w tym miejscu:
https://szaloneliczby.pl/arkusz/matura-podstawowa-poprawkowa-matematyka-sierpien-2019.pdf
Super strona polecam swoim uczniom. Dajecie szansę na sukces – gratuluję formy i treści.
Stronkę prowadzę samodzielnie w ramach hobby, więc tym milej mi słyszeć takie opinie, dziękuję :)
Bardzo pomocne materiały -dziękuję za pomoc
Naprawdę można na tej stronie nauczyć się matematyki!
w 34 można zostawić tg a odcinek |AO| zapisać jako połowa przekątnej kwadratu.
Można :) Aczkolwiek nie wiem czy jest to prostsza metoda, bo nie dość że łatwiej o pomyłkę rachunkową (mamy dość brzydkie liczby), to tych obliczeń finalnie wcale mniej nie jest ;)
W zasadzie zadanie 18 można było rozwiązać rysując sobie w układzie współrzędnych punkty K(0;8) oraz S(40;40) i orientacyjnie punkt L będący przedłużeniem prostej miedzy punktami S i K i w tym momencie jest tylko jedna oczywista odpowiedź. Świetna strona, pozdrawiam
Zgadza się ;) W przypadku tych konkretnych liczb można było rozwiązać to sprytniej ;)
w zadaniu 21 nie powinno być 40 zamiast 30 w obliczeniach przeciwprostokątnej ?
Zgodnie z tym co zapisałem – najpierw obliczamy przekątną podstawy, a w podstawie jest prostokąt o bokach 120 oraz 30, dlatego właśnie do tego pierwszego Twierdzenia Pitagorasa bierzemy 30 ;) Potem ta przekątna jest przyprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego i to z niego dopiero obliczymy przekątną bryły ;)
za kilka dni matura, to ostatnia która mi została do napisania w domu :) dziękuje za uratowanie mi tyłka :p
Gratuluję pomysłu na stronę! Świetne przygotowanie materiału. Szkoda, że nie ma takich opracowań z fizyki i matmy rozsz. Pozdrawiam serdecznie moderatora:) i dziękuje za pomoc!
Mam małe pytanko. Czy w zadaniu 28 po przeniesieniu x na prawą stronę można mnożyć na krzyż? Czy jednak taka możliwość istnieje tylko w równaniach?
PS. Super strona!
Witaj! Mnożenie na krzyż powinniśmy wykonywać tylko przy równaniach, bo przy nierówności powstałby problem co jest po lewej, a co po prawej stronie. Poza tym tutaj mnożenie na krzyż za bardzo nam nie pomoże (nawet gdyby to było równanie) – znacznie bezpiecznie będzie to wykonać tak jak ja zaprezentowałem :)
czy w zadaniu 28 można zastosować deltę?
Można, jak najbardziej ;)