Matura – Matematyka – Czerwiec 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – czerwiec 2023. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2023

Zadanie 1. (1pkt) Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x+5|\lt15\) jest:

Zadanie 2. (1pkt) Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy:

Zadanie 3. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Zadanie 4. (1pkt) Klient wpłacił do banku \(30 000 zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Liczba \(log_{2}\frac{1}{8}+log_{2}4\) jest równa:

Zadanie 6. (1pkt) Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\dfrac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\dfrac{x-2}{x}\) jest równe:

Zadanie 8. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)\lt2x\)

Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(x^3+4x^2-9x-36=0\)

Zadanie 10. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla:

Zadanie 12. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3;-1)\) oraz \(B=(4;3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy:

Zadanie 13. (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Zadanie 13.1. (1pkt) Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
matura z matematyki

A. \(\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle\)
B. \((-3;3)\)
C. \((-3;-1)\cup(1;3)\)
D. \(\langle-5;-1\rangle\cup\langle1;5\rangle\)
E. \((-5;5)\)
F. \((-5;-1)\cup(1;5)\)

Zadanie 13.2. (1pkt) Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt-1\).
$$......................$$

Zadanie 14. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a\lt0\) i \(b\gt0\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.
Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku:

Zadanie 15. (2pkt) Masa \(m\) leku \(L\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą \(m(t)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25t}\), gdzie:
\(m_{0}\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.

Zadanie 15.1. (1pkt) Chory przyjął jednorazowo lek \(L\) w dawce \(200 mg\). Oblicz, ile mg leku \(L\) pozostanie w organizmie chorego po \(12\) godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

Zadanie 15.2. (1pkt) Liczby \(m(2,5)\), \(m(4,5)\), \(m(6,5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Zadanie 16. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa:

Zadanie 17. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a+5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa:

Zadanie 18. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=3,75\) oraz \(a_{2}=-7,5\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(cos\alpha-cos\alpha\cdot sin^2\alpha\) jest równe:

Zadanie 20. (2pkt) Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30°\), \(45°\) oraz \(105°\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:
$$......... \text{ oraz } .........$$

A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c\)
B. \(\frac{1}{4}\cdot a\cdot c\)
C. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c\)
E. \(\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\)
F. \(\frac{1}{4}\cdot b\cdot c\)

Zadanie 21. (1pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa:

Zadanie 22. (1pkt) W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).

P

F

Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).

P

F

Zadanie 23. (1pkt) Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie że \(|\sphericalangle ADB|=20°\) i \(|\sphericalangle DBC|=40°\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).
matura z matematyki

Miara kąta \(DKC\) jest równa:

Zadanie 24. (1pkt) Pole trójkąta równobocznego \(T_{1}\) jest równe \(\dfrac{(1,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_{2}\) jest równe \(\dfrac{(4,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(T_{2}\) jest podobny do trójkąta \(T_{1}\) w skali:

A.
B.
\(3\)
\(9\)
ponieważ
1
2
3
każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
pole trójkąta \(T_{2}\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\).
bok trójkąta \(T_{2}\) jest o \(3\) dłuższy większy od boku trójkąta \(T_{1}\).

Zadanie 25. (1pkt) Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Długość boku \(AB\) jest równa:

Zadanie 26. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).
Wzorem funkcji \(g\) jest:

Zadanie 27. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe:

Zadanie 28. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Punkt \(B\) ma współrzędne:

Zadanie 29. (2pkt) Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku \(6\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\) i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 29.1. (1pkt) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.

Objętość tego ostrosłupa jest równa \(...........\)

Zadanie 29.2. (1pkt) Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy:

Zadanie 30. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

Zadanie 31. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest:

Zadanie 32. (2pkt) Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od \(1\) do \(8\) – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Zadanie 33. (4pkt) Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400m\) oraz \(|CD|=100 m\). Wysokość trapezu jest równa \(75 m\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

Jeśli zdawałeś/aś maturę w starej formule (formuła 2015), to arkusz oraz odpowiedzi do zadań znajdą się tutaj:

12 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Anka

Mam pytanie odnośnie zad. 21. Na jakiej podstawie zakładacie, że odległość punktu A od prostej jest równa odcinkowi AC?

Anka
Reply to  SzaloneLiczby

Na jakiej podstawie prosta zawierająca A i prostopadła do l będzie przechodzić przez C? {Na analogicznym rysunku w karcie wzorów tak nie jest}

Anka
Reply to  SzaloneLiczby

Żartuje pan sobie? Ocenianie zależności na oko na maturze? Wystarczy zajrzeć do karty wzorów maturalnych, żeby zobaczyć, że przy innych długościach podanych odcinków, AC nie jest prostopadły do siecznej.

Anka
Reply to  SzaloneLiczby

Dziękuję. O to pytałam na początku. Nie narysowałam sobie odcinka AB, więc nie widziałam trójkąta prostokątnego.
Może przydałaby się jakaś uwaga na ten temat w wyjaśnieniu do zadania? (bo weryfikowanie za pomocą kartki papieru to nadal ocenianie „na oko”)

Oliwier

Czy w zadaniu 16 poprawną odpowiedzią nie jest odpowiedź B? W Waszym rozwiązaniu, z tego co mi wyszło, nie uwzględniliście tego że n powinno być większe lub równe 5 (po pomnożeniu 1 przez 3 i dodaniu 2). Sprawdziłem również w oficjalnych odpowiedziach CKE i tam jest właśnie odpowiedź B.
Dlatego chciałbym spytać jaka jest poprawna odpowiedź :)

Anka
Reply to  Oliwier

Wiem o co ci chodzi Oliwier, ale popełniasz błąd logiczny. (n-2)/3 to wyrazy ciągu. One nie muszą być ≥ 1. Tylko samo n musi być ≥1. W tym zadaniu nie istnieje wzrunek (n-2)/3≥1.

ola_428

Bardzo przydatna strona! Pozdrawiam :)