Matura – Matematyka – Czerwiec 2023 – Odpowiedzi

A

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x+5\lt15 \quad\land\quad x+5\gt-15 \\
x\lt10 \quad\land\quad x\gt-20$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\in(-20;10)\).

Krok 2. Ustalenie ile liczb całkowitych dodatnich spełnia nierówność.
Musimy jeszcze ustalić, ile liczb całkowitych dodatnich mieści się w wyznaczonym przedziale. Będą to oczywiście liczby od \(1\) do \(9\), więc takich liczb jest łącznie \(9\).

A

Korzystając z działań na pierwiastkach i potęgach, moglibyśmy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}= \\
=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=x^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}=x^{1}=x$$

Udowodniono wyłączając siódemkę przed nawias.

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie dostrzeżenie, że liczbę \(-2\) możemy zastąpić sumą \(-7+5\), która także jest przecież równa \(-2\). Naszą liczbę rozpisalibyśmy więc jako:
$$49k^2+7k-7+5$$

Teraz wyłączając siódemkę przed nawias, otrzymamy:
$$7\cdot(7k^2+k-1)+5$$

Wartość \(7k^2+k-1\) jest na pewno liczbą całkowitą, ponieważ \(k\) jest całkowite.

Otrzymany wynik oznacza, że dzieląc naszą liczbę przez \(7\) otrzymalibyśmy \(7k^2+k-1\) (czyli jakąś liczbę całkowitą, która jest wynikiem tego dzielenia) i właśnie resztę równą \(5\), co należało udowodnić.

D

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=30000\)
\(p=0,07\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,07\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(7\%\), czyli \(0,07\).

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są raz w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{2}=30000\cdot(1+0,07)^{2} \\
K_{2}=30000\cdot(1,07)^{2} \\
K_{2}=30000\cdot1,1449 \\
K_{2}=34347$$

Skoro więc włożyliśmy na lokatę \(30000zł\), a po dwóch latach mamy na koncie \(34347zł\), to odsetki wyniosły:
$$34347zł-30000zł=4347zł$$

A

Obydwa logarytmy mają jednakową podstawę, zatem możemy skorzystać z działań na logarytmach i zapisać, że:
$$log_{2}\frac{1}{8}+log_{2}4=log_{2}\left(\frac{1}{8}\cdot4\right)= \\
=log_{2}\frac{1}{2}=-1$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{2}\frac{1}{2}\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{2}\frac{1}{2}=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=\frac{1}{2}$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$2^x=\frac{1}{2} \\
2^x=2^{-1} \\
x=-1$$

C

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5-(1-2\sqrt{5}+5)= \\
=1+2\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5=4\sqrt{5}$$

D

Powinniśmy dostrzec, że mianownik pierwszego ułamka da się skrócić z licznikiem drugiego ułamka, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x^2+x}{x-2}\cdot\frac{1}{x}= \\
=\frac{x(x+1)}{x-2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x-2}$$

\(x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie \(0\), zatem:
$$x(2x-1)\lt2x \\
2x^2-x-2x\lt0 \\
2x^2-3x\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy \(2x^2-3x=0\). Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(c=0\)), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
$$2x^2-3x=0 \\
x(2x-3)=0$$

Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)$$

\(x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4\)

Chcąc rozwiązać to równanie, skorzystamy z tak zwanej metody grupowania, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3+4x^2-9x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x^2-9)(x+4)=0$$

Aby lewa strona równania była równa \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad x=-4 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4$$

B

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Musimy uwzględnić fakt, że mianownik naszego równania musi być różny od zera, ponieważ w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym:
$$x^2-4\neq0 \\
x\neq2 \quad\lor\quad x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania zadania. Standardowo musimy wymnożyć obydwie strony równania przez wyrażenie z mianownika (po prawej stronie mamy zero, więc cokolwiek pomnożone przez \(0\) da i tak wynik równy \(0\)), zatem:
$$\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4) \\
(x^2-3x)(x+2)=0$$

Aby lewa strona równania była równa \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-3x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x(x-3)=0 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi wcześniej założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik jest równy \(0\). To oznacza, że zostają nam tylko dwa rozwiązania tego równania, czyli \(x=0\) oraz \(x=3\).

A

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, a z własności prostych wiemy, że nie mają one punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są względem siebie równoległe (i gdy oczywiście nie są to proste równoległe, które się na siebie nakładają). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W przypadku funkcji \(f(x)\) współczynnik \(a\) jest opisany wyrażeniem \(2m+3\), natomiast dla funkcji \(g(x)\) współczynnik \(a=-1\) (ponieważ przed iksem mamy jedynie minus). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$2m+3=-1 \\
2m=-4 \\
m=-2$$

D

Znając współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi nasza prosta, możemy wyznaczyć pełne równanie prostej - w tym celu możemy skorzystać albo z bardzo rozbudowanego wzoru z tablic, albo też ze znacznie popularniejszej metody budowy układu równań. Nas jednak interesuje jedynie poznanie współczynnika \(a\), którego wartość możemy poznać wykorzystując następujący wzór:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając znane współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\), otrzymamy:
$$a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)} \\
a=\frac{3+1}{4+3} \\
a=\frac{4}{7}$$

1. F oraz A
2. \(x\in(-5;-3)\)

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Ustalenie dziedziny funkcji.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości dla argumentów od \(-5\) do \(-1\) (kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte) oraz od \(1\) do \(5\) (i tu także kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte. W takim razie dziedziną funkcji \(f\) będzie zbiór \((-5;-1)\cup(1;5)\).

Krok 2. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(-1\) oraz \(1\) do \(3\). I tu uwaga, choć kropki są niezamalowane, to trzeba zwrócić uwagę na to, że te wartości są jak przyjmowane przez funkcję (np. wartość \(y=-3\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-4,5\), czy też wartość \(y=-1\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-2\)). Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest \(\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle\).

Rozwiązanie 2.
Zapis \(f(x)\lt-1\) oznacza, że tak naprawdę musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-1\). Patrząc się na wykres widzimy, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-1\) dla argumentów od \(-5\) do \(-3\), czyli rozwiązaniami tej nierówności będzie \(x\in(-5;-3)\).

D

Jeżeli współczynnik \(a\) jest mniejszy od zera, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu, czyli nasz wybór możemy już ograniczyć do wykresów z odpowiedzi B oraz D.

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że wykresy z odpowiedzi B oraz D mają w innych miejscach swój wierzchołek. Funkcja B przyjmuje swoją największą wartość dla jakiegoś ujemnego argumentu, natomiast funkcja D swoją największą wartość przyjmuje dla dodatniego argumentu. Mówiąc bardziej matematycznie - w na wykresie B mamy sytuację, w której współrzędna wierzchołka \(p\lt0\), natomiast na wykresie D mamy \(p\gt0\).

Wiemy, że współrzędną \(p\) możemy opisać wzorem \(p=\frac{-b}{2a}\). Z treści zadania wynika, że współczynnik \(b\gt0\) (czyli jest dodatni). Skoro więc w liczniku mamy \(-b\), to licznik będzie ujemny. W mianowniku mamy \(2a\) i wiemy, że \(a\) jest ujemne. To oznacza, że mianownik też będzie ujemny. Iloraz dwóch ujemnych liczb daje wynik dodatni, co prowadzi nas do wniosku, że \(p\gt0\). Taką sytuację mamy na wykresie z odpowiedzi D i to ona będzie tą przez nas poszukiwaną.

1 .\(43,2mg\)
2. \(q=\sqrt{0,6}\)

Rozwiązanie 1.
Z treści zadania wynika, że \(m_{0}=200\) oraz \(t=12\). Skoro tak, to podstawiając te dane do podanego wzoru, otrzymamy:
$$m(12)=200\cdot(0,6)^{0,25\cdot12} \\
m(12)=200\cdot(0,6)^3 \\
m(12)=200\cdot0,216 \\
m(12)=43,2$$

To oznacza, że w organizmie zostanie \(43,2mg\) leku.

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Obliczenie wartości \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\).
Do wyznaczenia ilorazu ciągu potrzebujemy znajomości dwóch wyrazów tego ciągu. Obliczmy zatem ile wynosi \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\)
$$m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot2,5} \\
m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}$$

$$m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot4,5} \\
m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając dwa sąsiednie wyrazu ciągu geometrycznego, możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu:
$$q=\frac{m(4,5)}{m(2,5)} \\
q=\frac{m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}}{m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}} \\
q=\frac{(0,6)^{1,125}}{(0,6)^{0,625}} \\
q=(0,6)^{1,125}:(0,6)^{0,625} \\
q=(0,6)^{1,125-0,625} \\
q=(0,6)^{0,5} \\
q=(0,6)^{\frac{1}{2}} \\
q=\sqrt{0,6}$$

B

Idea zadania polega tak naprawdę na tym, by sprawdzić kiedy \(\frac{n-2}{3}\) jest mniejsze od 10, czyli musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$\frac{n-2}{3}\lt10 \\
n-2\lt30 \\
n\lt32$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną, mniejszą od \(32\). To oznacza, że pasują nam wszystkie liczby od \(1\) do \(31\) włącznie, czyli tym samym wyszło nam, że ten ciąg ma \(31\) wyrazów mniejszych od \(10\).

C

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$4=\frac{1+a+5}{2} \\
4=\frac{6+a}{2} \\
8=6+a \\
a=2$$

A

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znamy wartości dwóch sąsiednich wyrazów ciągu, więc bez problemu możemy obliczyć iloraz:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-7,5}{3,75} \\
q=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Do obliczenia sumy potrzebna nam będzie wartość \(a_{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=(-7,5)\cdot(-2) \\
a_{3}=15$$

Krok 3. Obliczenie sumy trzech początkowych wyrazów.
Moglibyśmy oczywiście skorzystać ze specjalnego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, ale skoro znamy wartości wszystkich interesujących nas wyrazów, to wystarczy je po prostu do siebie dodać, zatem:
$$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3} \\
S_{3}=3,75+(-7,5)+15 \\
S_{3}=11,25$$

A

Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie \(cos\alpha\) przed nawias. Otrzymamy dzięki temu następującą sytuację:
$$cos\alpha-cos\alpha\cdot sin^2\alpha=cos\alpha\cdot(1-sin^2\alpha)= \\
=cos\alpha\cdot cos^2\alpha=cos^3\alpha$$

C. oraz F.

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Istotne jest to, że w tym wzorze długości \(a\) oraz \(b\) to ramiona tworzące analizowany kąt \(\alpha\). Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom, to zauważymy, że interesują nas tak naprawdę dwie sytuacje - ramiona \(a\) oraz \(c\) z kątem \(45°\) oraz ramiona \(b\) oraz \(c\) z kątem \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(sin30°=\frac{1}{2}\), a skoro tak, to możemy zapisać dwa następujące wzory:

I wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot sin45° \\
P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$$

II wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot sin30° \\
P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{2} \\
P=\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$$

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
W tym zadaniu musimy skorzystać z twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej. Z tego twierdzenia wynika, że między poszczególnymi bokami na siecznej oraz stycznej zajdzie następująca równość:
$$|DC|\cdot|DB|=|AD|^2$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania do wzoru, otrzymamy:
$$3\cdot7=|AD|^2 \\
21=|AD|^2 \\
|AD|=\sqrt{21} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{21}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma zawsze dodatnią miarę, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{21}\).

Krok 2. Obliczenie długości odległości punktu \(A\) od prostej \(l\).
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) to jednocześnie długość odcinka \(AC\). Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\), moglibyśmy zapisać, że:
$$|AC|^2+3^2=(\sqrt{21})^2 \\
|AC|^2+9=21 \\
|AC|^2=12 \\
|AC|=\sqrt{12} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{12}$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też wynika, że \(|AC|=\sqrt{12}\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest jak najbardziej prawdą i swoją drogą jest to własność, którą dość często wykorzystujemy w zadaniach z podobieństwa. Powiedzmy sobie jeszcze skąd wiemy, że te trójkąty są podobne. Wynika to z własności kątów naprzemianległych oraz wierzchołkowych, a także cechy kąt-kąt-kąt, a wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zdanie jest prawdą. Podane trójkąty mają jednakową podstawę \(CD\) i gdybyśmy na tę podstawę puścili teraz wysokość jednego i drugiego trójkąta, to okaże się, że te wysokości będą jednakowej długości, bo będą to po prostu wysokości trapezu. Całość wyjaśni poniższy rysunek:

B

Krok 1. Wyznaczenie miar kątów \(ACB\) oraz \(DAC\).
Kąt \(ACD\) jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt wpisany \(ADC\). Z własności kątów wpisanych opartych na tym samym łuku wynika, że ich miary będą jednakowe, stąd też \(|\sphericalangle ACD|=20°\).

Analogicznie jest w przypadku kąta \(DAC\), który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt \(DBC\), zatem miary tych kątów także będą jednakowe, czyli \(|\sphericalangle DAC|=20°\)

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AKD\).
Spójrzmy na trójkąt \(AKD\). Znamy już miary dwóch kątów tego trójkąta, czyli \(20°\) oraz \(40°\). W takim razie, skoro suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to kąt \(AKD\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AKD|=180°-20°-40°=120°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DKC\).
Kąt \(DKC\) jest kątem przyległym do kąta \(AKD\), a wiemy, że suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). W takim razie:
$$|\sphericalangle AKD|=180°-120°=60°$$

A., ponieważ 2.

Wzór na pole trójkąta równobocznego to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Z zapisanych w treści zadania pól wynika wprost, że w trójkącie \(T_{1}\) mamy bok \(a=1,5\), natomiast w trójkącie \(T_{2}\) mamy bok \(a=4,5\). Od razu więc widać, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa:
$$k=\frac{4,5}{1,5} \\
k=3$$

Musimy być jednak ostrożni przy zaznaczaniu poprawnej odpowiedzi. Ta skala podobieństwa jest oczywiście równa \(3\), ale nie dlatego, że bok drugiego trójkąta jest o \(3\) większy (jak sugeruje uzasadnienie numer \(3.\)), tylko dlatego, że ten bok jest \(3\) razy większy. Bardzo łatwo wpaść w pułapkę, ponieważ dość przypadkowo mamy zbieżność wyników, gdyż \(1,5+3=4,5\) oraz \(1,5\cdot3=4,5\).

Z własności trójkątów podobnych wiemy, że jeśli jakiś trójkąt jest podobny w skali \(k\), to jego pole powierzchni będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku stosunek pól \(T_{2}\) do \(T_{1}\) jest właśnie równy \(9\) (czyli \(3^2\)), co dobrze widać w poniższych obliczeniach:
$$\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{\frac{(4,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}}{\frac{(1,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}} \\
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{(4,5)^2}{(1,5)^2} \\
\frac{T_{2}}{T_{1}}=3^2=9$$

To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(3\), ponieważ pole trójkąta \(T_{2}\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\).

A

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin135°\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku "z sinusem", czyli:
$$P=a\cdot b\cdot\sin\alpha$$

Widzimy więc, że za chwilę będziemy musieli podać wartość \(sin135°\), a tej nie znajdziemy w tablicach trygonometrycznych. Chcąc się dowiedzieć ile jest równy \(sin135°\), musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych, np.:
$$sin(90°+\alpha)=cos\alpha$$

Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$sin135°=sin(90°+45°)=cos45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), co prowadzi nas do wniosku, że \(sin135°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Teraz możemy już skorzystać z zapisanego wcześniej wzoru na pole równoległoboku. Długość boku \(AB\) (którą oznaczymy sobie jako \(a\)) jest jedyną niewiadomą w naszym zapisie, zatem:
$$40\sqrt{6}=a\cdot10\cdot\sin135° \\
4\sqrt{6}=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
8\sqrt{6}=a\cdot\sqrt{2} \\
a=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
a=8\sqrt{3}$$

D

Aby wykresy dwóch funkcji liniowych były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Widzimy, że w funkcji \(f(x)\) współczynnik \(a=-1\) (ponieważ przed iksem stoi jedynie minus). To oznacza, że współczynnik \(a\) funkcji \(g(x)\) musi być równy \(1\), ponieważ \(1\cdot(-1)=-1\). To prowadzi nas do wniosku, że funkcja \(g(x)\) musi wyrażać się wzorem \(g(x)=x+b\).

Nie znamy jeszcze wartości współczynnika \(b\). Wiemy jednak, że wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\), który to punkt znajduje się na osi \(Oy\). Z własności współczynnika \(b\) funkcji liniowej wynika, że skoro wykres przecina oś \(Oy\) dla \(y=-1\), to tym samym \(b=-1\).

W takim razie wyszło nam, że funkcję \(g\) możemy opisać wzorem \(g(x)=x+(-1)\), czyli \(g(x)=x-1\).

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-3-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{4^2+(-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{16+64} \\
|AB|=\sqrt{80}$$

W otrzymanym wyniku możemy się jeszcze pokusić o wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, rozpisując całość jako:
$$\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5}$$

Nie mniej jednak, jak się za chwilę okaże, postać \(\sqrt{80}\) będzie wygodniejsza do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności przekątnych kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro nasza przekątna ma długość \(\sqrt{80}\), to możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=\sqrt{80} \\
a=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
Pole kwadratu o boku \(a=\sqrt{40}\), jest równe:
$$P=a^2 \\
P=(\sqrt{40})^2 \\
P=40$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zadanie można oprzeć na obliczaniu środków odcinków. Punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(AS\) (znamy współrzędne \(A\) oraz \(P\), więc tak właśnie wyliczymy \(S\)), a jak już poznamy współrzędne punktu \(S\), to ponownie skorzystamy ze wzoru na środek odcinka i obliczymy współrzędne punktu \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Spójrzmy najpierw na odcinek \(AS\), którego środkiem będzie punkt \(P\). W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, czyli:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{S}}{2};\frac{y_{A}+y_{S}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne \(P\) środka odcinka oraz znamy też współrzędne punktu \(A\), więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(S\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędne \(x_{S}\) oraz \(y_{S}\), zatem:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{S}}{2} \\
3=\frac{1+x_{S}}{2} \\
6=1+x_{S} \\
x_{S}=5$$

$$y_{P}=\frac{y_{A}+y_{S}}{2} \\
1=\frac{7+y_{S}}{2} \\
2=7+y_{S} \\
y_{S}=-5$$

To oznacza, że \(S=(5;-5)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Teraz spoglądamy na odcinek \(AB\), którego środkiem jest nasz wyznaczony przed chwilą punkt \(S\). Analogicznie więc do poprzedniego kroku, korzystamy ze wzoru na środek odcinka i wyznaczamy w ten sposób współrzędne punktu \(B\):
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{1+x_{B}}{2} \\
10=1+x_{B} \\
x_{B}=9$$

$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-5=\frac{7+y_{B}}{2} \\
-10=7+y_{B} \\
y_{B}=-17$$

To oznacza, że \(B=(9;-17)\).

1. \(V=144\)
2. A.

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to ostrosłup, którego jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny, czyli ta bryła musi wyglądać w następujący sposób:


To prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - krawędź boczna o długości \(12\) jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa.

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Ustaliliśmy już, że w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=6\), natomiast wysokość tego ostrosłupa to \(H=12\). W takim razie:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot 12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot12 \\
V=12\cdot12 \\
V=144$$

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek musimy ustalić, która to krawędź będzie tą najdłuższą i gdzie jest kąt nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny. Wszystko wyjaśnia poniższy rysunek:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Do obliczenia tangensa potrzebujemy długości dolnej przyprostokątnej zaznaczonego na rysunku trójkąta prostokątnego i widzimy, że jest to jednocześnie przekątna kwadratu o boku \(6\), który znajduje się w podstawie. Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem nasza przekątna ma długość \(d=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie tangensa nachylenia krawędzi do płaszczyzny.
Tangens odpowiada stosunkowi obydwu przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, zatem zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{H}{d} \\
tg\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}} \\
tg\alpha=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
tg\alpha=\frac{12\sqrt{2}}{6\cdot2} \\
tg\alpha=\frac{12\sqrt{2}}{12} \\
tg\alpha=\sqrt{2}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AD\).
Zaznaczona na rysunku przekątna \(AD\) jest tak zwaną dłuższą przekątną sześciokąta. Długość takich przekątnych jest dwa razy większa niż boku sześciokąta, co dobrze widać na poniższym szkicu:


To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=2\cdot5 \\
|AD|=10$$

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(ADD'\). Jest to trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów ostrych jest kąt o mierze \(45°\). W takim razie jest to klasyczny trójkąt prostokątny równoramienny o kątach \(45°, 45°, 90°\). Przyprostokątne w takich trójkątach mają jednakową miarę, stąd też możemy zapisać, że \(|DD'|=10\).

Krok 3. Obliczenie pola ściany bocznej.
Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach \(5\times10\), stąd też jej pole powierzchni będzie równe:
$$P=5\cdot10 \\
P=50$$

D

Aby suma cyfr była równa \(3\), to nasza liczba musi się składać albo z trzech jedynek, albo z dwójki, jedynki i zera, albo też z trójki i dwóch zer. Takimi liczbami będą zatem:
$$111, 102, 120 \\
201, 210 \\
300$$

Łącznie jest to \(6\) liczb.

\(P(A)=\frac{1}{7}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwie liczby spośród ośmiu, ale losowanie odbywa się bez zwracania. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy spośród ośmiu liczb, ale już w drugim tylko spośród siedmiu. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczb, których suma jest dzielnikiem liczby \(8\). Dzielnikami tej liczby są \(1, 2, 4\) oraz \(8\). Sumy równej \(1\) oraz \(2\) nie uda nam się uzyskać w żaden sposób. Sumę równą \(4\) otrzymamy losując pary:
$$(1;3), (3;1)$$

Wariantu \((2;2)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. Sumę równą \(8\) otrzymamy losując pary:
$$(1;7), (2;6), (3;5), \\
(5;3), (6;2), (7;1)$$

Wariantu \((4;4)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=2+6=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Wymiary to \(200\times50\), natomiast pole to \(P=10000\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\) to powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).
Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75 \\
P_{ABCD}=250\cdot75 \\
P_{ABCD}=18750$$

Krok 3. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki zapisanej pod zadaniem, czyli z podpowiedzi, że powinniśmy skorzystać ze wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(a=400\) oraz \(b=x\), natomiast wysokość to \(h=y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y \\
P_{ABFE}=(200+\frac{1}{2}x)\cdot y \\
P_{ABFE}=200y+\frac{1}{2}xy$$

Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(a=x\) oraz \(y=100\), natomiast wysokość to \(h=75-y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=(\frac{1}{2}x+50)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$

Wiemy też, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(18750\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\), powstanie nam takie oto równanie:
$$18750=\left(200y+\frac{1}{2}xy\right)+\left(\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y\right) \\
18750=200y+\frac{75}{2}x+3750-50y \\
15000=150y+\frac{75}{2}x \\
150y=15000-\frac{75}{2}x \quad\bigg/\cdot\frac{1}{150} \\
y=100-\frac{75}{300}x \\
y=-\frac{1}{4}x+100$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right) \\
P=-\frac{1}{4}x^2+100x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{4}x^2+100x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{1}{4}x^2+100x\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}} \\
x_{W}=200$$

Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=200\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-\frac{1}{4}x+100\), otrzymamy:
$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100 \\
y=-50+100 \\
y=50$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=200\cdot50 \\
P=10000$$