Matura – Matematyka – Maj 2016 – Odpowiedzi

A

Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako:
$$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$

D

Ten logarytm jest najprościej obliczyć zamieniając wartość \(2\sqrt{2}\) na iloczyn trzech pierwiastków \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\). Wtedy:
$$\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})}^3=3$$

A

Z treści zadania wiemy, że:
$$b=0,48a \\
b=0,32c$$

To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\)
$$0,48a=0,32c \\
c=\frac{0,48}{0,32}a \\
c=1,5a$$

A

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo:
$$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\
8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\
17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\
L=P$$

Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy:
$$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\
(2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\
a=3$$

C

Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy:
A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\)
B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\)
C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\)
D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\)

Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).

C

Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań:
\begin{cases}
2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\
5x-6y=7
\end{cases}\begin{cases}
-4x+6y=-8 \\
5x-6y=7
\end{cases}

Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\).

Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$2\cdot(-1)-3y=4 \\
-2-3y=4 \\
-3y=6 \\
y=-2$$

To oznacza, że \(P=(-1;-2)\).

D

Zanim zaczniemy obliczać miarę kąta, to zwróć uwagę na sam rysunek i na odpowiedzi. Już po samym spojrzeniu na rysunek widzimy wyraźnie, że nasz poszukiwany kąt ma miarę bardzo zbliżoną do kąta \(27°\), który znajduje się tuż obok. Jeśli więc nie umiemy matematycznie rozwiązać tego zadania, to z samej analizy rysunku i odpowiedzi możemy wywnioskować, że \(|\sphericalangle BDC|=32°\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADC\) jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych wiemy, że w takiej sytuacji kąt \(ADC\) ma miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego, czyli \(\sphericalangle ADC=118°:2=59°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BDC\).
Poszukiwana przez nas miara kąta \(BDC\) jest różnicą między kątem \(ADC\) oraz \(ADB\), zatem:
$$|\sphericalangle ADC|=|\sphericalangle ADC|-|\sphericalangle ADC|=59°-27°=32°$$

D

Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). To oznacza, że miejsce zerowe możemy obliczyć przyrównując \(\frac{3}{4}x+6\) do zera.
$$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
x+8=0 \\
x=-8$$

A

Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami:
$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\
3x-1=3\cdot(x+5) \\
3x-1=3x+15 \\
-1=15$$

Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

D

Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że wartości funkcji dążą do \(-\infty\). Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty;9\rangle\).

B

Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).

B

Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem:
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1} \\
f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1} \\
f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1} \\
f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10} \\
f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$

A

Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa. Relacje między poszczególnymi odcinkami i kątami możemy zapisać jako:
$$sin31°=\frac{|KS|}{|AS|} \\
0,52\approx\frac{|KS|}{10} \\
|KS|\approx5,2$$

Jedynym przedziałem, w którym mieści się nasz wynik jest ten z pierwszej odpowiedzi, którego dolną granicą jest \(\frac{9}{2}=4,5\), a górną \(\frac{11}{2}=5,5\).

A

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość czternastego wyrazu oraz różnicę ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{14}=a_{1}+(14-1)r \\
8=a_{1}+13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\
8=a_{1}-\frac{39}{2} \\
a_{1}=\frac{55}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości siódmego wyrazu.
Korzystając z tego samego wzoru co przed chwilą obliczymy wartość siódmego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{7}=a_{1}+(7-1)r \\
a_{7}=\frac{55}{2}+6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\
a_{7}=\frac{55}{2}-\frac{18}{2} \\
a_{7}=\frac{37}{2}$$

D

Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
(2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\
4x^2+12x+9=4x^2+3x \\
9x+9=0 \\
9x=-9 \\
x=-1$$

Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).

B

Aby zrozumieć istotę zadania musimy sobie powiedzieć skąd wiemy, że te dwa trójkąty są podobne. Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-48°=62° \\
\text{oraz} \\
|\sphericalangle PQR|=180°-70°-62°=48°$$

Skoro trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne, to znaczy że stosunki długości poszczególnych boków (leżących przy tych samych kątach) będą jednakowe. Zatem:
$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|PQ|}{|QR|} \\
\frac{x}{9}=\frac{17}{18}$$

Takie równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$18x=17\cdot9 \\
18x=153 \\
x=8,5$$

C

Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:
$$tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$3sinα=2cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:
$$3sinα=2cosα \\
cosα=\frac{3}{2}sinα$$

Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{2}sinα\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{4}sin^2α=1 \\
\frac{13}{4}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\
sin^2α=\frac{4}{13} \\
sinα=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

(Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2α=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).

D

I sposób - metoda podstawiania kolejnych odpowiedzi.
Zadanie jest dość podchwytliwe. Jeśli będziemy sobie podstawiać pod \(a\) kolejne odpowiedzi, to dość przypadkowo możemy wybrać złą odpowiedź jaką jest \(a=6\). Spójrzmy co się stanie jak podstawimy \(a=6\).
I bok: \(5\)
II bok: \(2\cdot6+1=13\)
III bok: \(6-1=5\)
Otrzymaliśmy dwa boki równej długości, co sugerować by mogło, że jest to prawidłowa odpowiedź. Niestety nie jest, bo z boków długości \(5\), \(5\), \(13\) nie da się w ogóle zbudować trójkąta. Aby trójkąt mógł powstać, to suma długości dwóch krótszych boków muszą być większa niż długość najdłuższego boku. W tym przypadku tak nie jest, bo \(10\lt13\).

Jedynie podstawiając \(a=2\) otrzymamy prawidłowy komplet boków:
I bok: \(5\)
II bok: \(2\cdot2+1=5\)
III bok: \(2-1=1\)

Suma długości najkrótszych boków to \(1+5=6\), a skoro \(6\gt5\) to taki trójkąt istnieje.

II sposób - metoda tworzenia równań.
Jak do tego zadania podejść w sposób bardziej matematyczny, albo jak to obliczyć gdyby takie zadanie pojawiło się jako otwarte? Skoro jest to trójkąt równoramienny to znaczy że ma dwa ramiona równej długości. Moglibyśmy więc między wyrażeniami opisującymi długości tych ramion postawić znak równości i tym samym obliczyć wartość \(a\). Problem w tym, że nie wiemy które te długości miałyby być sobie równe, więc musimy rozpatrzyć aż trzy możliwości.

Pierwsza możliwość: \(5=2a+1 \Rightarrow a=2\)
Druga możliwość: \(5=a-1 \Rightarrow a=6\)
Trzecia możliwość: \(2a+1=a-1 \Rightarrow a=-2\)

Teraz musielibyśmy podstawiać wyznaczone wartości \(a\) tak jak robiliśmy to sobie w pierwszym kroku i tak samo musielibyśmy przeanalizować czy otrzymane długości tworzą w ogóle jakikolwiek trójkąt. My już wiemy, że jedynym pasującym wariantem jest \(a=2\).

B

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\).
Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\
4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\
16+|PO_{1}|^2=49 \\
|PO_{1}|^2=33 \\
|PO_{1}|=\sqrt{33}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\
P=2\sqrt{33}$$

C

Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem:
$$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\
2m=-m+1 \\
3m=1 \\
m=\frac{1}{3}$$

B

Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka:
$$M=(x_{M};y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)).

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(a\).
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
3=\frac{a+7}{2} \\
6=a+7 \\
a=-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(b\).
$$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
4=\frac{6+b}{2} \\
8=6+b \\
b=2$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy rzucać monetą trzykrotnie. W pierwszym rzucie może nam wypaść jedna z dwóch możliwości - orzeł lub reszka. W drugim rzucie ponownie mamy dwie możliwości, w trzecim to samo. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Szukamy przypadków, kiedy wypadną nam dokładnie dwa orły (czyli nie mogą to być trzy orły). Zatem pasującymi zdarzeniami są:
$$OOR, ORO, ROO$$
Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$

To oznacza, że pasującym przedziałem jest ten zapisany w trzeciej odpowiedzi.

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego:



Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia stożka.
Zgodnie z zasadami trygonometrii:
$$\frac{r}{4}=cos30° \\
\frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
r=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości stożka.
Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa:
$$\frac{h}{4}=sin30° \\
\frac{h}{4}=\frac{1}{2} \\
h=2$$

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.
Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2h \\
V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot24 \\
V=8π$$

B

Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\).

Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie - odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak:



Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(α\) ma więc \(45°\).

C

Krok 1. Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\).
Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość:
$$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2} \\
\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
128+x=3x \\
2x=128 \\
x=64$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie:
$$16,25,27,29,31,64$$

Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\).

Krok 1. Obliczenie średniego rocznego przyrostu.
Średni przyrost obliczymy dokładnie tak jak zwykłą średnią arytmetyczną. Pamiętaj o tym, by na końcu zaokrąglić wynik do \(1cm\).
$$\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3}\approx8[cm]$$

Krok 2. Obliczenie błędu względnego otrzymanego przybliżenia.
Błąd względny naszego przybliżenia z pierwszego kroku obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$

\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość, czyli \(x=8\frac{1}{3}\)
\(x_{0}\) - przybliżona wartość, czyli \(x_{0}=8\)

Musimy ten błąd wyrazić w procentach, dlatego pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\). Podstawiając odpowiednie dane otrzymamy:
$$δ=\frac{|8\frac{1}{3}-8|}{8\frac{1}{3}}\cdot100\% \\
δ=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}\cdot100\% \\
δ=\frac{1}{25}\cdot100\% \\
δ=4\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średni roczny przyrost sosny (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz średni roczny przyrost, ale konsekwentnie do tego błędu obliczysz błąd względny (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(0;2)\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę i uproszczenie nierówności.
Aby móc rozwiązać nierówność kwadratową za pomocą np. metodą delty musimy doprowadzić ją do ogólnej postaci typu \(ax^2+bx+c\), gdzie po prawej stronie takiej nierówności znajdzie się liczba \(0\). Krótko mówiąc - musimy przenieść wartość z prawej strony nierówności na lewą. Bardzo często o tym zapominamy, bo zazwyczaj na maturze nierówności są zapisane już w pożądanej postaci. Zatem:
$$2x^2-4x\gt3x^2-6x \\
2x^2-4x-3x^2+6x\gt0 \\
-x^2+2x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Miejsca zerowe naszej nierówności możemy obliczyć za pomocą metody delty. Trzeba tylko pamiętać, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\). Jednak ta nierówność jest na tyle prosta, że przy wyznaczaniu miejsc zerowych możemy posłużyć się postacią iloczynową, wtedy:
$$-x^2+2x=0 \\
x(x-2)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Po naniesieniu miejsc zerowych wyliczonych w drugim kroku otrzymamy:



Kropki przy \(x=0\) oraz \(x=2\) muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Teraz musimy odczytać z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli kiedy wykres jest nad osią). Widzimy wyraźnie, że wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla \(x\in(0;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0 \\
x=4$$

Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Rozpatrzmy najpierw trójkąty \(ABC\) oraz \(FBG\). Oba są prostokątne i mają wspólny kąt \(\sphericalangle GBF\). Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako \(α\) (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt \(α\)) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że \(|\sphericalangle GFB|=|\sphericalangle ACB|=β\). Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:



To teraz spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie \(FBG\), a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także \(|\sphericalangle CDE|=β\). To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz przynajmniej jedną parę równych sobie kątów ostrych.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że na rysunku są tak naprawdę aż trzy trójkąty podobne: \(ABC\), \(GBF\) oraz \(DEC\), ale nie udowodnisz tego korzystając z jakiejkolwiek cechy podobieństwa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu zapiszemy jako:
$$S=a_{1}+a_{2} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \\
S=4n^2+8n+4$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$

\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: \(S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(A=10^{2,2}cm\). Amplituda jest większa niż \(100cm\).

Krok 1. Zapisanie wzoru na amplitudę z pominięciem logarytmu.
Największą trudnością w tym zadaniu jest chyba pozbycie się z zapisu tego logarytmu. Musisz pamiętać, że skoro logarytm nie ma zapisanej podstawy to znaczy że jest ona równa \(10\) (czyli jest to tak naprawdę \(\log_{10}\)). Rozwiązaniem naszego logarytmu jest liczba \(R\) (czyli stopień w skali Richtera), a to oznacza, że zgodnie z definicją logarytmu:
$$log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b \\
\text{zatem:} \\
log_{10}\frac{A}{A_{0}}=R \Longleftrightarrow 10^R=\frac{A}{A_{0}}$$

Krok 2. Obliczenie amplitudy trzęsienia ziemi.
Wystarczy już tylko podstawić dane z treści zadania do naszego wzoru i tym samym wyliczyć pożądaną wartość amplitudy, wykonując poprawnie działania na potęgach:
$$10^R=\frac{A}{A_{0}} \\
10^R\cdot A_{0}=A \\
10^{6,2}\cdot10^{-4}=A \\
A=10^{6,2+(-4)} \\
A=10^{2,2}[cm]$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz oszacować, czy otrzymana amplituda jest większa, czy mniejsza niż \(100cm\). Skoro \(100=10^2\), a my w naszych obliczeniach otrzymaliśmy \(10^{2,2}\), to z całą pewnością amplituda jest większa niż \(100cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz że \(A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\) (patrz: Krok 2.) lub analogicznie \(10^{6,2}=\frac{A}{10^{-4}}\).
ALBO
• Gdy korzystając z własności logarytmów zapiszesz, że \(6,2=log A-log10^{-4}\) lub \(6,2=log A+log10^{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(26°, 76°, 78°\)

Jeśli przyjmiemy, że najmniejszy kąt ma miarę równą \(α\), to wtedy dwa kolejne kąty opiszemy jako \(3α\) oraz \(α+50°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy:
$$α+3α+α+50°=180° \\
5α=130° \\
α=26°$$

Kąty w tym trójkącie mają więc miarę: \(26°\), \(3\cdot26=78°\) oraz \(26+50=76°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz miary trzech kątów z użyciem jednej niewiadomej np. \(α,\;3α,\;α+50°\) lub nawet \(α-50°,\;a,\;3\cdot(α-50°)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(α+3α+α+50°=180°\).
3 pkt
• Gdy obliczysz jedną z trzech miar kątów tego trójkąta.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{b}=9\sqrt{30}\) oraz \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą \(a\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H\). Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.

a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd \(H=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa \(27\).

Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
27=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
27=\frac{a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24} \\
27=\frac{3a^3}{24} \\
27=\frac{a^3}{8} \\
a^3=27\cdot8 \\
a^3=216 \\
a=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
H=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka \(|DS|\).
Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej - i to właśnie ją teraz sobie policzymy.

Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym \(DOS\). Odcinek \(DO\) zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta, czyli:
$$|DO|=\frac{1}{3}h \\
|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} \\
|DO|=\sqrt{3}$$

Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$|DO|^2+|OS|^2=|DS|^2 \\
(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=|DS|^2 \\
3+9\cdot3=|DS|^2 \\
|DS|^2=30 \\
|DS|=\sqrt{30}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|DS|\cdot3 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}\cdot3 \\
P_{b}=9\sqrt{30}$$

Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta \(SDB\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt \(SDB\):
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{|DO|}{|DS|} \\
cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$$

Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{90}}{30}= \\
=\frac{\sqrt{9\cdot10}}{30}=\frac{3\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=27\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot H=27\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=6\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=3\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość ściany bocznej ostrosłupa \(|DS|=\sqrt{30}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa \(|SB|=\sqrt{39}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(P_{b}=9\sqrt{30}\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{801}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16), \\
(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$

Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
Uwaga: Dopuszczalne jest wypisanie także pięciu zdarzeń elementarnych (np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana wtedy jako jedno zdarzenie sprzyjające).
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.).
Uwaga: Dopuszczalna jest odpowiedź \(|Ω|=4005\), ale wtedy para liczb np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana jako jedno zdarzenie sprzyjające i wtedy dalszą konsekwencją jest to, że \(|A|=5\).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=10\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=4005\) oraz zapiszesz, że \(|A|=5\).
ALBO
• Gdy w wyniku pomyłki napiszesz, że jest \(89\) liczb dwucyfrowych i konsekwentnie do tego błędu obliczysz całe zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.