Matura – Matematyka – Maj 2016 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – maj 2016. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2016

Zadanie 1. (1pkt) Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że:

Zadanie 4. (1pkt) Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:

Zadanie 5. (1pkt) Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt-2\), jest:

Zadanie 6. (1pkt) Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

Zadanie 7. (1pkt) Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Miara kąta \(BDC\) jest równa:

Zadanie 8. (1pkt) Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

Zadanie 9. (1pkt) Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\neq-5\):

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

matura z matematyki

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

Zadanie 11. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

matura z matematyki

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,2\rangle\) jest równa:

Zadanie 12. (1pkt) Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:

Zadanie 13. (1pkt) W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31°\) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość \(10\). Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału:

matura z matematyki

Zadanie 14. (1pkt) Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(-\frac{3}{2}\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 15. (1pkt) Ciąg \((x,\;2x+3,\;4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 16. (1pkt) Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość:

matura z matematyki

Zadanie 17. (1pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{2}{3}\). Wtedy:

Zadanie 18. (1pkt) Z odcinków o długościach: \(5,\;2a+1,\;a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:

Zadanie 19. (1pkt) Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:

Zadanie 21. (1pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:

Zadanie 22. (1pkt) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy:

Zadanie 23. (1pkt) Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa:

Zadanie 24. (1pkt) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

matura z matematyki

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(α\) o mierze:

Zadanie 25. (1pkt) Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\) jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa:

Zadanie 26. (2pkt) W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{Kolejne lata} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} & \text{6} \\
\hline
\text{Przyrost [w cm]} & \text{10} & \text{10} & \text{7} & \text{8} & \text{8} & \text{7}
\end{array}
$$

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1cm\). Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt3x^2-6x\).

Zadanie 28. (2pkt) Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Zadanie 29. (2pkt) Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

matura z matematyki

Zadanie 30. (2pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 31. (2pkt) Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=log\frac{A}{A_{0}}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_{0}=10^{-4}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6,2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od \(100cm\).

Zadanie 32. (4pkt) Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Zadanie 33. (5pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zadanie 34. (4pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz