Matura – Matematyka – Przykładowy arkusz CKE 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się odpowiedzi do przykładowego arkuszu przygotowanego przez CKE, który jest materiałem edukacyjnym dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki na poziomie podstawowym (tzw. Formuła 2023). Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury.

Przykładowy arkusz CKE 2023

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \(6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia \(log_{7}98-log_{7}2\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra \(2\), jest:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wartość wyrażenia \((3+4a)^2-(3-4a)^2\) jest równa:

Zadanie 5. (2pkt) Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ:

A. \(\begin{cases}

(\alpha+\beta)+\beta=90° \\

\alpha+\beta=2\alpha-\beta

\end{cases}\)



B. \(\begin{cases}

(\alpha+\beta)+\beta=180° \\

\alpha+\beta=2\alpha-\beta

\end{cases}\)



C. \(\begin{cases}

(\alpha+\beta)+\beta=180° \\

\beta=2\alpha-\beta

\end{cases}\)



D. \(\begin{cases}

\alpha+\beta=90° \\

\beta=2\alpha-\beta

\end{cases}\)



E. \(\begin{cases}

\alpha+\beta=2\alpha-\beta \\

180°-(2\alpha-\beta)=\beta

\end{cases}\)



F. \(\begin{cases}

3\alpha+2\beta=360° \\

2\alpha-\beta=2\beta

\end{cases}\)

Zadanie 6. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba \((-2)\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba \(k\) jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:

Zadanie 8. (1pkt) Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

$$|x+1|\le2$$

Zadanie 9. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).

Zadanie 10. (5pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-2)\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku:



A. matura z matematyki

B. matura z matematyki

C. matura z matematyki

D. matura z matematyki



Zadanie 2.

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\le0\).

$$.....................$$



Zadanie 3.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Zadanie 11. (1pkt) Dana jest funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=ax+b\) gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji \(f\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.

matura z matematyki



Współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

Zadanie 12. (1pkt) Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Ponadto przy cenie równej \(5\) jednostek liczba kupujących jest równa \(12\) jednostek.



Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór:

Zadanie 13. (4pkt) Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:

$$m(t)=m_{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

gdzie:

\(m_{0}\) – masa przyjętej dawki leku

\(T\) – czas półtrwania leku

\(t\) – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.



W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie. Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_{0}=100 mg\) leku \(L\). Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy \(T=4\) doby.



Zadanie 1.

Wykres zależności masy \(M\) leku \(L\) w organizmie tego pacjenta od czasu \(t\), liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku:

A. matura z matematyki

B. matura z matematyki

C. matura z matematyki

D. matura z matematyki



Zadanie 2.

Oblicz masę leku \(L\) w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(0,1 mg\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 14. (1pkt) Klient wpłacił do banku \(20 000 zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(3\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po \(2\) latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\).
\((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).

Zadanie 16. (1pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|BC|=5\), \(|AC|=10\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).
Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny.

Zadanie 17. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg o środku \(S=(2,-5)\) i promieniu \(r=3\). Równanie tego okręgu ma postać:

Zadanie 18. (1pkt) Odcinki \(AD\) i \(BC\) przecinają się w punkcie \(O\). W trójkątach \(ABO\) i \(ODC\) zachodzą związki: \(|AO|=5\), \(|BO|=3\), \(|OC|=10\), \(|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OCD|\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz długość boku \(OD\) trójkąta \(ODC\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 19. (2pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-3x+1\).



Zadanie 1.

Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:

A. \(y=3x+2\)

B. \(y=-3x+2\)

C. \(y=\frac{1}{3}x+1\)

D. \(y=-\frac{1}{3}x+1\)



Zadanie 2.

Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:

E. \(y=\frac{1}{3}x+2\)

F. \(y=-\frac{1}{3}x+2\)

G. \(y=3x+1\)

H. \(y=-3x+1\)

Zadanie 20. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu. Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa:

Zadanie 21. (1pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r=8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\).

matura z matematyki



Miara kąta \(BAC\) jest równa:

Zadanie 22. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(4tg\alpha=3sin^2\alpha+3cos^2\alpha\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy:

Zadanie 23. (1pkt) Dane są dwa trójkąty podobne \(ABC\) i \(KLM\) o polach równych – odpowiednio – \(P\) oraz \(2P\). Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\).



Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Obwód trójkąta \(KLM\) jest równy:



A. \(\sqrt{2}\cdot x\),

B. \(2x\),



ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy



1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.

2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.

3. stosunkowi pól tych trójkątów.

Zadanie 24. (1pkt) Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – \(A\) i \(B\). Te proste przecinają się w punkcie \(S\) i tworzą kąt o mierze \(76°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Miara kąta \(OBA\) jest równa:

Zadanie 25. (1pkt) Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt \(ABCD\), w którym bok \(BC\) odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna AC tego prostokąta ma długość \(16\) i tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa:

Zadanie 26. (1pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\) o podstawie \(ABC\). Punkty \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych \(AS\), \(BS\) i \(CS\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Stosunek objętości ostrosłupa \(DEFS\) do objętości ostrosłupa \(ABCS\) jest równy:

Zadanie 27. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok). Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy ścianą boczną \(ACFD\) i przekątną \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tego graniastosłupa?

matura z matematyki

Zadanie 28. (3pkt) W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1000\) do \(9999\). Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej \(3\), jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zadanie 29. (4pkt) Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30°\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zadanie 30. (2pkt) W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.



Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa \(2,25\) godziny. P/F

Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż \(2,5\) godziny. P/F



Zadanie 2.

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa:

A. \(2,25\) godziny

B. \(2,50\) godziny

C. \(2,75\) godziny

D. \(1,50\) godziny

Arkusz w formie PDF znajdziesz tutaj:

8 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Ewa

Bardzo dziękuje za te wspaniałe materiały . Mam prośbę. Proszę o wytłumaczenie dlaczego w zad . 29, obliczamy p wierzchołka paraboli , i dlaczego p=długość boku a.

Paweł

Witam, mam pytanie odnośnie zadania 14 a brzmi ono następująco: Za to zadanie jest dokładnie jeden punkt, czy jeżeli zrobiłbym je swoim sposobem nie używając wzoru w taki sposób, że przyjąłbym że 100% to 20000 a 1% z tego to 200, w wyniku tego otrzymałbym że 3% to 600 dodał to i wyszło by mi 20600 i znowu tym samym sposobem, przyjąłbym że 3% to 618 dodał i ostatecznie by mi wyszło 21218, po czym podstawiłbym tej wynik do jednej z odpowiedzi to czy było ono by w jakiś sposób punktowane, czy należy je zrobić tylko za pomocą wzoru?

Adam

Witam. Doceniam ogrom pracy włożony w prowadzenie Szalonych liczb. Robicie wspaniałą robotę.
Wiadomo, że przy tak wielu rozwiązywanych zadań mogą się zdarzyć usterki.
W zadaniu 14 :
Dlaczego p = 0,02 winno być oczywiście p=0,03
Dlaczego n=12 winno być n=2,
co z resztą wynika z dalszego Waszego rozwiązania. Typowa pomyłka „klawiaturowa”.
Życzę zapału do dalszej pracy i jeszcze raz dziękuję za to co robicie. Pozdrawiam.

Adam
Reply to  SzaloneLiczby

Bardzo doceniam Pana pracę, chciałbym się zapytać jakie są jeszcze inne dostępne arkusze z nowejterazmatury, ponieważ jestem w klasie maturalnej, a ciężko mi znaleźć inne arkusze z zakresem materiału który mnie obowiązuje i ma tak dobrze wyjaśnione odpowiedzi. Pozdrawiam.