Matura – Matematyka – Przykładowy arkusz CKE 2023 – Odpowiedzi

B

Nasze wyrażenie jest tak naprawdę sześciokrotnym dodaniem tej samej wartości, czyli \(6^{100}\). Korzystając z działań na potęgach, całość możemy zapisać jako:
$$6\cdot6^{100}=6^1\cdot6^{100}=6^{1+100}=6^{101}$$

B

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{7}98-log_{7}2=log_{7}\left(\frac{98}{2}\right)=log_{7}49=2$$

C

Do zadania możemy podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie wykorzystać tutaj regułę mnożenia. Rozpiszmy zatem jakie cyfry pasują nam do rzędu setek, dziesiątek oraz jedności:
· W rzędzie setek może znaleźć się dowolna liczba od \(1\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(8\) różnych możliwości.
· W rzędzie dziesiątek może znaleźć się dowolna liczba od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(9\) różnych możliwości.
· W rzędzie jedności może znaleźć się dowolna liczba od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(9\) różnych możliwości.

Korzystając zatem z reguły mnożenia możemy zapisać, że interesujących nas liczb będzie:
$$8\cdot9\cdot9=648$$

C

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Po poprawnym wykonaniu potęgowania, cały zapis będziemy musieli jeszcze uporządkować:
$$(3+4a)^2-(3-4a)^2= \\
=9+24a+16a^2-(9-24a+16a^2)= \\
=9+24a+16a^2-9+24a-16a^2=48a$$

B oraz E

Równania pojawiające się w układach opisują różne zależności, dlatego przeanalizujmy osobno poprawność poszczególnych odpowiedzi.

Odp. A. - tutaj pierwsze równanie jest nieprawidłowe, bo suma tych kątów powinna być równa \(180°\).
Odp. B. - ten układ równań jest prawidłowy. W pierwszym równaniu mamy sumę kątów przyległych równą \(180°\), a w drugim mamy informację o tym, że kąty wierzchołkowe mają jednakową miarę.
Odp. C. - tutaj drugie równanie jest nieprawidłowe, te dwa kąty nie mają jednakowej miary.
Odp. D. - tutaj nieprawidłowe jest i pierwsze i drugie równanie.
Odp. E. - ten układ jest prawidłowy. W pierwszym równaniu mamy wykorzystają własność kątów wierzchołkowych, a w drugim kątów przyległych.
Odp. F. - ten układ jest nieprawidłowy, ponieważ drugie równanie jest błędne.

Prawidłowe układy równań znalazły się więc w odpowiedzi B oraz E.

B

Jeżeli liczba \(-2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to znaczy, że podstawiając \(x=-2\), wartość tego wielomianu powinna wyjść równa \(0\). Skoro tak, to:
$$3\cdot(-2)^3+k\cdot(-2)^2-12\cdot(-2)-7k+12=0 \\
3\cdot(-8)+k\cdot4-(-24)-7k+12=0 \\
-24+4k+24-7k+12=0 \\
-3k+12=0 \\
-3k=-12 \\
k=4$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do równania. Na matematyce dzielenie przez zero nie istnieje, więc i wartość mianownika musi być różna od zera. W mianowniku mamy równanie zapisane w postaci iloczynowej, zatem wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, czyli:
$$2x\neq0 \quad\land\quad x-1,5\neq0 \quad\land\quad x+6\neq0 \\
x\neq0 \quad\land\quad x\neq1,5 \quad\land\quad x\neq-6$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku, otrzymamy:
$$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0 \quad\bigg/\cdot 2x(x-1,5)(x+6) \\
(4x-6)(x-2)^2=0 \\
4x-6=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
4x=6 \quad\lor\quad x=2 \\
x=1,5 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z naszymi założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1,5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości otrzymamy zero w mianowniku. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem będzie \(x=2\).

A

Aby rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną, musimy ułożyć dwie nierówności liniowe bez tej wartości, z czego druga nierówność będzie mieć zmieniony znak nierówności i liczbę stojącą po prawej stronie na przeciwną:
$$x+1\le2 \quad\quad\quad\quad x+1\ge-2 \\
x\le1 \quad\quad\quad\quad x\ge-3$$

Wyszło nam więc, że \(x\) jest większy lub równy \(-3\) oraz mniejszy lub równy \(1\), czyli \(x\in\langle-3;1\rangle\), a taka sytuacja została przedstawiona na pierwszym rysunku.

Udowodniono, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą, to liczbę nieparzystą możemy zapisać jako \(2k+1\). Podstawiając teraz tę wartość pod \(n\), otrzymamy:
$$(2k+1)^2+2023= \\
=4k^2+4k+1+2023= \\
=4k^2+4k+2024= \\
=4k(k+1)+2024$$

Przeanalizujmy teraz podaną sytuację, zaczynając od wyrażenia \(k(k+1)\). Jeżeli \(k\) jest całkowitą liczbą parzystą, to \(k+1\) jest liczbą nieparzystą, a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje wynik parzysty. Analogicznie, gdy \(k\) jest liczbą nieparzystą, to \(k+1\) będzie parzyste, czyli tutaj także iloczyn tych dwóch liczb będzie parzysty.

Możemy więc powiedzieć, że mnożymy \(4\) przez liczbę, która jest na pewno parzysta, a do tego dodajemy \(2024\), które możemy rozpisać jako \(8\cdot253\). Pomnożenie \(4\) przez liczbę parzystą zawsze daje wynik podzielny przez \(8\), zatem liczba \(4k(k+1)+2024\) jest tak naprawdę sumą dwóch liczb podzielnych przez \(8\), co sprawia, że cała liczba też jest podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu \(4k(k+1)+2024\) lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(8\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

1. D.
2. \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\)
3. \(y=-2(x-1)^2+8\)

Zadanie 1.
Zapis \(g(x)=f(x-2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w prawo. Patrząc na miejsca zerowe i na wierzchołek paraboli, widzimy, że takie przesunięcie znalazło się na czwartym rysunku.

Zadanie 2.
Skoro wartości funkcji \(f(x)\) mają być mniejsze lub równe \(0\), to musimy spojrzeć na te fragmenty wykresu, które znalazły się pod osią \(OX\). Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem tego zadania będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\)

Zadanie 3.
Do wyznaczenia wzoru w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) potrzebujemy współrzędnej wierzchołka \(W=(p;q)\). Z wykresu odczytujemy, że \(W=(1;8)\), zatem:
$$y=a(x-1)^2+8$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać tę wartość, musimy podstawić współrzędne jednego ze znanych punktów, który należy do wykresu tej funkcji. Najprościej będzie wziąć jedno z miejsc zerowych, czyli np. \(A=(-1;0)\). Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru, otrzymamy:
$$0=a\cdot(-1-1)^2+8 \\
0=a\cdot(-2)^2+8 \\
0=4a+8 \\
a=-2$$

Przy okazji warto zauważyć, że współczynnik \(a\) wyszedł ujemny, co sugerowałoby, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu, tak jak na wykresie. Dzięki takiej obserwacji możemy w prosty sposób zweryfikować poprawność rozwiązania.

Otrzymany wynik oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest:
$$y=-2(x-1)^2+8$$

Zadanie 1.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 2.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 3.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie odczytasz współrzędne wierzchołka paraboli i zapiszesz wzór funkcji bez obliczenia współczynnika \(a\), czyli \(y=a(x-1)^2+8\).
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie z podstawionymi współrzędnymi punktu, który odczytasz z wykresu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Współczynnik \(a\) informuje nas o monotoniczności funkcji (czyli o tym, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy też może stała). Z rysunku wynika, że funkcja jest rosnąca, więc współczynnik \(a\gt0\).

Współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\). W przypadku tej funkcji przecięcie następuje pod osią \(OX\) (czyli dla ujemnej wartości \(y\)), stąd też \(b\lt0\).

B

Na początku ustalmy, czy w omawianej sytuacji będziemy mieć funkcję liniową, czy kwadratową (bo takie i takie znajdują się w odpowiedziach). Z treści zadania wynika, że każdy spadek ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Zależność jest więc liniowa (jak cena spadnie o jedną jednostkę więcej, to liczba kupujących spadnie o kolejne trzy jednostki itd.). Tym samym możemy od razu odrzucić odpowiedzi A oraz C, które zawierają wzory funkcji kwadratowych.

Jak teraz ustalić, czy poprawny jest wzór z odpowiedzi B czy D? Można podejść do tego na różne sposoby, ale najprościej będzie wykorzystać informację z treści zadania. Dla \(P=5\) wartość funkcji musi być równa \(Q=12\). Podstawmy zatem \(P=5\) dla wzoru z odpowiedzi B oraz D:
Odp. B.:
$$Q=-3P+27 \\
Q=-3\cdot5+27 \\
Q=-15+27 \\
Q=12$$

Odp. D.:
$$5=-3Q+27 \\
-22=-3Q \\
Q=7\frac{1}{3}$$

Widzimy wyraźnie, że pasuje nam jedynie wzór z odpowiedzi B.

1. A.
2. ok. \(99,9mg\)

Zadanie 1.
Poprawnym wykresem będzie ten z odpowiedzi A. Powiedzmy sobie może jeszcze dlaczego to jest akurat ten wykres. Aby dojść do tej odpowiedzi, musimy zrozumieć istotę samego zadania.

Mamy pacjenta, który przyjmuje dawkę omawianego leku i zgodnie ze wzorem, z czasem tego leku jest coraz mniej. Ze wzoru wynika, że spadek ten jest wykładniczy (a nie liniowy, jak odpowiedzi D). W grę wchodzą więc już tylko dwie odpowiedzi - A oraz B (odpowiedź C odrzucamy, ponieważ w odpowiedzi C mamy funkcję rosnącą). No i teraz najważniejsze pytanie - skąd się biorą trzy fragmenty wykresu? Wynika to z faktu dodawania kolejnej dawki leki, co tym samym powoduje skokowe zwiększenie dawki leku w organizmie. Jeżeli więc pacjent po \(4\) dobach ma w swoim organizmie \(50mg\) leku i dostaje kolejną dawkę \(100mg\), to w czwartej dobie wartość ta skacze mu do \(150mg\), dokładnie tak jak na wykresie z odpowiedzi A.

Zadanie 2.
Krok 1. Analiza ilości leku w organizmie pacjenta.
Musimy sobie uzmysłowić, że przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku, pacjent będzie miał śladowe ilości pierwszej dawki (śladowe, bo wraz z upływem czasu tego leku w organizmie jest coraz mniej), nieco większe drugiej dawki i całkiem spore wartości dziewiątej czy też dziesiątej dawki. Musimy też dostrzec, że termin "przed przyjęciem jedenastej dawki" oznacza, że od pierwszej dawki upłynęło \(t=40\) dni, a od dawki dziesiątej upłynęły raptem \(t=4\) dni. Zapiszmy zatem ile każdej z dawek zostało temu pacjentowi w organizmie, zaczynając może od najnowszej, czyli dziesiątej dawki.

Pacjent otrzyma jedenastą dawkę leku po upływie \(4\) dni od przyjęcia dziesiątej dawki. To oznacza, że z dziesiątej dawki w organizmie zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=50$$

W orgazmie pacjenta jest jeszcze np. lek z dziewiątej dawki, który był podany \(8\) dni wcześniej. Tego leku w organizmie pacjenta będzie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=100\cdot\frac{1}{4}=25$$

Z ósmej dawki zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12,5$$

I tak analogicznie możemy rozpisywać kolejne dawki, aż dojdziemy do pierwszej, która była \(40\) dni wcześniej, zatem z tej dawki zostało:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich dawek leku.
Naszym celem jest teraz zsumowanie tych wszystkich dawek. Widzimy wyraźnie, że kolejne dawki leku tworzą ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=50\) oraz \(q=\frac{1}{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{51150}{512} \\
S_{10}\approx99,9$$

To oznacza, że przed przyjęciem jedenastej dawki nasz pacjent ma w organizmie około \(99,9mg\) leku.

Zadanie 1.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zadanie 2.
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz masy leku pozostałe w organizmie z poszczególnych dawek (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i podstawisz do niego poprawne dane (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=20000\)
\(p=0,03\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,03\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), czyli \(0,03\), a lokata jest kapitalizowana raz do roku.

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{n}=20000\cdot(1+0,03)^{2} \\
K_{n}=20000\cdot(1,03)^{2}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Chcąc obliczyć wartości trzech początkowych wyrazów, wystarczy podstawić \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) do wzoru ciągu, zatem:
$$a_{1}=-3\cdot1+5=-3+5=2 \\
a_{2}=-3\cdot2+5=-6+5=-1 \\
a_{3}=-3\cdot3+5=-9+5=-4$$

Zdanie jest więc prawdą, bo \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami tego ciągu.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Już po samym wzorze powinniśmy dostrzec, że jest to ciąg arytmetyczny i w dodatku od ręki powinniśmy stwierdzić, że różnica tego ciągu to \(r=-3\) (bo taka też wartość stoi przed \(n\)).

Gdybyśmy jednak nie mieli takiej pewności, to możemy sobie z tym zadaniem poradzić nieco inaczej. W tym celu wystarczy sprawdzić o ile różnią się sąsiadujące ze sobą wyrazy - będziemy wtedy wiedzieć, czy jest to w ogóle ciąg arytmetyczny, no i poznamy przy okazji ewentualną różnicę tego ciągu. Korzystając z wartości wyrazów obliczonych w poprzednim kroku, możemy zapisać, że:
$$a_{2}-a_{1}=-1-2=-3 \\
a_{3}-a_{2}=-4-(-1)=-4+1=-3$$

Zarówno z obliczeń jak i obserwacji wynika wyraźnie, że każdy kolejny wyraz jest o \(3\) mniejszy od poprzedniego, zatem owszem, ten ciąg jest arytmetyczny, ale jego różnica jest równa \(r=-3\). Zdanie jest więc fałszem.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$10^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos\alpha \\
100=36+25-60cos\alpha \\
100=61-60cos\alpha \\
39=-60cos\alpha \\
cos\alpha=-0,65$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wiemy, że gdy \(a^2+b^2=c^2\), to trójkąt jest prostokątny. Rozwinięciem tego twierdzenia jest informacja, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\), to trójkąt jest ostrokątny, natomiast gdy \(a^2+b^2\lt c^2\), to trójkąt jest rozwartokątny. W naszym przypadku \(a=6\), \(b=5\) oraz \(c=10\), zatem:
$$a^2+b^2=6^2+5^2=36+25=61 \\
c^2=10^2=100$$

Widzimy więc, że \(a^2+b^2\) jest mniejsze od \(c^2\), zatem jest to trójkąt rozwartokątny. Zdanie jest więc prawdą.

A

Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Z treści zadania wynika, że \(a=2\) oraz \(b=-5\), natomiast \(r=3\). Skoro tak, to równanie tego okręgu ma postać:
$$(x-2)^2+(y-(-5))^2=3^2 \\
(x-2)^2+(y+5)^2=9$$

\(|OD|=6\)

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kąty przy wierzchołku \(O\) (czyli \(|\sphericalangle AOB|\) oraz \(|\sphericalangle DOC|\)f) są tak zwanymi kątami wierzchołkowymi, a z własności takich kątów wynika, że mają one jednakową miarę. Z treści zadania wiemy też, że kąty \(OAB\) oraz \(OCD\) także mają jednakową miarę. To oznacza, że w tym momencie trójkąty \(ABO\) i \(ODC\) mają już dwie pary jednakowych kątów, zatem i kąty rozwarte w tych trójkątach muszą mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że te dwa trójkąty są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Przyjmijmy, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ODC\) jest trójkątem podobnym. Aby obliczyć skalę podobieństwa, musimy najpierw odnaleźć parę boków odpowiadających. W trójkącie \(ABO\) naprzeciwko kąta rozwartego jest bok o długości \(5\), a w trójkącie \(ODC\) mamy bok o długości \(10\). To oznacza, że skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{10}{5} \\
k=2$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(OD\).
Bokiem odpowiadającym do boku \(OD\) będzie bok \(BO\) o długości \(3\). Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to bok \(OD\) będzie dwa razy większy od boku \(BO\), czyli:
$$|OD|=2\cdot3 \\
|OD|=6$$

B oraz E

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro więc prosta \(k\) na ten współczynnik równy \(a=-3\), to prosta do niej równoległa też musi mieć współczynnik \(a=-3\). Z proponowanych odpowiedzi tylko ta druga spełnia nasz warunek, zatem poprawną odpowiedzią będzie \(y=-3x+2\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro więc nasza prosta \(k\) ma współczynnik \(a=-3\), to prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\). Z podanych odpowiedzi tylko ta pierwsza spełnia ten warunek, zatem prostą prostopadłą będzie \(y=\frac{1}{3}x+2\).

B

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-1)^2} \\
|AC|=\sqrt{(4+2)^2+4^2} \\
|AC|=\sqrt{6^2+4^2} \\
|AC|=\sqrt{36+16} \\
|AC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

A

Jeżeli odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to wierzchołki \(ABC\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\)).

Odcinek \(AC\) jest dłuższą przyprostokątną tego trójkąta i ma on długość \(|AC|=8\sqrt{3}\). W prosty sposób możemy poznać też długość przeciwprostokątnej - skoro jest to średnica okręgu o promieniu \(r=8\), to \(|AB|=2\cdot8=16\). Podane długości (i tak naprawdę proponowane odpowiedzi) powinny nam już zasugerować, że to będzie trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\), w którym mamy boki o długości \(8\), \(8\sqrt{3}\) oraz \(16\). W takiej sytuacji kąt \(BAC\) ma na pewno miarę \(30°\), gdyż jest to kąt ostry leżący przy dłuższej przyprostokątnej.

Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli, to miarę kąta \(BAC\) moglibyśmy poznać chociażby korzystając z funkcji trygonometrycznych. Z pomocą przyjdzie nam cosinus, dzięki któremu możemy zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{8\sqrt{3}}{16} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy teraz, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\).

A

Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie trójki przed nawias i dostrzeżenie jedynki trygonometrycznej \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$4tg\alpha=3sin^2\alpha+3cos^2\alpha \\
4tg\alpha=3\cdot(sin^2\alpha+cos^2\alpha) \\
4tg\alpha=3\cdot1 \\
tg\alpha=\frac{3}{4}$$

A., ponieważ 2.

Z własności figur podobnych wynika, że gdy skala podobieństwa jest równa \(k\), to obwód figury podobnej jest \(k\) razy większy od figury podstawowej, a pole jest \(k^2\) razy większe.

W przypadku naszego zadania widzimy, że pole figury podobnej jest \(2\) razy większe, zatem:
$$k^2=2 \\
k=\sqrt{2} \quad\lor\quad k=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo skala podobieństwa jest zawsze dodatnia, zatem \(k=\sqrt{2}\). Jeżeli więc obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\), to obwód trójkąta \(KLM\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większy, czyli będzie równy \(\sqrt{2}\cdot x\).

Odpowiedzią do tego zadania będzie więc "\(\sqrt{2}\cdot x\), ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów."

D

Z własności stycznych do okręgu wynika, że odcinki \(AS\) oraz \(BS\) mają jednakową miarę. Skoro tak, to trójkąt \(ASB\) jest równoramienny, czyli kąty przy podstawie \(AB\) będą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt \(ASB\) ma miarę \(76°\), to na dwa pozostałe trójkąty zostaje nam \(180°-76°=104°\). To oznacza, że kąty \(BAS oraz \(ABS\) będą mieć miarę równą:
$$104°:2=52°$$

Drugą kluczową własności stycznych do okręgu jest fakt, iż styczna tworzy z promieniem okręgu kąt prosty. Skoro tak, to otrzymamy taką oto sytuację:


W związku z tym miara kąta \(OBA\) jest równa:
$$|\sphericalangle OBA|=90°-52°=38°$$

D

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że długość krótszej przyprostokątnej (czyli właśnie boku \(AB\)) będzie dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej \(AC\). Skoro tak, to:
$$|AB|=16:2 \\
|AB|=8$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Musimy zrozumieć, co tak naprawdę policzyliśmy przed chwilą. Prostokąt z treści zadania to rozłożona siatka powierzchni bocznej graniastosłupa (czyli ten prostokąt zawiera w sobie cztery ściany boczne). Bok \(AB\) jest więc tak naprawdę obwodem naszej bryły, a celem zadania jest obliczenie długości krawędzi graniastosłupa. Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, więc ta krawędź będzie cztery razy krótsza od tego boku, czyli:
$$a=8:4 \\
a=2$$

C

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Nasz ostrosłup jest prawidłowy, więc skoro podane punkty \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami wskazanych boków, to możemy wywnioskować, że każda krawędź mniejszego ostrosłupa DEFS jest \(2\) razy mniejsza od dużego ostrosłupa \(ABCS\). Jeżeli więc przyjmiemy, że ostrosłup \(ABCS\) jest podstawowy, a \(DEFS\) jest podobny, to skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{1}{2}\).

Z własności brył podobnych wynika, że gdy przy skali podobieństwa równej \(k\), objętość bryły podobnej stanowi \(k^3\) bryły podstawowej. Jeżeli więc w naszym przypadku objętość bryły \(ABCS\) jest równa \(V\), to objętość bryły \(DEFS\) będzie równa \(k^3\cdot V\), czyli:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot V=\frac{1}{8}V$$

Stosunek objętości ostrosłupa \(DEFS\) do objętości ostrosłupa \(ABCS\) jest zatem równy \(1:8\).

A

\(P(A)=\frac{1}{900}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeń elementarnych będzie tyle, ile jest liczb naturalnych od \(1000\) do \(9999\). Takich liczb jest łącznie \(9000\).

Uwaga - bardzo częstym błędem jest zapisywanie, że takich liczb jest \(9999-1000=8999\). Przykładowo, liczb od \(1000\) do \(1002\) mamy dokładnie \(3\), a nie \(1002-1000=2\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy ustalić, ile jest losów wygrywających. Wbrew pozorom nie będzie ich wcale tak dużo. Na pewno odpadają wszystkie losy, mające przynajmniej jedną cyfrę od \(4\) do \(9\) (bo wtedy na pewno nie zbudujemy liczby, której suma cyfr jest równa \(3\)). Dodatkowo warto zauważyć, że jest tylko jedna liczba mająca cyfrę \(3\), która będzie liczbą sprzyjającą - tą liczbą będzie \(3000\). Bazując na tych obserwacjach, spróbujmy wypisać wszystkie interesujące nas liczby:
$$1011, 1101, 1110, 1002, 1020, \\
1200, 2001, 2010, 2100, 3000$$

Takich liczb mamy \(10\), a to oznacza, że \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{9000}=\frac{1}{900}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(50\times50\) oraz \(P=1250\)

Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200 \\
a+b=100 \\
b=100-a$$

Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0 \\
-a\gt-100 \\
a\lt100$$

Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \\
P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \\
P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
p=\frac{-50}{-1} \\
p=50$$

Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).

Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a \\
b=100-50 \\
b=50$$

To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).

Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \\
P=2500\cdot\frac{1}{2} \\
P=1250$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+2b=200\) (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na pole \(P=ab\cdot sin30°\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pole równoległoboku z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.) i zapiszesz dziedzinę funkcji (patrz: Krok 1.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. P oraz P
2. B.

Zadanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu wynika, że liczba uczniów wynosi:
$$5+21+24+26+14+6+3+1=100$$

Liczba uczniów jest parzysta, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami będzie wyraz numer \(50\) i \(51\).

Obliczając medianę zawsze musimy mieć uporządkowany ciąg liczb w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Oczywiście nie będziemy tutaj wypisywać sobie tego ciągu liczb, tylko analizując wykres, spróbujemy określić który to wyraz jest tym o numerze \(50\) i \(51\). Widzimy, że uczniów korzystających z komputera przez \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny jest łącznie \(5+21+24=50\) osób. To oznacza, że wyraz numer \(50\) jest równy \(2\), a wyraz numer \(51\) jest równy \(2,5\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{2+2,5}{2} \\
m=\frac{4,5}{2} \\
m=2,25$$

Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ustaliliśmy już, że w sondażu wzięło udział \(100\) uczniów, z czego \(50\) z nich spędza przed komputerem \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny. To oznacza, że faktycznie połowa uczniów korzysta z komputera mniej niż \(2,5\) godziny, zatem zdanie jest prawdą.

Zadanie 2.
Dominanta to wynik, który pojawia się najczęściej. Z wykresu wynika jasno, że najczęstszym wskazaniem były \(2,5\) godziny.