Matura – Matematyka – Maj 2021 – Odpowiedzi

B

Pamiętając o tym, że \(0,1=\frac{1}{10}\) i korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$100^5\cdot(0,1)^{-6}=100^5\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{-6}={(10^2)}^5\cdot10^{6}= \\
=10^{10}\cdot10^{6}=10^{10+6}=10^{16}$$

B

\(150\%\) liczby \(c\) to tak naprawdę \(1,5c\). Możemy więc zapisać, że:
$$1,5c=78 \\
c=52$$

A

Analizując podane przedziały możemy wywnioskować, że nasze liczby muszą należeć do przedziału \(\langle-1;5)\). Liczbami całkowitymi, które spełniają warunki zadania będą więc \(-1,0,1,2,3,4\). To oznacza, że takich liczb jest łącznie \(6\).

C

Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej. Otrzymamy wtedy:
$$2log\sqrt{10}+log10^3=log\sqrt{10}^2+log10^3=log10+log10^3$$

Z działu logarytmów powinniśmy pamiętać, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to jest ona równa \(10\). Mamy teraz dwie opcje, które równie skutecznie doprowadzą nas do sukcesu:

I sposób - korzystając z działań na logarytmach
Korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log10+log10^3=log(10\cdot10^3)=log10^4=4$$

II sposób - obliczając oddzielnie każdy logarytm
Logarytmu \(log10\) oraz \(log10^3\) są bardzo proste do samodzielnego obliczenia. Powinniśmy dostrzec, że \(log10=1\) oraz \(log10^3=3\), zatem:
$$log10+log10^3=1+3=4$$

D

Wiedząc, że \(0,(3)=\frac{1}{3}\) możemy całość zapisać w taki oto sposób:
$$0,(3)-\frac{23}{33}=\frac{1}{3}-\frac{23}{33}=\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}$$

B

Zadanie wydaje się bardzo proste i takie rzeczywiście jest, choć należy tutaj dobrze wykonać wszystkie działania arytmetyczne. Na początek chcielibyśmy pewnie pozbyć się ułamka i pomnożyć wszystko przez \(2\) i to jest bardzo dobry pomysł, ale trzeba to mnożenie dobrze wykonać (pamiętając o tym, że trzeba wymnożyć także \(-2x\)). Otrzymamy zatem:
$$\frac{2-x}{2}-2x\ge1 \quad\bigg/\cdot2 \\
2-x-4x\ge2 \\
2-5x\ge2 \\
-5x\ge0 \quad\bigg/:(-5) \\
x\le0$$

Zwróć uwagę, że dzieląc przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny.

Otrzymany wynik \(x\le0\) oznacza, że zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest przedział \((-\infty,0\rangle\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek funkcję \(g(x)\). W tym celu wystarczy przesunąć wykres funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w dół:


Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - wartość \(f(2)=0\) oraz \(g(2)=-2\), zatem faktycznie \(f(2)+g(2)=0-2=-2\). Zdanie jest więc prawdą.
Odp. B. - zbiory wartości nie są równe, widzimy że przykładowo maksymalną wartością funkcji \(f(x)\) jest \(3\), a funkcji \(g(x)\) jest \(1\).
Odp. C. - te funkcje nie mają tych samych miejsc zerowych (widać to po przecięciach się funkcji z osią \(OX\)).
Odp. D. - punkt \(P\) należy do funkcji \(f(x)\), ale nie należy do funkcji \(g(x)\).

Prawdziwe jest więc jedynie pierwsze zdanie.

A

Do zadania da się podejść na kilka sposobów. Z geometrycznej interpretacji wiemy, że rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych. Możemy oczywiście rozwiązać każdy układ i sprawdzić kiedy otrzymamy wynik \(x=1\) oraz \(y=2\) (bo z rysunku wynika, że właśnie w tym miejscu te dwie proste się przecinają). Możemy też postąpić nieco sprytniej i wręcz podstawić \(x=1\) oraz \(y=2\) do każdego układu. Obydwie te metody są dobre, choć czasochłonne (a i czasem możemy wpaść w pułapkę związaną z tym, że pasować będą dwa układy równań).

Najlepiej byłoby dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca - czyli jedna prosta musi mieć dodatni współczynnik kierunkowy \(a\), natomiast druga musi mieć ten współczynnik ujemny. Pasują nam już zatem tylko odpowiedzi A oraz C. Teraz spójrzmy na miejsce przecięcia się prostych z osią \(OY\). Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=1\), więc współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy \(b=1\). Analogicznie prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=4\), więc \(b=4\). To oznacza, że pasuje nam już tylko odpowiedź A.

D

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), natomiast druga ma \(a=\frac{m-3}{2}\). W związku z tym:
$$3=\frac{m-3}{2} \\
6=m-3 \\
m=9$$

B

Podstawiając \(x=\sqrt{3}-1\) do podanego wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\cdot(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}-2-2}= \\
=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-4+2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-(4-2\sqrt{3})}=-1$$

C

Aby dowiedzieć się, który z tych punktów należy do naszej funkcji, musimy po kolei podstawiać podane współrzędne do wzoru funkcji:

Odp. A.
$$-5=3^{-1}-2 \\
-5=\frac{1}{3}-2 \\
-5=-1\frac{2}{3} \\
L\neq P$$

Odp. B.
$$-2=3^{0}-2 \\
-2=1-2 \\
-2=-1 \\
L\neq P$$

Odp. C.
$$-1=3^{0}-2 \\
-1=1-2 \\
-1=-1 \\
L=P$$

Odp. D.
$$4=3^{2}-2 \\
4=9-2 \\
4=7 \\
L\neq P$$

Lewa strona jest równa stronie prawej jedynie w przypadku punktu \((0;-1)\), zatem to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, zatem bez problemu możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\) (czyli ujemny), zatem nasza parabola będzie wyglądać następująco:


Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że funkcja maleje od wierzchołka aż do nieskończoności, zatem musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji kwadratowej (ponieważ wierzchołek znajduje się w jednakowej odległości od obydwu miejsc przecięcia się paraboli z osią \(OX\)). Skoro tak, to:
$$p=\frac{-1+3}{2} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

Krok 4. Ustalenie przedziału, w którym funkcja jest rosnąca.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, skoro \(p=1\), to funkcja maleje w przedziale \(\langle1,+\infty)\).

D

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zajdzie następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x)^2=15\cdot\frac{5}{3} \\
9x^2=25 \\
x^2=\frac{25}{9} \\
x=\frac{5}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{5}{3}$$

Skoro wszystkie wyrazy są dodatnie, to wartość \(x\) musi być także dodatnia (bo tylko wtedy wyraz opisany jako \(3x\) będzie dodatni), zatem zostaje nam jedynie \(x=\frac{5}{3}\).

D

Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność:
$$3n^2-25n\le0$$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias:
$$n(3n-25)\le0$$

Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera:
$$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0 \\
n=0 \quad\lor\quad 3n=25 \\
n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$

Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry):


Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\).

Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to:
$$1,2,3,4,5,6,7,8$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.

B

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{5}=a_{1}+4r$$

Podstawiając te dane do sumy z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}+a_{5}=58 \\
a_{1}+2r+a_{1}+4r=58 \\
2a_{1}+6r=58 \quad\bigg/:2 \\
a_{1}+3r=29$$

\(a_{1}+3r\) to nic innego jak wartość czwartego wyrazu, stąd też \(a_{4}=29\).

B

W tym zadaniu musimy skorzystać z jedynki trygonometrycznej, czyli \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Przekształcając tę jedynkę możemy zapisać, że \(1-sin^2\alpha=cos^2\alpha\) oraz że \(1-cos^2\alpha=sin^2\alpha\).

Podstawiając powyższe przekształcenia do całego działania otrzymamy:
$$\frac{cos\alpha}{1-sin^2\alpha}\cdot\frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}= \\
=\frac{cos\alpha}{cos^2\alpha}\cdot\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha}=\frac{1}{cos\alpha}\cdot\frac{sin\alpha}{1}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tg\alpha$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BAO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Na pewno jest to trójkąt równoramienny, bowiem boki \(AO\) oraz \(BO\) są promieniami okręgu. Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AB\) muszą mieć jednakową miarę. Jeżeli więc kąt między ramionami ma miarę \(80°\), to na kąty przy podstawie zostaje:
$$180°-80°=100°$$

Obydwa kąty muszą mieć jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle BAO|=100°:2=50°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).
Spójrzmy na trójkąt \(CAO\). Jest to trójkąt prostokątny, bo styczna do okręgu zawsze tworzy z promieniem kąt prosty. Poszukiwany kąt \(BAC\) będzie więc różnicą między kątem prostym i kątem \(BAO\) (który przed chwilą wyznaczyliśmy). W związku z tym:
$$|\sphericalangle BAC|=90°-50°=40°$$

D

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta.
Tangens opisuje stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|CA|}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{2}{5}=\frac{|BC|}{8} \\
|BC|=\frac{16}{5}$$

Odcinek |BC| jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta, zatem \(h=\frac{16}{5}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{16}{5} \\
P=\frac{64}{5}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
\frac{16\sqrt{3}}{9}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=\frac{16}{9} \\
a=\frac{4}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{4}{3}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\frac{4}{3}\).

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć obwód tej figury:
$$Obw=3\cdot\frac{4}{3} \\
Obw=4$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta, czyli długości boku \(CD\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Możemy tutaj skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że:
$$12^2+h^2=13^2 \\
144+h^2=169 \\
h^2=25 \\
h=5 \quad\lor\quad h=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(h=5\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(ADC\). Ponownie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że:
$$3^2+5^2=|AC|^2 \\
9+25=|AC|^2 \\
|AC|^2=34 \\
|AC|=\sqrt{34} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{34}$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC|=\sqrt{34}\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest połączenie punktów \(S\) oraz \(C\), dzięki któremu uzyskamy trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny:


A skąd właściwie wiadomo, że trójkąt \(SBC\) jest równoboczny? Odcinki o długości \(CS\) oraz \(BS\) są równe długości promienia okręgu, więc już na pewno wiemy, że ten trójkąt jest przynajmniej równoramienny o podstawie \(BC\). Kąty przy podstawie w trójkątach równoramiennych mają jednakową miarę, zatem i kąt \(BCS=60°\), a więc i trzeci kąt \(CSB=60°\).

To jeszcze powiedzmy sobie skąd wiemy, że odcinek \(CS\) leży na tej samej prostej co \(SA\) (bo tak prawdę mówiąc, to nie jest to do końca takie oczywiste, że powstanie nam tutaj trójkąt \(ACD\)). Możemy być tego pewni, ponieważ mamy tutaj klasyczną sytuację, w której kąt prosty jest kątem wpisanym, zatem musi on się opierać na średnicy okręgu. Stąd też możemy mieć pewność, że powstaje nam trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest właśnie średnica okręgu.

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DCS\).
Zgodnie z informacją wynikającą z rysunku możemy stwierdzić, że:
$$|\sphericalangle DCS|=110°-60°=50°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(CDA\). Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem:
$$\alpha=180°-90°-50°$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie punkt przecięcia na boku AD jako E i spójrzmy na nasz równoległobok:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABE\)
Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy miary dwóch kątów, czyli \(70°\) oraz \(90°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ABE|=180°-90°-70°=20°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\beta\).
Kąt \(\beta\) będzie różnicą między kątem prostym i kątem \(ABE\), zatem:
$$\beta=90°-20°=70°$$

B

Krok 1. Ułożenie równania.
Chcemy, by liczba przekątnych była o \(25\) większa od liczby boków, więc musimy rozwiązać następujące równanie:
$$n+25=\frac{n(n-3)}{2} \\
2n+50=n(n-3) \\
2n+50=n^2-3n \\
-n^2+5n+50=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=5,\;c=50\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-1)\cdot50=25-(-200)=225 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{225}=15$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-15}{2\cdot(-1)}=\frac{-20}{-2}=10 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+15}{2\cdot(-1)}=\frac{10}{2}=-5$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bo liczba kątów w wielokącie jest dodatnia, zatem zostaje nam \(n=10\). To oznacza, że poszukiwanym wielokątem jest dziesięciokąt.

C

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni figury \(F_{1}\).
Figura \(F_{1}\) składa się z dwóch kół o promieniach \(1\) i \(3\). Musimy więc policzyć pole każdego z kół i całość zsumować. Korzystając ze wzoru na pole koła \(P=\pi\cdot r^2\) możemy zapisać, że:
$$F_{1}=\pi\cdot 1^2+\pi\cdot 3^2 \\
F_{1}=1\pi+9\pi \\
F_{1}=10\pi$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia \(r\).
Chcemy, by pole drugiej figury było takie samo jak pierwszej, zatem:
$$10\pi=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r^2 \\
10\pi=2\pi\cdot r^2 \\
10=2\cdot r^2 \\
r^2=5 \\
r=\sqrt{5} \quad\lor\quad r=-\sqrt{5}$$

Ujemną długość promienia odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{5}\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AM\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2} \\
|AM|=\sqrt{(1-3)^2+(3-(-5))^2} \\
|AM|=\sqrt{(-2)^2+8^2} \\
|AM|=\sqrt{4+64} \\
|AM|=\sqrt{68}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Odcinek \(|AM|\) stanowi połowę długości przekątnej, zatem:
$$d=2\sqrt{68}$$

Krok 4. Obliczenie pola kwadratu.
Możemy oczywiście obliczyć długość boku kwadratu i tym samym skorzystać później ze wzoru \(P=a^2\). Warto jednak pamiętać, że pole kwadratu damy radę także obliczyć ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{68})^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot68 \\
P=136$$

A

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwa wierzchołki, przy czym wiadomo, że muszą to być dwa różne. Pierwszy wierzchołek możemy wylosować na osiem sposobów (od \(A\) do \(H\)), a drugi na siedem (bez tego, co jest pierwszym wierzchołkiem). W związku z tym \(|Ω|=8\cdot7=56\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosujemy taką parę wierzchołków, która buduje przekątną sześcianu. No i tu największa pułapka, bowiem w sześcianie możemy wyróżnić cztery jednakowe przekątne:


Ale to, że są cztery przekątne, nie oznacza, że są cztery zdarzenia sprzyjające, bo tak przykładowo - przekątną \(BH\) otrzymamy zarówno losując zestaw \((B;H)\) jak i \((H;B)\). Wypiszmy sobie zatem zdarzenia sprzyjające:
$$(A;G), (G;A) \\
(B;H), (H;B) \\
(C;E), (E;C) \\
(D;F), (F;D)$$

Z rozpiski wynika, że mamy \(8\) zdarzeń sprzyjających, zatem \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

B

Zastanówmy się jak może wyglądać liczba, która spełnia warunki naszego zadania:
• W rzędzie setek możemy mieć jedną z trzech możliwości: \(7\), \(8\) lub \(9\) (bo tylko wtedy liczba będzie większa od \(700\)).
• W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z pięciu możliwości - to będzie dowolna liczba, która nie została użyta w rzędzie setek.
• W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech możliwości - to będzie dowolna liczba, która nie została użyta w rzędzie setek lub dziesiątek.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$3\cdot5\cdot4=60$$

C

Przystępując do liczenia mediany musimy zawsze uporządkować ciąg w porządku niemalejącym. Ten ciąg jest właśnie niemalejący, więc niczego tutaj już nie musimy przestawiać.

Nasz ciąg jest sześciowyrazowy, czyli ma parzystą liczbę wyrazów. To oznacza, że medianę wyliczymy ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Środkowymi wyrazami są \(2x\) oraz \(x+2\), a sama mediana jest równa \(4\), zatem:
$$\frac{2x+x+2}{2}=4 \\
3x+2=8 \\
3x=6 \\
x=2$$

\(x\in\langle-2;7\rangle\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem obustronnie odjąć \(14\), otrzymując:
$$x^2-5x\le14 \quad\bigg/-14 \\
x^2-5x-14\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=-14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)=25-(-56)=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{5-9}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{5+9}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero, a więc:
$$x\in\langle-2;7\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykonując przekształcenie podanej nierówności.

Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.

Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b \\
a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c) \\
a\cdot(b+c)\lt ab+bc \\
ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab \\
ac\lt bc$$

I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:

I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0 \\
c(a-b)\lt0$$

Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.

II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.

III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci typu \(ac\lt bc\) lub innej podobnej.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(f(x)=3x+2\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Z treści zadania dość niepozornie wynika informacja, że współczynnik \(b=2\). Skąd to wiemy? Jedną z własności funkcji liniowych jest to, że współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). W zadania wiemy, że funkcja przyjmuje wartość \(y=2\) dla argumentu \(x=0\), a przecież jest to właśnie punkt przecięcia się z osią \(OY\). Stąd też płynie wniosek, że \(b=2\).

Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to do tego samego wniosku dojdziemy podstawiając \(x=0\) oraz \(y=2\) do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), zatem:
$$2=a\cdot0+b \\
2=0+b \\
b=2$$

To oznacza, że nasza funkcja liniowa wyraża się wzorem \(f(x)=ax+2\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Z treści zadania wynika, że \(f(4)-f(2)=6\). Wiemy już, że naszą funkcję da się zapisać jako \(f(x)=ax+2\), więc:
$$f(4)=a\cdot4+2=4a+2 \\
f(2)=a\cdot2+2=2a+2$$

Podstawiając teraz tę informację do różnicy \(f(4)-f(2)=6\), otrzymamy:
$$4a+2-(2a+2)=6 \\
4a+2-2a-2=6 \\
2a=6 \\
a=3$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=3x+2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(b\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym:
$$3x-2\neq0 \\
3x\neq2 \\
x\neq\frac{2}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\
3x+2=(4-x)(3x-2) \\
3x+2=12x-8-3x^2+2x \\
3x+2=-3x^2+14x-8 \\
3x^2-11x+10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-11,\;c=10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11-1}{2\cdot3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11+1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=4\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy:


Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\).
Skoro pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(9\sqrt{3}\), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta \(AKL\).
Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{3}{2}\). I teraz trzeba być ostrożnym - skala jest większa od \(1\), a większym trójkątem jest trójkąt \(ABC\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\frac{|AB|}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
\frac{6}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
6=\frac{3}{2}\cdot|AK| \\
|AK|=4$$

Skoro trójkąt \(AKL\) jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt \(ABC\) musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta \(AKL\) mają długość równą \(4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(AKL\), czyli \(P=4\sqrt{3}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{3}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy dwoma kostkami, to liczba wszystkich możliwości będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której suma wyrzuconych oczek jest równa \(4\), \(5\) lub \(6\). Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(1,3); (1;4); (1;5) \\
(2,2); (2;3); (2;4) \\
(3,1); (3;2); (3;3) \\
(4,1); (4;2) \\
(5,1)$$

Z rozpiski wynika, że warunki zadania spełnia \(12\) przypadków, stąd też możemy napisać, że \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=(0;27)\) oraz \(Obw=50+9\sqrt{10}\)

I sposób - porównując długości odcinków.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wynika, że długość odcinka \(AC\) jest dokładnie taka sama jak \(BC\) (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \quad\bigg/^2 \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(x_{C}-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(x_{C}-7)^2+(y_{C}-3)^2$$

Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), a to oznacza, że współrzędna \(x_{C}\) na pewno jest równa \(0\). To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:
$$(0-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(0-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
20^2+(y_{C}-12)^2=(-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
400+{y_{C}}^2-24y_{C}+144=49+{y_{C}}^2-6y_{C}+9 \\
-24y_{C}+544=-6y_{C}+58 \\
-18y_{C}=-486 \\
y_{C}=27$$

W ten sposób błyskawicznie poznaliśmy brakującą współrzędną \(y\) naszego punktu \(C\), stąd też możemy zapisać, że \(C=(0;27)\).

Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$

II sposób - wyznaczając środek odcinka \(AB\) oraz równanie prostej \(AB\).
Ten sposób jest znacznie dłuższy, ale w podobnych zadaniach jest często jedynym, który pozwoli nam na dojście do prawidłowego rozwiązania.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane nam punkty \(A\) oraz \(B\) i sprawdźmy jak całość wygląda w rzeczywistości. Przy okazji warto zaznaczyć, że bok \(AB\) będzie podstawą naszego trójkąta.


Kluczem do sukcesu będzie oczywiście wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych. Powinniśmy pamiętać, że wysokość takiego trójkąta przecina podstawę w połowie długości. To właśnie dzięki tej informacji będziemy mogli dotrzeć do współrzędnych punktu \(C\), a potem do długości poszczególnych boków.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-20+7}{2};\frac{12+3}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej, która przez te punkty przechodzi. Znajomość tego współczynnika przyda nam się za chwilę do wyznaczenia prostej prostopadłej. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{3-12}{7-(-20)} \\
a=\frac{-9}{27} \\
a=-\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy o tym wzorze nie pamiętali, to współczynnik \(a\) wyznaczymy chociażby z metody układu równań (dzięki której możemy poznać wręcz pełne równanie prostej \(AB\)). W tym celu do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) wystarczy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując:
\begin{cases}
12=-20a+b \\
3=7a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$9=-27a \\
a=-\frac{1}{3}$$

Moglibyśmy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) i tym samym mielibyśmy cały wzór prostej \(AB\), ale nam to nie jest potrzebne. Wystarczy informacja, że \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Prosta \(SC\) jest wysokością trójkąta, czyli jest prostopadła do podstawy \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma \(a=-\frac{1}{3}\), to prosta \(SC\) musi mieć \(a=3\), ponieważ \(-\frac{1}{3}\cdot3=-1\). To oznacza, że prosta \(SC\) da się opisać równaniem \(y=3x+b\). Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\).

Chcąc poznać wartość współczynnika \(b\), wystarczy do równania \(y=3x+b\) podstawić współrzędne punktu, który przez tą prostą przechodzi, czyli współrzędne punktu \(S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)\). Otrzymamy zatem:
$$\frac{15}{2}=3\cdot\left(\frac{-13}{2}\right)+b \\
\frac{15}{2}=\frac{-39}{2}+b \\
b=\frac{54}{2}=27$$

To oznacza, że prosta \(SC\) wyraża się równaniem \(y=3x+27\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy już, że punkt \(C\) leży na osi \(OY\), czyli wiemy, że współrzędna \(x=0\). Wyliczyliśmy sobie przed chwilą, że ten punkt musi leżeć na prostej \(y=3x+27\). To oznacza, że brakująca współrzędna \(y\) będzie równa:
$$y=3\cdot0+27 \\
y=27$$

Wyszło nam więc, że \(C=(0;27)\).

Krok 6. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy zapiszesz, że \(C=(0;y_{C})\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy równania prostej \(a\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 1.) oraz wykonasz jedną z czynności za 1 punkt.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.) oraz długość przynajmniej jednego boku trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.