Matura próbna – Matematyka – Operon 2011 – Odpowiedzi

B

Przyjmując przybliżenie \(π\approx3,14\) możemy zapisać, że:
$$n\lt2π-1 \\
n\lt2\cdot3,14-1 \\
n\lt6,28-1 \\
n\lt5,28$$

Największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \(5\).

D

Chcąc rozwiązać to zadanie musimy zamienić liczbę mieszaną \(3\frac{3}{8}\) na ułamek niewłaściwy \(\frac{27}{8}\), bo z niego bez problemu wyciągniemy pierwiastek trzeciego stopnia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}}=\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{\frac{27}{8}}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}}= \\
=\frac{2+\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}=1$$

C

Korzystając z działań na logarytmów możemy rozpisać \(log6\) na sumę logarytmów w następujący sposób:
$$log6=log(2\cdot3)=log2+log3$$

B

\(x\) - szukana liczba
\(0,2x\) - \(20\%\) liczby szukanej

Z treści zadania wiemy, że \(20\%\) liczby szukanej jest o \(16\) mniejsze od tej liczby, czyli otrzymamy równanie:
$$0,2x+16=x \\
16=0,8x \\
x=20$$

A

Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje mnożenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x+2\neq0 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x+2\).
$$-2=\frac{x-1}{x+2} \quad\bigg/\cdot(x+2) \\
-2\cdot(x+2)=x-1 \\
-2x-4=x-1 \\
-3x=3 \\
x=-1$$

C

Rozwiązania równania obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-2}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+2}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$

To równanie ma więc dwa rozwiązania, a większym z nich jest \(x=-2\).

D

Teoretycznie możemy oddzielnie rozwiązać każdą z podanych nierówności, ale da się do tego podejść nieco bardziej matematycznie. Na samym początku musimy wyznaczyć środek pomiędzy wartościami krańcowymi tego przedziału (lub też odczytać z rysunku, że jest to \(a=1\)):
$$a=\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Teraz w takich przypadkach po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\). W naszym przypadku będzie to \(|x-1|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie. Widzimy, że nasze punkty krańcowe przedziałów są oddalone od środka tego przedziału o \(1\) jednostkę w lewo lub prawo, a wszystkie inne wartości znajdujące się w tym przedziale są oddalone o nie więcej niż \(1\) jednostkę (kropki zamalowane). Stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\le1$$

A

Musimy spojrzeć na zapisy, które znajdują po słowie "gdy". Funkcja ta opisana jest jednym wzorem dla argumentów mniejszych od \(1\) oraz drugim wzorem dla argumentów od \(1\) do \(4\) włącznie. Można więc powiedzieć, że funkcja ta przyjmuje jakąś wartość dla każdego argumentu mniejszego lub równego \(4\), zatem dziedziną funkcji będzie przedział:
$$x\in(-\infty,4\rangle$$

C

Funkcja liniowa jest rosnąca gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) (czyli liczba przed iksem) jest dodatni. W związku z tym funkcja ta będzie rosnąć gdy:
$$m+2\gt0 \\
m\gt-2$$

B

Szukamy miejsc w których funkcja jest malejąca, czyli miejsc gdzie wykres funkcji skierowany jest do dołu. Przedział ten odczytujemy z osi iksów i widzimy że funkcja zaczyna maleć od argumentu \(x=1\) aż do argumentu \(x=6\). W związku z tym poszukiwanym przez nas przedziałem jest przedział \(x\in\langle1,6\rangle\).

D

Aby sprawdzić ile jest równe \(a\) musimy podstawić do wzoru funkcji współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=a+1\) oraz \(y=2\). Otrzymamy wtedy:
$$2=\frac{4}{a+1} \quad\bigg/\cdot(a+1) \\
2a+2=4 \\
2a=2 \\
a=1$$

C

Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać tę nierowność obliczając klasyczną deltę, ale jesteśmy w stanie to zadanie zrobić nieco szybciej stosując wzory skróconego mnożenia. W ostateczności nawet możemy podstawiać kolejne liczby z odpowiedzi i sprawdzić kiedy zajdzie opisywana nierówność.

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności w postaci iloczynowej.
$$x^2\ge9 \\
x^2-9\ge0 \\
(x+3)(x-3)\ge0$$

Z postaci iloczynowej błyskawicznie odczytujemy, że miejscami zerowymi tej nierówności są \(x=-3\) oraz \(x=3\).

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe możemy narysować parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna liczba), pamiętając że przy \(-3\) oraz \(3\) kropki będą zamalowane.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Patrzymy w których miejscach funkcja przyjmuje wartości większe od zera, czyli dla jakich przedziałów wykres znalazł się nad osią. W ten sposób możemy stwierdzić, że \(x\in(-\infty;-3\rangle\cup\langle3;+\infty)\).

Spośród wszystkich odpowiedzi tylko \(-3\) mieści się w naszej sumie przedziałów i to właśnie jest poszukiwana odpowiedź.

A

Aby prosta była prostopadła do tej której równanie jest podane w treści zadania, to iloczyn współczynników kierunkowych obydwu tych prostych musi być równy \(-1\). Nasza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy:
$$\frac{1}{2}\cdot a=-1 \\
a=-2$$

Tylko prosta z pierwszej odpowiedzi posiada taki współczynnik kierunkowy, zatem to ona jest poszukiwaną odpowiedzią.

B

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie trzech pierwszych) następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$4=\frac{x+x+2}{2} \\
4=\frac{2x+2}{2} \\
8=2x+2 \\
2x=6 \\
x=3$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
-1=a_{1}\cdot(-2) \\
a_{1}=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Teoretycznie możemy w podobny sposób obliczyć jeszcze wartości trzeciego i czwartego wyrazu, wtedy bez problemu obliczymy sumę czterech wyrazów, ale możemy też skorzystać z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-16}{3} \\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-15}{3} \\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot(-5) \\
S_{4}=-2,5$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{21}{25} \\
cosα=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze ustalić, czy otrzymana wartość cosinusa jest większa czy mniejsza od sinusa. Wartość cosinusa możemy zapisać w ten oto sposób:
$$cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Teraz możemy porównać sinusa z cosinusem, bo mamy jednakowe mianowniki. \(\sqrt{21}\) jest na pewno większy niż \(2\) (będzie to coś pomiędzy \(4\) i \(5\)), zatem to cosinus jest większy. Prawidłową odpowiedzią jest więc \(\cosα\gt\sinα\).

A

Stopień wielomianu to tak naprawdę największa liczba która znajduje się przy potędze iksa w danym wielomianie. Aby poznać poszukiwany stopień musimy najpierw wykonać dodawanie tych wielomianów, zatem:
$$W(x)+V(x)=x^4-1+x^4+1=2x^4$$

Nasz \(x\) jest podnoszony do potęgi czwartej, zatem stopień wielomianu jest równy \(4\).

D

Krok 1. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$-4,0,1,2,6$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy pięć liczb, czyli jest to nieparzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest po prostu środkowy wyraz (czyli w tym przypadku trzeci), zatem \(m=1\).

C

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy więc przekształcić nasze równanie z treści zadania do takiej właśnie postaci jak powyżej, dzięki czemu błyskawicznie odczytamy współrzędne środka okręgu oraz długość jego promienia. Zrobimy to w następujący sposób:
$$(x-1)^2+y^2=4 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=2^2$$

Z tak zapisanego równania możemy odczytać, że \(S=(1;0)\) oraz \(r=2\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy teraz nasz okręg oraz prostą \(y=-1\) i sprawdźmy ile mają punktów wspólnych:



Z rysunku wynika dość jasno, że okrąg ma dwa wspólne punkty z prostą.

D

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Długość odcinka \(AB\) obliczymy z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-1))^2} \\
|AB|=\sqrt{4^2+3^2} \\
|AB|=\sqrt{16+9} \\
|AB|=\sqrt{25} \\
|AB|=5$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy obliczyć jego wysokość z następującego wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{5\sqrt{3}}{2} \\
h=2,5\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Kąt \(α\) jest oparty na tym samym łuku co kąt \(β\), zatem te dwa kąty będą mieć taką samą miarę. To oznacza, że \(α=70°\).

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(γ\).
Kąt \(γ\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąty \(α\) czy też \(β\). Z własności kątów środkowych wynika, że miara tego kąta będzie dwukrotnie większa od miary kąta opisanego na łuku, zatem \(γ=2\cdot70°=140°\).

Krok 3. Obliczenie sumy miar kątów.
W treści zadania proszą nas jeszcze o podanie sumy miar kątów \(β\) oraz \(γ\), zatem:
$$β+γ=70°+140°=210°$$

C

Z treści zadania można wyciągnąć informację, że obydwa trójkąty są równoramienne, a w zasadzie to muszą być i równoramienne i prostokątne, bo trapez jest prostokątny więc \(|\sphericalangle DAB|=90°\). Dzięki tej obserwacji będziemy mogli poobliczać długości poszczególnych boków stosując albo własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (bo takie kąty występują zawsze w trójkątach prostokątnych równoramiennych), albo stosując Twierdzenie Pitagorasa, albo wykorzystując własności trójkątów podobnych.

Krok 1. Obliczenie długości boków \(BC\) oraz \(CD\).
Jeżeli trójkąt \(CBD\) jest równoramienny to znaczy, że \(|BD|=|BC|=\sqrt{2}\). W ten oto sposób jesteśmy w stanie obliczyć także długość boku \(|DC|\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=|DC|^2 \\
2+2=|DC|^2 \\
|DC|^2=4 \\
|DC|=2 \quad\lor\quad |DC|=-2$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem \(|DC|=2\).

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) oraz \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Odcinki \(AB\) oraz \(AD\) mają jednakową miarę. Także tutaj do ich obliczenia możemy zastosować własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiedząc że przeciwprostokątna jest równa \(\sqrt{2}\) bez problemu możemy stwierdzić, że w takim razie przyprostokątne mają długość \(1\)), ale jeśli nie dostrzegliśmy że to jest akurat taki trójkąt o charakterystycznych kątach, to możemy ułożyć prostą proporcję, korzystając z informacji że są to trójkąty podobne:
$$\frac{|DC|}{|DB|}=\frac{|DB|}{|AD|} \\
\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{|AD|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy
$$2=2|AD| \\
|AD|=1$$

Skoro odcinki \(AD\) oraz \(AB\) mają jednakową miarę, to możemy zapisać, że \(|AD|=1\) oraz \(|AB|=1\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trapezu.
Znamy już wszystkie długości boków, zatem:
$$Obw=2+\sqrt{2}+1+1=4+\sqrt{2}$$

D

Graniastosłup, który ma \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków oraz \(3n\) krawędzi. To oznacza, że w każdym graniastosłupie krawędzi jest \(\frac{3n}{2n}=1,5\) raza więcej niż wierzchołków. Po tej obserwacji możemy zapisać, że krawędzi w naszym graniastosłupie będzie:
$$1,5\cdot(2n+6)=3n+9$$

B

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
\(x\) - długość tworzącej stożka
\(x-2\) - długość promienia podstawy

Pole powierzchni bocznej stożka obliczymy ze wzoru:
$$P=\pi rl$$

Podstawiając nasze oznaczenia oraz dane z treści zadania otrzymamy:
$$15\pi=\pi\cdot(x-2)\cdot x \\
15=x^2-2x \\
x^2-2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-8}{2\cdot1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+8}{2\cdot1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam, że długość tworzącej stożka jest równa \(x=5\).

D

Cztery dziewczynki mogą usiąść obok siebie na \(4\cdot3\cdot2\cdot1\) sposobów.
Sześciu chłopców może usiaść obok siebie na \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\) sposobów.

Gdybyśmy więc połączyli te kombinacje to otrzymamy mnożenie z trzeciej odpowiedzi (z lekko zamienioną kolejnością mnożenia), ale... to czwarta odpowiedź (z dodatkowym pomnożeniem przez \(2\)) jest tą prawidłową. Dlaczego? Dlatego, że o ile faktycznie kombinacji usadowienia najpierw czterech dziewczynek, a potem sześciu chłopców jest \(4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\), to musimy jeszcze uwzględnić odwrotną analogiczną sytuację, czyli że na początku pnia usiądą chłopcy, a potem dopiero dziewczynki. To właśnie te dwa warianty sprawiają, że na końcu musi się jeszcze pojawić mnożenie przez \(2\).

\(y=3x-1\)

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Na początek przekształćmy to równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci \(y=ax+b\):
$$-3x+y-4=0 \\
y=3x+4$$

Krok 2. Ustalenie postaci prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. W naszym przypadku \(a=3\), zatem i nasza prosta równoległa musi mieć taki współczynnik, a to oznacza, że możemy ją opisać wzorem \(y=3x+b\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Teraz naszym celem jest poznanie współczynnika \(b\), a w tym celu do równania \(y=3x+b\) podstawimy współrzędne punktu \(P=(-1,-4)\), otrzymując:
$$-4=3\cdot(-1)+b \\
-4=-3+b \\
b=-1$$

Krok 4. Zapisanie równania prostej równoległej.
Znamy już wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) więc możemy zapisać, że nasza prosta równoległa przyjmuje wzór \(y=3x-1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że prosta równoległa będzie opisana wzorem \(y=3x+b\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono rozpisując wartości sinusa i cosinusa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα+cosα\).
Korzystając z oznaczeń na rysunku spróbujmy rozpisać sinusa i cosinusa:
$$sinα+cosα=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów wiemy, że najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego jest jego przeciwprostokątna. Wiemy też, że aby trójkąt mógł w ogóle zaistnieć, to suma jego dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku trójkąta. To oznacza, że \(a+b\gt c\). Patrząc się na otrzymane w kroku drugim wyrażenie \(\frac{a+b}{c}\) możemy stwierdzić, że licznik tego ułamka jest na pewno większy od mianownika, a skoro tak, to wartość tego ułamka musi być większa od \(1\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(sinα+cosα\) jest równe \(\frac{a+b}{c}\) (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego żadnego końcowego wniosku.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu.
Do wyznaczenia długości przekątnej bryły potrzebna nam będzie długość przekątnej podstawy, którą wyznaczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(a\) oraz \(b\), zatem:
$$a^2+b^2=d^2 \\
d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Znamy wyrażenie opisujące długość przekątnej podstawy, wiemy że wysokość prostopadłościanu jest równa \(c\), zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+c^2=s^2 \\
(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2=s^2 \\
s^2=a^2+b^2+c^2 \\
s=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Otrzymany wynik jest dokładnie tym co znalazło się w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, długość przekątnej podstawy jako \(d=\sqrt{a^2+b^2}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(x\in\langle-6;1\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2+5x\le6 \\
x^2+5x-6\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-6\) oraz \(x=1\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-6;1\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(P(A\cap B)=0,5\)

Aby rozwiązać to zadanie musimy ułożyć następujące równanie:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
0,8=0,7+0,6-P(A\cap B) \\
0,8=1,3-P(A\cap B) \\
-0,5=-P(A\cap B) \\
P(A\cap B)=0,5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(P(A\cup B)=0,7+0,6-P(A\cap B)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{10\sqrt{3}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Tak naprawdę cała trudność zadania opiera się na tym, by poprawnie zapisać równanie korzystając z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{x}{10} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{10} \\
x=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(tg30°=\frac{x}{10}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(r=2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Korzystając z informacji z treści zadania oraz z własności stycznych do okręgu możemy sporządzić następujący szkic:



Krok 2. Ułożenie równania.
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa zapisać, że:
$$(r+4)^2+(r+6)^2=10^2 \\
r^2+8r+16+r^2+12r+36=100 \\
2r^2+20r+52=100 \\
2r^2+20r-48=0 \quad\bigg/:2 \\
r^2+10r-24=0$$

Dzielenie przez \(2\) nie jest koniecznością, ale dzięki temu potem pracujemy na mniejszych liczbach. Finalnie wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100-(-96)=100+96=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Promień nie może być ujemny, zatem jedynym pasującym nam rozwiązaniem jest \(r=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz, że \((r+4)^2+(r+6)^2=10^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz postać ogólną równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{5}{12}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których w pierwszym rzucie otrzymaliśmy wynik większy niż w rzucie drugim. Nie musimy tu zbytnio komplikować sobie sprawy, wystarczy że po prostu wypiszemy te zdarzenia:
$$(2,1) \\
(3;1), (3;2) \\
(4;1), (4;2), (4;3) \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4) \\
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5) \\$$

To oznacza, że \(15\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.), ale nie policzysz ile ich jest.
2 pkt
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające i zapiszesz, że \(|A|=15\) (patrz: Krok 2.), ale błędnie obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=15\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(60°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować taki ostrosłup, zaznaczając na nim miary podane w treści zadania:



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCS\) , który wytworzył nam się na rysunku. W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się odcinek oznaczony jako \(b\), który jest tak naprawdę połową długości przekątnej podstawy (tak nawiasem mówiąc, to w podstawie bryły jest kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny). Długość tego boku \(b\) możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2+6^2=(2\sqrt{15})^2 \\
b^2+36=4\cdot15 \\
b^2+36=60 \\
b=\sqrt{24} \quad\lor\quad b=-\sqrt{24}$$

Ujemną długość odrzucamy, zatem wiemy już że \(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}\).

To też oznacza, że cała przekątna \(AC\) ma miarę \(d=2\cdot2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Już wiemy, że w podstawie naszej bryły musi znajdować się kwadrat. Jedną z własności kwadratu jest to, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta własność pozwoli nam uzyskać informację na temat długości krawędzi bocznej, bo skoro przekątna ma długość \(4\sqrt{6}\), to:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{6} \\
a=4\sqrt{6}:\sqrt{2} \\
a=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości boku \(c\).
Bok oznaczony jako \(c\) jest połową podstawy, którą przed chwilą wyliczyliśmy, zatem:
$$c=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3} \\
c=2\sqrt{3}$$

Krok 5. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(OES\). Znajomość długości boku \(c\) oraz znajomość wysokości ostrosłupa otwierają nam drogę do poznania poszukiwanej miary kąta. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{6}{2\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{2\cdot3} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{6} \\
tgα=\sqrt{3}$$

Teraz musimy odczytać z tablic dla jakiej miary kąta tangens przyjmuje wartość równą \(\sqrt{3}\) i widzimy, że jest to kąt \(60°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy przekątnej podstawy lub całą długość przekątnej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy podstawy, tak aby móc skorzystać później z funkcji trygonometrycznych (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wartość tangensa, ale nie podasz miary kąta.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.