Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2023
Zadanie 1. (1pkt) Dana jest nierówność \(|x-5|\lt2\). Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Wyjaśnienie:
Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-5\lt2 \quad\land\quad x-5\gt-2 \\
x\lt7 \quad\land\quad x\gt3$$
Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\in(3;7)\). Taki przedział znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie 4. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Odpowiedź
Udowodniono rozbijając liczbę na postać \(3n(n+1)(n+5)\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpisanie liczby.
Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie przed nawias wartości \(3n\) i rozpisanie naszej liczby w następujący sposób:
$$3n^3+18n^2+15n=3n\cdot(n^2+6n+5)$$
Musimy teraz rozbić wyrażenie \(n^2+6n+5\) na postać iloczynową. Jeśli mamy dużą wprawę, to od ręki możemy zapisać, że to będzie równe \((n+1)(n+5)\). Jeśli jednak nie jesteśmy w stanie tego wyznaczyć w pamięci, to możemy zachować się dokładnie tak samo jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-4}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$
To pozwala nam stwierdzić, że:
$$n^2+6n+5=(n-(-5))\cdot(n-(-1))=(n+5)(n+1)$$
Zapisalibyśmy więc, że nasza liczba jest równa:
$$3n\cdot(n+1)(n+5)$$
Dla lepszego zobrazowania możemy to sobie nawet przedstawić w taki oto sposób:
$$3\cdot n\cdot(n+1)\cdot(n+5)$$
Krok 2. Wykazanie podzielności przez \(6\).
Widzimy, że nasza liczba na pewno jest podzielna przez \(3\) (świadczy o tym ta trójka, która stoi na samym początku). Powinniśmy teraz dostrzec, że \(n\cdot(n+1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Taka liczba jest zatem parzysta, czyli podzielna przez \(2\). Wniosek z tego płynie taki, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i \(2\) jednocześnie, a to oznacza, że będzie także podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3n(n^2+6n+5)\) lub innej podobnej (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(2\).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(3\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 8. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
A. jedno rozwiązanie
B. dwa rozwiązania
C. trzy rozwiązania
D. cztery rozwiązania
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$x^2-25\neq0 \\
x^2\neq25 \\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-5$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-25) \\
(x^2-3x)(x^2+1)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x^2-3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x(x-3)=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$
Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. To oznacza, że zostają nam \(x=0\) oraz \(x=3\).
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W naszym przypadku rozwiązania \(x=0\) oraz \(x=3\) nie wykluczają się z rozwiązaniami, a to oznacza, że to równanie ma dwa rozwiązania.
Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-3x+2=0\)
Odpowiedź
\(x=-1\), \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(x=1\)
Wyjaśnienie:
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3x^3-2x^2-3x+2=0 \\
x^2(3x-2)-1(3x-2)=0 \\
(x^2-1)\cdot(3x-2)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad 3x-2=0 \\
x^2=1 \quad\lor\quad 3x=2 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-1)(3x-2)=0\)
2 pkt
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-1)(x+1)(3x-2)=0\)
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 10. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach:
A. \(2x+3y=2 \quad\text{ i }\quad -x+y=-14\)
B. \(3x+2y=-12 \quad\text{ i }\quad 2x+y=10\)
C. \(x+y=-2 \quad\text{ i }\quad x-2y=4\)
D. \(x-y=-14 \quad\text{ i }\quad -2x+y=22\)
Wyjaśnienie:
Z geometrycznej interpretacji układów równań wiemy, że aby dwie proste przecięły się w punkcie \((-8,6)\), to te dwie proste muszą stworzyć układ równań, którego rozwiązaniem będą \(x=-8\) oraz \(y=6\). Mówiąc wprost - musielibyśmy z każdej pary równań zbudować układ i rozwiązać go. Interesująca nas sytuacja będzie mieć miejsce przy ostatniej parze równań:
\begin{cases}
x-y=-14 \\
-2x+y=22
\end{cases}
Korzystając z metody przeciwnych współczynników możemy teraz dodać te równania stronami, otrzymując:
$$-x=8 \\
x=-8$$
Podstawiając teraz wyznaczone \(x=-8\) do wybranego równania z układu (np. pierwszego), otrzymamy:
$$-8-y=-14 \\
-y=-6 \\
y=6$$
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb \(x=-8\) oraz \(y=6\), co oznacza, że te dwie proste przetną się w punkcie \((-8,6)\).
Zadanie 11. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1,4)\). Wzór funkcji \(f\) ma postać:
A. \(f(x)=-\frac{1}{2}x+1\)
B. \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)
C. \(f(x)=-2x+2\)
D. \(f(x)=-3x+1\)
Wyjaśnienie:
Z informacji o miejscu zerowym wynika, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((1,0)\). Dodatkowo z treści zadania wiemy, że wykres przechodzi przez punkt \((-1,4)\). Mamy więc klasyczną sytuację, w której musimy wyznaczyć wzór funkcji, która przechodzi przez dwa punkty o znanych współrzędnych. W tym celu możemy albo skorzystać z bardzo długiego wzoru z tablic, albo też z metody układu równań. Skorzystajmy z tej szybszej metody, czyli układu równań. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne jednego punktu, a potem drugiego - powstaną nam wtedy dwa równania, z których zbudujemy układ. Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
0=1\cdot a+b \\
4=(-1)\cdot a+b
\end{cases}
\begin{cases}
0=a+b \\
4=-a+b
\end{cases}
Odejmując teraz te równania stronami, otrzymamy:
$$-4=2a \\
a=-2$$
W zasadzie już teraz moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, ponieważ tylko jeden wzór z proponowanych w odpowiedziach ma współczynnik \(a=-2\). Ale dla pewności wyznaczmy jeszcze współczynnik \(b\), podstawiając do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) wyznaczone \(a=-2\), zatem:
$$0=-2+b \\
b=2$$
To oznacza, że poszukiwanym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=-2x+2\).
Zadanie 14. (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Zadanie 14.2. (1pkt) Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).
$$..................$$
Odpowiedź
\(\langle-7,-5\rangle\cup\langle-4,2)\cup(5,7\rangle\)
Wyjaśnienie:
Musimy zapisać dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości większe od \(1\). Widzimy, że takie wartości są przyjmowane dla \(x\in\langle-7,-5\rangle\cup\langle-4,2)\cup(5,7\rangle\).
Zadanie 14.3. (1pkt) Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(-x)\) dla każdego \(x\in\langle-7,-5\rangle\cup\langle-4,4\rangle\cup\langle5,7\rangle\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), wykres funkcji \(y=g(x)\).
Wykres funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku:
Wyjaśnienie:
Zapis \(g(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\). Mówiąc obrazowo, szukamy odbicia lustrzanego funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\). Taką funkcję znajdziemy na rysunku B.
Zadanie 15. (2pkt) Funkcje \(A, B, C, D, E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Przedział \((-\infty,2\rangle\) jest zbiorem wartości funkcji \(.............\) oraz \(.............\)
A. \(A(x)=-(x-3)^2+2\)
B. \(B(x)=x^2+2\)
C. \(C(x)=-5(x-2)^2\)
D. \(D(x)=(x-2)^2\)
E. \(E(x)=2x^2-8x+10\)
F. \(F(x)=-2x^2+4x\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty,2\rangle\), co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Dobrze to widać na poniższym rysunku:
Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy \(a\lt0\). Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.
Krok 2. Wybór wzorów funkcji.
Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli \(A(x)\), \(C(x)\) oraz \(F(x)\). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa \(2\). Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której \(q=2\).
\(A(x)=-(x-3)^2+2\)
Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że \(q=2\). Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.
\(C(x)=-5(x-2)^2\)
Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako \(C(x)=-5(x-2)^2+0\). Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna \(q=0\), co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,0\rangle\). Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.
\(F(x)=-2x^2+4x\)
Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat \(2\). W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Obliczmy najpierw deltę.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot0=16-0=16$$
W takim razie:
$$q=\frac{-16}{4\cdot(-2)} \\
q=\frac{-16}{-8} \\
q=2$$
To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.
Zadanie 17. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \((-\frac{1}{2})\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.
Różnica \(a_{3}-a_{2}\) jest równa \(96\).
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spróbujmy ustalić jak będą wyglądać początkowe wyrazy naszego ciągu. Skoro \(a_{1}=128\) i \(q=-\frac{1}{2}\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$128; \quad -64; \quad 32; \quad -16; \quad ...$$
Powinniśmy dostrzec, że mamy tutaj klasyczny ciąg niemonotoniczny, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Widzimy, że nieparzyste wyrazy są dodatnie, a parzyste ujemne. Wyraz \(a_{2023}\) jest wyrazem nieparzystym, czyli będzie on na pewno dodatni, zatem zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(a_{3}=32\), natomiast \(a_{2}=-64\). Różnica tych dwóch wartości wyniesie zatem:
$$32-(-64)=32+64=96$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 18. (2pkt) Ciąg \((3x^2+5x, \quad x^2, \quad 20-x^2)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Wyjaśnienie:
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca własność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając do tego wzoru wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2} \\
x^2=\frac{2x^2+5x+20}{2} \\
2x^2=2x^2+5x+20 \\
0=5x+20 \\
-20=5x \\
x=-4$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 20. (1pkt) Trapez \(T_{1}\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_{2}\). Pole trapezu \(T_{2}\) jest równe \(13\). Obwód trapezu \(T_{2}\) jest równy:
A. \(18\)
B. \(9\)
C. \(\frac{169}{9}\)
D. \(\frac{52}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że trapez \(T_{1}\) ma pole równe \(52\), natomiast trapez \(T_{2}\) ma pole równe \(13\). Możemy więc stwierdzić, że pole pierwszego trapezu jest \(52:13=4\) razy większe od pola trapezu drugiego.
Mamy informację, że trapez \(T_{1}\) jest podobny do trapezu \(T_{2}\). Z własności figur podobnych wynika, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku to pole jest \(4\) razy większe, zatem:
$$k^2=4 \\
k=2 \quad\lor\quad k=-2$$
Skala podobieństwa nie może być ujemna, więc zostaje naam \(k=2\).
Krok 2. Obliczenie obwodu trapezu \(T_{2}\).
Teraz ważne jest to, aby się nie pogubić, dlatego zaznaczmy sobie wyraźnie, że trapez \(T_{1}\) jest większy, a trapez \(T_{2}\) jest mniejszy. Wiemy już, że trapez \(T_{1}\) ma wszystkie boki \(2\) razy większe od trapezu \(T_{2}\). Jeśli więc trapez \(T_{1}\) ma obwód równy \(36\), to trapez \(T_{2}\) będzie miał obwód \(2\) razy mniejszy, zatem:
$$Obw=36:2=18$$
Zadanie 22. (1pkt) W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40°\) większą od kąta \(\alpha\). Miara kąta \(\beta\) jest równa:
A. \(40°\)
B. \(80°\)
C. \(100°\)
D. \(120°\)
Wyjaśnienie:
Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że kąt środkowy będzie miał miarę \(2\) razy większą od kąta wpisanego, który jest oparty na tym samym łuku. Bazując na oznaczeniach z zadania, moglibyśmy więc zapisać, że:
$$\beta=2\alpha$$
Dodatwo wiemy, że kąt \(\beta\) ma miarę o \(40°\) większą od kąta \(\alpha\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$\beta=\alpha+40°$$
Zapisaliśmy więc dwa równania, z których możemy zbudować układ równań:
\begin{cases}
\beta=2\alpha \\
\beta=\alpha+40°
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, wyjdzie nam, że:
$$2\alpha=\alpha+40° \\
\alpha=40°$$
Celem zadania jest podanie miary kąta \(\beta\), zatem:
$$\beta=2\cdot40° \\
\beta=80°$$
Zadanie 24. (2pkt) Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60°\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź
\(P=16\sqrt{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.
Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
$$x=4:2 \\
x=2$$
Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
$$a=2+6+2 \\
a=10$$
Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość \(x=2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trapezu \(h=2\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 25. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\).
Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie:
A. \(y=-\frac{3}{4}x+8\)
B. \(y=\frac{3}{4}x-10\)
C. \(y=\frac{4}{3}x-17\)
D. \(y=-\frac{4}{3}x+15\)
Wyjaśnienie:
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), co prowadzi nas do wniosku, że prosta do niej równoległa będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam już tylko współczynnika \(b\). Poznamy go, podstawiając współrzędne punktu \(P=(12,-1)\) przez który ta prosta musi przechodzić, zatem:
$$-1=\frac{3}{4}\cdot12+b \\
-1=9+b \\
b=-10$$
To oznacza, że poszukiwana prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-10\).
Zadanie 27. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach:
• \(y=\sqrt{3}x+6\)
• \(y=-\sqrt{3}x+6\)
• \(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\)
przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(KLM\) jest:
oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.
dwie z tych prostych są prostopadłe.
oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.
Wyjaśnienie:
Możemy oczywiście narysować te proste, aczkolwiek z samego szkicu rysunku dość trudno będzie ustalić, czy ten trójkąt ma np. ramiona równej długości. W ogóle ustalenie długości ramion jest dość problematyczne (co nie znaczy, że jest niemożliwe). Dużo łatwiej jest sprawdzić, czy ten trójkąt jest prostokątny i to właśnie od tego warto zacząć rozwiązywanie zadania. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to wśród naszych równań powinna znaleźć się para prostych prostopadłych (tylko wtedy mielibyśmy kąt prosty w naszym trójkącie). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Tak się składa, że wśród naszych prostych jest właśnie taka para - to pierwsza i trzecia prosta, których iloczyn współczynników kierunkowych jest równy \(\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\).
To prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt faktycznie będzie prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe.
Zadanie 28. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa:
A. \(\sqrt{5}\)
B. \(2\sqrt{5}\)
C. \(3\sqrt{5}\)
D. \(6\sqrt{5}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu pomoże nam prosty szkic całej sytuacji:
Środek symetrii równoległoboku pokrywa się z jego przekątną, a to sprawia, że punkt \(S\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \(AC\).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{\left(2-(-1)\right)^2+\left(2-(-4)\right)^2} \\
|AS|=\sqrt{3^2+6^2} \\
|AS|=\sqrt{9+36} \\
|AS|=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Jak już ustaliliśmy, odcinek \(AS\) jest połową długości przekątnej, czyli tym samym możemy zapisać, że długość przekątnej \(AC\) jest równa:
$$|AC|=2\cdot3\sqrt{5} \\
|AC|=6\sqrt{5}$$
Zadanie 29. (2pkt) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).
Zadanie 29.2. (1pkt) Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna:
W takim razie interesujący nas kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wygląda następująco:
Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.
Zgodnie ze szkicem z pierwszego kroku możemy stwierdzić, że dłuższa przekątna jest dwa razy dłuższa od krawędzi sześcianu, czyli ma ona długość:
$$d=2\cdot6=12$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Spoglądamy na rysunek szkicowy graniastosłupa i na kluczowy trójkąt prostokątny, który został tam zaznaczony. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$12^2+6^2=s^2 \\
144+36=s^2 \\
s^2=180 \\
s=\sqrt{180} \quad\lor\quad s=-\sqrt{180}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(s=\sqrt{180}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).
Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.
Cosinus to stosunek długość przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}} \\
cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$$
Otrzymany wynik jest poprawny, ale możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
Zadanie 30. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest:
A. \(9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\)
B. \(9\cdot9\cdot9\cdot9\)
C. \(10\cdot9\cdot8\cdot7\)
D. \(9\cdot9\cdot8\cdot7\)
Wyjaśnienie:
Sprawdźmy na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr naszej czterocyfrowej liczby (pamiętając o tym, że cyfry nie mogą się powtarzać).
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z dziewięciu cyfr od \(1\) do \(9\) (czyli bez cyfry \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tej, która wystąpiła w rzędzie tysięcy, zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy oraz setek, zatem mamy tutaj \(8\) różnych możliwości
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy, setek oraz dziesiątek, zatem mamy tutaj \(7\) różnych możliwości
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot9\cdot8\cdot7$$
Zadanie 31. (2pkt) Ze zbioru pięciu liczb \({1,2,3,4,5}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.
Odpowiedź
\(p=\frac{3}{10}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest bez zwracania (czyli pierwsze losowanie jest spośród pięciu liczb, a drugie już tylko spośród czterech). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by obydwie wylosowane liczby były nieparzyste. Takich par nie jest dużo, możemy je nawet wypisać:
$$(1;3), (1;5) \\
(3;1), (3;5) \\
(5;1), (5;3)$$
To oznacza, że tylko sześć par spełnia warunki zadania, stąd też możemy zapisać, że \(|A|=6\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (4pkt) Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x)=196x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \(K(x)=4x^2+4x+240\)
Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł.
Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Odpowiedź
\(24\) krzesła dziennie, co przyniesie zysk \(2064 zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:
$$Z(x)=P(x)-K(x) \\
Z(x)=196x-(4x^2+4x+240) \\
Z(x)=196x-4x^2-4x-240 \\
Z(x)=-4x^2+192x-240$$
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=−4\) oraz \(b=192\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-192}{2\cdot(-4)} \\
p=\frac{-192}{-8} \\
p=24$$
To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=24\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;30\rangle\) (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(24\) krzeseł dziennie.
Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa \(x=24\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=24\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-4x^2+192x-240\). Prostsza jest chyba ta druga metoda, zatem:
$$Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot576+4608-240 \\
Z(24)=-2304+4608-240 \\
Z(24)=2064$$
To oznacza, że największy zysk wynosi \(2064\) złotych.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Czekam z niecierpliwością na wyniki, oby los mi sprzyjał razem z Pitagorasem
modlę się
Kiedy będą wyniki?
Oficjalne wyniki będą na początku września ;) A jeśli chodzi o moje odpowiedzi do zadań, to właśnie zrobiłem sporą aktualizację, więc możesz odświeżyć stronę ;)
A do wersji 2015?
Właśnie dodałem, więc możesz tam już zajrzeć ;)
Dziękuję Panu z całego serca! Dzięki kursowi na tej stronie zdałam poprawkę!
Ogromne gratulacje! Bardzo się cieszę, że mogłem dołożyć swoją małą cegiełkę do Twojego sukcesu :) Teraz nie pozostaje mi nic innego, jak życzyć Ci samych radości w dorosłym życiu! :)
Czy jak w zadaniu 18, x zapisałam jako (-4) to też będzie w porządku?
Tak, będzie ok :)
31 na pewno w ten sposób?
Na 100% :)
Czy jeżeli w zadaniu z prawdopodobieństwa mam źle omegę, a punkt A dobrze to dostanę 1pkt?
Prawdopodobnie właśnie tak będzie :)
A jeśli dobrze policzę, ale nie z rachunku prawdopodobieństwa?
Każdy sposób (byleby poprawny) będzie zaliczony ;)
Jeszcze jedno pytanie, czy jak w zadaniu 31 wyszło mi 6/20 i nie skróciłam do 3/10 to też zostanie zaliczona taka odpowiedź?
Oczywiście, że tak – nie ma problemu ;)
zrobiłam to samo.. a czy jest szansa żebym dostała za nieskrócony wynik 2 pkt ? sprawdzałam klucz i zasady oceniania matury czerwcowej 2023 i tam zaliczali odpowiedz nieskrócona. wiec czy w razie czego mogłabym się odwołać i uargumentować to tym, ze w czerwcu zaliczyli? pozostawiłam 6/20 ale zrobiłam obliczenia w postaci tabelki?
Na pewno będzie pełna punktacja, nie ma co się przejmować ;) Metoda z tabelką jest jak najbardziej poprawna, wynik 6/20 też jest ok :)
dziękuje!!! ❤️
a jest szansa ze przydziela 2 pkt ? jeśli nie skrocilam wyniku i pozostawiłam 6/20 ale zrobiłam obliczenia w postaci tabelki ?
Pewnie, tu nie ma problemu, może być wynik w postaci nieskróconej ;)
Mam pytanie bo na innej stronie zadanie z Prawda Fałsz jest odpowiedz PP a tutaj FP wlaśnie tak jak ja zaznaczyłam która odpowiedz finalnie jest dobra? POZDRAWIAM
Na pewno jest FP. Zobacz na wyjaśnienie zadania – a2023 jest na pewno liczbą dodatnią ;)
czy te odpowiedzi są w 100% dobre? czy może się oficjalnie okazać ze coś będzie inaczej?
Na 100% są poprawne ;)
Czy te wszystkie odpowiedzi są na 100% legit? Bo już mi odwala od sprawdzania wszystkich stron, u was wychodzi mi, że mam 19pkt a na innej stronie, że 18…
Wyniki są na 100% poprawne :) Prawdopodobnie więc na innej stronie ktoś się pomylił, co też jest w pełni zrozumiałe, bo wszyscy starają się podać Wam odpowiedzi jak najszybciej, więc bardzo łatwo o pomyłkę. Nie mniej jednak każde zadanie jest tutaj rozpisane, więc widać skąd się wziął dany wynik ;)
mam jeszcze pytanie co to zadania 9. Zrobiłam to tak: 3x^3-2x^2-3z+2=0.
x^2(3x-2) -1 (3x-2)
(3x-2) (x^2-1)
3x-2=0
3x=2
x=2/3
x^2-1=0
x^2=1
x= pierwiastek z 1
x= 1 (znak lub) -1
x € -1,1,2/3
ile mogą odjąć mi pkt za to ze nie napisałam w przy tych nawiasach =0???? czy mam szanse na chociaż 2 pkt ?
To ciekawy przypadek ;) Nie wiem jak do takich spraw podchodzą egzaminatorzy, ale podejrzewam, że to jest błąd traktowany bardziej jako „niedbalstwo” zapisu – koniec końców wyniki masz poprawne, a i sam tok rozwiązywania był w sumie poprawny. Coś czuję, że to będą po prostu 3 punkty ;)
a ja mam takie pytanie. W zadaniu 9 rozwiązałam równanie prawidłowo i wynik wyszedł dobry. Jednak gdzieś z boku się pomyliłam i napisałam ze 2/3 to 1 i 1/3… zaznaczam- z boku. i do x€ wpisałam prawidłowo -1,1,2/3. Tak więc czy dla egzaminatora mój błędny zapis z boku będzie miał znaczenie przy przydzielaniu punktacji jeżeli nie wpłynęło to na moje równanie i wyszło prawidłowo?
Jeśli w ramach zapisu masz poprawne wyniki, a na boku gdzieś są Twoje błędne rozpiski, to problemu raczej nie będzie. Ja bym wyszedł z założenia, że rozpisując coś na boku popełniłaś błąd, który potem samodzielnie naprawiłaś w głównych obliczeniach ;)
Czy w zadaniu nr. 21 odpowiedź D jest na 100% prawidłowa?
No a czemu miałaby być nieprawidłowa? ;)
Cześć, czy jeżeli w zadaniu 9 obrałem zły tok rozwiązywania ale finalnie po wyjęciu przed nawiasy, x=2/3 po zrównaniu z 0 wyszedł mi dobrze to czy jest szansa na 1 punkt? Będzie on prawdopodobnie decydujący w tym przypadku, czy w razie w jest sens się odwoływać do wyniku i próbować? Dodam ze w papierach mam wpisana dysleksje może to pomoże, pozdrawiam.
Trudno powiedzieć bez zobaczenia o co dokładnie chodzi z tym złym tokiem rozwiązywania. Jeśli 2/3 wyszło Ci przypadkowo dobrze, to punktu z tego raczej niestety nie będzie…
w zadaniu 9 dałam w odpowiedzi -1, 2/3. ile będzie za to punktów jak nie dałam dodatkowo 1?
Prawdopodobnie będzie to 1 punkt ;)
czy jeśli w zadaniu 9 głupi (wręcz bardzo wiem ale to stres) dwa pierwsze wyniki zapisałam jako x= pierwiastek z 1 oraz x=pierwiastek z -1 a trzeci wynik mam poprawny to czy mogę liczyc na chociaż jeden punkt?
Myślę, że na 1 punkt można spokojnie liczyć ;)
Dzięki Panu kursowi zdałam poprawkę na 43% Dziękuje z całego serca :)
Gratuluję!
wydaje mi się, że w zadaniu 14.2 jest błąd w nawias 5;7 powienen byc domkniety z lewej strony
Dla x=5 funkcja przyjmuje wartość równą dokładnie 1, a my mieliśmy zapisać wartości większe od 1, stąd nawias nie może być domknięty ;)