Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2023 – Odpowiedzi

D

Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-5\lt2 \quad\land\quad x-5\gt-2 \\
x\lt7 \quad\land\quad x\gt3$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\in(3;7)\). Taki przedział znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.

D

Kluczem do sukcesu będzie umiejętne wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka. Podaną liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot\sqrt{9\cdot5}-\sqrt{4\cdot5}= \\
=3\cdot3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-2\sqrt{5}=7\sqrt{5}$$

Chcąc się dopasować do proponowanych odpowiedzi musimy otrzymany wynik zapisać w postaci potęgi. Korzystając z zamiany pierwiastków na potęgi wiemy, że \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), zatem poprawną odpowiedzią będzie \(7\cdot5^{\frac{1}{2}}\).

A

Moglibyśmy tutaj skorzystać z działań na logarytmach, ale wydaje się, że jeszcze lepszym pomysłem byłoby obliczenie po prostu wartości każdego z tych logarytmów z osobna. Tak też zróbmy, zatem:
\(log_{25}1=0\), bo \(25^0=1\)
\(log_{25}5=\frac{1}{2}\), bo \(25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\)

W takim razie moglibyśmy zapisać, że:
$$log_{25}1-\frac{1}{2}log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$

Udowodniono rozbijając liczbę na postać \(3n(n+1)(n+5)\).

Krok 1. Rozpisanie liczby.
Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie przed nawias wartości \(3n\) i rozpisanie naszej liczby w następujący sposób:
$$3n^3+18n^2+15n=3n\cdot(n^2+6n+5)$$

Musimy teraz rozbić wyrażenie \(n^2+6n+5\) na postać iloczynową. Jeśli mamy dużą wprawę, to od ręki możemy zapisać, że to będzie równe \((n+1)(n+5)\). Jeśli jednak nie jesteśmy w stanie tego wyznaczyć w pamięci, to możemy zachować się dokładnie tak samo jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-4}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$

To pozwala nam stwierdzić, że:
$$n^2+6n+5=(n-(-5))\cdot(n-(-1))=(n+5)(n+1)$$

Zapisalibyśmy więc, że nasza liczba jest równa:
$$3n\cdot(n+1)(n+5)$$

Dla lepszego zobrazowania możemy to sobie nawet przedstawić w taki oto sposób:
$$3\cdot n\cdot(n+1)\cdot(n+5)$$

Krok 2. Wykazanie podzielności przez \(6\).
Widzimy, że nasza liczba na pewno jest podzielna przez \(3\) (świadczy o tym ta trójka, która stoi na samym początku). Powinniśmy teraz dostrzec, że \(n\cdot(n+1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Taka liczba jest zatem parzysta, czyli podzielna przez \(2\). Wniosek z tego płynie taki, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i \(2\) jednocześnie, a to oznacza, że będzie także podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3n(n^2+6n+5)\) lub innej podobnej (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(2\).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(3\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

A

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac{1}{3}}{(-9)^2}\cdot81= \\
=\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}$$

B

Możemy oczywiście rozpisać całe wyrażenie z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), ale do tego konkretnego przykładu da się podejść nieco sprytniej. Moglibyśmy zauważyć, że \(2-\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{3}-2\) to liczby przeciwne. Pokazując sobie to bardziej obrazowo, \(2-\sqrt{3}\approx0,27\), natomiast \(\sqrt{3}-2\approx-0,27\). Kwadraty tych liczb są zatem sobie równe, a to prowadzi nas do wniosku, że \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) to różnica dwóch takich samych liczb, czyli będzie ona równa \(0\).

C

Wykonując odejmowanie z ułamkiem, musimy pamiętać, by sprowadzić liczby do jednakowego mianownika. Mówiąc bardziej obrazowo, chcąc odjąć \(x\) od liczby \(\frac{1}{2x}\) musimy zapisać liczbę \(x\) w postaci ułamka, który w mianowniku ma \(2x\). W tym przypadku musielibyśmy dostrzec, że \(x=\frac{2x^2}{2x}\), co sprawi, że otrzymamy następującą sytuację:
$$\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}$$

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$x^2-25\neq0 \\
x^2\neq25 \\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-5$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-25) \\
(x^2-3x)(x^2+1)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x^2-3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x(x-3)=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. To oznacza, że zostają nam \(x=0\) oraz \(x=3\).

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W naszym przypadku rozwiązania \(x=0\) oraz \(x=3\) nie wykluczają się z rozwiązaniami, a to oznacza, że to równanie ma dwa rozwiązania.

\(x=-1\), \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(x=1\)

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3x^3-2x^2-3x+2=0 \\
x^2(3x-2)-1(3x-2)=0 \\
(x^2-1)\cdot(3x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad 3x-2=0 \\
x^2=1 \quad\lor\quad 3x=2 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-1)(3x-2)=0\)
2 pkt
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-1)(x+1)(3x-2)=0\)
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Z geometrycznej interpretacji układów równań wiemy, że aby dwie proste przecięły się w punkcie \((-8,6)\), to te dwie proste muszą stworzyć układ równań, którego rozwiązaniem będą \(x=-8\) oraz \(y=6\). Mówiąc wprost - musielibyśmy z każdej pary równań zbudować układ i rozwiązać go. Interesująca nas sytuacja będzie mieć miejsce przy ostatniej parze równań:
\begin{cases}
x-y=-14 \\
-2x+y=22
\end{cases}

Korzystając z metody przeciwnych współczynników możemy teraz dodać te równania stronami, otrzymując:
$$-x=8 \\
x=-8$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(x=-8\) do wybranego równania z układu (np. pierwszego), otrzymamy:
$$-8-y=-14 \\
-y=-6 \\
y=6$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb \(x=-8\) oraz \(y=6\), co oznacza, że te dwie proste przetną się w punkcie \((-8,6)\).

C

Z informacji o miejscu zerowym wynika, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((1,0)\). Dodatkowo z treści zadania wiemy, że wykres przechodzi przez punkt \((-1,4)\). Mamy więc klasyczną sytuację, w której musimy wyznaczyć wzór funkcji, która przechodzi przez dwa punkty o znanych współrzędnych. W tym celu możemy albo skorzystać z bardzo długiego wzoru z tablic, albo też z metody układu równań. Skorzystajmy z tej szybszej metody, czyli układu równań. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne jednego punktu, a potem drugiego - powstaną nam wtedy dwa równania, z których zbudujemy układ. Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
0=1\cdot a+b \\
4=(-1)\cdot a+b
\end{cases}

\begin{cases}
0=a+b \\
4=-a+b
\end{cases}

Odejmując teraz te równania stronami, otrzymamy:
$$-4=2a \\
a=-2$$

W zasadzie już teraz moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, ponieważ tylko jeden wzór z proponowanych w odpowiedziach ma współczynnik \(a=-2\). Ale dla pewności wyznaczmy jeszcze współczynnik \(b\), podstawiając do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) wyznaczone \(a=-2\), zatem:
$$0=-2+b \\
b=2$$

To oznacza, że poszukiwanym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=-2x+2\).

A

Z treści zadania wiemy, że \(f(1)=2\), czyli że dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=2\). Podstawiając te informacje do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=\frac{1-k}{1^2+1} \\
2=\frac{1-k}{2} \\
4=1-k \\
3=-k \\
k=-3$$

D

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Podana funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej typu \(f(x)=(x-p)^2+q\), czyli postaci, z której możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). Przyrównując wzór funkcji do postaci kanonicznej widzimy, że w naszym przypadku \(p=13\) oraz \(q=-256\).

Krok 2. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych jest \(x=-3\), a celem zadania jest poznanie drugiego miejsca zerowego. Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe znajdują się w jednakowej odległości od wierzchołka paraboli. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Skoro od \(x=-3\) do \(x=13\) mamy \(16\) jednostek, to drugim miejscem zerowym będzie \(x=13+16=29\).

A. oraz F.

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty,2\rangle\), co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Dobrze to widać na poniższym rysunku:


Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy \(a\lt0\). Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.

Krok 2. Wybór wzorów funkcji.
Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli \(A(x)\), \(C(x)\) oraz \(F(x)\). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa \(2\). Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której \(q=2\).

\(A(x)=-(x-3)^2+2\)
Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że \(q=2\). Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.

\(C(x)=-5(x-2)^2\)
Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako \(C(x)=-5(x-2)^2+0\). Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna \(q=0\), co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,0\rangle\). Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.

\(F(x)=-2x^2+4x\)
Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat \(2\). W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Obliczmy najpierw deltę.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot0=16-0=16$$

W takim razie:
$$q=\frac{-16}{4\cdot(-2)} \\
q=\frac{-16}{-8} \\
q=2$$

To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.

B

Chcąc poznać wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\), zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2} \\
a_{3}=(-1)\cdot\frac{4}{2} \\
a_{3}=(-1)\cdot2 \\
a_{3}=-2$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spróbujmy ustalić jak będą wyglądać początkowe wyrazy naszego ciągu. Skoro \(a_{1}=128\) i \(q=-\frac{1}{2}\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$128; \quad -64; \quad 32; \quad -16; \quad ...$$

Powinniśmy dostrzec, że mamy tutaj klasyczny ciąg niemonotoniczny, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Widzimy, że nieparzyste wyrazy są dodatnie, a parzyste ujemne. Wyraz \(a_{2023}\) jest wyrazem nieparzystym, czyli będzie on na pewno dodatni, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(a_{3}=32\), natomiast \(a_{2}=-64\). Różnica tych dwóch wartości wyniesie zatem:
$$32-(-64)=32+64=96$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(x=-4\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca własność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2} \\
x^2=\frac{2x^2+5x+20}{2} \\
2x^2=2x^2+5x+20 \\
0=5x+20 \\
-20=5x \\
x=-4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Wartość cosinusa znamy, zatem:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
sin^2\alpha+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{4\cdot6}{49}=1 \\
sin^2\alpha+\frac{24}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{24}{49} \\
sin^2\alpha=\frac{25}{49} \\
sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{25}{49}} \\
sin\alpha=\frac{5}{7} \quad\lor\quad sin\alpha=-\frac{5}{7}$$

Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, a to dlatego że w treści zadania jest podana informacja o tym iż kąt \(\alpha\) jest ostry. Dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie, stąd też prawidłową odpowiedzią jest jedynie \(sin\alpha=\frac{5}{7}\).

A

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że trapez \(T_{1}\) ma pole równe \(52\), natomiast trapez \(T_{2}\) ma pole równe \(13\). Możemy więc stwierdzić, że pole pierwszego trapezu jest \(52:13=4\) razy większe od pola trapezu drugiego.

Mamy informację, że trapez \(T_{1}\) jest podobny do trapezu \(T_{2}\). Z własności figur podobnych wynika, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku to pole jest \(4\) razy większe, zatem:
$$k^2=4 \\
k=2 \quad\lor\quad k=-2$$

Skala podobieństwa nie może być ujemna, więc zostaje naam \(k=2\).

Krok 2. Obliczenie obwodu trapezu \(T_{2}\).
Teraz ważne jest to, aby się nie pogubić, dlatego zaznaczmy sobie wyraźnie, że trapez \(T_{1}\) jest większy, a trapez \(T_{2}\) jest mniejszy. Wiemy już, że trapez \(T_{1}\) ma wszystkie boki \(2\) razy większe od trapezu \(T_{2}\). Jeśli więc trapez \(T_{1}\) ma obwód równy \(36\), to trapez \(T_{2}\) będzie miał obwód \(2\) razy mniejszy, zatem:
$$Obw=36:2=18$$

D

Krok 1. Obliczenie obwodu koła.
Korzystając ze wzoru na obwód koła, możemy zapisać, że obwód całego koła jest równy:
$$P=2\pi r \\
P=2\pi\cdot 3 \\
P=6\pi$$

Krok 2. Obliczenie obwodu wycinka.
Wycinek koła będzie przypominał trójkąt równoramienny (tutaj ramiona będą mieć długość \(r=3\)), którego podstawa jest zaokrąglona. Wygląda to mniej więcej w ten sposób:


Skoro kąt środkowy ma miarę \(30°\), to długość tego zaokrąglenia (oznaczonego na rysunku jako \(x\)) będzie stanowić \(\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}\) obwodu całego koła. Skoro tak, to ta dolna część wycinka będzie miała długość:
$$x=\frac{1}{12}\cdot6\pi \\
x=\frac{1}{2}\pi$$

To oznacza, że obwód całego wycinka będzie równy:
$$Obw=\frac{1}{2}\pi+3+3 \\
Obw=\frac{1}{2}\pi+6$$

B

Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że kąt środkowy będzie miał miarę \(2\) razy większą od kąta wpisanego, który jest oparty na tym samym łuku. Bazując na oznaczeniach z zadania, moglibyśmy więc zapisać, że:
$$\beta=2\alpha$$

Dodatwo wiemy, że kąt \(\beta\) ma miarę o \(40°\) większą od kąta \(\alpha\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$\beta=\alpha+40°$$

Zapisaliśmy więc dwa równania, z których możemy zbudować układ równań:
\begin{cases}
\beta=2\alpha \\
\beta=\alpha+40°
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, wyjdzie nam, że:
$$2\alpha=\alpha+40° \\
\alpha=40°$$

Celem zadania jest podanie miary kąta \(\beta\), zatem:
$$\beta=2\cdot40° \\
\beta=80°$$

C

W tym zadaniu nie trzeba tak naprawdę niczego obliczać - musimy się posłużyć jedynie twierdzeniem o dwusiecznej kąta. Zgodnie z tym twierdzeniem, dwusieczna podzieli nam podstawę \(AB\) w takim samym stosunku jak stosunek długości boków \(|AC|:|BC|\).


Widzimy, że odcinek \(AD\) będzie miał zatem długość \(3x\), a odcinek \(DB\) długość \(4x\), czyli stosunek \(|AD|:|DB|\) będzie równy \(3:4\).

\(P=16\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.

Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
$$x=4:2 \\
x=2$$

Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
$$a=2+6+2 \\
a=10$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość \(x=2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trapezu \(h=2\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), co prowadzi nas do wniosku, że prosta do niej równoległa będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam już tylko współczynnika \(b\). Poznamy go, podstawiając współrzędne punktu \(P=(12,-1)\) przez który ta prosta musi przechodzić, zatem:
$$-1=\frac{3}{4}\cdot12+b \\
-1=9+b \\
b=-10$$

To oznacza, że poszukiwana prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-10\).

C

Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka \(S=(a,b)\) natomiast \(r\) to promień okręgu. Wszystkie potrzebne dane mamy podane w treści zadania, więc wystarczy je tylko podstawić do wzoru:
$$(x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2 \\
(x+1)^2+(y-2)^2=9$$

B. 2,

Możemy oczywiście narysować te proste, aczkolwiek z samego szkicu rysunku dość trudno będzie ustalić, czy ten trójkąt ma np. ramiona równej długości. W ogóle ustalenie długości ramion jest dość problematyczne (co nie znaczy, że jest niemożliwe). Dużo łatwiej jest sprawdzić, czy ten trójkąt jest prostokątny i to właśnie od tego warto zacząć rozwiązywanie zadania. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to wśród naszych równań powinna znaleźć się para prostych prostopadłych (tylko wtedy mielibyśmy kąt prosty w naszym trójkącie). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Tak się składa, że wśród naszych prostych jest właśnie taka para - to pierwsza i trzecia prosta, których iloczyn współczynników kierunkowych jest równy \(\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\).

To prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt faktycznie będzie prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe.

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu pomoże nam prosty szkic całej sytuacji:


Środek symetrii równoległoboku pokrywa się z jego przekątną, a to sprawia, że punkt \(S\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{\left(2-(-1)\right)^2+\left(2-(-4)\right)^2} \\
|AS|=\sqrt{3^2+6^2} \\
|AS|=\sqrt{9+36} \\
|AS|=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Jak już ustaliliśmy, odcinek \(AS\) jest połową długości przekątnej, czyli tym samym możemy zapisać, że długość przekątnej \(AC\) jest równa:
$$|AC|=2\cdot3\sqrt{5} \\
|AC|=6\sqrt{5}$$

D

Sprawdźmy na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr naszej czterocyfrowej liczby (pamiętając o tym, że cyfry nie mogą się powtarzać).
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z dziewięciu cyfr od \(1\) do \(9\) (czyli bez cyfry \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tej, która wystąpiła w rzędzie tysięcy, zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy oraz setek, zatem mamy tutaj \(8\) różnych możliwości
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy, setek oraz dziesiątek, zatem mamy tutaj \(7\) różnych możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot9\cdot8\cdot7$$

\(p=\frac{3}{10}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest bez zwracania (czyli pierwsze losowanie jest spośród pięciu liczb, a drugie już tylko spośród czterech). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by obydwie wylosowane liczby były nieparzyste. Takich par nie jest dużo, możemy je nawet wypisać:
$$(1;3), (1;5) \\
(3;1), (3;5) \\
(5;1), (5;3)$$

To oznacza, że tylko sześć par spełnia warunki zadania, stąd też możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Aby poznać średnią wynagrodzenia, musimy dodać wszystkie wynagrodzenia (pamiętając o tym, że dane wynagrodzenie otrzymuje określona liczba osób), a następnie podzielić tę wartość przez liczbę wszystkich pracowników (z treści zadania wiemy, że ich równo stu, więc nie musimy już tego samodzielnie obliczać). Zapisalibyśmy więc, że:
$$śr=\frac{10\cdot4800+36\cdot5100+5\cdot5500+25\cdot5900+18\cdot6400+4\cdot7500+2\cdot8600}{100} \\
śr=\frac{48000+183600+27500+147500+115200+30000+17200}{100} \\
śr=\frac{569000}{100} \\
śr=5690[zł]$$

\(24\) krzesła dziennie, co przyniesie zysk \(2064 zł\).

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:
$$Z(x)=P(x)-K(x) \\
Z(x)=196x-(4x^2+4x+240) \\
Z(x)=196x-4x^2-4x-240 \\
Z(x)=-4x^2+192x-240$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.


Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=−4\) oraz \(b=192\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-192}{2\cdot(-4)} \\
p=\frac{-192}{-8} \\
p=24$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=24\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;30\rangle\) (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(24\) krzeseł dziennie.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa \(x=24\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=24\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-4x^2+192x-240\). Prostsza jest chyba ta druga metoda, zatem:
$$Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot576+4608-240 \\
Z(24)=-2304+4608-240 \\
Z(24)=2064$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(2064\) złotych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.