Matura – Matematyka – Maj 2022 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – maj 2022. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

PS. Strona jest na bieżąco aktualizowana (wszystkie zadania mają już odpowiedzi i właśnie dodałem rozbudowane rozwiązania zadań otwartych, tak aby każdy mógł zobaczyć jak należało je rozwiązać). Teraz powolutku przechodzę do pisania obszernych rozwiązań do zadań zamkniętych, więc można sobie co jakiś czas odświeżać stronę ;)

Arkusz PDF znajduje się tutaj:

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2022

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Dodatnie liczby \(x\) i \(y\) spełniają warunek \(2x=3y\). Wynika stąd, że wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(4log_{4}2+2log_{4}8\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78 732 zł\). Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1 zł\), równa:

Zadanie 5. (1pkt) Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa:

Zadanie 6. (1pkt) Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_{0}\), \(y=y_{0}\). Wtedy:

Zadanie 7. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5}\) jest przedział:

Zadanie 8. (1pkt) Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy:

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

matura z matematyki



Iloczyn \(f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)\) jest równy:

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle-4,5\rangle\).

matura z matematyki



Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.

matura z matematyki



Wynika stąd, że:

Zadanie 11. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5\) jest liczba:

Zadanie 12. (1pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to:

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy \(a_{7}\) jest równy:

Zadanie 14. (1pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{5}=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa:

Zadanie 15. (1pkt) Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_{5}=4a_{3}\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 16. (1pkt) Liczba \(cos12°\cdot sin78°+sin12°\cdot cos 78°\) jest równa:

Zadanie 17. (1pkt) Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha\), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę:

Zadanie 18. (1pkt) Punkty \(A, B, P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(6\). Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę \(60°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe:

Zadanie 19. (1pkt) Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120°\). Pole tego równoległoboku jest równe:

Zadanie 21. (1pkt) Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe:

Zadanie 22. (1pkt) Dane są cztery proste \(k,l,m,n\) o równaniach:

k: \(y=-x+1\)

l: \(y=\frac{2}{3}x+1\)

m: \(y=-\frac{3}{2}x+4\)

n: \(y=-\frac{2}{3}x-1\)



Wśród tych prostych prostopadłe są:

Zadanie 23. (1pkt) Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((-12)\). Wynika stąd, że:

Zadanie 24. (1pkt) Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość:

Zadanie 25. (1pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7 cm\) i \(10 cm\). Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2 cm\). Wtedy objętość graniastosłupa jest równa:

Zadanie 26. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E,F,G,B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe:

Zadanie 27. (1pkt) Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest:

Zadanie 28. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x, 4, 6, 8, 11, 13\), jest równa \(5\). Wynika stąd, że:

Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(3x^2-2x-9\ge7\)

Zadanie 30. (2pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1)\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 31. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność

$$\dfrac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$

Zadanie 32. (2pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(sin^2\alpha\).

Zadanie 33. (2pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

matura z matematyki

Zadanie 34. (2pkt) Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Zadanie 35. (5pkt) Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

329 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Marta

Dzięki Tobie i Twojemu kursowi zdałam maturę i to jeszcze ze świetnym wynikiem!!! Bardzo dziękuję!

Xyz

powodzenia dla maturzystów na jutrzejszym języku obcym

xyz

A jak w 34. przybliżyłem 4/81 do 4.93 to źle czy dobrze będzie?

SZYCHA
Reply to  SzaloneLiczby

wynik wyszedł ci powyżej 1. mogą ci za to dać zero punktów. Specyfika zadania. Prawdopodobieństwo nigdy nie może być większe od 1.

Andreas
Reply to  xyz

Zasadniczo 4/81 to w tym przypadku się podaje bez liczenia czegokolwiek :) Swoją drogą można tak ? Są 4 możliwe warianty 3*8, 4 * 6 i 6*4 i 8*3. Wszystkich wariantów jest 81. Więc 4 na 81. Ja maturę zdawałem jakieś 25 lat temu więc wzorów nie pamiętam żadnych.

Nina
Reply to  xyz

Mogłaby być odp 4,93% bo to prawie 4/81, ale 4,93 to duży błąd, bo prawdopodobieństwo nie może być większe od 1.

xyz
Reply to  Nina

chodziło oczywiście o 4.93%

pgr
Reply to  SzaloneLiczby

nie bo kolejna liczba po przecinku to 8 a zatem zaokrąglenie to 4,94%
4/81 = 0,0493827

Eliza

Dziękuję bardzo!!

Mania

A w 24 dlaczego nie 4pierw5 ?

szefff

Czy zapisanie przedziału zamkniętego przy nieskończoności jest błędem?

szefff

Ile punktów dostanę w ostatnim zadaniu za podanie tylko wierzchołka paraboli, jest szansa na 1pkt chociaż?

Marysia

Jeżeli w 35, doszłam do momentu obliczenia a, ale przy b i c wyszedł mi nieco inny wynik, to na ile pkt zostanę oceniona? 2/5, 3/5?

Zyz

Będzie wersja z odpowiedzią a. 26 w 1 zadaniu?

Michał
Reply to  SzaloneLiczby

A jest gdzieś arkusz drugiej grupy? Dużo osób zapamiętało tylko odpowiedź a,b,c i ma problem ze sprawdzeniem

Jakub

Czy w 32 nie wypisując że α jest ostry tylko widząc to z polecenia można podnieść do kwadratu sin/cos?

xklavvx

Czy jeśli w zadaniu z nierównością zamiast znaku „lub” napisałam znak „i” to stracę punkt?

.
Reply to  SzaloneLiczby

U mnie nauczyciel który jest egzaminatorem zabiera za to, ale nie wiem czy po to żeby nas uczulić na to, czy tak by ocenił na maturze

Last edited 19 dni temu by .
powodzenia wszystkim
Reply to  SzaloneLiczby

Wydaje mi się ze tam chodzi o sumę czyli „U” a nie „i”, ani „lub”

Xyz

Jak napisałam w zadaniu 29 zamiast 8/3 to 2 i 2/3 zalicza mi to jako dobry wynik?

Xyz
Reply to  SzaloneLiczby

Suuuuuper, dziękuje za odpowiedz

Piotr

Witam czy jeżeli w 35 pomnożyłem całość razy 8 (-3/4 było do wspólnego mianownika) i zapisałem wszystko jako -3x^2-6x+45 i skróciłem przez 3 czyli wynik ostatecznie: -x^2-2x+15 to będzie dobrze?

Martyna

Nigdy nie byłam orłem z matematyki, ale dzięki twojemu kursowi udało mi się uzyskać aż 80% z maturki po przeliczeniu dzisiejszych odpowiedzi:)

Nadia

Dzięki systematycznemu robieniu arkuszy i sprawdzaniu odpowiedzi na tej stronie napisałam dzisiaj prawie bezbłędna maturę!!! Bardzo serdecznie Panu dziękuję

XKxyz

Kiedy te rozbudowane odpowiedzi?

Świeżak

Mam pytanie,czy jest możliwość,że na egzaminie dane odpowiedzi były pod innymi literami?
Bo mam wrażenie,że większość zadań wykonałem dobrze,wynik dobry obliczyłem,a znajduje sie pod inną literą.
Ktoś też ma takie wrażenie jak ja?

Piotrek
Reply to  SzaloneLiczby

Czyli jak u jednej osoby pyt. 1 to odpowiedź np. A to u kogoś innego pyt.1 może być odpowiedź np.C ????

MarikaMiernik
Reply to  SzaloneLiczby

ufff…..a ile wersji arkusza odpowiedzi było 2 czy więcej? :))))

Janek

Czy dostane jakiś punkt jak w nierówności źle policzyłem tylko x2?

bbbb

czy jeśli w 34 zamiast 4/81 napisałam 81/4 to przeznaczą mi jakiś punkt?

bbbb
Reply to  SzaloneLiczby

nawet za narysowanie tabelki pomocniczej ? ;/

polluktus

a w 27 nie powinno być A (9x8x7x2)? w końcu liczby mają być różne więc pula się zmniejsza

Kuba

W 27 nie 9,10,10,2? Dzieli się przez 5 i 0

Sjemon
Reply to  Kuba

Jak będzie 0 to będą liczby parzyste a w poleceniu proszono o liczby nieparzyste

Frezzy

Witam, czy jeżeli w 34. zadaniu obliczyłem omegę to dostanę 1 pkt?

Monika
Reply to  SzaloneLiczby

Oby, bo ten 1 pkt będzie dla mnie decydujący

Kamila

Czy jeśli w nierówności nie skróciłam w x2 16/6 tylko zostawiłam to tak ,to odejmą mi punkt? Zbiór dobrze wyznaczyłam

Monika
Reply to  SzaloneLiczby

A jak ja zrobiłam 6/16 = 2całe i 4/6 To zaliczą

Matematyczka
Reply to  Monika

Tylko jeśli ktoś ktoś ma stwierdzona dyskalkulię, to błąd przy skracaniu nie jest traktowany jako błąd. W pozostałych przypadkach (nawet przy dysleksji), jest to traktowany jako błędny wynik. W rodzinie miałam przypadek, że ktoś nie zdał przez to matury, bo mu punktu zabrakło. Czasem lepiej zostawić wynik nieskrócony, czy nawet pierwiastek w mianowniku ułamka, bo liczy się tylko, czy wynik jest poprawny (mówię oczywiście o zadaniach otwartych, bo w zamkniętych wskazujemy odpowiedź). Takie zasady były do tej pory, może w tym roku będą łagodniejsze?

Zuzia

czy jeśli w zadaniu dowodowym nie napisałam, że jest to : kwadrat różnicy dwóch różnych liczb tylko zamiast tego : kwadrat dwóch różnych liczb to odejmą mi za to pkt?

Andrzej

Czy w 31 zadaniu jeśli zostawiłem w postaci, że a2-b2>2ab to dostanę jakieś punkty?

Last edited 19 dni temu by Andrzej
eloelo

przecież zadanie 27 powinno być 9 *10*10*2 bo na końcu może stać zarówno 0 jak i 5

Adam1237

Na maturze próbnej w styczniu miałem 13 punktów, czyli tuż pod progiem. Teraz dzięki kursowi od szalonych liczb, który wykupiłem na miesiąc przed maturą z samych zamkniętych mam około 22 punktów. Z otwartych około 6-8. Razem ponad 60%. Tak więc wzrost ponad dwukrotny. Zobaczę dokładniej jak przyjdą wyniki. Kursy świetne, bez zastrzeżeń. Wszystko było fajnie omawiane.

Hubcio

Czy jak w dowodzeniu wyszedł mi wzór skróconego mnożenia a nie napisałem ze zawsze jest dodatni to zabiorą 1pkt? Napisałem: co należało wykazać

Matematyczka
Reply to  SzaloneLiczby

Patrząc po rozwiązaniach poprzednich arkuszy, to dają wtedy tylko jeden punkt. Kiedyś było inaczej.

Ola

Hej! Jeśli w ostatnim zadaniu wyszło mi dobrze a i b to jest szansa na 4 punkty?

jkiddle

Dzięki za twoją prace włożoną w ten serwis. Pisałem maturę dwa lata temu i posiłkowałem się wiedzą która jest tutaj zawarta, ale z ciekawości wszedłem żeby zobaczyć poziom dzisiejszej matury. Wydaje mi się że zadania zamknięte były na wyższym poziomie względem poprzednich matur, ale otwarte były dosyć łatwe

Maciek

Czy w 31 nie napisanie że a=/=b na końcu odejmuje nam 1pkt?

floowerry

czy jeżeli w zadaniu 31 wszystko wyszło mi poprawie a nie napisałam „udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia” to nadal mam szanse dostać 2p?

Xyz

Jest może druga grupa też rozwiązana? Źle to określiłam nie tyle druga grupa co ten sam arkusz ale odpowiedzi w innym schemacie, bo odpowiedzi były pomieszane i zapisałam sobie tylko które zaznaczyłam ;(

Keneb

A w zad 28 nie powinno wyjść -1 ?

Dominika

Czy jak w zadaniu 34 napisałam moc A= 4/81 zamiast P(A) = 4/81 to jest jeszcze szansa na 2 punkty? Czy raczej 1?

Robert Lew
Reply to  Dominika

W innym arkuszu w podobnym zadaniu widziałem, że dopuszczalne jest pominięcie całego P(A) i zapisanie samej wartości liczbowej prawdopodobieństwa.

Salty

Czy sposób obliczenia zadania 32 ma znaczenie? Widziałem ze sporo osób zrobiło to jedynką trygonometryczna ale ja zrobiłem Pitagorasem i mi wyszło

Natalia
Reply to  SzaloneLiczby

A jeżeli nie uwzględniłam w liczeniu tych x ? Tylko na samych liczbach zrobiłam? Ten x i tak na końcu się redukuje. Czy mam nadal 2 punkty?

Matematyczka
Reply to  SzaloneLiczby

Jest to zaliczane normalnie jako prawidłowe rozwiązanie (Przynajmniej tak było w poprzednich latach) I takie info miałam zawsze od organizatorów. W zadaniach tego typu nie jest istotny ten „x” tylko stosunek boków. Co innego, gdyby trzeba było liczyć długości odcinków.

Michał

A czy jak w zadaniu 30 wyznaczyłem r, to będzie chociaż 0,5 punktu? Reszte ciut źle obliczyłem :D

Dominika
Reply to  SzaloneLiczby

Żeby zaliczyć maturę z matematyki potrzebne jest 30% w tym roku wychodzi na to ze jest to 13,5 punktu. 14 punktów to 31% Czy w takim przypadku egzaminator tez nie przyznaje połówek ?

dominika

jeżeli w 35 zadaniu wyliczyłam a lecz po prostu przypadkowo napisałam -6/15 zamiast -6/16 to może być jeden punkt?

Wiktoria

Jeżeli w zadaniu 29. Napisałam 2 i 4/6 zamiast 8/3 to zaliczą?

Zosia

Czy jest odejmowany punkt za nie wyłączenie całości z ułamka zwykłego liczby c? (zadanie 35)

elo elo

O której pojawią się rozwiązania?

Jakub

Czy dostanę punkt w 29 jeżeli dałem nawiasy otwarte? Tzn x∈(−∞;−2)∪(8/3;+∞)

Emilia
Reply to  SzaloneLiczby

1p za prawidłowe miejsca zerowe, 2p za prawidłowe miejsca zerowe i przedziały, które powinny być zamknięte przy m.zerowych. Zatem 1p raczej

Hubarex

Ja mam pytanie do 32
Dlaczego wychodzi 4/5 bo mi wyszło 24/25 jako sin’kwadrat alfa i tak naprawdę nie wiem co zrobiłem źle ://

Andreas

Zadanie 4 można liczyć w pamięci ? 97600 – 10 -% -= 87840 – 10 % = 79056. Bo mam wrażenie że wystarczy pobawić się kalkulatorem, żeby znaleźć rozwiązanie :)

traiz

czy jeżeli w prawdopodobieństwie zaokrągliłem do 0.05 to będzie dobrze?

Ala

Czy jeśli w dowodzie doszłam do momentu 2a^2+2b^2> a^2+2ab+b^2 a potem żle poprzekształcałam to mogę liczyć chociaż na jeden punkt?

Maturzysta

Zdane

Witam Witam

Mam pytanie czy w zadaniu 28 nie mogła być odp: x = (-1)
2x+4+6+8+11+13=5a
2x+ 42=5a
Jeśli x=(-1)
-2 + 42 = 5a
40= 5×8

Werka

Czy jak obliczyłem dobrze delte a miejsca zerowe źle to mogę dostać 1 punkt ?

Emilia
Reply to  SzaloneLiczby

Albo za złe m zerowe i konsekwentnie podane przedziały (domknięte przy miejscach zerowych)

Magdalena

Hej! Dzięki za twoją pracę. Czy w z. 31 dopuszczalne było rozbicie ułamka w nawiasie na (a/2 + b/2) do kwadratu? Dowód zakończyłam w taki sam sposób.