Matura – Matematyka – Maj 2022 – Odpowiedzi

A

Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, a także pamiętając o wzorze skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), wyjdzie nam, że:
$$(2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2= \\
=(2\sqrt{8})^2-2\cdot2\sqrt{8}\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2= \\
=4\cdot8-12\sqrt{16}+9\cdot2= \\
=32-12\cdot4+18= \\
=32-48+18= \\
-16+18=2$$

B

Jeżeli \(2x=3y\), to w takim razie \(x=\frac{3}{2}y\). Podstawiając teraz tę wartość do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$\frac{(\frac{3}{2}y)^2+y^2}{(\frac{3}{2}y)\cdot y}=\frac{\frac{9}{4}y^2+y^2}{\frac{3}{2}y^2}= \\
=\frac{\frac{13}{4}y^2}{\frac{3}{2}y^2}=\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}}= \\
=\frac{13}{4}:\frac{3}{2}=\frac{13}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$$

C

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$4log_{4}2+2log_{4}8=log_{4}2^4+log_{4}8^2=log_{4}16+log_{4}64$$

Obliczmy teraz wartość każdego z otrzymanych logarytmów:
\(log_{4}16\) jest równy \(2\), ponieważ \(4^2=16\)
\(log_{4}{64}\) jest równy \(3\), ponieważ \(4^3=64\)

To oznacza, że:
$$log_{4}16+log_{4}64=2+3=5$$

B

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena działki
\(0,9x\) - cena działki po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena działki po drugiej obniżce

Skoro więc po drugiej obniżce wynosi \(78 732 zł\), to:
$$0,81x=78732 \\
x=97200$$

A

Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, możemy zapisać, że:
$$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}$$

B

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań. Możemy to zrobić na wiele sposobów, ale najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i następnie dodać te równania stronami:
\begin{cases}
11x-11y=1 \bigg/\cdot2 \\
22x+22y=-1
\end{cases}

\begin{cases}
22x-22y=2 \\
22x+22y=-1
\end{cases}

Dodając teraz równania stronami, otrzymamy:
$$44x=1 \\
x=\frac{1}{44}$$

Znając wartość \(x=\frac{1}{44}\) możemy teraz obliczyć wartość \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=\frac{1}{44}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$11x-11y=1 \\
11\cdot\frac{1}{44}-11y=1 \\
\frac{11}{44}-11y=1 \\
\frac{1}{4}-11y=1 \\
-11y=\frac{3}{4} \\
y=-\frac{3}{44}$$

To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).

C

Celem zadania jest rozwiązania nierówności. Aby tego dokonać, najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wszystkich wyrazów przez \(15\), dzięki czemu od razu pozbędziemy się ułamków:
$$\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5} \quad\bigg/\cdot15 \\
6-5x\gt3x \\
6\gt8x \\
\frac{6}{8}\gt x \\
x\lt\frac{3}{4}$$

To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-\infty,\frac{3}{4})\).

C

Chcąc rozwiązać podane równanie, wystarczy zachować się tak, jak przy postaci iloczynowej - czyli wystarczy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$2x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \quad\lor\quad x=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-1$$

Iloczyn tych wszystkich rozwiązań będzie równy:
$$0\cdot3\cdot(-3)\cdot(-1)=0$$

B

Z wykresu musimy odczytać wartości, jakie przyjmuje funkcja dla \(x=-3\), \(x=0\) oraz \(x=4\). Widzimy, że:
$$f(-3)=-2 \\
f(0)=1 \\
f(4)=4$$

Iloczyn ten będzie więc równy:
$$(-2)\cdot1\cdot4=-8$$

D

W tym zadaniu trzeba wykazać się wiedzą na temat przekształceń funkcji. Widzimy, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w lewo. Musimy pamiętać, że przesunięcia w lewo/prawo są tymi mniej intuicyjnymi i chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w lewo, będziemy musieli dać w nawiasie znak dodawania. Skoro tak, to wzorem tej funkcji będzie \(g(x)=f(x+2)\).

D

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-\frac{1}{3}(x+3)+5\) będzie równe \(0\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0 \\
-\frac{1}{3}x-1+5=0 \\
-\frac{1}{3}x+4=0 \\
-\frac{1}{3}x=-4 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
x=12$$

B

Postać kanoniczna związana jest z wierzchołkiem paraboli \(W=(p;q)\) i wygląda następująco:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Podstawiając współrzędne wierzchołka \(W=(-3,2)\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+2 \\
f(x)=a(x+3)^2+2$$

Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Z zapisanej postaci ogólnej funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) wynika, że współczynnik \(a=3\). Skoro tak, to poszukiwanym przez nas wzorem jest:
$$f(x)=3(x+3)^2+2$$

D

Aby wyznaczyć wartość \(a_{7}\), wystarczy podstawić do wzoru ciągu wartość \(n=7\), zatem:
$$a_{7}=\frac{2\cdot7^2-30\cdot7}{7} \\
a_{7}=\frac{2\cdot49-210}{7} \\
a_{7}=\frac{98-210}{7} \\
a_{7}=\frac{-112}{7} \\
a_{7}=-16$$

A

Widzimy, że w treści zadania mamy podane wartości piątego i dziesiątego wyrazu. Z własności ciągów arytmetycznych powinniśmy zauważyć, że:
$$a_{10}=a_{5}+5r$$

Skoro tak, to podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy informację, że:
$$-66=-31+5r \\
-35=5r \\
r=-7$$

A

Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\).

Z własności ciągów geometrycznych wynika, że:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$

Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy:
$$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3} \\
\frac{4}{9}=q^2 \\
q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$

Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)

D

W tym zadaniu musimy zauważyć, że przykładowo \(cos12°=sin78°\), a \(sin12°=cos78°\) (wynika to wprost ze wzorów redukcyjnych). Skoro tak, to cały zapis możemy przekształcić do postaci:
$$sin78°\cdot sin78°+cos 78°\cdot cos 78°=(sin78°)^2+(cos78°)^2$$

Teraz z pomocą przyjdzie nam tak zwana jedynka trygonometryczna. Skoro \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\), to analogicznie \((sin78°)^2+(cos78°)^2=1\).

B

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).
Powinniśmy dostrzec, że kąt środkowy \(BSC\) o mierze \(\alpha\) jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(BAC\). Skoro tak, to miara kąta \(BAC\) będzie połową kąta środkowego, czyli \(|\sphericalangle BAC|=\frac{\alpha}{2}\).


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABD\).
Spójrzmy na trójkąt \(BDA\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, a trzeci jest tym przez nas poszukiwanym. Skoro więc suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ABD|=180°-\frac{\alpha}{2}-\gamma$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Kąty przy jednym ramieniu rombu mają łączną miarę \(180°\), a skoro tak, to:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-60°=120°$$

Krok 2. Obliczenie pola zakreskowanej figury.
Zakreskowany fragment stanowi \(\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}\) całego koła o promieniu \(6\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2 \\
P=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2 \\
P=\frac{1}{3}\cdot36\pi \\
P=12\pi$$

D

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta równobocznego.
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego zapisujemy jako
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Skoro ta wysokość jest równa \(6\sqrt{3}\), to:
$$6\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
12\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=12$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta równobocznego.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{12^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{144\sqrt{3}}{4} \\
P=36\sqrt{3}$$

A

W tym zadaniu wystarczy skorzystać z nietypowego wzoru na pole równoległoboku (znajdującego się w tablicach), czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Podstawiając do niego dane z treści zadania, otrzymamy:
$$P=6\cdot10\cdot sin120°$$

Widzimy, że potrzebować będziemy za chwilę wartości \(sin120°\). Jak ją wyznaczyć, skoro w tablicach trygonometrycznych nie mamy wartości kątów rozwartych? W tym celu posłużyć musimy się wzorami redukcyjnymi. Pomoże nam np. wzór \(sin(180°-α)=sinα\), z którego wynika, że:
$$sin120°=sin(180°-60°)=sin60°$$

Wartość \(sin60°\) możemy odczytać z tablic (najlepiej z tzw. "małej tabelki") i widzimy, że \(sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Skoro tak, to możemy już wrócić do obliczenia pola powierzchni równoległoboku:
$$P=6\cdot10\cdot sin120° \\
P=60\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=30\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) prostej.
Jeżeli prosta określona równaniem \(y=ax+b\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, to jej współczynnik \(b=0\) (nie mylmy tego ze współrzędną \(b\) zapisaną w treści zadania). Skoro tak, to \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\).

Podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(A=(-2,6)\), otrzymamy:
$$6=a\cdot(-2) \\
6=-2a \\
a=-3$$

To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=-3x\).

Krok 2. Obliczenie wartości współrzędnej \(b\).
Aby poznać wartość brakującej współrzędnej \(b\) punktu \(B\), wystarczy podstawić współrzędne punktu \(B\) (czyli \(x=3\) oraz \(y=b\)) do wyznaczonego przed chwilą równania \(y=-3x\), zatem:
$$b=-3\cdot3 \\
b=-9$$

C

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Z proponowanych prostych da się utworzyć tylko jedną parę prostych prostopadłych i będą to proste \(l\) oraz \(m\), ponieważ \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\).

A

Środek odcinka \(KL\) o współrzędnych \(K=(x_{K};y_{K})\) oraz \(L=(x_{L};y_{L})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$

Nas tak naprawdę i interesuje tylko pierwsza współrzędna, która zgodnie z treścią zadania jest równa \(x_{S}=-12\). Podstawiając dane z treści zadania, możemy zapisać, że:
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
-12=\frac{4+b}{2} \\
-24=4+b \\
b=-28$$

A

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{(4+4)^2+(-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+(-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+16} \\
|AB|=\sqrt{80} \\
|AB|=\sqrt{16\cdot5} \\
|AB|=4\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to przekątna naszego kwadratu będzie mieć długość:
$$d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} \\
d=4\sqrt{10}$$

B

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
Skoro w podstawie mamy romb o bokach \(e=7cm\) oraz \(f=10cm\), to korzystając ze wzoru na pole rombu możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{1}{2}ef \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot10 \\
P_{p}=35[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłużej przekątnej o \(2cm\), czyli \(H=10cm-2cm=8cm\). Skoro tak, to objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=35\cdot8 \\
V=280[cm^3]$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy rozpisać długości krawędzi ostrosłupa \(EFGB\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to krawędzie \(BE\), \(BG\) oraz \(EG\) będą miały właśnie długość \(a\sqrt{2}\).

Oprócz tego musimy dostrzec, że krawędzie \(BF\), \(EF\) oraz \(FG\) mają długość \(a\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


To prowadzi nas do wniosku, że na pole powierzchni całkowitej składać się będzie podstawa, która jest trójkątem równobocznym o boku \(a\sqrt{2}\) oraz trzy ściany boczne, które są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości \(a\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie zapiszemy jako
$$P_{p}=\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej tworzą trzy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(a\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \\
P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mając obliczone \(P_{p}\) oraz \(P_{b}\) możemy zapisać, że:
$$P_{c}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\cdot a^2 \\
P_{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2+\frac{3}{2}\cdot a^2 \\
P_{c}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\cdot a^2 \\
P_{c}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$$

B

Sprawdźmy, na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr liczby czterocyfrowej, tak aby spełniała ona warunki zadania
· cyfrą tysięcy może być każda z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· cyfrą setek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą dziesiątek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą jedności może być tylko cyfra \(5\), bo tylko wtedy liczba będzie podzielna przez \(5\) i jednocześnie będzie nieparzysta, zatem mamy tutaj \(1\) możliwość

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, pasujących liczb będziemy mieć:
$$9\cdot10\cdot10\cdot1$$

C

W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru na średnią arytmetyczną. W liczniku sumujemy więc wszystkie podane liczby, w mianowniku zapisujemy szóstkę (bo jest \(6\) liczb), dzięki czemu otrzymujemy:
$$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5 \\
\frac{2x+42}{6}=5 \\
2x+42=30 \\
2x=-12 \\
x=-6$$

\(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle\frac{8}{3};+\infty)\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy przenieść wszystkie liczby na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie zero. W związku z tym:
$$3x^2-2x-9\ge7 \\
3x^2-2x-16\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Chcąc rozwiązać nierówność musimy sprawdzić jakie mamy miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \(3x^2-2x-16=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci ogólnej, a to oznacza, że z pomocą przyjdzie nam więc niezawodna delta.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-16)=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-14}{2\cdot3}=\frac{2-14}{6}=\frac{-12}{6}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+14}{2\cdot3}=\frac{2+14}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe i rysujemy przechodzącą przez te punkty parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znalazło się nad osią lub na osi. W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle\frac{8}{3};+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{100}=14750\)

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1 \\
a_{4}=8$$

Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r \\
8=-1+3r \\
9=3r \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=147,5\cdot100 \\
S_{100}=14750$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równania wynikające ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego np. \(a_{4}=a_{1}+3r\) (patrz: Krok 1.) oraz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \\
2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \\
a^2+b^2\gt 2ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0 \\
(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \((a-b)^2\gt0\) (patrz Krok 1.) lub \(a^2+b^2\gt2ab\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:
$$(2x)^2+x^2=c^2 \\
4x^2+x^2=c^2 \\
5x^2=c^2 \\
c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\).
Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to:
$$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$

Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \\
sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z twierdzenia Pitagorasa i zapiszesz odpowiednie równanie związane z długościami przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania typu \(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2\) oraz \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\), z których stworzysz układ równań.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie oparte na jedynce trygonometrycznej, w którym to równaniu pojawi się tylko jedna funkcja trygonometryczna.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|\sphericalangle BAC|=72°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt \(BAC\) jako kąt \(\alpha\). Z tego kąta poprowadzono dwusieczną, co prowadzi nas do wniosku, że \(|\sphericalangle DAB|=\frac{1}{2}\alpha\) oraz \(|\sphericalangle CAD|=\frac{1}{2}\alpha\).

Warto też zauważyć, że skoro jest to trójkąt równoramienny, to także \(|\sphericalangle ABC|=\alpha\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABD\). Jest to trójkąt podobny do trójkąta \(ABC\), czyli także musi być on równoramienny. Kąty przy podstawie takich trójkątów mają jednakową miarę (tutaj jest podstawa \(BD\)), zatem \(|\sphericalangle ADB|=\alpha\). W ten sposób opisaliśmy już symbolami wszystkie kąty w trójkącie \(ABD\). Suma kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$\frac{1}{2}\alpha+\alpha+\alpha=180° \\
2,5\alpha=180° \\
\alpha=72°$$

Zgodnie z oznaczeniami, miara kąta \(\alpha\) jest także miarą poszukiwanego przez nas kąta \(BAC\), zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=72°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(ABD\) jest równoramienny (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów i zapiszesz, że np. \(|\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle BAC|\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{4}{81}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro zbiór ma \(9\) elementów, a losowanie odbywa się ze zwracaniem, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=9\cdot9=81\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są pary liczb, których iloczyn (czyli wynik mnożenia) daje wynik równy \(24\). Wypiszmy zatem interesujące nas pary, zwłaszcza że nie ma ich wiele:
$$(3;8), (4;6), (6;4), (8;3)$$

Są cztery takie pary, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{81}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\) oraz \(c=5\frac{5}{8}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest zauważenie, iż podane punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) leżą na osi \(OX\), co prowadzi nas wprost do informacji, że miejscami zerowymi tej funkcji są \(x_{1}=-5\) oraz \(x_{2}=3\). Ogólnie sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wiemy, że wierzchołek paraboli \(W=(p;q)\) znajduje się dokładnie po środku między miejscami zerowymi. To pozwala nam niemalże błyskawicznie obliczyć współrzędną \(p\) wierzchołka.
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{-5+3}{2} \\
p=\frac{-2}{2} \\
p=-1$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
W treści zadania mamy informację, że prosta \(y=6\) ma tylko jeden punkt wspólny z naszą parabolą (co zresztą widać na rysunku). To oznacza, że ta prosta musi przechodzić przez wierzchołek (nie ma innej możliwości), co z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie współrzędna \(q=6\).

Wiemy już zatem, że \(W=(-1;6)\).

Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\).
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy pokusić się o zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Podstawiając znane współrzędne wierzchołka \(W=(-1;6)\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+6 \\
f(x)=a(x+1)^2+6$$

Do pełni wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonej postaci współrzędne jednego ze znanych punktów, np. \(A=(-5;0)\). Podstawiając zatem \(x=-5\) oraz \(y=0\), otrzymamy:
$$0=a\cdot(-5+1)^2+6 \\
0=a\cdot(-4)^2+6 \\
0=16a+6 \\
-6=16a \\
a=-\frac{3}{8}$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest \(f(x)=-\frac{3}{8}(x+1)^2+6\)

Krok 5. Obliczenie wartości współczynników \(b\) oraz \(c\).
Aby rozwiązać nasze zadanie, musimy poznać wzór funkcji w postaci ogólnej (tylko wtedy poznamy wartości brakujących współczynników \(b\) oraz \(c\)). Póki co, mamy tylko postać kanoniczną, zatem wymnóżmy wszystkie liczby i przekształćmy tym samym zapis do postaci ogólnej:
$$f(x)=-\frac{3}{8}(x+1)^2+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x+1)+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{6}{8}x-\frac{3}{8}+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+5\frac{5}{8}$$

To oznacza, że \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\) oraz \(c=5\frac{5}{8}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej jako \(f(x)=a(a+5)(x-3)\).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej jako \(f(x)=a(x+1)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) oraz \(q\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej jako \(f(x)=a(a+5)(x-3)\) lub ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\) i obliczysz współrzędną \(q\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie, w którym jedyną niewiadomą jest współczynnik \(a\) np. \(0=a\cdot(-5+1)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\) i zapiszesz, że \(W=(-1,6))\).
4 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji w postaci iloczynowej lub kanonicznej i obliczysz współczynnik \(a\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie wartości dwóch z trzech współczynników.
ALBO
• Gdy otrzymany wynik końcowy jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.