Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2021 – Odpowiedzi

D

$$9^{-10}\cdot3^{19}=(3^2)^{-10}\cdot3^{19}=3^{-20}\cdot3^{19}=3^{-20+19}=3^{-1}$$

C

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów i zapisać składnik \(2log_{6}2\) jako \(log_{6}2^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$log_{6}9+2log_{6}2=log_{6}9+log_{6}2^2=log_{6}9+log_{6}4$$

Otrzymaliśmy teraz sumę logarytmów o jednakowej podstawie, zatem korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log_{6}9+log_{6}4=log_{6}(9\cdot4)=log_{6}36=2$$

A

Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$

Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$

To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).

A

Zadanie polega jedynie na skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Trzeba tutaj pamiętać, że przykładowo \((3x)^2\) to \(9x^2\) i to jest chyba największa trudność tego zadania. Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2$$

D

Do zadania możemy podejść na różne sposoby, możemy wręcz wszędzie podstawić \(x=-2\) i sprawdzić, kiedy lewa i prawa strona równania będą sobie równe. Spróbujmy jednak przeanalizować szybko każde z równań, bo są one dość proste:
Odp. A. Tutaj przenosząc \(4\) na drugą stronę otrzymalibyśmy równanie \(x^2=-4\), a więc widzimy, że to równanie nie ma w ogóle rozwiązań (bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik).
Odp. B. Mnożąc obydwie strony równania przez 2 otrzymamy \(x+2=2\), czyli \(x=0\).
Odp. C. Tutaj liczba \(-2\) na pewno nie jest rozwiązaniem, co wynika wprost z samych założeń - wartość w mianowniku musi być różna od zera, stąd też \(x+2\neq0\), czyli \(x\neq-2\).
Odp. D. Tutaj faktycznie otrzymamy interesujące nas rozwiązanie, a oto dowód:
$$x^2(x+2)+2(x+2)=0 \\
(x^2+2)(x+2)=0 \\
x^2+2=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x^2=-2 \quad\lor\quad x=-2$$

Z równania \(x^2=-2\) nie będziemy mieć rozwiązań, ale z \(x+2=0\) wyszło nam, że \(x=-2\) i właśnie dlatego odpowiedź D będzie tutaj poprawna.

C

Naszym celem jest po prostu rozwiązanie tej nierówności, choć czyha na nas tutaj sporo arytmetycznych trudności. Całość najlepiej zacząć od pomnożenia obydwu stron przez \(4\), pamiętając przy tym, że po lewej stronie mamy odejmowanie, czyli piątkę stojącą na początku także trzeba będzie przez tą czwórkę pomnożyć. Całość będzie wyglądać następująco:
$$5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1 \quad\bigg/\cdot4 \\
20-(2-6x)\ge8x+4 \\
20-2+6x\ge8x+4 \\
18+6x\ge8x+4 \\
-2x\ge-14 \quad\bigg/:(-2) \\
x\le7$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną \(-2\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny.

Wyszło nam, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(7\), czyli interesującym nas przedziałem będzie \((-\infty,7\rangle\).

B

Przesunięcie funkcji o \(2\) jednostki w lewo sprawia, że aby poznać wzór nowo powstałej funkcji, musimy do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawić \(x+2\) w miejsce \(x\). W związku z tym:
$$g(x)=-2\cdot(x+2)+4 \\
g(x)=-2x-4+4 \\
g(x)=-2x$$

C

Jeżeli miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(-1\), to oznacza, że dla \(x=-1\) ta funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro tak, to:
$$a\cdot(-1)+4=0 \\
-a+4=0 \\
a=4$$

A

Do zadania możemy podejść na dwa sposoby:

I sposób - analizując odpowiedzi.
Widzimy, że wykres naszej funkcji jest rosnący, czyli tym samym współczynnik \(a\) musi być dodatni - taki znajduje się jedynie w odpowiedziach A oraz D. Dodatkowo wykres funkcji przecina oś \(OY\) dla ujemnych wartości igreka, a to oznacza, że współczynnik \(b\) będzie ujemny. To sprawia, że odpowiedź D musimy wykluczyć i tym samym zostaje nam odpowiedź A, czyli \(y=x-5\).

II sposób - wyznaczając wzór samodzielnie.
Wzór funkcji liniowej zapisujemy jako \(y=ax+b\). Chcąc samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji (czyli poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)), musimy skorzystać z dość rzadko stosowanego wzoru, który mówi nam o tym, że współczynnik \(a=tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem jaki tworzą wykres funkcji z osią \(OX\). W naszym przypadku \(\alpha=45°\), zatem:
$$a=tg45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(tg45°\) jest równy \(1\), zatem współczynnik \(a=1\). To oznacza, że naszą funkcję możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Jak teraz poznać brakujący współczynnik \(b\)? Wiemy, że wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-3)\), zatem podstawiając \(x=2\) oraz \(y=-3\) do naszej wyznaczonej postaci \(y=x+b\), otrzymamy:
$$-3=2+b \\
b=-5$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(y=x+(-5)\), czyli \(y=x-5\).

C

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Na początek spróbujmy poznać miejsca zerowe naszej funkcji. W tym celu wystarczy sprawdzić, kiedy wzór funkcji będzie równy \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$-2(x+3)(x-5)=0$$

Jest to równanie kwadratowe zapisane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby rozwiązać takie równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

W ten sposób błyskawicznie obliczyliśmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są \(x=-3\) oraz \(x=5\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli (zapisywana często jako \(p\)) jest po prostu średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji. Skoro tak, to:
$$p=\frac{-3+5}{2} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

To oznacza, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kojarząc jak wygląda wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\), powinniśmy samodzielnie przekształcić jej wykres do postaci \(f(x)=-x^2+4\) (minus przed \(x^2\) sprawia, że funkcję opisaną wzorem \(x^2\) musimy narysować do góry nogami, a \(+4\) na końcu wzoru oznacza, że dodatkowo całość trzeba podnieść o \(4\) jednostki do góry). Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Spoglądamy na naszą zieloną funkcję i na oś \(OY\), bo to z niej odczytujemy wartości przyjmowane przez funkcję. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności do \(4\), zatem zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,4\rangle\).

D

Z wykresu wynika, że ramiona naszej paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedzi B oraz D i tylko one będą już przez nas rozpatrywane.

Spójrzmy teraz na miejsce przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Znajduje się ono pod osią \(OX\), a to oznacza, że współczynnik \(c\) musi być ujemny. Taką sytuację mamy właśnie w odpowiedzi D, zatem poszukiwanym wzorem funkcji będzie \(f(x)=-x^2+6x-7\).

C

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{24}=a_{6}+18r$$

Z treści zadania wynika, że \(r=2\), zatem:
$$a_{24}=a_{6}+18\cdot2 \\
a_{24}=a_{6}+36 \\
a_{24}-a_{6}=36$$

B

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie parzyste liczby, mniejsze od \(1001\), to sytuacja wyglądałaby następująco:
$$2, 4, 6, 8, ..., 998, 1000$$

Powinniśmy zauważyć, że to jest po prostu ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=2\), \(a_{n}=1000\) oraz \(r=2\). Do ustalenia jest jeszcze ile jest tych wyrazów - będzie ich dokładnie \(n=500\).

Krok 2. Zapisanie sumy.
W zadaniu skorzystamy zatem ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz wszystkie dane wypisane w pierwszym kroku, otrzymamy:
$$S_{500}=\frac{2+1000}{2}\cdot500$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu zachodzi następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=2\cdot18 \\
x^2=36 \\
x=6 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 2. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwie wartości, czyli \(x=6\) oraz \(x=-6\). To drugie rozwiązanie musimy jednak odrzucić, bo dla \(x=-6\) nasz ciąg nie będzie rosnący, tylko będzie niemonotoniczny. To oznacza, że rozwiązaniem tego zadania jest jedyni \(x=6\).

B

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{7}{25}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{49}{625}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{576}{625} \\
cosα=\frac{24}{25} \quad\lor\quad cosα=-\frac{24}{25}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{24}{25}\).

D

Kąt \(BSC\) jest kątem środkowym, który jest oparty na tym samym łuku, co kąt \(BDC\) o mierze \(20°\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji miara kąta środkowego musi być dwa razy większa, zatem:
$$|\sphericalangle BSC|=2\cdot20° \\
|\sphericalangle BSC|=40°$$

A

Krok 1. Obliczenie miar kątów \(OBC\) oraz \(OCB\).
Spójrzmy na mały trójkąt COB. Jest to trójkąt równoramienny, zatem kąty przy podstawie BC będą mieć jednakową miarę. W tym trójkącie znamy już miarę jednego z kątów i jest to \(100°\), zatem na kąty \(OBC\) oraz \(OCB\) zostaje nam łącznie \(80°\). Skoro tak, to każdy z tych kątów ma po \(80°:2=40°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BAC\).
Odcinki \(OB\) oraz \(OC\) są dwusiecznymi kątów \(ABC\) oraz \(ACB\). Skoro więc kąty \(OBC\) oraz \(OCB\) mają po \(40°\), to analogicznie kąty \(ABC\) oraz \(ACB\) mają po \(80°\). Suma kątów w trójkącie ABC musi być równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=180°-80°-80°=20°$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CEB\).
Kąt \(CEB\) jest kątem przyległym do znanego nam kąta \(AEB\) o mierze \(140°\). Suma kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle CEB|=180°-140°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(EBC\).
Spójrzmy na trójkąt \(EBC\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem miara trzeciego kąta, czyli kąta \(EBC\), będzie równa:
$$|\sphericalangle EBC|=180°-40°-55°=85°$$



Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAC\).
Powinniśmy dostrzec, że kąty \(EBC\) oraz \(DAC\) są kątami wpisanymi, które są oparte na tym samym łuku (na łuku \(DC\)). Skoro tak, to ich miara musi być jednakowa, zatem:
$$|\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle EBC|=85°$$

B

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa prostokątów i zapisanie stosunku długości boków.
W zadaniu mamy do czynienia z prostokątami podobnymi. Z treści zadania wynika, że ten mały prostokąt \(AEFG\) ma wymiary \(40\times30\), zatem stosunek długości boków wynosi tutaj \(40:30\), czyli \(4:3\). Analogiczny stosunek długości boków musi więc wystąpić w tym drugim prostokącie, zatem możemy zapisać, że bok \(AB=4x\) oraz \(BC=3x\).



Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta \(ABCD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość \(3x\) oraz \(4x\), a przeciwprostokątna jest równa \(70\) (zgodnie z treścią zadania). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(3x)^2+(4x)^2=70^2 \\
9x^2+16x^2=4900 \\
25x^2=4900 \\
x^2=196 \\
x=14 \quad\lor\quad x=-14$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=14\).

Skoro tak, to długości boków naszego prostokąta będą następujące:
$$|AB|=4x=4\cdot14=56 \\
|BC|=3x=3\cdot14=42$$

Wiemy już zatem, że nasz duży prostokąt ma wymiary \(56\times42\).

Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABCD\).
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu tej figury:
$$Obw=2\cdot56+2\cdot42 \\
Obw=112+84 \\
Obw=196$$

D

Znając wartości współrzędnych dwóch punktów możemy wręcz wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (korzystając z długiego wzoru z tablic albo z metody układu równań) i wtedy też poznamy wartość współczynnika \(a\). Nie mniej jednak, najprostszą metodą będzie po prostu posłużenie się wzorem na współczynnik \(a\), który wygląda następująco:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-2)}{3-1} \\
a=\frac{1+2}{2} \\
a=\frac{3}{2}$$

A

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{4}{7}\), to nasza prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{7}{4}\), bo \(\frac{7}{4}\cdot\left(-\frac{4}{7}\right)=-1\).

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu \(ABCD\) (tak wynika z treści zadania). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-4-3)^2+(6-7)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2} \\
|AC|=\sqrt{49+1} \\
|AC|=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień okręgu opisanego na kwadracie jest zawsze równy długości połowy przekątnej. Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), to promień okręgu będzie miał miarę:
$$r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

C

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni sześciokąta.
Na początek obliczmy pole powierzchni sześciokąta, który znajduje się w dolnej i górnej podstawie naszej bryły. Z własności sześciokątów wynika, że jego pole będzie równe polu sześciu małych trójkątów równobocznych o boku \(2\), zatem:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\sqrt{3}$$



Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwie podstawy (których pole policzyliśmy przed chwilą) oraz sześć kwadratowych ścian o boku \(2\). Skoro tak, to:
$$P_{c}=2P_{p}+6P_{b} \\
P_{c}=2\cdot6\sqrt{3}+6\cdot2\cdot2 \\
P_{c}=12\sqrt{3}+24$$

To oznacza, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(24+12\sqrt{3}\).

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Ze wzorów wynika, że przekątną sześcianu możemy opisać wzorem:
$$d=a\sqrt{3}$$

Skoro przekątna ma długość \(6\), to:
$$a\sqrt{3}=6 \\
a=\frac{6}{\sqrt{3}} \\
a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
a=\frac{6\sqrt{3}}{3} \\
a=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu możemy zapisać, że:
$$V=a^3 \\
V=(2\sqrt{3})^3 \\
V=8\cdot3\sqrt{3} \\
V=24\sqrt{3}$$

B

W tym zadaniu musimy skorzystać z reguły mnożenia, zatem przyjrzyjmy się jak będzie wyglądać liczba pasujących możliwości uzupełnienia każdej z cyfr.
• Pierwszą cyfrą naszej liczby może być cyfra od \(1\) do \(9\) (czyli bez zera, bo nie ma takiej liczby jak np. \(02356\)), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.
• Drugą cyfrą może być każda cyfra od \(0\) do \(9\), zatem tutaj mamy \(10\) możliwości.
• Trzecią cyfrą może być każda cyfra od \(0\) do \(9\), zatem tutaj mamy \(10\) możliwości.
• Czwartą cyfrą może być każda cyfra od \(0\) do \(9\), zatem tutaj mamy \(10\) możliwości.
• Piątą cyfrą może być \(2, 4, 6, 8\) oraz \(0\) (bo tylko wtedy liczba będzie parzysta), zatem tutaj mamy \(5\) możliwości.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb pięciocyfrowych parzystych będziemy mieć:
$$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot5$$

Dopasowując się do proponowanych odpowiedzi widzimy, że trzykrotne mnożenie przez 10 możemy zastąpić jako \(10^3\), stąd też prawidłową odpowiedzią będzie \(9\cdot5\cdot10^3\).

C

Jeżeli stosunek kul białych do czerwonych jest równy \(3:4\), to możemy zapisać, że:
\(3x\) - liczba kul białych
\(4x\) - liczba kul czerwonych
\(3x+4x=7x\) - liczba wszystkich kul

Chcemy obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli, zatem:
$$P(A)=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}$$

B

Skoro średnia arytmetyczna tych pięciu liczb jest równa \(8\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{5x+6+6x+7+7x+8+8x+9+9x+10}{5}=8 \\
\frac{35x+40}{5}=8 \quad\bigg/\cdot5 \\
35x+40=40 \\
35x=0 \\
x=0$$

\(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności musimy zacząć od przeniesienia wyrazów na lewą stronę, tak aby doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2-5\ge4x \\
x^2-4x-5\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=16+20=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-6}{2\cdot1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+6}{2\cdot1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=5\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas to, co znalazło się nad osią oraz to, co jest na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\)

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym:
$$x-7\neq0 \\
x\neq7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy:
$$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7) \\
x+8=2x^2-14x \\
-2x^2+15x+8=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15-17}{2\cdot(-2)}=\frac{-32}{-4}=8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15+17}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zapis do równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
$$5b^2-4ab+a^2\ge0 \\
a^2-4ab+5b^2\ge0$$

Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$

Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$

Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zapis do postaci typu \((a−2b)^2+b^2\ge0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BD|=12\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), powstanie nam następująca sytuacja:


Kluczowym wnioskiem jaki płynie z tego rysunku jest to, że trójkąt \(DBC\) jest równoramienny, w którym \(|CD|=|BD|\). To obserwacja znacząco ułatwia rozwiązanie zadania, ponieważ długość odcinka \(CD\) jesteśmy w stanie podać niemalże od ręki, korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\) oraz \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°,60°,90°\). Z własności tych trójkątów wiemy, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, a to by oznaczało, że:
$$|CD|=2\cdot6 \\
|CD|=12$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy już, że boki \(CD\) oraz poszukiwany \(BD\) mają jednakową miarę, zatem \(|BD|=12\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(BCD\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że \(|CD|=|BD|\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz relacje wynikające z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=\frac{16}{3}\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne \(ABS\) oraz \(CDS\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów \(ABS\) oraz \(CDS\) mają jednakowe miary).


Z treści zadania wiemy też, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\), czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie \(k=\frac{3}{2}\). I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt \(DCS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są \(\frac{3}{2}\) razy większe.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CDS\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) będzie miał \(k^2\) razy większe pole. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABS}=k^2\cdot P_{CDS} \\
12=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot P_{CDS} \\
12=\frac{9}{4}\cdot P_{CDS} \\
P_{CDS}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz skalę podobieństwa \(k=\frac{3}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{9}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników. Skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są wszystkie te rzuty, których wynik mnożenia jest równy \(12\). Wypiszmy zatem wszystkie interesujące nas kombinacje:
$$(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$

Z naszej rozpiski wynika, że jedynie cztery przypadki spełniają warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=0\) oraz \(q=-2\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\).
Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg \(a_{n}\) i on jest określony wzorem \(\frac{5-3n}{7}\). Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma \(x\). Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\). W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw \(n=4\), a potem \(n=11\), zatem:

$$a_{4}=\frac{5-3\cdot4}{7}=\frac{5-12}{7}=\frac{-7}{7}=-1 \\
a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=\frac{5-33}{7}=\frac{-28}{7}=-4$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Wartość \(x\) ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:
$$(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4) \\
x^4+4x^2+4=4 \\
x^4+4x^2=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z \(x^4\) oraz \(4x^2\) wartość \(x^2\), otrzymując:
$$x^2(x^2+4)=0$$

Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x^2=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje \(-4\)), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\).

Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
\(x=0\) to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest \(x^2+2\), czyli:
$$a_{2}=0^2+2 \\
a_{2}=0+2 \\
a_{2}=2$$

To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: \(-1, 2, -4\).

Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2}{-1} \\
q=-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartości \(a_{4}\) lub \(a_{11}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu typu \((x^2+2)^2=a_{4}\cdot a_{11}\).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu typu \((x^2+2)^2=a_{4}\cdot a_{11}\) i obliczysz \(a_{4}\) lub \(a_{11}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \((x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie typu \((-1)\cdot q^2=-4\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe otrzymując \(x=0\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz dwie wartości ilorazu \(q=-2\) oraz \(q=2\) i nie odrzucisz \(q=2\) (bo dla tej wartości ciąg nie będzie geometryczny).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.