Matura próbna – Matematyka – Listopad 2010 – Odpowiedzi

C

$$|5-7|-|-3+4|=|-2|-|1|=2-1=1$$

B

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci alternatywy.
$$x-2\le-3 \quad\lor\quad x-2\ge3 \\
x\le-1 \quad\lor\quad x\ge5$$

Krok 2. Zapisanie otrzymanych wyników w formie przedziału.
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$

D

Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.

Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$

Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$

Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$

Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$

A

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od rozbicia liczby \(63\) na iloczyn liczb \(7\) oraz \(9\). Następnie sprowadzimy do wspólnej podstawy potęgi liczbę \(9\) oraz ułamek \(\frac{1}{3}\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4 \\
x=(7\cdot9)^2\cdot\frac{1^4}{3^4} \\
x=7^2\cdot9^2\cdot\frac{1}{3^4} \\
x=7^2\cdot3^4\cdot\frac{1}{3^4} \\
x=7^2$$

C

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

$$x^2=(5+2\sqrt{3})^2 \\
x^2=5^2+2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2 \\
x^2=25+20\sqrt{3}+4\cdot3 \\
x^2=25+20\sqrt{3}+12 \\
x^2=37+20\sqrt{3}$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów.
$$\log_{5}5=1\text{, bo }5^1=5 \\
\log_{5}125=3\text{, bo }5^3=125$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{5}5-\log_{5}125=1-3=-2$$

A

Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).

B

Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:

Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).

B

Aby otrzymać wykres funkcji \(g(x)\) musimy zgodnie z zapisem równości \(g(x)=f(x)+2\) przesunąć wykres \(f(x)\) o dwie jednostki do góry. To oznacza, że prawidłowego przesunięcia dokonano w odpowiedzi \(B\).

A

Skoro mamy przedstawione równanie kwadratowe w postaci ogólnej, to bez problemu możemy wyznaczyć pierwiastki tego równania korzystając z metody delty.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100+96=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

\(x_{1}\lt x_{2}\) - czyli zależność zapisana w treści zadania jest spełniona.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2x_{1}+x_{2}\).
$$2x_{1}+x_{2}=2\cdot(-12)+2=-24+2=-22$$

D

Jeśli dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu to znaczy, że po jej podstawieniu do wzoru powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\). W naszym przypadku prawdziwa powinna być więc równość \(W(2)=0\).

Krok 1. Obliczenie wartości wielomianu dla \(x=2\).
$$W(x)=x^3+ax^2+6x-4 \\
W(x)=2^3+a\cdot2^2+6\cdot2-4 \\
W(x)=8+4a+12-4 \\
W(x)=16+4a$$

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(a\).
Skoro wartość wielomianu dla \(x=2\) powinna nam wyjść równa \(0\), a wyszło nam \(16+4a\), to znaczy że \(16+4a=0\). Za pomocą tej równości obliczamy wartość parametru \(a\).
$$16+4a=0 \\
4a=-16 \\
a=-4$$

A

Funkcję liniową wyrażamy wzorem w postaci \(f(x)=ax+b\). Aby funkcja liniowa była stała, to współczynnik \(a\) musi być równy \(0\). W naszym przypadku \(a=m-1\), stąd też aby funkcja była stała, to \(m-1\) musi być równe \(0\). Zatem:
$$m-1=0 \\
m=1$$

C

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych nierówności.
Nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, więc aby odnaleźć jej miejsca zerowe (które przydadzą nam się do naszkicowania wykresu) wystarczy przyrównać wartości w jednym i drugim nawiasie do zera.
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest na pewno dodatni, bo przed wartościami \(x\) nie stoją żadne znaki ujemne, więc ramiona paraboli będę skierowane ku górze i będą przechodzić przez wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Pamiętaj, że kropki przy \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Pamiętaj, że skoro mamy znak \(\ge\) to wartości \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą także należeć do zbioru rozwiązań (czyli nawiasy będą domknięte).
$$x\in(-\infty;-3\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

B

Krok 1. Wyznaczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (czyli \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\)) możemy wyznaczyć wartość \(q\) z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{12}{2}=6$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości czwartego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając wartosć \(a_{1}\) oraz \(q\) możemy obliczyć wartość czwartego wyrazu ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 6^{4-1} \\
a_{4}=2\cdot6^3 \\
a_{4}=2\cdot216 \\
a_{4}=432$$

D

Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20 \\
S_{20}=5\cdot20=100$$

C

Musimy obliczyć wartości \(cosα\) oraz \(tgα\), by sprawdzić która równość podana w odpowiedziach jest prawidłowa. Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do długości przeciwprostokątnej, natomiast tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Zatem:
$$cosα=\frac{12}{13} \\
tga=\frac{5}{12}$$

Porównujemy teraz otrzymane wyniki z tymi które występują w odpowiedziach i stwierdzamy, że prawdziwa równość jest zapisana tylko w punkcie \(C\).

C

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej prostokąta.
Aby rozwiązać to zadanie musimy wyznaczyć długość przekątnej prostokąta o bokach długości \(20m\) i \(40m\). W tym celu użyjemy twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
20^2+40^2=c^2 \\
400+1600=c^2 \\
c^2=2000 \\
c=\sqrt{2000}[m]$$

Krok 2. Wyznaczenie przybliżonej wartości z otrzymanego pierwiastka.
Musimy teraz odpowiedzieć na pytanie ile jest równa długość \(\sqrt{2000}m\). W przypadku zadań zamkniętych możemy posłużyć się nawet kalkulatorem, dzięki czemu otrzymamy przybliżenie \(\sqrt{2000}m\approx44,72m\).

Chcąc do zadania podejść bardziej profesjonalnie możemy zauważyć, że:
$$40^2=1600\text{, więc }\sqrt{1600}=40 \\
45^2=2025\text{, więc }\sqrt{2025}=45$$
To z kolei oznacza, że \(\sqrt{2000}\) jest większy od \(40\), ale mniejszy od \(45\), stąd też prawidłowa była odpowiedź \(C\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.


Sporządzając rysunek jak i wykonując późniejsze obliczenia zwracajmy uwagę na jednostki! Niektóre miary są podane w centymetrach, a inne w metrach.

Krok 2. Zbudowanie równania wykorzystując podobieństwa trójkątów.
Skorzystamy z podobieństw trójkątów. Stosunek wysokości słupka do jego cienia musi być taki sam jak stosunek wysokości wieży do cienia wieży. Możemy zapisać to w następujący sposób:
$$\frac{|AB|}{|PB|}=\frac{|CD|}{|PD|}$$

Krok 3. Podstawienie odpowiednich długości do równania i wyznaczenie długości odcinka \(CD\).
Podstawiamy do powyższej zależności dane z zadania, uważając na jednostki! Najlepiej jest zamienić sobie wszystko na metry i tak oto otrzymujemy, że:
$$\frac{|0,9|}{|0,6|}=\frac{|CD|}{12} \\
1,5=\frac{|CD|}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
|CD|=18$$

Ewentualnie mogliśmy wykonać tzw. "mnożenie na krzyż":
$$12\cdot0,9=0,6\cdot|CD| \\
10,8=0,6\cdot|CD| \quad\bigg/:0,6 \\
|CD|=18$$

C

Korzystamy z zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym w okrąg, które są oparte na tym samym łuku (patrz rysunek). Zgodnie z tą zależnością miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ACB|=\frac{1}{2}\cdot|\sphericalangle ASB| \\
|\sphericalangle ACB|=\frac{1}{2}\cdot230° \\
|\sphericalangle ACB|=115°$$

B

Krok 1. Analiza wzoru na równanie okręgu.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na równanie okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Współrzędne środka okręgu są podane w treści zadania i jest to \(S=(2;1)\), czyli \(a=2\) oraz \(b=1\).

W związku z tym już wiemy na pewno, że wzór będzie mieć postać \((x-2)^2+(y-1)^2=r^2\), czyli prawidłowa będzie odpowiedź \(A\) lub \(B\). To czego nam brakuje to wiedzy na temat długości promienia okręgu, czyli \(r\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia \(r\).
Znając współrzędne dwóch punktów \(S=(2,1)\) oraz \(M=(6,4)\) jesteśmy w stanie wyliczyć odległość między nimi (czyli w naszym przypadku będzie to długość promienia), korzystając ze wzoru:
$$r=\sqrt{(x_{M}-x_{S})^2+(y_{M}-y_{S})^2} \\
r=\sqrt{(6-2)^2+(4-1)^2} \\
r=\sqrt{4^2+3^2} \\
r=\sqrt{16+9} \\
r=\sqrt{25} \\
r=5$$

Krok 3. Zapisanie ostatecznej formy równania okręgu.
Podstawiamy \(r=5\) do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku i otrzymujemy poprawną odpowiedź.
$$(x-2)^2+(y-1)^2=5^2 \\
(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

C

Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.

Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.

W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.

C

Oś symetrii paraboli będzie pionową linią, która przebiega przez wierzchołek, stąd też aby wyznaczyć prostą symetralną musimy znaleźć położenie wierzchołka paraboli. Współrzędne wierzchołka \(W\) oznaczamy symbolami \(p\) oraz \(q\), gdzie \(W=(p;q)\). Wzory na poszczególne współrzędne są następujące: \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\).

Tak naprawdę interesować nas będzie tylko współrzędna \(p\), bo nie ma dla nas znaczenia jak nisko/wysoko jest ten wierzchołek, a to tak naprawdę określiłaby nam współrzędna \(q\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-4)}{2\cdot1} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

To oznacza, że oś symetrii będzie wyrażona prostą o równaniu \(x=2\).

A

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. W skrajnych przypadkach można byłoby nawet zamienić na kalkulatorze wartość \(\frac{3}{7}\) na ułamek dziesiętny i sprawdzić w tablicach dla jakiego mniej więcej kąta ta wartość odpowiada, po czym analogicznie można byłoby przyrównać funkcje trygonometryczne z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i sprawdzić która z nich przyjmie tą samą wartość.

Można byłoby też narysować trójkąt prostokątny i zaznaczyć tam długości boków - \(3x\) dla przyprostokątnej przy kącie oraz \(7x\) dla przeciwprostokątnej, a następnie z Twierdzenia Pitagorasa wyliczyć długość drugiej przyprostokątnej, która posłuży nam do wyliczenia sinusa.

Nie mniej jednak najbardziej uniwersalnym i najszybszym sposobem jest wykorzystanie tzw. "jedynki trygonometrycznej", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa z jedynki trygonometrycznej.
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{7}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{9}{49} \\
sin^2α=\frac{40}{49} \\
sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{40}{49}}$$

Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Skoro kąt jest ostry, to wartość ujemną musimy odrzucić, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje tylko wartości dodatnie. To oznacza, że jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(sinα=\sqrt{\frac{40}{49}}\). Takiej odpowiedzi nie mamy, zatem ten zapis musimy jeszcze uprościć:
$$sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{7} \\
sinα=\frac{\sqrt{4\cdot10}}{7} \\
sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

B

Mamy pięć zup do wyboru i cztery drugie dania, a więc ilość możliwych kombinacji obliczymy wykonując proste mnożenie \(5\cdot4=20\).

D

Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$

\(x\in\langle-6;-5\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać:



Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-5x-10=0 \\
x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\
(x+2)(x^2-5)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
$$x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Długości boków trójkąta to \(9cm\), \(40cm\) oraz \(41cm\).

Krok 1. Zapisanie długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej.
Jeżeli przyjęlibyśmy, że przeciwprostokątna ma długość \(x\), to przyprostokątne mają długość \(x-1\) oraz \(x-32\). Warto też tutaj przyjąć sobie założenie, że długości boków nie mogą być mniejsze lub równe \(0\), a więc \(x\gt32\) (gdyby był mniejszy niż \(32\), to z równania \(x-32\) otrzymamy liczbę ujemną).

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(x-1)^2+(x-32)^2=x^2$$

Korzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia:
$$x^2-2x+1+x^2-64x+1024=x^2$$

Upraszczamy zapis i doprowadzamy go do postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie będziemy mieć zero (to pozwoli nam potem wyliczyć deltę):
$$2x^2-66x+1025=x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
x^2-66x+1025=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego oraz obliczenie ostatecznej długości przeciwprostokątnej.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-66,\;c=1025\)
$$Δ=b^2-4ac=(-66)^2-4\cdot1\cdot1025=121-120=4356-4100=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)-16}{2\cdot1}=\frac{66-16}{2}=\frac{50}{2}=25 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)+16}{2\cdot1}=\frac{66+16}{2}=\frac{82}{2}=41$$

\(x_{1}\) możemy odrzucić, bo zgodnie z tym co napisaliśmy sobie w pierwszym kroku nasz \(x\) musi być większy niż \(32\). W przeciwnym wypadku długość przyprostokątnej byłaby równa \(25-32=-7\), a to na pewno jest nieprawda.

Krok 4. Obliczenie długości wszystkich boków tego trójkąta:
Przeciwprostokątna: \(41cm\)
Pierwsza przyprostokątna: \(x-1cm=41cm-1cm=40cm\)
Druga przyprostokątna: \(x-32cm=41cm-32cm=9cm\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które umożliwia obliczenie długości jednego z boków (patrz: Krok 2.), ale nie rozwiążesz tego równania do końca.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono na podstawie własności trójkątów opartych na średnicy okręgu.

Krok 1. Analiza kątów \(APB\) oraz \(DPA\).
Połączmy sobie punkt \(P\) z punktami \(A\), \(B\) oraz \(D\), tworząc w ten sposób odcinki \(|PA|\), \(|PB|\) oraz \(|PD|\). Teraz musimy dostrzec, że kąty \(\sphericalangle APB\) oraz \(\sphericalangle DPA\) są oparte na średnicach okręgów, a to z kolei oznacza, że te dwa kąty mają na pewno miarę \(90°\).

Krok 2. Analiza kąta \(BPD\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(BPD\) jest sumą kątów \(APB\) oraz \(DPA\), a więc ma miarę równą \(90°+90°=180°\). Skoro jest to kąt półpełny, to jego ramiona na pewno tworzą linię prostą, a to z kolei oznacza, że punkty \(B\), \(P\) oraz \(D\) na pewno leżą na jednej prostej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąty \(APB\) oraz \(DPA\) są oparte na średnicach okręgów i przez to mają miarę \(90°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$

Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2} \\
a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$

Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$

Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$

Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0 \\
(ad-bc)^2=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \\
ad-bc=0 \\
ad=bc$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\), \(b\), \(c\) oraz \(d\).
1 pkt
• Gdy poprawnie wymnożysz poszczególne wyrazy, zredukujesz i uprościsz zapisz (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie doprowadzisz zadania do końca (np. nie dostrzegajac, że można otrzymaną równość zapisać w formie wzorów skróconego mnożenia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wnioskiem (patrz: Krok 3.)

\(500\) liczb.

Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.

Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu liczby. (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=3\), \(y=6\). Ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując:
$$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując:
$$y^2=x\cdot12 \\
y^2=12x$$

Krok 3. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x=\frac{y}{2} \\
y^2=12x
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \\
y^2=6y$$

Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę):
$$y^2-6y=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(x\).
Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\).

Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to:
$$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Powstały nam więc dwie pary rozwiązań:
$$x=0,\quad y=0 \\
x=3,\quad y=6$$

Krok 6. Weryfikacja otrzymanych wyników i podanie ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz pojedyncze równania, które wykorzystuje jakieś własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), przez co zakończysz rozwiązywanie zadania z równaniem, które posiada dwie niewiadome.
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań, który pozwoli na wyznaczenie wartości niewiadomych \(x\) oraz \(y\) (patrz: Krok 3).
ALBO
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 4.), ale np. nie dokonasz weryfikacji wyników i nie odrzucisz błędnego rozwiązania
ALBO
• Gdy poprawnie wyznaczysz tylko jedną z niewiadomych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale uzyskasz błędną odpowiedź w wyniku błędów rachunkowych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz o zapisaniu ciągu geometrycznego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik oraz zapiszesz ciąg geometryczny.

\(|BD|=2\sqrt{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i określenie danych potrzebnych do rozwiązania zadania.
Nie musimy dokładnie zaznaczać wszystkiego na układzie współrzędnych, ale dobrze jest chociaż poglądowo narysować sobie ułożenie tego trójkąta, dzięki czemu łatwiej nam będzie wykonać późniejsze obliczenia.



Znamy współrzędne punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\), więc za pomocą wzoru moglibyśmy obliczyć równanie każdej prostej, która przechodzi przez dwa wybrane przez nas punkty. Gdybyśmy znali wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\) i stworzyli z nich układ równań, to wynik jaki byśmy otrzymali byłby punktem przecięcia się tych prostych, a więc byłyby to współrzędne punktu \(D\), którego nam brakuje.

Ustalmy więc teraz jak wyznaczyć wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\).
• Wzór na prostą \(AB\) wyznaczymy tworząc bardzo prosty układ równań składający się z dwóch równań funkcji \(y=ax+b\), gdzie w pierwszym równaniu za \(x\) oraz \(y\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a w drugim równaniu współrzędne punktu \(B\). Ewentualnie moglibyśmy skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, który znajduje się w tablicach.
• Wzór na prostą \(CD\) wyznaczymy korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej \(AB\), a więc iloczyn współczynników prostych \(CD\) oraz \(AB\) będzie musiał być równy \(-1\).

Po ustaleniu współrzędnych punktu \(D\) bez problemu obliczymy długość odcinka \(BD\) ze wzoru:
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Teraz czas na obliczenia tych elementów, które wypisaliśmy sobie w naszym planie działania.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\).
Pod ogólny wzór funkcji \(y=ax+b\) podstawiamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), tworząc układ równań:
\begin{cases}
5=a+b \\
31=14a+b
\end{cases}

Aby rozwiązać ten układ równań najprościej jest odjąć pierwsze równanie od drugiego, albo też do drugiego równania podstawić wartość \(b=5-a\) wynikającą z pierwszego równania. W obydwu przypadkach dojdziemy do tego, że \(13a=26\), więc \(a=2\).

Bez problemu wyliczymy także współczynnik \(b\), korzystając chociażby z równania \(b=5-a\), a więc \(b=5-2=3\).

Wyszło nam, że wzór funkcji przechodzącej przez nasze punkty \(A\) oraz \(B\) to \(y=2x+3\).

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(C\) oraz \(D\).
Ustaliliśmy już, że prosta \(CD\) będzie prostopadła do prostej \(AB\). To oznacza, że iloczyn ich współczynników \(a\) będzie równy \(-1\). Skoro współczynnik \(a\) prostej \(AB\) był równy \(2\), to współczynnik \(a\) prostej \(CD\) będzie równy:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wzór prostej \(CD\) ma więc postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Musimy jeszcze obliczyć współczynnik \(b\), a zrobimy to podstawiając do wzoru funkcji współrzędne punktu \(C=(4,31)\), stąd też:
$$31=-\frac{1}{2}\cdot4+b \\
31=-2+b \\
b=33$$

W związku z tym prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+33\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), a zrobimy to korzystając z tego, że proste \(AB\) oraz \(CD\) przecinają się w punkcie \(D\). Współrzędne punktu \(D\) otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych \(AB\) oraz \(CD\):
\begin{cases}
y=2x+3 \\
y=-\frac{1}{2}x+33
\end{cases}

Metodą podstawiania podstawiamy za \(y\) wartość z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy równanie:
$$2x+3=-\frac{1}{2}x+33 \\
2\frac{1}{2}x=30 \\
x=12$$

Obliczmy jeszcze współrzędną \(y\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot12+3 \\
y=27$$

W ten sposób wyznaczyliśmy współrzędne punktu \(D=(12;27)\).

Krok 5. Wyznaczenie długości odcinka \(|BD|\).
Z tablic maturalnych możemy odczytać wzór na długość odcinka (a w zasadzie na odległość między dwoma punktami), dzięki któremu po podstawieniu odpowiednich współrzędnych wyznaczymy długość odcinka \(BD\):
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2} \\
|BD|=\sqrt{(12-14)^2+(27-31)^2} \\
|BD|=\sqrt{4+16} \\
|BD|=\sqrt{20} \\
|BD|=2\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(CD\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 4.)
ALBO
• Gdy zastosujesz Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(CDB\) albo zapiszesz inne równanie w którym jedyną niewiadomą pozostanie poszukiwana długość odcinka \(BD\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Średnia prędkość aut to \(51\frac{km}{h}\) i \(68\frac{km}{h}\) lub \(58\frac{km}{h}\) i \(75\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.

Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$

Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2} \\
\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2} \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$

Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
v_{1}=v_{2}-17 \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}
\end{cases}

Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17) \\
174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100 \\
{v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-143,\;c=5100\)
$$Δ=b^2-4ac=(-143)^2-4\cdot1\cdot5100=20449-20400=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$v_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)-7}{2\cdot1}=\frac{143-7}{2}=\frac{136}{2}=68 \\
\text{lub}\\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)+7}{2\cdot1}=\frac{143+7}{2}=\frac{150}{2}=75$$

Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)

Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego i nie utworzysz z nich pary rozwiązań.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.