Matura próbna – Matematyka – Operon 2012 – Odpowiedzi

D

Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$16\sqrt[3]{4}=4^2\cdot4^{\frac{1}{3}}=(2^2)^2\cdot(2^2)^{\frac{1}{3}}=2^{2\cdot2}\cdot2^{2\cdot\frac{1}{3}}=2^4\cdot2^{\frac{2}{3}}=2^{4+\frac{2}{3}}=2^{\frac{14}{3}}$$

B

Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)

W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).

Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0 \\
x^2=1 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1\)

Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.

Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0 \\
5x=-10 \\
x=-2\)

Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.

Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0 \\
x=-4\)

Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.

C

Musimy odpowiedzieć kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę musimy rozwiązać nierówność \(x^2-3x-4\lt0\).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Skorzystamy tutaj z tradycyjnej metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9-(-16)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i przystępujemy do rysowania paraboli. Kółka przy miejscach zerowych muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(x\in(-1;4)\).

B

Korzystając z własności działań na logarytmach \(a^{log_{a}b}=b\) oraz \(a\;log_{b}c=log_{b}c^a\) możemy zapisać, że:
$$25^{\log_{5}2}=(5^2)^{\log_{5}2}=5^{2\log_{5}2}=5^{\log_{5}4}=4$$

A

Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby dowiedzieć się ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu to musimy rozwiązać nierówność:
$$-n^2+16\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \\
n^2-16\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(n^2-16\) do zera. Możemy to zrobić standardową deltą, ale to jest jedna z tych nierówności którą da się obliczyć niemalże w pamięci:
$$n^2-16=0 \\
n^2=16 \\
n=4 \quad\lor\quad n=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe wielomianu możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed \(n^2\) nie ma żadnej ujemnej wartości:



Krok 4. Odczytanie i interpretacja rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(n\in(-4;4)\).

Jak teraz zinterpretować to rozwiązanie? Z treści zadania (i ogólnie z wiedzy o ciągach) wiemy, że \(n\ge1\). Wiemy też, że \(n\) jest liczbą naturalną. W związku z tym skoro nasze \(n\) musi być większe lub równe \(1\) i jednocześnie musi się mieścić w przedziale \(n\in(-4;4)\), to mamy tylko trzy liczby które spełniają te warunki: \(n=1, n=2, n=3\). W związku z tym ten ciąg ma tylko trzy dodatnie wyrazy.

D

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=10000\)
\(p=0,03:4=0,0075\)
\(n=4\cdot4=16\)

Dlaczego \(p=0,0075\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), czyli \(0,03\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,03\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(4\) razy w roku (co kwartał), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,03:4=0,0075\).

Dlaczego \(n=16\)?
Lokata jest na \(4\) lata, a odsetki naliczane są co kwartał czyli \(4\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(4\cdot4=16\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{16}=10000\cdot(1+0,0075)^{16}$$

A

Naszym zadaniem jest po prostu ustalenie, która z tych liczb jest najmniejsza, a która największa i ustawienie tych liczb w porządku rosnącym. To zadanie nie jest więc w żaden sposób związane z ciągami jako takimi.

Teoretycznie moglibyśmy przyjąć przybliżenie \(\sqrt{5}\approx2,23\) i obliczyć na kalkulatorze wartość każdej z tych liczb. I prawdopodobnie byłaby to najszybsza metoda, bo od razu otrzymalibyśmy, że:
$$x\approx\frac{3}{2,23-2}=\frac{3}{0,23}=13,04 \\
y\approx\frac{12}{2,23-1}+1=\frac{12}{1,23}+1=9,76+1=10,76 \\
z\approx3\sqrt{5}+2=3\cdot2,23+2=8,69$$

Gdybyśmy jednak chcieli do tego zadania podejść nieco bardziej matematycznie, to kluczem do sukcesu byłoby po prostu usunięcie niewymierności z każdego z podanych ułamków. Otrzymamy wtedy:
$$x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}=\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}=\frac{3\sqrt{5}+6}{1}=3\sqrt{5}+6 \\
y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12\cdot(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)\cdot(\sqrt{5}+1)}+1= \\
=\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=3\sqrt{5}+4 \\
z=3\sqrt{5}+2$$

Zarówno z pierwszego jak i drugiego sposobu wynika, że najmniejsza jest liczba \(z\), największa to \(x\), zatem ten ciąg tworzą po kolei liczby \(z,y,x\).

B

Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu:
$$2,4,6,8,...$$

O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem:
$$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n \\
S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n \\
S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n \\
S_{2n}=(2n+1)\cdot2n \\
S_{2n}=4n^2+2n$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby uniknąć działań na ułamkach zapiszmy sobie, że podstawa trójkąta ma długość \(2x\), natomiast wysokość jest równa \(4x\).



Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Spójrzmy na otrzymany trójkąt prostokątny, bo to z niego teraz będziemy korzystać przy wyznaczeniu wartości sinusa. Do obliczenia sinusa potrzebna nam jest znajomość przeciwprostokątnej trójkąta, a tę wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa. W podstawie trójkąta prostokątnego znajduje się bok długości \(x\) (bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części), natomiast druga przyprostokątna ma długość \(4x\). W związku z tym:
$$x^2+(4x)^2=c^2 \\
x^2+16x^2=c^2 \\
17x^2=c^2 \\
c=\sqrt{17}x \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}x$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem \(c=\sqrt{17}x\).

Krok 3. Zapisanie wartości sinusa.
Sinus opisuje nam relacje między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta oraz długością przeciwprostokątej. W związku z tym:
$$sinα=\frac{4x}{\sqrt{17}x} \\
sinα=\frac{4}{\sqrt{17}} \\
sinα=\frac{4\cdot\sqrt{17}}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{17}}{17}$$

C

W matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), więc w mianowniku naszego ułamka musi się pojawić liczba różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+4\) jest równe \(0\) i wykluczyć te argumenty z dziedziny funkcji. Równanie \(x^2+4=0\) można rozwiązywać standardową deltą, ale tak naprawdę możemy to obliczyć w pamięci:
$$x^2+4=0 \\
x^2=-4$$

Z racji tego, iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to z naszej dziedziny nie wykluczymy żadnego rozwiązania, bo w mianowniku nigdy nie otrzymamy zera. To oznacza, że dziedziną funkcji jest po prostu cały zbiór liczb rzeczywistych.

D

Aby poznać liczbę przeciwną wystarczy dopisać z przodu minusa, zatem liczbą przeciwną w tym przypadku będzie \(-5^{\frac{2}{3}}\).

D

Jeżeli wykres funkcji \(f(x)\) przesuwamy o \(10\) jednostek w dół, to wzór nowej funkcji możemy zapisać jako \(y=f(x)-10\).

B

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, zatem liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Liczbami pierwszymi są \(2, 3, 5\). Liczba \(1\) nie jest liczbą pierwszą! W związku z tym tylko trzy przypadki spełniają warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}$$

B

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z poprzedniego kroku wyszło nam, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(sinα=\frac{12}{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\frac{12}{5}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{144}{25}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{169}{25}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{169} \\
cos^2α=\frac{25}{169} \\
cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{5}{13}\).

C

Powyższy wielomian możemy rozpisać w następujący sposób:
$$W(x)=x^3-2x^2-4x+8 \\
W(x)=x^2(x-2)-4(x-2) \\
W(x)=(x^2-4)(x-2) \\
W(x)=(x+2)(x-2)(x-2) \\
W(x)=(x+2)(x-2)^2$$

D

Teoretycznie możemy oddzielnie rozwiązać każdą z podanych nierówności i sprawdzić kiedy dany zbiór jest rozwiązaniem tej nierówności. Możemy też do tego zadania podejść nieco bardziej matematycznie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy sobie na rysunku sumę przedziałów z treści zadania:



Dodatkowo na rysunku zaznaczono punkt, który leży dokładnie między liczbami \(-8\) oraz \(-4\), bo będzie nam on potrzebny do dalszych obliczeń.

Krok 2. Ustalenie wzoru nierówności.
Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze postać \(|x-a|\), gdzie \(a\) jest liczbą, która leży dokładnie po środku między krańcami przedziałów (w naszym przypadku \(a=-6\)). W związku z tym po lewej stronie nierówności będziemy mieć postać \(|x-(-6)|\), czyli \(|x+6|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie. Widzimy, że nasze punkty krańcowe przedziałów są oddalone od środka o \(2\) jednostki w lewo lub prawo. Nas interesują wszystkie wartości które są oddalone o \(2\) lub więcej jednostki, zatem ostatecznym rozwiązaniem będzie
\(|x+6|\ge2\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy naszkicować całą sytuację. Na pewno wykres tej funkcji będzie parabolą i to taką, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik kierunkowy jest dodatni). Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie malała od minus nieskończoności aż do naszego wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie rosnąć do plus nieskończoności. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka.
Współrzędną iksową obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=2,\;b=-4,\;c=5\), zatem:
$$p=\frac{-(-4)}{2\cdot2} \\
p=\frac{4}{4} \\
p=1$$

Krok 3. Zapisanie przedziału.
Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=1\), zatem funkcja ta maleje w przedziale \(x\in(-\infty,1)\).

C

Aby dwie proste były prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Musimy więc najpierw poznać współczynnik kierunkowy prostej \(l\), a żeby tego dokonać to musimy równanie tej prostej zapisać w postaci kierunkowej.

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Chcemy zapisać nasze równanie w postaci typu \(y=ax+b\), zatem musimy przenieść igreki na lewą stronę, a na prawą dać całą resztę:
$$2x-9y+6=0 \\
-9y=-2x-6 \quad\bigg/\cdot(-1) \\
9y=2x+6 \quad\bigg/:9 \\
y=\frac{2}{9}x+\frac{6}{9}$$

Dzięki tej postaci wiemy już, że współczynnik kierunkowy prostej \(l\) wynosi \(a=\frac{2}{9}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Skoro iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), to druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{9}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{2} \\
a=-\frac{9}{2}$$

B

Iloraz ciągu geometrycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie ta liczba, która jest podnoszona do potęgi, czyli w naszym przypadku \(q=7\). Gdybyśmy o tym nie pamiętali, to wystarczy wyliczyć wartość dwóch wyrazów i z nich wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):
$$a_{1}=2\cdot7^1=2\cdot7=14 \\
a_{2}=2\cdot7^2=2\cdot49=98$$

Wtedy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{98}{14} \\
q=7$$

D

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy więc przekształcić nasze równanie z treści zadania do takiej właśnie postaci jak powyżej (czyli z odejmowaniem w nawiasach po lewej stronie równania oraz kwadratem liczby po prawej stronie). Dzięki temu błyskawicznie odczytamy współrzędne środka okręgu oraz długość jego promienia. Zrobimy to w następujący sposób:
$$(x+6)^2+y^2=4 \\
(x-(-6))^2+(y-0)^2=2^2$$

Teraz możemy zapisać, że współrzędne środka okręgu wynoszą \(S=(-6;0)\), natomiast promień okręgu jest równy \(r=2\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Z rysunku wynika, że długość promienia jest jednocześnie połową długości przekątnej kwadratu. Ta obserwacja pozwoli nam obliczyć długość boku.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro połowa przekątnej kwadratu jest równa \(2\sqrt{3}\), to cała przekątna ma długość:
$$d=2\cdot2\sqrt{3} \\
d=4\sqrt{3}$$

Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku długości \(a\) ma przekątną długości \(a\sqrt{2}\). Nasza przekątna ma długość \(4\sqrt{3}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{4\sqrt{6}}{2} \\
a=2\sqrt{6}$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby partii gdy jest \(8\) zawodników.
Zgodnie z regułą mnożenia moglibyśmy zapisać, że liczba kombinacji partii które możemy stworzyć z ośmiu zawodników jest równa \(8\cdot7=56\). Jednak musimy wziąć pod uwagę, że w tym konkretnym przypadku para np. \((3;5)\) jest dokładnie tym samym co \((5;3)\), bo w jednym i drugim przypadku gra zawodnik z numerem \(3\) przeciwko zawodnikowi z numerem \(5\). Z tego też względu otrzymany wynik musimy podzielić na dwa, dlatego przy ośmiu zawodnikach rozegramy \(56:2=28\) partii.

Krok 2. Obliczenie liczby partii gdy jest \(7\) zawodników.
Analogicznie do kroku pierwszego - gdy jest siedmiu zawodników, to zgodnie z regułą mnożenia jesteśmy w stanie stworzyć \(7\cdot6=42\) kombinacje partii. I tak jak przed chwilą, dokładnie z tego samego powodu otrzymany wynik musimy podzielić przez \(2\), zatem przy siedmiu zawodnikach rozegramy \(42:2=21\) partii.

Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się liczba partii.
Skoro przy ośmiu zawodnikach rozegramy \(28\) partii, a przy siedmiu tylko \(21\), to różnica ta wynosi \(28-21=7\).

B

Należy zauważyć, że trójkąty \(OAD\) oraz \(COB\) są trójkątami podobnymi, zatem możemy ułożyć następującą proporcję związaną z długościami ich boków:
$$\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|OD|}{|OC|}$$

Biorąc pod uwagę fakt, iż odcinek \(|OB|=|OA|+|AB|=6+10=16\) to mamy tak naprawdę komplet informacji do tego zadania. W związku z tym możemy przejść do podstawiania długości poszczególnych boków:
$$\frac{6}{16}=\frac{|OD|}{48}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$16\cdot|OD|=288 \\
|OD|=18$$

\(a_{1}=4\frac{1}{2},\ r=2\frac{1}{2}\)

Krok 1. Utworzenie układu równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$\begin{cases}
a_{2}=a_{1}+r \\
a_{6}=a_{1}+5r
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
7=a_{1}+r \\
17=a_{1}+5r
\end{cases}$$

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Musimy rozwiązać nasz układ równań. Możemy to zrobić metodą podstawiania (wyznaczając \(a_{1}\) z jednego równania i podstawiając to do drugiego równania), albo też możemy po prostu odjąć te równania stronami otrzymując:
$$-10=-4r \\
r=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu możemy teraz skorzystać z jednego z równań znajdujących się w układzie i możemy wyliczyć tym samym wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
7=a_{1}+2\frac{1}{2} \\
a_{1}=4\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(176cm\)

Krok 1. Obliczenie sumy wzrostu drużyny przed przyjęciem braci.
Skoro było \(6\) chłopców, a każdy z nich miał średnio \(174cm\), to łącznie wszyscy mieli:
$$6\cdot174cm=1044cm$$

Krok 2. Obliczenie sumy wzrostu drużyny po przyjęciu braci.
Po przyjęciu braci drużyna liczby \(8\) osób i jej średnia wzrostu wynosi \(174,5cm\). W związku z tym wszyscy łącznie mają:
$$8\cdot174,5cm=1396cm$$

Krok 3. Obliczenie wzrostu braci.
Razem bracia mają:
$$1396cm-1044cm=352cm$$

Skoro bracia są tego samego wzrostu, to każdy z nich ma:
$$352cm:2=176cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz łączny wzrost drużyny przed przyjęciem braci (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz równanie typu \(\frac{6\cdot174+2x}{8}=174,5\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-4\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(2x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$2x^3+8x^2-3x-12=0 \\
2x^2(x+4)-3(x+4)=0 \\
(2x^2-3)(x+4)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej możemy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$2x^2-3=0 \quad\lor\quad x+4=0$$

Pierwsze równanie jest równaniem kwadratowym, które możemy obliczyć tradycyjnie deltą, ale możemy też to rozpisać w następujący sposób:
$$2x^2-3=0 \\
2x^2=3 \\
x^2=\frac{3}{2} \\
x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Z drugiego równania otrzymamy:
$$x+4=0 \\
x=-4$$

To oznacza, że nasze równanie z treści zadania ma łącznie trzy rozwiązania:
$$x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby rozwiązać nierówność musimy najpierw sprawdzić jakie ma miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \(x^2-9=0\). Możemy to zrobić tradycyjnie (tak jak to zazwyczaj bywa) metodą delty, ale akurat w tym przypadku jesteśmy w stanie to powstałe równanie kwadratowe obliczyć w pamięci, bo:
$$x^2-9=0 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe i rysujemy przechodzącą przez te punkty parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna wartość):



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera. W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono upraszczając całe wyrażenie do liczby \(-2\).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastka.
Zadanie jest dość podchwytliwe, a kluczem do sukcesu jest poprawne pozbycie się pierwiastka. Zastanówmy się jaka wartość wyjdzie nam z pierwiastkowania liczby \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}\). Czy będzie to po prostu \(2-2\sqrt{5}\)? Gdyby tak było, to mielibyśmy sytuację w której z pierwiastka kwadratowego wyjdzie nam wynik ujemny (bo \(2-2\sqrt{5}\) jest ujemne), a to jest przecież sprzeczne z definicją pierwiastka. Czy to oznacza, że zadanie ma błąd? Wszystko jest w porządku, ponieważ wartość \(2-2\sqrt{5}\) jest faktycznie ujemna, jednak podniesiona do kwadratu daje już liczbę dodatnią, no a pierwiastkowanie liczby dodatniej daje liczbę dodatnią.

Musimy po prostu pamiętać, że \(\sqrt{x^2}=|x|\). Teraz sprawa jest już jasna i to oznacza, że \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}=|2-2\sqrt{5}|\).

Krok 2. Pozbycie się wartości bezwzględnej.
To jednak nie koniec zadania. Aby wykonać dalsze odejmowanie, które znajduje się na końcu przykładu musimy pozbyć się wartości bezwzględnej. Ustaliliśmy już, że \(2-2\sqrt{5}\) jest liczbą ujemną. Jeżeli mamy przykładowo obliczyć wartość bezwzględną z liczby ujemnej, np. \(|-5|\) to opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak i dlatego np. \(|-5|=5\). W naszym przypadku to oznacza, że:
$$|2-2\sqrt{5}|=-(2-2\sqrt{5})=-2+2\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia i zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że z pierwiastka wyjdzie nam wynik \(-2+2\sqrt{5}\) i od tej liczby zgodnie z wyrażeniem musimy jeszcze odjać \(2\sqrt{5}\), otrzymując:
$$a=-2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5} \\
a=-2$$

\(-2\) jest liczbą całkowitą, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie pozbędziesz się pierwiastka (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(72,8\%\)

\(a\) - długość krawędzi sześcianu przed powiększeniem
\(1,2a\) - długość krawędzi sześcianu po powiększeniu

\(V=a^3\) - objętość sześcianu przed powiększeniem
\(V=1,2a\cdot1,2a\cdot1,2a=1,728a^3\) - objętość sześcianu po powiększeniu

Skoro przed powiększeniem sześcian miał objętość \(a^3\) (czyli \(1a^3\)), a po powiększeniu ma objętość równą \(1,728a^3\) to objętość wzrosła o \(72,8\%\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz długość krawędzi sześcianu przed powiększeniem i po powiększeniu.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(A=(-5,-1)\), \(B=(2,6)\), \(Ob=10+7\sqrt{2}\)

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Ze wzoru prostej oraz równania okręgu możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=x+4 \\
(x+1)^2+(y-2)^2=25
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x+1)^2+(x+4-2)^2=25 \\
(x+1)^2+(x+2)^2=25 \\
x^2+2x+1+x^2+4x+4=25 \\
2x^2+6x-20=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2+3x-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych przecięcia się prostej z okręgiem.
Otrzymaliśmy dwie współrzędne iksowe, bo i nasza prosta (zgodnie z treścią zadania) przecina okrąg w dwóch miejscach. To oznacza, że pierwsza współrzędna iksowa należy do punktu \(A\), natomiast druga współrzędna należy do punktu \(B\). Musimy jeszcze obliczyć współrzędne igrekowe, a zrobimy to podstawiając współrzędne iksowe do równania prostej \(y=x+4\):

Dla \(x=-5\):
\(y=-5+4\)
\(y=-1\)

Dla \(x=2\):
\(y=2+4=6\)

To nam daje następujące współrzędne:
$$A=(-5;-1),\;B=(2;6)$$

Krok 4. Obliczenie długości promienia.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Teraz do tej postaci możemy przyrównać równanie z treści zadania. W naszym równaniu z treści zadania po prawej stronie znalazła się wartość \(25\), zatem jest to nasze \(r^2\). Możemy więc zapisać, że:
$$r^2=25 \\
r=5 \quad\lor\quad r=-5$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo promień nie może być ujemny.

Krok 5. Sporządzenie rysunku pomocniczego i zapisanie długości boków \(AS\) oraz \(BS\).
Z równania okręgu możemy wprost odczytać, że współrzędne środka okręgu to \(S=(-1;2)\). Ta informacja w połączeniu z obliczeniami z kroków poprzednich, czyli długość promienia \(r=5\) oraz współrzędne punktów \(A=(-5;-1),\;B=(2;6)\) pozwoli nam stworzyć następujący rysunek pomocniczy:



Z rysunku dość jasno wynika, że odcinki o długości \(AS\) oraz \(AB\) są równe długości promienia, zatem możemy zapisać, że:
$$|AS|=5 \\
|BS|=5$$

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(2-(-5))^2+(6-(-1))^2} \\
|AB|=\sqrt{7^2+7^2} \\
|AB|=\sqrt{49+49} \\
|AB|=\sqrt{49\cdot2} \\
|AB|=7\sqrt{2}$$

Krok 7. Obliczenie długości obwodu.
Mamy już wszystkie niezbędne informacje, zatem możemy bez problemu obliczyć długość obwodu:
$$Obw=5+5+7\sqrt{2}=10+7\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \((x+1)^2+(x+4-2)^2=25\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz błędnie współrzędne punktu \(A\) lub \(B\), bo popełnisz błąd rachunkowy np. przy wyliczaniu delty (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początku stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy przede wszystkim kąt \(α\) (co stanowi w sumie jedną z większych pułapek tego zadania, bo zazwyczaj zaznaczamy inne kąty w ostrosłupie niż kąt płaski ściany bocznej) oraz kąt \(β\), który jest kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy:



Krok 2. Rozpisanie tangensa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DBS\), który utworzył nam się na rysunku pomocniczym. Wiemy, że tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku otrzymamy więc następujące równanie:
$$tgα=\frac{h_{b}}{\frac{1}{2}a} \\
2=\frac{h_{b}}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
a=h_{b}$$

Z naszych obliczeń wynika więc, że wysokość ściany bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skorzystamy teraz z informacji, która mówi że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\). W naszym ostrosłupie mamy \(3\) identyczne ściany boczne, zatem pole powierzchni każdej z nich jest równe:
$$P_{b}=24:3=8$$

W ścianie bocznej znajduje się trójkąt o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h_{b}\), która jak już ustaliliśmy jest równa długości \(a\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{b} \\
8=\frac{1}{2}a\cdot a \\
16=a^2 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. W związku z tym \(a=4\) i tym samym \(h_{b}=4\).

Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie oraz obliczenie długości odcinka \(AO\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(AOS\) z zaznaczonym kątem \(β\). To właśnie cosinus tego kąta musimy wyznaczyć, a do tego niezbędna będzie znajomość odcinka \(AO\). Czym jest ten odcinek \(AO\)? Jest to długość \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności trójkątów równobocznych). Musimy więc obliczyć wysokość trójkąta równobocznego, korzystając z następującego wzoru:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=2\sqrt{3}$$

Odcinek \(AO\) jest zatem równy:
$$|AO|=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Krok 5. Obliczenie wartości cosinusa.
Mamy już komplet informacji do obliczenia cosinusa, bowiem cosinus opisuje zależność między przyprostokątną leżącą przy kącie (u nas jest to \(|AO|=\frac{2\sqrt{3}}{3}\), a przeciwprostokątną (u nas jest to \(h_{b}=4\)). W związku z tym:
$$cosβ=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{4} \\
cosβ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{4} \\
cosβ=\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy i wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równania (lub układ równań) wynikające z tangensa i pola powierzchni bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3.), ale ich nie rozwiążesz i na tym zakończysz zadanie.
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(v=6\frac{km}{h},\ t=5h\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=30\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość marszu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+9\) - prędkość jazdy rowerem (w \(\frac{km}{h}\))
\(t_{1}\) - czas marszu (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-3\) - czas jazdy rowerem (w godzinach)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy w formie układu równań, relację dotyczącą prędkości marszu oraz jazdy rowerem:
$$\begin{cases}
s=v_{1}\cdot t_{1} \\
s=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
30=v_{1}\cdot t_{1} \\
30=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases}
30=v_{1}\cdot t_{1} \\
30=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3)
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
v_{1}=\frac{t_{1}}{180} \\
180=(v_{1}+9)\cdot (t_{1}-3)
\end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$30=\left(\frac{t_{1}}{30}+9\right)\cdot(t_{1}-3)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$30=30-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27 \quad\bigg/-30 \\
-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27=0 \quad\bigg/\cdot t_{1} \\
-90+9t_{1}^2-27t_{1}=0 \quad\bigg/:9 \\
-10+t_{1}^2-3t_{1}=0 \\
t_{1}^2-3t_{1}-10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=5\).

Krok 4. Obliczenie prędkości marszu.
Znamy długość drogi \(s=30km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t=5h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość marszu:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{30km}{5h} \\
v=6\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci ogólnej równania kwadratowego z którego potem można obliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.