Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2010 – Odpowiedzi

A

Naszym zadaniem jest tak naprawdę policzenie ceny brutto tego towaru. Aby tego dokonać musimy do ceny netto (czyli \(60zł\)) dodać wartość podatku VAT (czyli \(22\%\) z \(60zł\)). Zatem:
$$C_{brutto}=60+22\%\cdot60 \\
C_{brutto}=60+0,22\cdot60 \\
C_{brutto}=60+13,20 \\
C_{brutto}=73,20[zł]$$

C

Z zaprezentowanych odpowiedzi wynika, że musimy zarówno \(81\) jak i \(9\) zapisać w postaci potęgi liczby \(3\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Skoro \(81=3^4\) oraz \(9=3^2\), to:
$$81^2\cdot9^4=(3^4)^2\cdot(3^2)^4=3^{4\cdot2}\cdot3^{2\cdot4}= \\
=3^8\cdot3^8=3^{8+8}=3^{16}$$

C

Spróbujmy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{3}9=2\text{, bo }3^2=9 \\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$

Zatem:
$$\log_{3}9-\log_{3}1=2-0=2$$

Moglibyśmy też zastosować tutaj wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y} \\
\log_{3}9-\log_{3}1=\log_{3}\frac{9}{1}=\log_{3}9=2$$

B

Możemy rozwiązać każdą z nierówności oddzielnie i sprawdzić która z nich da rozwiązanie wskazane na rysunku. Chcąc obliczyć to nieco bardziej matematycznie musimy najpierw wyznaczyć środek pomiędzy wartościami krańcowymi tego przedziału:
$$a=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Zgodnie ze wzorami po lewej stronie nierówności będziemy mieć \(|x-a|\). W naszym przypadku będzie to \(|x-(-1)|\), czyli \(|x+1|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności. Widzimy, że nasze punkty krańcowe przedziałów są oddalone od środka tego przedziału o \(3\) jednostki, a wszystkie inne wartości znajdujące się w tym przedziale są oddalone o mniej niż \(3\) jednostki. Stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\lt3$$

C

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

W związku z tym:
$$x(x-1)(x+1)=x(x^2-1^2)=x^3-x$$

A

Zgodnie z treścią zadania musimy podnieść liczbę do kwadratu, zatem wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(2-\sqrt{3})^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2= \\
=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian mamy podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej. Aby więc jego wartość była równa zero, to:
$$x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie stoi znak ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\), tak więc parabola będzie wyglądać następująco:



Interesują nas wartości znajdujące się nad osią, czyli rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$(-\infty;-5)\cup(0;+\infty)$$

C

Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
To dość ważny krok, bo może się zdarzyć sytuacja, w której niektóre rozwiązania będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W tym przypadku konieczność wprowadzenia założeń wynika z tego, że wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. Zatem:
$$(x-4)(x+4)\neq0 \\
x-4\neq0 \quad\land\quad x+4\neq0 \\
x\neq4 \quad\land\quad x\neq-4$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
W tego typu równaniach wymiernych aby wartość ich była równa zero to licznik musi być równy zero, zatem:
$$x^2-4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, tak więc to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

A

Kiedy parabola jest określona wzorem ogólnym typu \(ax^2+bx+c\) (a tak jest w naszym przypadku) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) tej paraboli możemy określić za pomocą wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to zauważymy, że musimy wyznaczyć tylko współrzędną \(p\), bo tylko taka się pojawia w tych odpowiedziach, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-13\)
$$p=\frac{-4}{2\cdot1} \\
p=\frac{-4}{2} \\
p=-2$$

Otrzymany wynik oznacza, że nasz wierzchołek leży na prostej o równaniu \(x=-2\).

D

Aby funkcja określona wzorem \(y=ax+b\) była rosnąca to współczynnik \(a\) musi być większy od zera. W naszym przykładzie \(a=m-1\), zatem aby funkcja była rosnąca to:
$$m-1\gt0 \\
m\gt1$$

Spośród czterech odpowiedzi większa od jedynki jest jedynie czwarta odpowiedź, czyli \(m=2\).

B

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Nasza funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\), a taka sytuacja jest zawarta jedynie na wykresie z drugiej odpowiedzi.

C

Skoro \(a\gt0\) to funkcja musi być rosnąca.
Skoro \(b\lt0\) to funkcja musi przecinać oś \(Oy\) w ujemnym punkcie (pod osią \(Ox\)).

Obydwa warunki spełnia jedynie wykres zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

D

Skoro funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2,6)\), to znaczy że \(f(2)=6\). Musimy więc podstawić \(x=2\) oraz \(f(x)=6\) i w ten sposób wyznaczymy wartość poszukiwanej niewiadomej:
$$6=\frac{a}{2} \\
a=12$$

B

Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r\\
a_{2}=a_{1}+r \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
a_{4}=a_{1}+3r$$

Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases}
a_{1}+r=5 \\
a_{1}+3r=11
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).

D

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
-4=(-2)\cdot q^{2} \\
q^2=2 \\
q=\sqrt{2} \quad\lor\quad q=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg geometryczny jest malejący, ale to nie oznacza, że iloraz tego ciągu jest ujemny!

Gdyby iloraz \(q\) był liczbą ujemną, to ciąg ten ciąg miałby naprzemiennie wyrazy dodatnie i ujemne. Możemy to sobie nawet sprawdzić na naszych rozwiązaniach, które przed chwilą otrzymaliśmy. Jeśli \(q=-\sqrt{2}\) oraz \(a_{1}=-2\), to mamy ciąg:
$$-2,\quad2\sqrt{2},\quad-4,\quad4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

Wartość ilorazu musi być więc w naszym przypadku dodatnia. Jeśli \(q=\sqrt{2}\), wtedy kolejnymi wyrazami tego ciągu będą:
$$-2,\quad-2\sqrt{2},\quad-4,\quad-4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

C

Skorzystamy tutaj z tzw. "jedynki trygonometrycznej", podstawiając do wzoru wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{16}=1 \\
sin^2α=\frac{7}{16} \\
sinα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\
sinα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to sinus musi przyjąć wartość dodatnią, stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

A

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że promień okręgu, który jest opisany na trójkącie jest równy \(\frac{2}{3}\) jego wysokości. Zatem:
$$\frac{2}{3}h=r \\
\frac{2}{3}h=12 \\
h=18$$

B

Z treści zadania wynika, że \(|AB|=11-5=6\). To jednocześnie oznacza, że także \(|CD|=6\). Zróbmy sobie jeszcze dla pewności rysunek pomocniczy:


Musimy teraz obliczyć długość odcinka \(AD\), co oczywiście możemy zrobić za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AD|^2+|CD|^2=|AC|^2 \\
|AD|^2+6^2=11^2 \\
|AD|^2+36=121 \\
|AD|^2=85 \\
|AD|=\sqrt{85}$$

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BSE\).
Dorysujmy sobie odcinek \(SE\) i obliczmy miarę kąta środkowego \(BSE\).



Widzimy, że kąt ten stanowi trzy z dziesięciu "cząstek" kąta pełnego, zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle BSE|=\frac{3}{10}\cdot360° \\
|\sphericalangle BSE|=108°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BGE\).
Kąt \(BGE\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(BSE\), którego miarę obliczyliśmy przed chwilą. W związku z tym zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych kąt ten będzie dwa razy mniejszy od kąta \(BSE\):
$$|\sphericalangle BGE|=108°:2 \\
|\sphericalangle BGE|=54°$$

A

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość danego odcinka za pomocą wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(5-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-4)^2+2^2} \\
|AC|=\sqrt{16+4} \\
|AC|=\sqrt{20}$$

Warto też dodać, że zgodnie z treścią zadania jest to przekątna naszego kwadratu.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni kwadratu.
Najprościej będzie tutaj skorzystać ze wzoru na pole kwadratu z wykorzystaniem długości przekątnej:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{20})^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot20 \\
P=10$$

A

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać wzorem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Równanie z treści zadania jest w dokładnie takiej postaci jaka jest przez nas pożądana, więc długość promienia okręgu to:
$$r^2=13 \\
r=\sqrt{13}$$

Tak na marginesie to z tego równania moglibyśmy jeszcze odczytać współrzędne środka okręgu, a byłoby to \(S=(-2;1)\).

C

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) to prosta do niej prostopadła będzie miała:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \\
a=4$$

Taki współczynnik znalazł się tylko w trzeciej odpowiedzi, stąd też poszukiwanym równaniem prostej było \(y=4x-1\).

B

Krok 1. Obliczenie długości pojedynczej krawędzi.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość sześcianu i wyznaczymy z niego długość pojedynczej krawędzi:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$

Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
Sześcian ma \(12\) krawędzi równej długości. Skoro tak, to suma wszystkich krawędzi będzie równa:
$$S=12\cdot3cm \\
S=36cm$$

A

Krok 1. Wyznaczenie liczby kątów podstawy graniastosłupa.
Graniastosłup, który ma w swojej podstawie \(n\)-kąt posiada \(3n\) krawędzi. W związku z tym figurą znajdującą się w podstawie będzie pięciokąt, bo:
$$3n=15 \\
n=5$$

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt posiada \(2n\) wierzchołków. Skoro w podstawie jest pięciokąt to wierzchołków będziemy mieć \(5\cdot2=10\).

A

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną z jedenastu liczb, stąd też \(|Ω|=11\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
W naszym przypadku zdarzeniem sprzyjającym będą wszystkie te liczby, które są podzielne przez trzy. Takimi liczbami będą:
$$3, 6, 9$$

Są tylko trzy takie liczby, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{11}\approx0,27$$

Prawidłowa jest zatem odpowiedź pierwsza.

\(x\in(-\infty;2)\cup(12;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-14,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=(-14)^2-4\cdot1\cdot24=196-96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-14)-10}{2\cdot1}=\frac{14-10}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-14)+10}{2\cdot1}=\frac{14+10}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ustalmy sobie na początek kształt tej paraboli. Z racji tego iż współczynnik \(a\) jest dodatni, to na pewno ramiona tej paraboli będą skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę:



Kropki są niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Patrzymy w których miejscach funkcja przyjmuje wartości większe od zera, czyli dla jakich przedziałów wykres znalazł się nad osią.
$$x\in(-\infty;2)\cup(12;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=3\).

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-3x^2+2x-6=0 \\
x^2(x-3)+2(x-3)=0 \\
(x^2+2)(x-3)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x^2=-2 \quad\lor\quad x=3$$

Z racji tego iż nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to jedynym rozwiązaniem tego równania pozostaje \(x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=2\)

Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawiając dane z treści zadania możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot5 \\
70=\frac{a_{1}+26}{2}\cdot5 \\
14=\frac{a_{1}+26}{2} \\
28=a_{1}+26 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie (lub układ równań) korzystając ze wzoruna sumę \(n\)-tych wyrazów i/lub ewentualnie ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania albo popełnisz błąd w obliczeniach.
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów uda Ci się dojść jaki jest pierwszy wyraz ciągu i nie zaprezentujesz jakichkolwiek obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\((x-4)^2+(y+2)^2=20\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na równanie okręgu.
Równanie okręgu o promieniu \(r\) i środku \(S=(a;b)\) możemy zapisać jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

W treści zadania mamy podane współrzędne środka tego okręgu, więc możemy od razu te dane wstawić do naszego wzoru, otrzymując postać:
$$(x-4)^2+(y-(-2))^2=r^2 \\
(x-4)^2+(y+2)^2=r^2$$

Krok 2. Wyznaczenie promienia okręgu.
Tak naprawdę powyższy wzór byłby kompletnym rozwiązaniem, gdybyśmy tylko znali długość promienia. Aby ją poznać musimy skorzystać ze współrzędnych punktu, przez który ten okrąg przechodzi. Z treści zadania wynika, że nasz okrąg przechodzi przez punkt \((0;0)\), zatem do wzoru z pierwszego kroku musimy podstawić \(x=0\) oraz \(y=0\):
$$(0-4)^2+(0+2)^2=r^2 \\
(-4)^2+(2)^2=r^2 \\
16+4=r^2 \\
r^2=20$$

To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest:
$$(x-4)^2+(y+2)^2=20$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie okręgu z wykorzystaniem danych z treści zadania, bez poprawnego obliczenia długości promienia (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz dowolnym sposobem długość promienia, ale nie zapiszesz poprawnie równania okręgu (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając długości boków i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
W ten sposób obliczymy długości trzech odcinków: \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\), a następnie za pomocą Twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy rzeczywiście będzie to trójkąt prostokątny.

Krok 1. Obliczenie długości boków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(1-3)^2+(2-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{4+36} \\
|AB|=\sqrt{40}$$
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(6-3)^2+(7-8)^2} \\
|AC|=\sqrt{3^2+(-1)^2} \\
|AC|=\sqrt{9+1} \\
|AC|=\sqrt{10}$$
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(6-1)^2+(7-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{5^2+5^2} \\
|BC|=\sqrt{25+25} \\
|BC|=\sqrt{50}$$

Krok 2. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to długości jego boków spełniają równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+(\sqrt{10})^2=(\sqrt{50})^2 \\
40+10=50 \\
50=50 \\
L=P$$

Skoro lewa i prawa strona równania są sobie równe, to znaczy że długości boków spełniają Twierdzenie Pitagorasa, zatem trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz poszczególne długości boków (patrz: Krok 1.) i nie udowodnisz (np. korzystając z Twierdzenia Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.
ALBO
• Gdy obliczysz współczynniki kierunkowe prostych będących przyprostokątnymi (czyli \(AB\) oraz \(BC\).
2 pkt
• Udowodnisz tezę korzystając z Twierdzenia Pitagorasa albo za pomocą jakiejkolwiek innej metody (np. udowadniając że iloczyn współczynników kierunkowych prostych będących przyprostokątnymi jest równy \(-1\)).
ALBO
• Udowodnisz tezę za pomocą bardzo dokładnego rysunku w układzie współrzędnych.

Udowodniono przekształcając równanie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.
Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2} \\
a^2+b=a+b^2 \\
a^2-b^2-a+b=0$$

Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$

Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0 \\
(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$

Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0 \\
a=b \quad\lor\quad a+b=1$$

Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy pozbędziesz się pierwiastka z równania (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz możliwość użycia wzorów skróconego mnożenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{1}{12}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym rzucie możemy uzyskać jeden z sześciu wyników. Podobnie jest w drugim rzucie, tu także otrzymamy jedną z sześciu możliwości. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych mamy więc:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której suma oczek jest większa od sześciu i jednocześnie iloczyn tych liczb jest nieparzysty. Możemy oczywiście wypisać wszystkie kombinacje kiedy suma jest większa od sześciu i sprawdzić iloczyn każdej takiej pary. Jednak możemy też się zastanowić - kiedy iloczyn dwóch liczb daje wynik nieparzysty? Taki wynik mamy tylko wtedy, kiedy obydwie liczby są nieparzyste. W ten sposób krąg naszych "podejrzanych" znacznie zmalał, gdyż:
• Z jedynką żadnej takiej pary nie stworzymy.
• Z trójką stworzymy jedną taką parę: \((3;5)\)
• Z piątką stworzymy dwie takie pary: \((5;3)\) oraz \((5;5)\)

Są więc tylko trzy takie sytuacje, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) i wypiszesz jakie są zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 1. oraz 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania lub dalej rozwiązujesz błędnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) oraz podasz ile jest łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=3\) (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=70\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten graniastosłup i oznaczmy na nim od razu długości, które są podane w treści zadania. Pamiętaj, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, dlatego w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny.



Dodatkowo musimy zauważyć, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym, bowiem jego dwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(BF\).
Spójrzmy na trójkąc \(ACF\). Jest to trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są nam znane. W związku z tym bez problemu obliczymy długość przeciwprostokątnej \(AF\):
$$|AC|^2+|CF|^2=|AF|^2 \\
10^2+11^2=|AF|^2 \\
100+121=|AF|^2 \\
|AF|^2=221 \\
|AF|=\sqrt{221}$$

Powiedzieliśmy sobie, że trójkąt ABF jest równoramienny, zatem także \(|BF|=\sqrt{221}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\).
Spójrzmy może na rysunek samego trójkąta \(ABF\):



Znamy długość podstawy \(|AB|=10\). Brakuje nam jeszcze wysokości tego trójkąta. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem otrzymamy mały trójkąt prostokątny \(SBF\), z którego za pomocą Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość trójkąta.
$$|SB|^2+|SF|^2=|BF|^2 \\
5^2+|SF|^2=(\sqrt{221})^2 \\
25+|SF|^2=221 \\
|SF|^2=196 \\
|SF|=14$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABF\).
Wystarczy już podstawić do wzoru na pole trójkąta wszystkie dane, które uzyskaliśmy przed chwilą:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot |AB| \cdot |SF| \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot14 \\
P=70$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy narysujesz graniastosłup i poprawnie zaznaczysz w nim poszukiwany trójkąt \(ABF\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli \(h=5\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABF\), czyli \(|SF|=14\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz sinus kąta \(AFB\), czyli \(sin=\frac{140}{221}\), celem skorzystania ze wzoru na pole trójkąta z użyciem sinusa.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale popełnisz błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(v=24\frac{km}{h}\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonywania trasy (w godzinach)
\(s=60\) - długość pokonanej trasy (w kilometrach)
\(v+1\) - zakładana teoretyczna prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t-\frac{1}{10}\) - zakładany teoretyczny czas jazdy (w godzinach)

Dlaczego teoretyczny czas jazdy wyniósł \(t-\frac{1}{10}\)? Mamy informację, że kolarz przejechałby trasę krócej o \(6\) minut. Niestety minutami nie możemy za bardzo operować, bo później posługujemy się jednostką prędkości \(\frac{km}{h}\), dlatego też musimy zamienić minuty na godziny:
$$6\text{ min. }=\frac{6}{60}\text{ godz. }=\frac{1}{10}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Do ułożenia układu równań użyjemy wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Pierwsze równanie będzie dotyczyło pierwszego przejazdu, drugie będzie związane z tym "teoretycznym" przejazdem:
\begin{cases}
60=vt \\
60=(v+1)\cdot(t-\frac{1}{10})
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{60}{v}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
60=(v+1)\cdot\left(\frac{60}{v}-\frac{1}{10}\right) \\
\cancel{60}=\cancel{60}-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10} \\
-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}=0 \quad\bigg/\cdot v \\
-\frac{1}{10}v^2-\frac{1}{10}v+60=0 \quad\bigg/\cdot10 \\
-v^2-v+600=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot600=1-(-2400)=1+2400=2401 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-49}{2\cdot(-1)}=\frac{1-49}{-2}=\frac{-48}{-2}=24 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+49}{2\cdot(-1)}=\frac{1+49}{-2}=\frac{50}{-2}=-25$$

Z racji tego iż prędkość ujemną należy oczywiście odrzucić, to prawidłowym rozwiązaniem jest \(v=24\frac{km}{h}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.