Matura próbna – Matematyka – Marzec 2012 – Odpowiedzi

D

Naszym zadaniem jest wyłączenie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka. Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

B

Jedyną prawidłową zależnością jest ta, która znalazła się w drugiej odpowiedzi, bowiem podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem liczby odwrotnej. Tak też będzie i w tym przypadku:
$$\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}=\left(\frac{y}{x}\right)^{5}$$

A

Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo:
$$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$

C

Aby rozwiązać to zadanie odpowiedzmy sobie na pytanie ile jest równa wartość bezwzględna z np. \(5\) oraz \(-5\). Oczywiście w obydwu przypadkach wynik będzie równy \(5\), ale jak to będzie wyglądać w zapisie matematycznym?
$$|5|=5 \\
|-5|=-(-5)=5$$

A jak będą wyglądać wartości bezwzględne z \(x\) oraz \(-x\)?
$$|x|=x \\
|-x|=-(-x)=x$$

Z definicji wartości bezwzględnej oraz z tego naszego małego eksperymentu wynika, że wyciągając wartość bezwzględną z liczby ujemnej musimy postawić przed nią znak minusa (tak aby finalnie wyszła nam liczba dodatnia). Jeśli więc mamy liczbę \(-5\), to jej wartość bezwzględna jest równa \(-(-5)=5\).

Krok 1. Opuszczenie wewnętrznej wartości bezwzględnej.
Z treści zadania wiemy, że nasz \(x\lt0\), czyli opuszczając wewnętrzną wartość bezwzględną musimy dostawić minus przed \(x\), tak więc:
$$||x|+1|=|-x+1|$$

Krok 2. Opuszczenie drugiej wartości bezwzględnej.
Musimy teraz ustalić, czy liczba \(-x+1\) jest dodatnia czy ujemna. Gdyby była ujemna, to znowu musielibyśmy postawić przed nią znak minusa. Ta liczba jest jednak na pewno dodatnia, bo skoro \(x\) jest ujemny, to \(-x\) jest dodatni, a tym bardziej \(-x+1\) będzie dodatnia. Opuszczając więc drugą wartość bezwzględną nie musimy zmieniać znaków, stąd też:
$$|-x+1|=-x+1$$

B

Niezależnie od tego ile płyt kupimy to tak czy inaczej zapłacimy po prostu \(20\%\) mniej. Prawidłowa jest więc odpowiedź druga.

B

W tym zadaniu wykorzystamy następujący wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Krok 1. Zapisanie wielomianu w formie \(a^2-b^2\).
Spróbujmy doprowadzić nasz wielomian do postaci \(a^2-b^2\), co pozwoli nam później zastosować wzór skróconego mnożenia, a więc:
$$4x^2-100=(2x)^2-10^2$$

Krok 2. Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia:
$$(2x)^2-10^2=(2x-10)(2x+10)$$

A to oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Jeśli nie jesteśmy w stanie dostrzec tych wszystkich zależności to mogliśmy też po prostu wymnożyć każdy z wariantów znajdujących się w odpowiedziach \(ABCD\) i sprawdzić, która wartość byłaby równa \(4x^2-100\).

A

Krok 1. Zapisanie odpowiednich założeń do zadania.
Wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo dzielenie przez zero w matematyce nie występuje. Stąd też pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest zapisanie założenia, że \(x-6\neq0\), czyli \(x\neq6\).
Zapisanie założeń jest ważne, bo czasem zachodzi konieczność odrzucenia jakiegoś rozwiązania ze względu na to założenie.

Krok 2. Sprawdzenie dla jakich liczb wartość licznika jest równa \(0\).
Aby wynik działania był równy \(0\) to wartość licznika musi być równa \(0\) (i jest to jedyna możliwość, bo wartość mianownika na pewno musi być różna od zera). Stąd też:
$$x^2+36=0 \\
x^2=-36$$

Niestety nie istnieje jakakolwiek liczba, która byłaby rozwiązaniem tego równania, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu da nam ujemny wynik. To oznacza, że równanie nie ma rozwiązań.

A

Krok 1. Wymnożenie wszystkich wyrazów przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia i rozwiązanie nierówności.
Po lewej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Po prawej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Zatem:
$$(4+x)^2\lt(x-4)(x+4) \\
4^2+2\cdot4\cdot x+x^2\lt x^2-4^2 \\
16+8x+x^2\lt x^2-16 \\
16+8x\lt-16 \\
8x\lt-32 \\
x\lt-4$$

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Rozwiązaniem naszego równania jest przedział \(x\in(-\infty;-4)\). Musimy teraz sobie odpowiedzieć na pytanie jaka jest największa liczba całkowita, która mieści się w tym przedziale. Nie może to być \(-4\), bo ta liczba nie mieści się w naszym przedziale (nawias jest otwarty). Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest więc \(-5\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

D

Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).

To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.

C

Krok 1. Obliczenie rozwiązań równania kwadratowego.
W treści zadania mamy tak naprawdę podane równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. To oznacza, że wystarczy przyrównać wartości z poszczególnych nawiasów do zera i dzięki temu poznamy rozwiązania tego równania, tak więc:
$$x+2=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=6$$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x_{1}=-2\) oraz \(x_{2}=6\).

Krok 2. Obliczenie wartości \({x_{1}}^2+{x_{2}}^2\).
$${x_{1}}^2+{x_{2}}^2=(-2)^2+6^2=4+36=40$$

C

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(Y\). Widzimy wyraźnie, że nasz wykres składa się tak jakby z dwóch części, które są ciągłe:
- w pierwszej części ("górnej") funkcja przyjmuje wartości \((1;3\rangle\)
- w drugiej ("dolnej") przyjmuje wartości \(\langle-4;-1\rangle\).

Zbiór wartości tej funkcji jest więc sumą przedziałów: \(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)

PS. Zwróć uwagę na nawiasy - punkt \((0,1)\) jest na rysunku przedstawiony w formie niezamalowanej kropki, dlatego nawias przy "jedynce" mamy otwarty.

D

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, które znajdziemy w tablicach maturalnych. Z nich możemy odczytać, że:
$$cosα=sin(90°-α)$$

To znaczy, że:
$$cos27°=sin(90°-27°)=sin63°$$

Okazuje się, że wartości które mamy w liczniku, czyli \(cos27°\) oraz \(sin63°\) są sobie równe. Skoro tak, to możemy całość zapisać jako:
$$\require{cancel}\frac{cos27°+sin63°}{cos27°}=\frac{cos27°+cos27°}{cos27°}=\frac{2\cdot \cancel{cos27°}}{\cancel{cos27°}}=2$$

PS. W działaniu \(\frac{cosα+sinβ}{cosα}\) nie mogliśmy sobie ot tak skrócić \(cosα\) w liczniku i mianowniku, bo w liczniku mamy dodawanie, a nie mnożenie, więc musielibyśmy każdy wyraz z licznika podzielić oddzielnie przez \(cosα\), a to nam nic nie da.

C

Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich.
Krok 1. Obliczenie wartości ciągu dla \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=-2\cdot1+1=-2+1=-1 \\
a_{2}=-2\cdot2+1=-4+1=-3$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
$$r=a_{2}-a_{1}=-3-(-1)=-2$$

Tak na marginesie, to wyliczona ujemna różnica \(r=-2\) świadczy o tym, że jest to ciąg malejący.

A

Znając wartości drugiego i trzeciego wyrazu ciągu możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu \(q\), a następnie każdy dowolny wyraz tego ciągu. My w tym zadaniu jednak skorzystamy z dużo prostszej metody, która mówi o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Dzięki temu unikniemy trudnych obliczeń na pierwiastkach i liczbach ujemnych.

Korzystając z opisanej zależności otrzymujemy równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \\
\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}a_{1} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \\
a_{1}=-\frac{2}{4} \\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$

A

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\):
$$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

A

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - długość krótszego boku
\(y\) - długość dłuższego boku
\(\frac{x}{y}=\frac{2}{5}\), bo stosunek boków jest równy \(2:5\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Wiedząc jaki jest stosunek boków i że pole figury jest równe \(40\) bez problemów ułożymy następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=40 \\
\frac{x}{y}=\frac{2}{5}
\end{cases}

W pierwszym równaniu dzielimy obie strony przez \(40\), a w drugim mnożymy wartości z ułamków na krzyż otrzymując:
\begin{cases}
x=\frac{40}{y} \\
5x=2y
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x=\frac{40}{y}\) z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy:
$$5\cdot\frac{40}{y}=2y \\
\frac{200}{y}=2y \quad\bigg/\cdot y \\
200=2y^2 \quad\bigg/:2 \\
y^2=100 \\
y=10 \quad\lor\quad y=-10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości. To oznacza, że \(y=10\), a skoro jest to dłuższy bok naszego prostokąta (tak wynika z oznaczeń), to prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

C

Wiemy, że średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa długości przeciwprostokątnej.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej (i tym samym średnicy).
Długość przeciwprostokątnej wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
5^2+12^2=c^2 \\
25+144=c^2 \\
c^2=169 \\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka nie może być ujemna. Przeciwprostokątna ma więc długość \(13\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
To wszystko to jednak nie jest koniec zadania. Musimy obliczyć długość promienia, bo póki co znamy długość średnicy. Wystarczy więc podzielić długość średnicy przez dwa i otrzymamy prawidłową odpowiedź:
$$13:2=6,5$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Interpretacja rysunku.
Widzimy wyraźnie, że odległość między środkami tych okręgów jest równa długości promienia mniejszego okręgu. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(12\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Odczytanie odpowiedzi z rysunku.
Z rysunku jasno wynika, że promień podstawy tego stożka jest równy długości krótszej przyprostokątnej, a więc \(13\).

B

W naszej siatce powinniśmy się spodziewać dwóch różnych rodzajów trójkątów. Pierwszym rodzajem są trójkąty \(ABE\) oraz \(ADE\) (są na pewno prostokątne i równoramienne bo wyznacza nam to bok sześcianu). Drugim rodzajem są trójkąty \(BCE\) oraz \(CDE\) (też będą to trójkąty prostokątne, ale już nie będą równoramienne no i będą tak jakby "dłuższe").

Już ta pierwsza weryfikacja sprawia, że odrzucimy odpowiedzi \(C\) i \(D\), bo tam wszystkie trójkąty są jednakowych rozmiarów. Teraz używając naszej wyobraźni przestrzennej musimy dokonać wyboru między \(A\) i \(B\). Siatka \(A\) różni się od \(B\) jedynie ułożeniem dwóch "dłuższych" trójkątów. W siatce \(B\) najdłuższe krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka i to jest dla nas znak, że po złożeniu te krawędzie idealnie się ze sobą spasują. W siatce \(A\) już takiej zależności nie znajdziemy i w zasadzie po złożeniu tej siatki otrzymamy bardzo nieregularną figurę przestrzenną (nie będzie nam nawet to przypominać ostrosłupa). Stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(B\).

D

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru: \(P(A')=1-P(A)\). Z treści zadania wiemy też, że \(P(A)=5\cdot P(A')\), więc podstawmy tę informację do naszego wzoru i w ten sposób wyliczymy pożądaną wartość \(P(A)\).
$$P(A)=5\cdot P(A') \\
P(A)=5\cdot(1-P(A)) \\
P(A)=5-5\cdot P(A) \\
6\cdot P(A)=5 \\
P(A)=\frac{5}{6}$$

\(x\in\langle-3;4\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Miejsca zerowe najprościej będzie obliczyć tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=3,\;c=36\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-3)\cdot36=9+432=441 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot(-3)}=\frac{-24}{-6}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot(-3)}=\frac{18}{-6}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny bo jest równy \(-3\). To oznacza, że nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-3\) oraz \(x=4\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero (czyli na osi lub nad nią) i widzimy, że funkcja przyjmuje takie wartości w przedziale \(x\in\langle-3;4\rangle\). To jest też nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Współczynnik \(b=3\).

Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9} \\
-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9} \\
-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5) \\
5=8-b \\
b=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie z niewiadomą \(b\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=96\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(AE\) oraz \(EB\).
Długość odcinka \(AE\) jest identyczna co długość odcinka \(DC\), więc:
$$|AE|=|DC|=6$$

Długość odcinka \(EB\) jest różnicą między dłuższą i krótszą podstawą, więc:
$$|EB|=|AB|-|DC|=10-6=4$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Aby móc obliczyć pole trapezu potrzebna nam jest znajomość jego wysokości. Musimy więc poznać długość odcinka \(AD\) lub \(CE\). Długości odcinka \(AD\) nie mamy jak wyliczyć, natomiast \(CE\) jesteśmy w stanie wyznaczyć korzystając z tangensa kąta ostrego, który zgodnie z treścią zadania jest równy \(3\). Z definicji tangensa wiemy, że tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Zatem:
$$tgα=\frac{|CE|}{|EB|} \\
3=\frac{|CE|}{4} \\
|CE|=12$$

To oznacza, że wysokość naszego trapezu jest równa \(12\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(6+10)\cdot12 \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot12 \\
P=8\cdot12 \\
P=96$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu, czyli \(h=12\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz wysokość trapezu, ale konsekwentnie do popełnionego błędu obliczysz pole trapezu.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z własności kątów przyległych.

Krok 1. Dorysowanie odcinka \(MD\).
To zadanie możemy udowodnić tak naprawdę na kilka sposobów, ale najprostszy z nich opierać się będzie na zaznaczeniu punktu \(D\) na odcinku \(BC\) w taki sposób, by odcinek \(MD\) był równoległy do odcinka \(AB\).



W ten sposób po dorysowaniu prostej równoległej otrzymaliśmy trójkąt równoboczny \(MDC\), co z kolei oznacza, że \(|CM|=|MD|\).
Ale to nie koniec spostrzeżeń. Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=|CN|\), a to oznacza, że także \(|BD|=|CN|\).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(MCN\) oraz \(BDM\).
Jak już sobie powiedzieliśmy wcześniej, dorysowując prostą równoległą w trójkącie równobocznym \(ABC\) otrzymaliśmy mniejszy trójkąt równoboczny \(MDC\). To oznacza, że kąty wewnątrz tej figury są na pewno równe \(60°\). Skoro tak, to korzystając z własności kątów przyległych bez przeszkód wyznaczymy miary kątów \(MCN\) oraz \(BDM\) (patrz: rysunek).

$$|\sphericalangle MCN|=180°-60°=120° \\
|\sphericalangle BDM|=180°-60°=120°$$



Krok 3. Interpretacja wyników.
W pierwszym kroku udowodniliśmy że dwie pary boków są tej samej długości: \(|CM|=|MD|\) oraz \(|BD|=|CN|\). W drugim kroku udowodniliśmy, że kąt między tymi bokami ma identyczną miarę. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające zgodnie z zasadą bok-kąt-bok. To kończy nasz dowód, bo skoro trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające to \(|BM|=|MN|\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz odcinek \(MD\) i dostrzeżesz fakt, że powstaną trójkąty przystające, ale nie udowodnisz tego w żaden geometryczny sposób (np. korzystając z cechy bok-kąt-bok).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{5}=\frac{1}{4}\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
x^2=64\cdot4 \\
x^2=256 \\
x=16 \quad\lor\quad x=-16$$

Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).
Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\
a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\
a_{5}=64\cdot\frac{1}{256} \\
a_{5}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomej \(n\).
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3^n\cdot10-2^n\cdot5\) i nie udowodnisz dlaczego jest ona wielokrotnością liczby \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Średnia arytmetyczna jest równa \(3\), natomiast kwadrat odchylenia standardowego jest równy \(1,6\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}= \\
=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}= \\
=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}= \\
=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2= \\
=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2= \\
=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną z błędem, ale adekwatnie do tego błędu policzysz kwadrat odchylenia standardowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) jest pięć kombinacji:
$$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$$

Stąd też możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα=\sqrt{\frac{22}{23}}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Istnieją dwa okręgi, które spełniają warunki zadania, dlatego są dwie możliwości równań tychże okręgów: \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) oraz \((x-5)^2+(y-5)^2=25\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Wnioski jakie płyną z tego rysunku są następujące:
- na pewno ten okrąg (a w zasadzie okręgi) będą leżeć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, bo nie ma innej możliwości skoro muszą przechodzić przez punkt \(A=(2;1)\).
- w każdym przypadku odległość od obu osi jest równa promieniowi okręgu. Skoro tak, to środek każdego z okręgów będzie przybierał postać typu \(S=(r;r)\).

Krok 2. Podstawienie współrzędnych punktu \(A=(2;1)\) do wzoru na równanie okręgu.
Wiemy z tablic matematycznych, że wzór na równanie okręgu ma postać:
$$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$$

Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \(A=(2;1)\) przez które okrąg przechodzi (czyli \(x=2\), \(y=1)\) otrzymamy:
$$(2-r)^2+(1-r)^2=r^2 \\
4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2 \\
2r^2-6r+5=r^2 \\
r^2-6r+5=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 4. Zapisanie równań okręgów przechodzących przez wskazany punkt.
Otrzymaliśmy dwie możliwości \(r=1 \quad\lor\quad r=5\). Obydwie możliwości są poprawne, żadnej nie odrzucamy (moglibyśmy odrzucić gdyby np. jedna z wartości była ujemna). To oznacza, że otrzymamy dwa równania okręgów:
Okrąg mniejszy: \((x-1)^2+(y-1)^2=1^2\), czyli \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
Okrąg większy: \((x-5)^2+(y-5)^2=5^2\), czyli \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że współrzędne środka okręgu zależą od jego promienia \(S=(r,r)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że środki okręgów leżą na prostej o równaniu \(y=x\).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie jednego z dwóch okręgów, ale nie sporządzisz do tego żadnych obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie równania dwóch okręgów, ale nie sporządzisz do nich żadnych obliczeń.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest zły jedynie z powodu błędów rachunkowych.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Prędkość pierwszego wędrowca wyniosła \(4\frac{km}{h}\), a drugiego \(3\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) - prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) - prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)

Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) - trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) - trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) - wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)

Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).

Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$

Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases}
v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\
1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)
\end{cases}

To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:

$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5} \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$

Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3) \\
18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3) \\
(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3) \\
18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81 \\
18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18 \\
t^2-t-6=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.
W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right] \\
v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.