Matura – Matematyka – Przykładowy arkusz CKE – Odpowiedzi

D

Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli na pewno poszukiwana przez nas liczba \(x\) jest większa od \(15\). Skoro więc błąd bezwzględny wyniósł \(0,24\), to nasza liczba \(x\) jest równa:
$$x=15+0,24=15,24$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc - bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).

Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa - wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(EF\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2} \\
|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2} \\
|EF|=\sqrt{2^2+6^2} \\
|EF|=\sqrt{4+36} \\
|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$

D

Rozwiązanie tego zadania będzie znacznie prostsze, kiedy potęgę znajdującą się na końcu liczby rozpiszemy jako oddzielnie potęgowanie licznika i mianownika:
$$\left(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}$$

W liczniku posłużymy się teraz wzorem skróconego mnożenia, zatem całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3}$$

B

Przyglądając się odpowiedziom od razu możemy odrzucić odpowiedź \(D\), bowiem mnożąc dwie liczby o tej samej podstawie potęgi musimy dodać do siebie wykładniki tych potęg. Zatem w odpowiedzi \(D\) otrzymalibyśmy:
$$3^9\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^{9+\frac{1}{4}}=3^{9\frac{1}{4}}$$

Po pozostałych odpowiedziach widzimy, że interesuje nas odpowiedź w której pojawi się \(\sqrt[4]{3}\). Ułamek \(\frac{9}{4}\) możemy zapisać jako \(2\frac{1}{4}\) i taki zapis znacznie nam uprości rozwiązanie tego zadania:
$$3^{\frac{9}{4}}=3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=9\cdot\sqrt[4]{3}$$

C

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie równania \(3^x=6\).

Aby rozwiązać to równanie to najprościej będzie posłużyć się definicją logarytmu, którą znajdziemy chociażby w tablicach maturalnych.
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Porównując zapis \(a^c=b\) do zapisu \(3^x=6\) widzimy, że: \(a=3\), \(b=6\) oraz \(c=x\). Podstawiając teraz te symbole do definicji logarytmu otrzymamy, że \(x=\log_{3}6\).

A

Krok 1. Zapisanie podanego wyrażenia w postaci \(a^2-b^2\).
Wbrew pozorom nie jest najlepszym pomysłem wykonanie potęgowania \((3x+1)^2\). Najprościej jest rozwiązać to zadanie zapisując \(16\) jako \(4^2\), otrzymamy wtedy: \(4^2-(3x+1)^2\).

Jeśli teraz zauważymy, że \(a=4\) oraz \(b=3x+1\), to możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Krok 2. Wykonanie obliczeń z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
$$4^2-(3x+1)^2=(4-(3x+1))\cdot(4+(3x+1))= \\
=(4-3x-1)\cdot(4+3x+1)=(3-3x)\cdot(5+3x)$$

D

W tym zadaniu należało przede wszystkim pamiętać o tym, że \(-a^2\) to nie jest to samo, co \((-a)^2\) oraz o tym, że liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny.

Prawidłową zależnością jest jedynie ta opisana w ostatniej odpowiedzi, czyli \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\). Pozostałe są błędne, bo:
$$(-256)^2=256^2 \\
(-256)^3=-256^3 \\
\sqrt{(-256)^2}=256$$

D

Na początku rozwiązywania tej nierówności najlepiej będzie pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony przez \(6\). Całość obliczeń wyglądać będzie następująco:
$$\frac{2-x}{3}-\frac{2x-1}{2}\lt x \quad\bigg/\cdot6 \\
6\cdot\frac{2-x}{3}-6\cdot\frac{2x-1}{2}\lt6x \\
2\cdot(2-x)-3\cdot(2x-1)\lt6x \\
4-2x-(6x-3)\lt6x \\
4-2x-6x+3\lt6x \\
-8x+7\lt6x \\
7\lt14x \\
\frac{1}{2}\lt x \\
x\gt\frac{1}{2}$$

Przedział opisujący to rozwiązanie znalazł się w ostatniej odpowiedzi.

C

\(x\) - liczba dziewczyn
\(4x\) - liczba chłopców
\(x+4x=5x\) - tyle dzieci jest w klasie

Dziewczyny stanowią \(\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}=20\%\) klasy.

D

Skoro \(6\cdot8=48\), to reszta z dzielenia liczby \(55\) przez \(8\) jest równa \(55-48=7\).

B

Krok 1. Wypisanie dzielników liczb \(42, 44, 45\) oraz \(48\).
$$D_{42}=\{1,2,3,6,7,14,21,42\} \\
D_{44}=\{1,2,4,11,22,44\} \\
D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\} \\
D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,24,48\}$$

Krok 2. Wybór największego dzielnika każdej z liczb będącego liczbą pierwszą.
Liczba pierwsza to taka, która dzieli się tylko przez jedynkę oraz przez samą siebie.
Największymi dzielnikiem będącym liczbą pierwszą jest:
Dla \(42\) - liczba \(7\)
Dla \(44\) - liczba \(11\)
Dla \(45\) - liczba \(5\)
Dla \(48\) - liczba \(3\)

B

Poszukujemy nazwy następującego kąta:



Należy pamiętać, że środkowa litera w zapisie nazewnictwa kątów oznacza wierzchołek danego kąta.
Kątem między krawędzią \(CS\), a płaszczyzną podstawy ostrosłupa będzie więc kąt \(ACS\).

Tak na marginesie, to równie dobrze moglibyśmy napisać, że byłby to kąt \(OCS\), albo \(SCO\), ale takich odpowiedzi nie mamy, więc na pewno będzie to \(ACS\).

A

Nie mamy informacji na temat wzoru tej funkcji, ani na temat tego czy ta funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry, czy do dołu, ale to akurat nie jest w tym zadaniu dla nas istotne. Załóżmy sobie, że ma ramiona skierowane do dołu, wtedy wykres będzie wyglądał następująco:



Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej przechodzącej dokładnie przez wierzchołek paraboli (patrz rysunek). To oznacza, że wartość równą \(f(1)\) osiągniemy także dla argumentu, którego współrzędna iksowa jest oddalona od wierzchołka o tyle samo jednostek co jest oddalona jedynka. Skoro między jedynką i piątką są \(4\) jednostki, to poszukiwanym argumentem jest \(x=5+4=9\). Zatem \(f(1)=f(9)\).

Podobnie by było, gdyby ramiona były skierowane do góry, dlatego informacja o tym jak dokładnie wygląda ta funkcja nie była nam potrzebna.

C

To zadanie teoretycznie można rozwiązać nie wykonując jakichkolwiek obliczeń. Skoro kąt \(α\) jest ostry, to wartość cosinusa kąta \(α\) jest na pewno wartością większą od zera i mniejszą od jedynki. Jeśli do licznika ułamka \(\frac{2-cosα}{2+cosα}\) podstawimy pod \(cosα\) dowolną dodatnią liczbę mniejszą od jedynki, to wyjdzie nam że w liczniku mamy wartość nieco ponad \(1\) (nie wiemy ile dokładnie, ale na pewno jest to liczba dodatnia). Analogicznie w mianowniku wyjdzie nam wartość większa od \(2\) (także nie wiemy jaka, ale znowu jest to liczba dodatnia, w dodatku na pewno jest to liczba większa od tej z licznika). Skoro tak, to już na wstępie możemy odrzucić dwie pierwsze odpowiedzi, bo wartość całego ułamka jest na pewno liczbą dodatnią. Możemy też odrzucić ostatnią odpowiedź, bo wartość tego ułamka jest mniejsza od jednego (gdyż udowodniliśmy, że licznik jest mniejszy od mianownika). Zatem bez obliczeń wiemy, że jedyną możliwą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź trzecia. Gdybyśmy chcieli to jednak rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby postąpić w następujący sposób:

Krok 1. Zapisanie relacji między sinusem i cosinusem kąta \(α\).
Funkcję trygonometryczną \(tgα\) możemy zapisać jako \(\frac{sinα}{cosα}\). Zatem:
$$tgα=\frac{3}{4} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$4sinα=3cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej wyrażonej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Nas interesuje poznanie wartości \(cosα\), dlatego też pod sinusa podstawimy przekształcone równanie wyznaczone w pierwszym kroku:
$$4sinα=3cosα \Rightarrow sinα=\frac{3}{4}cosα$$

Podstawiając tą wartość do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{4}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{16}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot16 \\
9cos^2α+16cos^2α=16 \\
25cos^2α=16 \quad\bigg/:25 \\
cos^2α=\frac{16}{25} \\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo mamy podaną informację, że kąt jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni. Zatem zostaje nam, że \(cosα=\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Na sam koniec musimy już tylko podstawić wyznaczoną wartość cosinusa i obliczyć wartość podanego wyrażenia:
$$\frac{2-cosα}{2+cosα}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2+\frac{4}{5}}=\frac{1\frac{1}{5}}{2\frac{4}{5}}= \\
=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

B

Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wymnożyć przez siebie poszczególne nawiasy:
$$\require{cancel}
(2x-1)\cdot(x-2)=(1-2x)\cdot(x+2) \\
2x^2\cancel{-4x}-x+\cancel{2}=x+\cancel{2}-2x^2\cancel{-4x} \\
2x^2-x=x-2x^2 \\
4x^2-2x=0 \quad\bigg/:2 \\
2x^2-x=0 \\
x(2x-1)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x-1=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

C

Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układu otrzymamy nieprawdziwą równość np. \(1=2\). Równanie z treści zadania stworzy sprzeczny układ jedynie z trzecim równaniem:
\begin{cases}
3x+4y-5=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
9x+12y-10=0
\end{cases}\begin{cases}
9x+12y-15=0 \\
9x+12y-10=0
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-15-(-10)=0 \\
-15+10=0 \\
-5=0$$

Otrzymany wynik świadczy o sprzeczności układu.

Warto też dodać, że nasze równanie stworzyłoby z równaniem z pierwszej odpowiedzi układ tożsamościowy, czyli taki w którym rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista.

D

Krok 1. Wyznaczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do wyznaczenia wartości sinusa kąta ostrego \(α\) potrzebujemy znać długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta. Tą długość wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
1^2+b^2=5^2 \\
1+b^2=25 \\
b^2=24 \\
b=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
$$sinα=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$

D

Krok 1. Ułożenie poprawnego równania na podstawie danych z treści zadania.
Skoro powierzchnia boczna stożka (określana wzorem \(πrl\)) jest \(2\) razy większa od pola podstawy (określanego wzorem \(πr^2\)), to znaczy że prawdziwe jest równanie:
$$πrl=2\cdot πr^2$$

(Mnożymy przez \(2\) pole podstawy by było one równe polu ściany bocznej.)

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(r\).
Na podstawie zapisanego równania możemy wyznaczyć długość promienia \(r\), zatem:
$$πrl=2\cdot πr^2 \quad\bigg/:π \\
rl=2r^2 \quad\bigg/:r \\
l=2r \\
r=\frac{1}{2}l$$

C

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest sporządzenie poprawnego rysunku szkicowego.



Szukamy długości między środkami tych okręgów. Z rysunku wynika, że ta odległość jest równa \(10\) i taka też jest nasza odpowiedź na to zadanie.

A

Mamy \(12\) osób, a każda z nich może uścisnąć rękę z \(11\) innymi osobami (no bo nie uściśnie ręki sama z sobą). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych par mamy \(12\cdot11=132\).

Musimy jednak nanieść na nasze obliczenia pewną poprawkę, bo policzyliśmy podwójnie każdy uścisk - np. oprócz uścisku dłoni między osobą \(A\) oraz \(B\) policzyliśmy oddzielnie uścisk osoby \(B\) oraz \(A\). Zatem otrzymany wynik musimy jeszcze podzielić przez dwa. To oznacza, że liczba wszystkich uścisków dłoni była równa:
$$132:2=66$$

B

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
$$a_{1}=3 \\
a_{9}=12 \\
a_{5}=?$$

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(q^4\).
Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy:
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8} \\
12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3 \\
4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{} \\
q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie).

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Znając wartość \(a^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu:
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{5}=3\cdot2 \\
a_{5}=6$$

B

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$

Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0 \\
n=-3 \quad\lor\quad n=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku.
Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\).

Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie:
$$x\in\{1,2,3,4\}$$

(Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty).
To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro rzucamy jeden raz sześcienną kostką, to znaczy że możemy otrzymać zawsze jeden z sześciu wyników, zatem: \(|Ω|=6\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Patrząc na odpowiedzi potrzebujemy wyznaczyć jedynie \(p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{6}\), zatem poszukujemy jedynie \(A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{6}\):
Gdy \(i=2:\) \(A_{2}=3\) (bo trzy liczby \((2, 4, 6)\) są podzielne przez \(2\))
Gdy \(i=3:\) \(A_{3}=2\) (bo dwie liczby \((3, 6)\) są podzielne przez \(3\))
Gdy \(i=4:\) \(A_{4}=1\) (bo jedna liczba \((4)\) jest podzielna przez \(4\))
Gdy \(i=6:\) \(A_{6}=1\) (bo jedna liczba \((6)\) jest podzielna przez \(6\))

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$p_{2}=\frac{|A_{2}|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\
p_{3}=\frac{|A_{3}|}{|Ω|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
p_{4}=\frac{|A_{4}|}{|Ω|}=\frac{1}{6} \\
p_{6}=\frac{|A_{6}|}{|Ω|}=\frac{1}{6}$$

Teraz patrząc na podane odpowiedzi widzimy, że prawidłowa równość zaszła jedynie w drugiej odpowiedzi, bowiem:
$$2p_{6}=p_{3} \\
2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3} \\
\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \\
L=P$$

\(a=-2\)

Krok 1. Rozpatrzenie nierówności, gdy \(a=0\).
Chcąc rozwiązać nierówność \(ax+4\ge0\) nie możemy ot tak podzielić obu stron przez \(a\), bo nie wiemy czy przypadkiem \(a\) nie jest równe zero, a przecież w matematyce nie można wykonywać dzielenia przez zero.
Zatem gdy \(a=0\), to otrzymamy nierówność:
$$0\cdot x+4\ge0 \\
4\ge0$$

To oznacza, że gdy \(a=0\) to nierówność jest spełniona dla \(x\in R\), a więc to na pewno nie jest poprawna odpowiedź, gdyż my wiemy, że rozwiązaniem tej nierówności musi być przedział \((-\infty;2\rangle\).

Krok 2. Rozpatrzenie nierówności, gdy \(a\gt0\).
Wiemy już, że na pewno \(a\) nie jest równe zero, ale to w dalszym ciągu nie ułatwia nam zadania, bo nie wiemy czy \(a\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną. Gdyby była to liczba ujemna, to przy dzieleniu musimy zmienić znak nierówności. Zobaczmy więc co nam wyjdzie z tej nierówności przy założeniu, że \(a\gt0\).
$$ax+4\ge0 \quad\bigg/-4 \\
ax\ge-4 \quad\bigg/:a \\
x\ge-\frac{4}{a}$$

To oznacza, że nasza nierówność dla \(a\gt0\) przyjmuje rozwiązania dla \(x\in\langle-\frac{4}{a};+\infty)\), co także nie pasuje nam do przedziału z treści zadania.

Krok 3. Rozpatrzenie nierówności, gdy \(a\lt0\).
Sprawdźmy zatem jak będzie wyglądać sytuacja, gdy \(a\) jest mniejsze od zera. To oznacza, że teraz dzieląc przez \(a\) musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
$$ax+4\ge0 \quad\bigg/-4 \\
ax\ge-4 \quad\bigg/:a \\
x\le-\frac{4}{a}$$

(Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce. Dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmienia się znak nierówności).

Otrzymaliśmy tym razem informację, że rozwiązaniem jest przedział \((-\infty;-\frac{4}{a}\rangle\) i taki przedział jest zbieżny z tym co mamy podane w treści zadania. Dzięki tej informacji możemy wyznaczyć \(a\), wystarczy przyrównać \(2\) do wyrażenia \(-\frac{4}{a}\). Zatem:
$$2=-\frac{4}{a} \\
2a=-4 \\
a=-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz nierówność w zależności od różnych współczynników \(a\), ale finalnie nie uda Ci się dojść do końcowego rozwiązania np. w wyniku błędu rachunkowego.
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że nierówności \(ax+4\ge0\) oraz \(x\le2\) są równoważne.
ALBO
• Gdy wyznaczysz miejsce zerowe funkcji: \(a=-\frac{4}{a}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\)

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem:
$$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1) \\
x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1) \\
x^2+x=5x^2-5x-4x+4 \\
4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2 \\
2x^2-5x+2=0$$

W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to równanie do postaci równania kwadratowego \(2x^2-5x+2=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=\frac{a^2}{2^{22}}\)

Krok 1. Wyznaczenie długości boku kwadratu \(K_{12}\).
Pierwszy kwadrat ma długość boku równą \(a\).
Drugi kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2}\).
Trzeci kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^2}\).
Czwarty kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^3}\).
...
Dwunasty kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^{11}}\).

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu \(K_{12}\).
Podstawiając do wzoru na pole kwadratu długość boku równą \(\frac{a}{2^{11}}\) otrzymamy:
$$P=\left(\frac{a}{2^{11}}\right)^2=\frac{a^2}{2^{22}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zauważysz zależności pomiędzy długościami kolejnych boków (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zauważysz, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy \(a^2\), a iloraz jest równy \(q=\frac{1}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 1. Zapisanie wzoru na pole pierścienia.
Pole pierścienia możemy zapisać jako różnicę między polem powierzchni dużego koła (o promieniu duże \(R\)) i małego (o promieniu małe \(r\)), zatem:
$$P=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$$

No i teraz naszym zadaniem jest doprowadzenie do sytuacji w której pozbędziemy się wartości promieni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wiedząc, że styczna jest zawsze prostopadła do promienia okręgu, możemy stworzyć następujący trójkąt prostokątny:



Krok 3. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(R^2-r^2\) z Twierdzenia Pitagorasa.
Podstawiając do Twierdzenia Pitagorasa dane i oznaczenia z naszego rysunku otrzymamy:
$$r^2+5^2=R^2 \\
r^2+25=R^2 \\
25=R^2-r^2$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Podstawiając wartość \(R^2-r^2\) do wzoru na pole pierścienia otrzymamy, że:
$$P=π(R^2-r^2) \\
P=25π$$

I taki zapis kończy nasze dowodzenie, bo udało nam się określić wzór na pole pierścienia bez występowania długości promieni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole pierścienia \(P=πR^2-πr^2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(42\) musimy zapisać to dodawanie w postaci mnożenia, wyłączając przed nawias odpowiednie czynniki. Jeśli uda nam się doprowadzić do sytuacji, w której jednym z czynników będzie liczba \(42\) lub jej wielokrotność, to dowód będziemy mogli uznać za zakończony.
Wyłączając przed nawias wartość \(4^{11}\) otrzymamy:
$$4^{12}+4^{13}+4^{14}=4^{11}\cdot(4+4^{2}+4^{3})= \\
=4^{11}\cdot(4+16+64)=4^{11}\cdot84=4^{11}\cdot2\cdot42$$

Doprowadzając liczbę do takiej postaci możemy uznać dowód za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias, ale w taki sposób, że uda Ci się jedynie udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(21\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

Krok 1. Dostrzeżenie tego, że jest to trójkąt prostokątny.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy udowodnić, że ten trójkąt jest prostokątny:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(\sqrt{7})^2+(\sqrt{8})^2=(\sqrt{15})^2 \\
7+8=15 \\
L=P$$

Krok 2. Skorzystanie z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych.



Jeśli okrąg jest opisany na trójkącie prostokątny, to długość średnicy tego okręgu jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta.
W związku z tym średnica tego okręgu ma długość \(\sqrt{15}\). Nas jednak interesuje długość promienia okręgu, a nie średnicy, zatem:
$$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy udowodnisz, że jest to trójkąt prostokątny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{ABC}=2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy naszkicować sobie powyższą sytuację, co jak się za chwilę okaże będzie kluczem do rozwiązania tego zadania.



Dodatkowo oznaczyłem sobie początek układu współrzędnych jako punkt \(O\), tak aby móc dokładnie nazywać poszczególne trójkąty które będziemy sobie za chwilę rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Naszym zadaniem zgodnie z treścią zadania jest tak naprawdę obliczenie pola trójkąta \(ABC\). Jego pole powierzchni jest różnicą między polami trójkątów \(OCA\) oraz \(OBA\), zatem:
$$P_{ABC}=P_{OCA}-P_{OBA}$$

Z treści zadania wynika, że \(P_{OCA}=10\) oraz \(P_{OBA}=8\), zatem:
$$P_{ABC}=10-8 \\
P_{ABC}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości przyprostokątnych leżących na osi \(Ox\), czyli \(a=4\) oraz \(b=8\).
ALBO
• Gdy podasz współrzędne punktów przecięcia się z osią \(Ox\), czyli \(B=(4;0)\) oraz \(C=(5;0)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ola wyprzedziła Alę o godzinie \(7{:}20\).

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
Oznaczmy sobie następujące oznaczenia:
\(t\) - czas w minutach liczony od godziny \(7{:}00\)
\(s\) - odległość do pokonania
\(v_{O}\) - prędkość Oli
\(v_{A}\) - prędkość Ali

Z treści zadania wynika też, że Ola jest dwa razy szybsza od Ali (bo Ola jechała \(20\) minut, a Ala \(40\) minut). Zatem prawidłowa będzie też równość:
$$v_{O}=2v_{A}$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Obie dziewczyny pokonały ten sam dystans. Skoro tak, to posłużmy się wzorem \(s=vt\) i zapiszmy w formie równania trasę każdej z dziewczyn:
$$v_{A}\cdot t=v_{O}\cdot(t-10)$$

(Odejmujemy u Oli \(10\) minut, bo wyruszyła \(10\) minut później, a zgodnie z naszymi oznaczeniami \(t\) symbolizuje czas liczony od \(7{:}00\))

Podstawiając do tego równania zależność \(v_{O}=2v_{A}\) otrzymamy:
$$v_{A}\cdot t=2v_{A}\cdot(t-10) \quad\bigg/:v_{A} \\
t=2\cdot(t-10) \\
t=2t-20 \\
-t=20 \\
t=20$$

Skoro \(t\) jest czasem liczonym w minutach od godziny \(7{:}00\), to znaczy że Ola wyprzedziła Alę o godzinie \(7{:}20\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi, dostrzegając że Ola jest dwa razy szybsza od Ali (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz wzory na prędkość jazdy obu dziewczynek np. \(v_{A}=\frac{s}{40}\) oraz \(v_{O}=\frac{s}{20}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na przebytą drogę do momentu spotkania się dziewczynek wykorzystując czas jazdy przynajmniej jednej z dziewczynek. Czyli przykładowo w zależności od oznaczeń możesz otrzymać równania typu: \(x=v_{O}\cdot(t-10)\) lub \(x=v_{A}\cdot(t+10)\), gdzie \(x\) to droga przebyta przez dziewczynki do momentu spotkania, a \(+/-10\) wynika z tego iż Ola wyjechała \(10\) minut później.
3 pkt
• Gdy zapiszesz prędkość lub drogę obydwu dziewczynek w formie równania, które pozwoli wyznaczyć poszukiwany czas np. \(v_{A}\cdot t=2v_{A}\cdot(t-10)\) (patrz: Krok 2) lub \(\frac{s}{40}t=\frac{s}{20}(t-10)\) lub \(\frac{s}{40}(t+10)=\frac{s}{20}t\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy zobrazować tą sytuację, zaznaczając poszczególne punkty w układzie współrzędnych.



Ustalmy teraz co musimy obliczyć. Chcemy przede wszystkim wyznaczyć współrzędne punktu \(D\). Jednak żeby to zrobić, to musimy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AB\), a następnie musimy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej, która przechodzi przez punkt \(C\). Punkt \(D\) będzie miejscem przecięcia się tych dwóch prostych. Na sam koniec musimy jeszcze wyznaczyć prostą równoległą do boku \(BC\), która przejdzie przez punkt \(D\). No to po kolei:

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Możemy albo skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty \(AB\), albo ułożyć i rozwiązać układ równań w którym do wzoru ogólnego \(y=ax+b\) podstawimy raz współrzędne punktu \(A\), a drugi raz współrzędne punktu \(B\).
\begin{cases}
2=2a+b \\
5=9a+b
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-3=-7a \\
a=\frac{3}{7}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy z dowolnego równania wyznaczyć także współczynnik \(b\):
$$2=2\cdot\frac{3}{7}+b \\
2=\frac{6}{7}+b \\
b=\frac{8}{7}$$

To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana równaniem \(y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Skoro prosta \(CD\) jest ma być prostopadła do prostej \(AB\), a to znaczy że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{7}\), to prosta \(CD\) ma współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{7}=-1 \\
a=-\frac{7}{3}$$

Wiemy już, że nasza prosta musi się wyrażać wzorem \(y=-\frac{7}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), ale skoro prosta przechodzi przez punkt \(C\) o znanych nam współrzędnych, to podstawiając te współrzędne do wzoru bez problemu obliczymy brakujący współczynnik:
$$y=-\frac{7}{3}x+b \\
9=-\frac{7}{3}\cdot3+b \\
9=-7+b \\
b=16$$

To oznacza, że prosta \(CD\) jest opisana równaniem \(y=-\frac{7}{3}x+16\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Zgodnie z geometryczną interpretacją układu równań, rozwiązanie układu równań dwóch prostych da wynik będący miejscem przecięcia się tych prostych, czyli w naszym przypadku otrzymamy współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7} \\
y=-\frac{7}{3}x+16
\end{cases}

Podstawiając wartość \(y\) z pierwszej funkcji do drugiej otrzymamy:
$$\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}=-\frac{7}{3}x+16 \quad\bigg/\cdot21 \\
9x+24=-49x+336 \\
58x=312 \\
x=\frac{312}{58}=\frac{156}{29}$$

Podstawiajac wartość \(x=\frac{156}{29}\) do dowolnego z równań zapisanego wcześniej układu (do drugiego będzie chyba łatwiej, bo tam mamy tylko jeden ułamek) wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$y=-\frac{7}{3}\cdot\frac{156}{29}+16 \\
y=-\frac{1092}{87}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+\frac{464}{29} \\
y=\frac{100}{29}$$

Zatem \(D=\left(\frac{156}{29};\frac{100}{29}\right)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Zanim wyznaczymy prostą równoległą do prostej \(BC\), to musimy poznać równanie tej prostej \(BC\). Wyznaczymy je dokładnie w ten sam sposób co równanie prostej \(AB\) z kroku drugiego.
\begin{cases}
5=9a+b \\
9=3a+b
\end{cases}

Odejmujemy równanie stronami i otrzymujemy:
$$-4=6a \\
a=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$$

I w zasadzie tyle nam wystarczy, nie potrzebujemy już obliczać współczynnika \(b\). Wystarczy nam sam współczynnik \(a\) bo to właśnie on jest potrzebny do wyznaczenia prostej równoległej.

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej równoległej przechodzącej przez punkt \(D\).
I to jest już ostatnia rzecz którą musimy zrobić - czyli wyznaczyć wzór prostej równoległej do \(BC\), która przechodzi przez punkt \(D\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik \(a\). My w poprzednim punkcie ten współczynnik sobie wyznaczyliśmy, zatem wiemy już, że ta poszukiwana prosta równoległa będzie opisana wzorem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$

Brakuje nam współczynnika \(b\), ale bez problemu go wyznaczymy podstawiając do tej prostej współrzędne punktu \(D\), które wyliczyliśmy w czwartym kroku, zatem:
$$\frac{100}{29}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{156}{29}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{312}{87}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{104}{29}+b \\
b=\frac{204}{29}$$

Szukana prosta równoległa ma więc równanie: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli \(a=\frac{3}{7}\) (patrz: Krok 2) lub prostej \(BC\), czyli \(a=-\frac{2}{3}\) (patrz: Krok 5.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań w skład którego wejdą równania prostej \(AB\) oraz \(CD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(D=(\frac{156}{29};\frac{100}{29})\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{16}{17}\)

Krok 1. Wyznaczenie liczby klocków, którymi bawi się Jacek.
Najpierw obliczmy objętość pojedynczego klocka, będzie to:
$$V=(2cm)^3=8cm^3$$

Teraz obliczmy objętość pierwszej bryły jaką ułożył Jacek, czyli sześciokąta o boku długości \(8cm\):
$$V=(8cm)^3=512cm^3$$

Skoro do ułożenia tego sześciokąta Jacek wykorzystał wszystkie swoje klocki, to znaczy że tych klocków ma:
$$512cm^3:8cm^3=64$$

Krok 2. Wyznaczenie wymiarów graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.
Z treści zadania wynika, że Jacek do budowy graniastosłupa użył \(63\) klocków (bo jeden klocek został mu wolny).

Skoro Jacek ułożył graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że ułożył bryłę która ma w podstawie kwadrat. Krótko mówiąc, podstawa (czyli tak jakby pierwsza warstwy bryły) musi wyglądać w taki sposób, że mamy np. \(2\) na \(2\) klocki, albo \(5\) na \(5\) klocków itd. W związku z tym do ułożenia samej podstawy Jacek musiał użyć np. \(1, 4, 9, 16, 25, 36\) lub \(49\) klocków. Innych możliwości nie ma, bo musi to być kwadrat liczby naturalnej.

W zasadzie możemy odrzucić wariant, w którym w podstawie jest jeden klocek (czyli byłaby to wieża wysoka na \(63\) klocki), bo gdyby tak wyglądała ta bryła, to przecież nie byłoby problemu dostawić także \(64\)-ty klocek na samą górę.

Musimy więc teraz sprawdzić, która z liczb \(4, 9, 16, 25, 36\) czy \(49\) jest dzielnikiem liczby \(63\). Taką liczbą jest jedynie \(9\), a więc wiemy już, że graniastosłup ma w podstawie \(3\times3\) klocki i jest wysoki na \(7\) klocków.

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu i graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że sześcian ma długość \(8cm\), zatem skoro każda ściana sześcianu ma powierzchnię \(P=8cm\cdot8cm\) i takich ścian mamy \(6\), to pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
$$P_{S}=6\cdot8^2 \\
P_{S}=6\cdot64 \\
P_{S}=384[cm^2]$$

Teraz musimy ustalić wymiary graniastosłupa. Skoro wymiary w klockach możemy wyrazić jako \(3\times3\times7\) klocków, a każdy klocek ma \(2cm\), to wymiary graniastosłupa w centymetrach będą następujące: \(6cm\times6cm\times14cm\). Czyli mamy dwie podstawy o powierzchni \(P_{p}=6cm\cdot6cm\) oraz cztery ściany boczne o powierzchni \(P_{b}=6cm\cdot14cm\). To oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe:
$$P_{G}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{G}=2\cdot6^2+4\cdot(6\cdot14) \\
P_{G}=2\cdot36+4\cdot84 \\
P_{G}=72+336 \\
P_{G}=408[cm^2]$$

Krok 4. Wyznaczenie stosunku pola powierzchni całkowitej pierwszej bryły względem drugiej.
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek tych pól powierzchni:
$$\frac{P_{S}}{P_{G}}=\frac{384cm^2}{408cm^2}=\frac{16}{17}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że Jacek ma \(64\) klocki (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że wymiary tego prostopadłościanu to \(6cm\times6cm\times14cm\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni całkowitej bryły \(P_{G}=408cm^2\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.