Matura – Matematyka – Maj 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – maj 2023. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2023

Zadanie 1. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
matura z matematyki

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:

Zadanie 3. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(log_{9}27+log_{9}3\) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:

Zadanie 6. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:

Zadanie 7. (1pkt) Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:

Zadanie 8. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:

Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
matura z matematyki

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:

Zadanie 11. (2pkt) Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$

A. \(\begin{cases}
2ab=30 \\
a-b=5
\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}
2a+b=30 \\
a=5b
\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}
2(a+b)=30 \\
b=a-5
\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \\
b=5a
\end{cases}\)

E. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \\
a-b=5
\end{cases}\)

F. \(\begin{cases}
a+b=30 \\
a=b+5
\end{cases}\)

Zadanie 12. (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek)
matura z matematyki

Zadanie 12.1. (1pkt) Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:

Zadanie 12.2. (1pkt) Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:

Zadanie 12.3. (1pkt) Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:

Zadanie 13. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na matura z matematyki

Liczba \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

Zadanie 14. (1pkt) Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\) jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:

Zadanie 15. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:

Zadanie 16. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:

Zadanie 17. (2pkt) Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Zadanie 18. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O=(0;0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P=(-3;1)\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy:

Zadanie 19. (1pkt) Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(sin^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha\) jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150°\). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy:

Zadanie 21. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa:

Zadanie 22. (2pkt) Trójkąty prostokątne \(T_{1}\) i \(T_{2}\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_{1}\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_{2}\) ma długość \(26\). Oblicz pole trójkąta \(T_{2}\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 23. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x \\
l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$

Proste \(k\) oraz \(l\):

A.
B.
są prostopadłe
są równoległe
i przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych
1
2
3
\((-6,-4)\)
\((6,4)\)
\((-6,4)\)

Zadanie 24. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:

Zadanie 25. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:

Zadanie 26. (4pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zadanie 27. (1pkt) W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Podstawą tego ostrosłupa jest:

Zadanie 28. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,5,7\) (np. \(57075\), \(55555\)) jest:

Zadanie 29. (2pkt) Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
matura z matematyki

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
matura z matematyki

Zadanie 30. (2pkt) Ze zbioru ośmiu liczb \({2,3,4,5,6,7,8,9}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 31. (3pkt) Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja:
$$L(n)=-n^2+22n+279$$

gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\ge1\) i \(n\le30\).

Zadanie 31.1. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa \(L(30)\).

P

F

W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono \(336\) klientów.

P

F

Zadanie 31.2. (2pkt) Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Jeśli zdawałeś/aś maturę w starej formule (formuła 2015), to arkusz oraz odpowiedzi do zadań znajdą się tutaj:

112 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
błagam 30

będzie 60% farbuje brwi na zielono

Marek
Reply to  błagam 30

Będzie 40% ja z tobą

Nico
Reply to  błagam 30

Trzymam cie za słowo, czekam na update

Uczeń

jako osoba z 2klasy lo mam 50% ,więc essa ,powodzenia maturzyści na innych maturach

plsssssss

aby 14 pkt wiecej nie chce :D

MAT2023

zadanie dowodowe W 3 dobrze jest zrobione 8(32K2+4K)?

Kris
Reply to  MAT2023

4n(n+1) i poprostu albo n albo n+1 jest parzyste

Maturkana100
Reply to  MAT2023

Skąd taki wynik w nawiasie?

mxnikv
Reply to  MAT2023

ja mam 8(2k2+k)

błagam odpowiedzi

błagam o odpowiedzi

30%

Proszę 30%

Kamil

Daj odpowiedzi pliss bo mnie boli brzuch z nerwów

seczku

czekamy na odpowiedzi!

.

To ja jak będzie 30 to maluje włosy na fioletowo

Matura ze mną

Co do 2 to można było obliczyć innym sposobem ? bo ja obliczyłam log 27*3 =81 i wtedy policzyć logarytm przy podstawie 9 z 81 i wyjdzie 2

Sara

czy gdy napisałam 4(nkwadrat + n) to może tak być?

Kuba
Reply to  Sara

też tak zrobiłem i sie zastanawiam bo słownie to opisałem że w nawiasie na pewno jedna jest parzysta a więc podzielna przez 2 i nie wiem ://

Simon
Reply to  SzaloneLiczby

A czy jeśli zostawiłem w formie 4(n²+n) i napisałem że nawias jest liczbą parzystą, więc dzieli się przez 2, przed nawiasem jest 4 więc liczba ta dzieli się przez 4, więc jeśli liczba jest podzielna przez 2 i 4 to jest podzielna przez 8 to dostanę 2 punkty?

Fan-szalone.liczby
Reply to  SzaloneLiczby

Moim zdaniem będą 2 pkt, bo obojętnie czy podstawimy w nawiasie pod n liczbę parzystą czy nieparzystą, to zawsze wyjdzie liczba parzysta, a więc podzielna przez 2.
Jeśli będzie komentarz słowny, będą 2 pkty!

Zuza

A gdzie odpowiedzi dla formuły 2015? Mogę prosić linka?

maturzysta

wiedziałem że w zad21 jest 20 stopni a inni podawali 40 :)
ciesze się że już to mam za sobą

Wtf

Nie rozumiem rozwiązania w zadaniu 31
Pierwsze F to spoko ale 2?
Mamy 3 dzień wiec wychodzi
9+66+279 co nam daje 354 a nie 336?

misia
Reply to  Wtf

– przed 3 nie podnosisz do kwadratu

Last edited 9 miesięcy temu by misia
xdc
Reply to  Wtf

jest tam – więc odejmujesz a nie dodajesz tą 9 i masz 336 :)

maturzystka
Reply to  Wtf

Też mi wyszło F bo wydaje mi się, że cały wyraz do potęgi czyli (-3)kwadrat a nie -(3)kwadrat.

.
Reply to  Wtf

-9+66+279=336

Last edited 9 miesięcy temu by .
Karolina
Reply to  Wtf

Nie będzie 9, tylko -9. Funkcja wygląda w ten sposób:
() = −(3^2)+ 22*3 + 279, czyli a jest równe -1.
Po podniesieniu 3 do drugiej potęgi wychodzi 9, ale trzeba je jeszcze pomnożyć przez -1.

() = −9 + 66 + 279
() = 336

tftf
Reply to  Wtf

-9 tam kwadrat nie redukuje minusa

Wtf
Reply to  Wtf

To nieźle, gdyby była liczba to minus byłby przed lub w nawiasie i sytuacja byłaby klarowna, w tym przypadku trzeba sie domyślać ‍♀️

julia

czemu w 31.1 f?

misia

pytanie do zadania 8. dlaczego -1 nie moze byc odpowiedzia? myslalam ze (x+1)2 nie ma rozwiazan, bo przeciez zadna liczba do kwadratu nie daje 0, wiec nie wyklucza ten nawias nic

jahh

a robisz też drugą wersje?

bartus40

1 klasa i 26% wiec essa

prismaillya

czy na tej maturze były grupy? niby była łatwa ale teraz patrzę i mimo że liczbowo wychodziły mi takie same wyniki w brudnopisie to kryją się one pod inną literą odpowiedzi. Trochę to stresujące ngl. Potwierdził by ktoś że nie tylko ja tak mam?

xyz

Dlaczego te o logarytmach jest odpowiedź D, a nie A?

xyz

Jeśli się zdało na 45% to jest dobry wynik ?

Fan-szalone.liczby
Reply to  xyz

To jest miut-cut wynik, bo zdane !!!

xyz

A brudnopis podlega oceny, bo zabrakło mi miejsca i policzyłem dokończenie tam ,napisałem dok.w brudnopis, i zaznaczyłem zadanie w brudnopisie jakie rozwiązuje?

Anel
Reply to  SzaloneLiczby

Hej w zad 29 nie ma żadnej odpowiedzi !!!

Uczeń

Hej! Jeżeli w zadaniu 26 z pośpiechu pomyliłam pierwiastek 3 z pierwiastkiem 2 resztę zrobiłam jednak bezbłędnie to będę miała 0 pkt czy liczy się to jako błąd rzeczowy o dostanę jednak 3pkt

Uczeń
Reply to  SzaloneLiczby

Nawet jeżeli błąd jest spowodowany przez nieznajomość właściwości trójkąta 60, 30 90?

Uczeń
Reply to  SzaloneLiczby

Super dziękuję bardzo

Karol

96-98%, chyba najłatwiejsza matura jaka kiedykolwiek była

ktośtam
Reply to  Karol

tez tak uwazam, wynik podobny ;p

kuba

jesli w zadaniu 11 w wykropkowanych miejscach napislem a i b XDD ZE NIBY BOK ale zaznacztlem w kolko poprawne odp i w w brudnopisie napisalem to zalicza mi ?

Saras

Czy jeśli w ostatnim zadaniu się pomyliłam i p oznaczyłam jako Xw (x wierzchołka) zamiast po prostu p lub n wierzchołka, to stracę punkty? napisałam odpowiedź, że najwięcej przyszło 11-tego dnia, więc jest szansa, że to ujdziee?

dowód

czy jak w 3 na dowód napisze się 4(n`2+n) i uzasadni, że suma dowolnej liczby naturalnej n>=1 i jej kwadratu jest podzielna przez 2 i resztę tak jak w wyjaśnieniu to też jest dobrze?

Jacek
Reply to  SzaloneLiczby

n^2+n = n*n+n = n*(n+1) – jeśli n całkowite, to są to kolejne liczby, a więc jedna musi być parzysta czyli podzielna przez 2

ola

jak w 3 zadaniu wpisałam n(n+1) bez 4n, ale argument wpisałam dobry, to jeden punkt będzie?

ola
Reply to  SzaloneLiczby

napisałam tylko n(n+1)

ola

czy jeśli obliczyłam długości trójkątów t1 i t2, ale podstawiając pod wzór wpisałam zła wysokość, to jeden punkt będzie?

uzumakigirl

czy w zad 3 mozna rozwazyc dwie opcje: dla n parzystego ( i wtedy za n podstawić 2k do wzoru) i dla n nieparzystego ( podstawić 2j+1) i wtedy wyciągnąć z tego 8 przed nawias i uzasadnić ze iloczyn liczby naturalnej i 8 jest zawsze podzielny przez 8?

J

Czy w zadaniu dowodowym może być takie rozwiązanie?

(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n

n=2k

16k^2+8k = 8(2k^2 + k)

Last edited 9 miesięcy temu by J
J
Reply to  SzaloneLiczby

chciałam wprowadzić dodatkowe oznaczenie. Może jako liczba parzysta

J
Reply to  SzaloneLiczby

mogę liczyć na jakieś punkty?

:)
Reply to  SzaloneLiczby

Czyli jeśli będzie przeprowadzony analogiczny dowód do n nieparzystego to będzie dobrze?

Fan-szalone.liczby
Reply to  J

A co z sytuacją, gdy n będzie nieparzyste naturalne ? Czyli co dla n=2k+1 ? Może będzie 1 punkt…

Justyna

Czy jeżeli nie skróciłam prawdopodobieństwa tylko zostawiłam jako 6/64 dadzą mi 2 punkty?
oraz jak dowód na dzielenie zrobiłam jako 2n oraz 2n+1 czyli parzyste i nie parzyste to będzie ok?

Egzaminator
Reply to  Justyna

Wynik 6/64 jest poprawny – 2 pkt
2 pkt dostaniesz nawet za 6/64 = np. 1/16 (bo nabyłeś już 2 pkt)

Ola

Pytanko do zadania 9, zrobiłam to inaczej niż w twojej odpowiedzi, bo zmieniłam kolejność tak ze to co zostało w obu nawiasach to było x2 -4, i rozwiązanie wyszło mi dobrze ale Nwm czy dobrze to zrobiłam

Grez

„skoro liczba jest jednocześnie podzielna przez 2 oraz 4, to będzie też podzielna przez 8” a 12 jest podzielne przez 2 i 4 a nie jest podzielne przez 8

Filip

Czy jeżeli w zadaniu 17 dokonałem identyczne obliczenia jak powyżej lecz zapisałem ze r = 30 i podstawiłem do wzory 30 zamiast -30 to dostane chociaż 1pkt ???

Krucha

Bardzo łatwa ta matura. Tyle arkuszy przerobiłam i często trzeba było się nagłowić … A teraz lekko. Rzeczy naprawdę podstawowe. W podręcznikach jest wiele zadań o niebo trudniejszych. Dziękuję, że mogłam się kontrolować Twoimi wyjaśnieniami. Serdecznie pozdrawiam.

radiona

W zadaniu 8 powinna być odpowiedź B. Przecież te nawiasy się skrócą. Pozdrawiam

Poglos

Cześć, mam pytanie czy w zadaniu za 4 punkty ,Jeśli napisałem dobrze własności trójkąta ,ale później źle podstawilem ( wysokość wpisałem jako podstawę i na odwrót ) i brnąłem w to do końca to czy mam zerowane zadanie czy dostanę chociaż jakieś punkty skoro nie pomogło mi to w rozwiązaniu zadanie ?

AAAAAA

w 17 zadaniu jeżeli policzyłam innym sposobem, ale wynik wyszedł poprawny zdobędę 2punkty?

Aneta

Zad. 3
A jeśli dla liczby (2n+1)²-1 podstawimy za n=2 i wyliczymy, że 24:8=3, następnie podstawimy za n=3 i wyliczymy, że 48:8=6 i uzasadnimy, że liczba (2n+1)²-1 jest podzielna przez 8, ponieważ podstawiając za n liczbę parzystą i nieparzystą wynik dzieli się przez 8…? Czy taka odpowiedź będzie uznana?

Martyna

mam pytanie, czy będzie dodana możliwa punktacja?

Julia

Straciłabym tylko 2 punkty. Chyba zdam maturę

Cherry Mountain

Sugestia do zadania 20.
Zamiast wyznaczać sin150° możemy obliczyć drugi kąt rombu, czyli ß=30°. Łatwiej wyliczyć z tego pole ze wzoru
P=a²•sinß
sin30°=½
Dalej już z górki
:)

Wkurzona matka matematyczka

Naprawdę??? Czy ktoś pamięta o definicji pierwiastka???? Liczba pod pierwiastkiem musi być Wieksza lub równą 0… Ujemny pierwiastek nie istnieje!!!! Zadanie maturalne, a wszyscy je rozwiązują i uzasadniają absurdalny wynik!!! Skandal

Karolina S

Witam, mam ogromną prośbę. Czy moglibyście dodać aby po prawej stronie na tej stronie pod napisem „Arkusze maturalne” znajdowała się także tegoroczna matura z formuły 2015? Byłabym bardzo wdzięczna bo zawszę gdy jej potrzebuje muszę wchodzić poprzez stronę arkuszepl. Będę ogromnie wdzięczna!! <3