Matura – Matematyka – Czerwiec 2019 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – czerwiec 2019. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2019

Zadanie 1. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Jedną z liczb spełniających nierówność \((x-6)\cdot(x-2)^2\cdot(x+4)\cdot(x+10)\gt0\) jest:

Zadanie 4. (1pkt) Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(50\%\), a jego mianownik zwiększymy o \(50\%\), to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że:

Zadanie 5. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że:

Zadanie 6. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek:

Zadanie 7. (1pkt) Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:

Zadanie 8. (1pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z \(6\) odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.

matura z matematyki



Równanie \(f(x)=-1\) ma:

Zadanie 9. (1pkt) Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}\), to \(k\) jest równe:

Zadanie 10. (1pkt) W ciągu \((a_{n})\) na określonym dla każdej liczby \(n\ge1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy:

Zadanie 11. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe:

Zadanie 12. (1pkt) Kąt \(α\in(0°, 180°)\) oraz wiadomo, że \(\sinα\cdot\cosα=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cosα-\sinα)^2+2\) jest równa:

Zadanie 13. (1pkt) Wartość wyrażenia \(2\sin^{2}18°+\sin^{2}72°+\cos^{2}18°\) jest równa:

Zadanie 14. (1pkt) Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki i są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Wtedy:

Zadanie 15. (1pkt) Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe:

Zadanie 16. (1pkt) Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\sphericalangle AOB|=70°\), \(|\sphericalangle OAC|=25°\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa:

matura z matematyki

Zadanie 17. (1pkt) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot|BS|\). Wówczas:

Zadanie 18. (1pkt) Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96cm\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Zadanie 20. (1pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44°\). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę:

Zadanie 21. (1pkt) Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest:

Zadanie 22. (1pkt) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \(3\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe:

Zadanie 23. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy:

Zadanie 24. (1pkt) Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości \(12\). Objętość tego walca jest zatem równa:

Zadanie 25. (1pkt) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,...,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(4\) jest równe:

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)\gt7x+2\).

Zadanie 27. (2pkt) Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).

Zadanie 28. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

matura z matematyki

Zadanie 29. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).

Zadanie 30. (2pkt) W ciągu geometrycznym przez \(S_{n}\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_{1}=2\) i \(S_{2}=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Zadanie 31. (2pkt) Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą \(16\).

Zadanie 32. (5pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 33. (4pkt) Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Zadanie 34. (4pkt) Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\sphericalangle ACB\) ma miarę \(120°\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).

matura z matematyki

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

2
Dodaj komentarz

Boguslawa

Bardzo dobra pomoc w sprawdzaniu poprawności rozwiązania

sylwia

wspaniała pomoc przy powtórce do matury bardzo dziękuje.