Matura – Matematyka – Czerwiec 2019 – Odpowiedzi

C

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-1\neq0 \\
x\neq1$$

I tak prawdę mówiąc to już po wykonaniu tego kroku jesteśmy w stanie stwierdzić, że rozwiązaniem naszego równania na pewno nie jest liczba \(1\), bo nawet jak gdzieś wyszedłby nam \(x=1\), to tę jedynkę musielibyśmy odrzucić ze względu na założenia.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Gdybyśmy nie dostrzegli tego, że już jesteśmy w stanie wskazać prawidłową odpowiedź, to powinniśmy standardowo przystąpić do rozwiązania tego równania, mnożąc obie strony przez \(x-1\). Otrzymamy wtedy:

$$\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0 \quad\bigg/\cdot(x-1) \\
(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)=0$$

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to pierwszy lub drugi nawias musi być równy zero. To oznacza, że otrzymamy dwa równania:
$$x^2-2x-3=0\quad\lor\quad x^2-9=0$$

Równanie \(x^2-2x-3=0\) jest zapisane w postaci ogólnej, więc możemy je rozwiązać korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+4}{2\cdot1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Drugie równanie, czyli \(x^2-9=0\), jest jeszcze prostsze do policzenia, bo jesteśmy w stanie zrobić to w pamięci:
$$x^2-9=0 \\
x^2=9 \\
x=3\quad\lor\quad x=-3$$

Rozwiązaniami tego równania są więc liczby: \(-1\), \(3\) oraz \(-3\). Żadne z tych rozwiązań nie wyklucza się z założeniami. To oznacza, że jedyną liczbą spośród proponowanych, która nie jest rozwiązaniem tego równania, jest liczba \(1\).

B

To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu.
Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że:
$$log_{3}27=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu.
Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi:
$$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$

Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy:
$$3^x=\sqrt{27} \\
3^x=\sqrt[2]{3^3} \\
3^x=3^\frac{3}{2} \\
x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym:

$$\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=3:\frac{3}{2}=3\cdot\frac{2}{3}=2$$

A

Najprościej będzie odpowiedzieć na to pytanie podstawiając po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi:
Gdy \(x=-5\):
\((-5-6)\cdot (-5-2)^2\cdot (-5+4)\cdot (-5+10)= \\
=-11\cdot(-7)^2\cdot(-1)\cdot5= \\
=-11\cdot49\cdot(-1)\cdot5=2695\)

Gdy \(x=0\):
\((0-6)\cdot (0-2)^2\cdot (0+4)\cdot (0+10)= \\
=-6\cdot(-2)^2\cdot4\cdot10= \\
=-6\cdot4\cdot4\cdot10=-960\)

Gdy \(x=3\):
\((3-6)\cdot (3-2)^2\cdot (3+4)\cdot (3+10)= \\
=-3\cdot1^2\cdot7\cdot13= \\
=-3\cdot1\cdot7\cdot13=-273\)

Gdy \(x=5\):
\((5-6)\cdot (5-2)^2\cdot (5+4)\cdot (5+10)= \\
=-1\cdot3^2\cdot9\cdot15= \\
=-1\cdot9\cdot9\cdot15=-1215\)

Wartość większą od \(0\) osiągnęliśmy jedynie w pierwszym przypadku, stąd też \(x=-5\) jest liczbą spełniającą tę nierówność.

Tutaj też taka mała podpowiedź: W tym zadaniu akurat liczby były dość proste do wymnożenia (zwłaszcza z kalkulatorem). Można tutaj jednak było poradzić sobie bez szczegółowych obliczeń, wystarczyło pamiętać o tym, że jeżeli mamy nieparzystą ilość liczb ujemnych, to liczba na pewno będzie ujemna.

B

Krok 1. Zapisanie wyrażeń na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(x\) to jest liczba znajdująca się w liczniku, a \(y\) to będzie liczba znajdująca się w mianowniku to z treści zadania wynika, że:
$$a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{0,5\cdot x}{1,5\cdot y}$$

Krok 2. Podstawienie liczby \(a\) do liczby \(b\).
Rozpisując liczbę \(b\) i podstawiając w miejsce \(\frac{x}{y}\) wartość równą \(a\) otrzymamy:
\(b=\frac{0,5}{1,5}\cdot\frac{x}{y}=\frac{0,5}{1,5}\cdot a=\frac{1}{3}a\)

C

Miejsce zerowe tej funkcji to \(x=\frac{3}{4}\). W związku z tym podstawiając tego iksa do wzoru funkcji, powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\) (na tym właśnie polega istota miejsc zerowych, że po ich podstawieniu wartość funkcji przyjmuje wynik równy \(0\)). Musimy zatem rozwiązać proste równanie:
$$(a+1)\cdot\frac{3}{4}+11=0 \\
\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}+11=0 \\
\frac{3}{4}a+11\frac{3}{4}=0 \\
\frac{3}{4}a+\frac{47}{4}=0 \\
\frac{3}{4}a=-\frac{47}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
a=-\frac{47}{3}$$

A

Jeżeli funkcja liniowa jest rosnąca to znaczy, że jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W przypadku naszej funkcji współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy \(m\sqrt{5}-1\), zatem powstaje nam prosta nierówność:
$$m\sqrt{5}-1\gt0 \\
m\sqrt{5}\gt1 \\
m\gt\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Teoretycznie powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, ale wtedy nie dopasujemy się do proponowanych odpowiedzi. Musimy więc zostawić ten zapis w takiej postaci, czyli tym samym prawidłową będzie odpowiedź A.

D

Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases}
2x-y=2 \\
x+my=1 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}

\begin{cases}
2x-y=2 \\
2x+2my=2
\end{cases}

Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m \\
m=-\frac{1}{2}$$

D

Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie dla jakich wartości \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\). Z rysunku wynika, że ta wartość jest otrzymywana dla \(x=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\) oraz dla \(x\in\langle2;4\rangle\). I to właśnie przez ten ostatni przedział mamy nieskończenie wiele rozwiązań równania \(f(x)=-1\), bo dla nieskończonej liczby argumentów nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(1\).

B

Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.
Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{4}=a_{1}+3r$$

Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.
Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:
$$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k} \\
a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k} \\
2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k} \\
a_{k}=a_{1}+6r$$

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).

A

Krok 1. Ustalenie wartości \(n\).
Z proponowanych odpowiedzi wynika, że szukamy wartości piątego wyrazu, czyli \(a_{5}\). W zapisanym wyrażeniu w treści zadania mamy po lewej stronie równania zapis \(a_{n+3}\), czyli w naszym przypadku \(n=2\), bo wtedy mamy \(a_{2+3}\), czyli właśnie \(a_{5}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru ciągu otrzymamy:
$$a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1} \\
a_{5}=-2\cdot 3^{3} \\
a_{5}=-2\cdot27 \\
a_{5}=-54$$

C

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)= \\
=9x^2-12x+4-(4x^2-9)= \\
=9x^2-12x+4-4x^2+9= \\
=5x^2-12x+13$$

A

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\cosα-\sinα)^2+2=cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2=1\). Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(sinα\cdot cosα=-\frac{3}{8}\), zatem całość możemy rozpisać następująco:
$$cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2 \\
sin^2α+cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+2 \\
1-2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+2 \\
1-\left(-\frac{3}{4}\right)+2 \\
3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$$

C

W tym zadaniu musimy doprowadzić do sytuacji w której skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli \(sin^2α+cos^2α=1\). Pomogą nam w tym wzory redukcyjne, a konkretnie to wzór \(sin(90°-α)=cosα\). Za jego pomocą możemy rozpisać wartość \(sin72°\) jako:
$$sin72°=sin(90°-18°)=cos18°$$

Skoro \(sin72°=cos18°\), to także \(sin^{2}72°=cos^{2}18°\). W związku z tym całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$2\sin^{2}18°+\sin^{2}72°+\cos^{2}18°= \\
=2\sin^{2}18°+cos^{2}18°+\cos^{2}18°= \\
=2\sin^{2}18°+2cos^{2}18°= \\
=2\cdot(\sin^{2}18°+cos^{2}18°)= \\
=2\cdot1=2$$

B

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CBS\).
Z rysunku wynika, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem równoramiennym (ramiona mają długość \(r\)), zatem kąty przy podstawie \(BC\) będą miały jednakową miarę. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CBS|=|\sphericalangle BCS|=34°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).
Spójrzmy teraz na kąt \(ABS\), który jest kątem przyległym do obliczonego przed chwilą kąta \(CBS\). Suma kątów przyległych jest równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle ABS|=180°-34°=146°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ASB\). To także trójkąt równoramienny (ramiona mają długość \(r\)), którego kąt między ramionami ma \(146°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to kąty przy podstawie \(AS\) mają łącznie:
$$180°-146°=34°$$

Skoro jest to trójkąt równoramienny to kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$α=34°:2=17°$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych nasze współrzędne i połączmy je, tworząc trójkąt \(ABC\).


Obliczenie pola tego trójkąta w standardowy sposób może być nieco problematyczne. Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że nasz trójkąt jest prostokątny, więc wystarczyłoby poznać długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\) i z nich wyliczyć pole powierzchni. Jednak tak prawdę mówiąc to gdyby chcieć uczciwie rozwiązać takie zadanie (np. gdyby to było zadanie otwarte) to najpierw trzeba byłoby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, bo nie jest to takie oczywiste. W tym celu trzeba byłoby obliczyć wszystkie długości boków tego trójkąta (ze wzoru na długość odcinka o znanych współrzędnych) i z Twierdzenia Pitagorasa należałoby wykazać, że zachodzi równość \(a^2+b^2=c^2\), co byłoby dowodem na to, że trójkąt jest prostokątny.

Nie mniej jednak można podejść do zadania jeszcze prościej i przede wszystkim bezpieczniej. Możemy skorzystać z takiej oto prostej metody:


Pole naszego trójkąta \(ABC\) to będzie pole tego dużego prostokąta, pomniejszone o pola trójkąta I, II oraz III. Pola tych małych trójkątów są bardzo proste do policzenia, bo są to trójkąty prostokątne o znanych nam przyprostokątnych.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni małych trójkątów.
Pole trójkąta I:
\(P_{I}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2 \\
P_{I}=3\cdot2 \\
P_{I}=6\)

Pole trójkąta II:
\(P_{II}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2 \\
P_{II}=2\cdot2 \\
P_{II}=4\)

Pole trójkąta III:
\(P_{III}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2 \\
P_{III}=2\cdot2 \\
P_{III}=4\)

Krok 3. Wyznaczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Nasz trójkąt \(ABC\) to będzie pole prostokąta o wymiarach \(4\times6\), pomniejszone o sumę pól małych trójkątów.

Pole prostokąta jest równe:
$$P_{pr}=4\cdot6 \\
P_{pr}=24$$

Suma pól małych trójkątów jest równa:
$$P_{I,II,III}=6+4+4 \\
P_{I,II,III}=14$$

W związku z tym pole trójkąta \(ABC\) jest równe:
$$P_{ABC}=24-14 \\
P_{ABC}=10$$

B

Niech punkt przecięcia się cięciwy z odcinkiem AB to będzie punkt \(P\) (ułatwi nam to nazewnictwo kątów).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(APO\).
Spójrzmy na trójkąt \(OAP\). Znamy miary dwóch kątów tego trójkąta, zatem jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę także trzeciego kąta:
$$|\sphericalangle APO|=180°-25°-70°=85°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BPC\).
Kąt \(BPC\) jest kątem wierzchołkowym z kątem \(APO\), a z własności takich kątów wiemy, że mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle BPC|=|\sphericalangle APO|=85°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ACB\).
Kąt \(ACB\) to kąt wpisany, który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt środkowy o mierze \(70°\). Z własności kątów wpisanych i środkowych, które są oparte na tym samym łuku, wiemy że miara kąta wpisanego musi być dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle ACB|=70°:2=35°$$

Krok 4. Wyznaczenie miary kąta \(PBC\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(PBC\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, a jedyną niewiadomą jest poszukiwana przez nas miara kąta \(PBC\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle PBC|=180°-85°-35°=60°$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Do tego zadania możemy podejść na różne sposoby, a w przypadku zadań zamkniętych będziemy w stanie odpowiedzieć na to pytanie nawet korzystając z dobrego rysunku pomocniczego, bo już po rysunku widzimy, że \(S=(10,10)\). Chcąc jednak podejść do tego zadania nieco bardziej matematycznie, to powinniśmy wyznaczyć sobie środek odcinka \(AB\) (czyli wyznaczyć współrzędne punktu \(P\)), a następnie znając już współrzędne punktu \(P\) będziemy mogli wyznaczyć środek odcinka \(PB\), czyli współrzędne punktu \(S\). Wtedy właśnie otrzymamy sytuację w której \(|AS|=3\cdot|BS|\).

I ten sposób z wyznaczaniem środków odcinków jest najlepszy, ale... tak prawdę mówiąc, to nie musimy obliczać wszystkich współrzędnych. Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że w każdej z nich jest inna współrzędna iksowa. W związku z tym obliczając współrzędne punktów \(P\) oraz \(S\) moglibyśmy się ograniczyć jedynie do wyznaczenia współrzędnej iksowej.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Dla treningu wyznaczmy sobie pełne współrzędne naszego punktu \(P\), który jest środkiem odcinka \(AB\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając współrzędne znanych nam punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
$$P=\left(\frac{7+11}{2};\frac{4+12}{2}\right) \\
P=\left(\frac{18}{2};\frac{16}{2}\right) \\
P=\left(9;8\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(PB\), zatem korzystając z tego samego wzoru co powyżej otrzymamy:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{B}}{2};\frac{y_{P}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{9+11}{2};\frac{8+12}{2}\right) \\
S=\left(\frac{20}{2};\frac{20}{2}\right) \\
S=\left(10;10\right)$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając wskazany punkt oraz rysując podane proste otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie odległości od pierwszej i drugiej prostej.
Z rysunku widać wyraźnie, że od punktu \(A\) do prostej \(x=4\) mamy \(8\) jednostek, natomiast do prostej \(y=-4\) mamy \(6\) jednostek. To oznacza, że suma tych odległości jest równa:
$$8+6=14$$

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
W sześcianie mamy \(12\) krawędzi, które są jednakowej długości. Skoro suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(96cm\), to każda z tych krawędzi ma:
$$96cm:12=8cm$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu składa się z \(6\) ścian, a każda ze ścian jest kwadratem o boku \(8cm\). W związku z tym:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot8^2 \\
P_{c}=6\cdot64 \\
P_{c}=384[cm^2]$$

D

Krok 1. Obliczenie miar kątów znajdujących się przy podstawie.
W treści zadania podany jest kąt między ramionami, zatem kąty przy podstawie będą mieć łącznie:
$$180°-44°=136°$$

Skoro jest to trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie będą mieć jednakową miarę, czyli każdy z kątów będzie miał:
$$136°:2=68°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Znamy już miary wszystkich kątów naszego trójkąta równoramiennego. Jeżeli zgodnie z treścią zadania narysujemy jeszcze dwusieczną kąta z wierzchołka \(A\), to otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ADC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Znamy miary dwóch kąt tego trójkąta: \(34°\) oraz \(44°\). Skoro suma kątów w trójkącie to \(180°\) to kąt \(ADC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-34°-44°=102°$$

D

Tak prawdę mówiąc, to można tutaj wskazać prawidłową odpowiedź bez żadnych większych obliczeń. Patrząc się na to zadanie tak analitycznie, to podzielna przez \(6\) jest co szósta liczba. Liczb dwucyfrowych jest \(90\). W takim razie nie ma szans by liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) było aż \(30\), \(45\), czy \(60\). Spodziewamy się, że tych liczb jest około \(15\), bo \(90:6=15\). Co prawda takie liczenie może być czasem złudne i trzeba byłoby się zastanowić czy tych liczb jest dokładnie \(15\) (bo mogą się one różnie ułożyć), ale na tym wstępnym etapie rozwiązywania jesteśmy w stanie powiedzieć, że tych liczb jest \(15\), może \(14\), może \(16\).

Ta prosta analiza umożliwiała zaznaczenie poprawnej odpowiedzi dosłownie w kilka sekund. Gdyby jednak pojawiły się tutaj inne liczby lub nieco inne odpowiedzi, to trzeba byłoby podejść do tego w sposób bardziej matematyczny, korzystając z wiadomości na temat ciągów arytmetycznych.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Liczby podzielne przez \(6\) tworzą ciąg arytmetyczny w którym \(r=6\). Musimy się jeszcze tylko zastanowić jaki jest pierwszy wyraz naszego ciągu. Skoro mają to być liczby dwucyfrowe, to najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(6\) jest \(12\). Zatem możemy przyjąć, że \(a_{1}=12\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Za pomocą tego wzoru spróbujemy określić ile wyrazów naszego ciągu jest mniejszych od \(100\). Musimy zatem rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{1}+(n-1)r\lt100$$

Podstawiając \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\) otrzymamy:
$$12+(n-1)\cdot6\lt100 \\
12+6n-6\lt100 \\
6n+6\lt100 \\
6n\lt94 \\
n\lt15\frac{2}{3}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach nasze \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, zatem moglibyśmy zapisać, że nasza nierówność spełniania jest przez \(n\in\{1,2,3,...,13,14,15\}\). To oznacza, że mamy \(15\) liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).

B

Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt \(BCS\) jest prostokątny.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt \(BCS\) jest prostokątny (gdzie \(|\sphericalangle BCS|=90°\). Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.

Długość boku \(CS\):
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DCS\). Dolna przyprostokątna ma długość \(|DC|=4\), boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\), zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$4^2+3^2=|CS|^2 \\
16+9=|CS|^2 \\
|CS|^2=25 \\
|CS|=5 \quad\lor\quad |CS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|CS|=5\).

Długość boku \(BS\):
Spójrzmy na trójkąt \(BDS\). Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(|BD|=4\sqrt{2}\). Boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\). W związku z tym:
$$3^2+(4\sqrt{2})^2=|BS|^2 \\
9+16\cdot2=|BS|^2 \\
9+32=|BS|^2 \\
|BS|^2=41 \\
|BS|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=\sqrt{41}\).

W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta \(BCS\):
$$|BC|=4 \\
|CS|=5 \\
|BS|=\sqrt{41}$$

Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki \(BC\) oraz \(CS\) to przyprostokątne, natomiast \(BS\) to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:
$$|BC|^2+|CS|^2=|BS|^2 \\
4^2+5^2=(\sqrt{41})^2 \\
16+25=41 \\
41=41 \\
L=P$$

Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem prostokątnym.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCS\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5 \\
P=2\cdot5 \\
P=10$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześcianie wszystkie krawędzie mają jednakową długość, oznaczmy ją jako \(a\). Dodatkowo zaznaczmy interesujący nas kąt, czyli kąt między odcinkiem \(PH\) i płaszczyzną podstawy:


Aby obliczyć wartość tangensa naszego kąta będziemy potrzebować długości dwóch przyprostokątnych trójkąta \(DPH\). Wiemy już, że \(|DH|=a\), musimy jeszcze wyznaczyć długość odcinka \(DP\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Odcinek \(DP\) to połowa przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a\), to jego cała przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Nasz odcinek \(DP\) jest połową tej długości, czyli:
$$|DP|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć poszukiwaną wartość tangensa naszego kąta:
$$tgα=\frac{|DH|}{|DP|} \\
tgα=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \\
tgα=a:\frac{a\sqrt{2}}{2} \\
tgα=a\cdot\frac{2}{a\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2}{\sqrt{2}}$$

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma długość przekątnej równą \(a\sqrt{2}\). Skoro nasza przekątna ma długość \(12\), to znaczy że:
$$a\sqrt{2}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{12\sqrt{2}}{2} \\
a=6\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia podstawy.
W podstawie znajduje się koło, którego średnica (zgodnie z rysunkiem) jest równa \(6\sqrt{2}\). Nam do obliczenia objętości będzie potrzebny promień tego koła, a skoro promień jest dwa razy krótszy od średnicy to:
$$r=6\sqrt{2}:2 \\
r=3\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie objętości walca.
Wiemy już, że \(r=3\sqrt{2}\). Z rysunku widzimy też, że wysokość walca jest równa długości boku kwadratu, czyli \(H=6\sqrt{2}\), zatem:
$$V=π r^2 \cdot H \\
V=(3\sqrt{2})^2\cdot π\cdot6\sqrt{2} \\
V=9\cdot2\cdot π\cdot6\sqrt{2} \\
V=108\sqrt{2}π$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór składa się z liczb naturalnych od \(20\) do \(40\), czyli składa się z \(21\) liczb, zatem \(|Ω|=21\).

Przy określaniu zdarzeń elementarnych w takich zbiorach trzeba być ostrożnym, bo bardzo wiele osób błędnie zakłada, że tych liczb w naszym zbiorze będzie \(40-20=20\), a to jest nieprawda.

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które są liczbami podzielnymi przez \(4\)) będą następujące liczby:
$$20,24,28,32,36,40$$

To oznacza, że tylko sześć liczb spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$$

\(x\in\left(-\infty;-\frac{2}{7}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

Przyglądając się tej nierówności dość kuszącą wydaje się opcja, by podzielić lewą i prawą stronę równania przez wartość \(7x+2\). To nie jest zły pomysł, ale trzeba być bardzo świadomym tego co liczymy. W nierównościach najbardziej problematyczny jest znak większości/mniejszości, który musimy odwrócić mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną. Nie możemy więc tak bezrefleksyjnie podzielić obu stron przez \(7x+2\) i zapisać, że w takim razie \(x\gt1\), bo jest to prawda tylko w sytuacji, gdy nasze \(7x+2\) jest liczbą dodatnią. Kiedy \(7x-2\) jest liczbą ujemną, to należałoby odwrócić znak.

Jeżeli więc nie potrafimy rozwiązywać nierówności w ten sposób, to najprościej i przede wszystkim najbezpieczniej będzie rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, czyli doprowadzając ją do postaci ogólnej i licząc deltę.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy wymnożyć iksa przez wartość w nawiasie oraz przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$x(7x+2)\gt7x+2 \\
7x^2+2x\gt7x+2 \\
7x^2-5x-2\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=7,\;b=-5,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot7\cdot(-2)=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot7}=\frac{5-9}{14}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot7}=\frac{5+9}{14}=\frac{14}{14}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{7}\right)\cup\left(1;+\infty\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-2\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x-3\neq0 \\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy:
$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3) \\
3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3) \\
3x^2-8x-3=x^2-6x+9 \\
2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2-x-6=0$$

(Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach).

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz poprawne rozwiązania równania kwadratowego (patrz: Krok 3.), ale nie odrzucisz jednego wyniku ze względu na założenia.
ALBO
• Gdy przekształcisz równanie do postaci typu \(\frac{(x-3)(3x+1)}{x-3}=x-3\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono na podstawie trójkątów przystających.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Stwórzmy sobie prosty rysunek na którym zaznaczymy to co nas interesuje, czyli odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\). Przypomnę, że odległość punktu od prostej to tak naprawdę odcinek, który jest prostopadły do wskazanej prostej.


Krok 2. Dostrzeżenie przystawania trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ADS\) oraz \(SBE\). Naszym zadaniem jest teraz udowodnić, że te trójkąty są trójkątami przystającymi (nie wystarczy by były podobne, muszą być przystające, czyli muszą mieć jednakowe miary poszczególnych boków). Jak udowodnimy, że są to trójkąty przystające, to będziemy mieć pewność że przyprostokątne tych trójkątów (czyli odcinki łączące punkty z prostą \(CS\) zaznaczone przerywaną zieloną linią) mają jednakowe miary.

Przeanalizujmy zatem te dwa trójkąty. Są to trójkąty prostokątne, czyli już na pewno wiemy, że mają jedną wspólną miarę kątów. Dodatkowo kąty przy wierzchołku \(S\), czyli \(ASD\) oraz \(ESB\) są kątami wierzchołkowymi, zatem te kąty także mają jednakową miarę.

Aby udowodnić, że te trójkąty są przystające (czyli jednakowe) to musimy jeszcze wykazać, że mają przynajmniej jedną parę boków równej długości (cecha kąt-bok-kąt). Skoro punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\), to znaczy że przeciwprostokątne \(AS\) oraz \(SB\) mają tą samą miarę, a to pozwala nam stwierdzić, że te trójkąty są na pewno przystające, a tym samym odcinki \(AD\) oraz \(EB\) są jednakowej miary.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz kluczowe informacje, które wynikają z własności trójkątów lub kątów - czyli, że przykładowo kąty przy wierzchołku \(S\) mają jednakową miarę, że odcinek \(AS\) jest równy odcinkowi \(SB\), że kąty \(SAD\) oraz \(SBE\) mają jednakowe miary itd.
ALBO
• Gdy udowodnisz, że odcinek \(DS\) jest równy odcinkowi \(ES\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono doprowadzając nierówność do postaci \((a-b)^2\ge0\).

Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez \(a\) oraz \(b\) nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).

Mnożąc to równanie przez \(a\) oraz \(b\) (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez \(a\), potem przez \(b\)) otrzymamy:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \quad\bigg/\cdot a \\
1+\frac{1\cdot a}{b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot b \\
b+a\ge\frac{4ab}{a+b} \\
a+b\ge\frac{4ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot(a+b) \\
(a+b)\cdot(a+b)\ge4ab \\
a^2+2ab+b^2\ge4ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \(a^2-2ab+b^2\ge0\) lub też do postaci \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(q=5\) oraz \(a_{5}=1250\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.
\(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\).
\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}=12 \\
2+a_{2}=12 \\
a_{2}=10$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.
Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{10}{2} \\
q=5$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$

Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^4 \\
a_{5}=2\cdot625 \\
a_{5}=1250$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz wartość drugiego wyrazu (patrz: Krok 1.) i konsekwentnie do tego błędu obliczysz resztę zadania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{36}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro rzucamy trzykrotnie standardową kostką sześcienną to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=216\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są takie rzuty, których suma daje wynik równy \(16\). Wbrew pozorom nie jest dużo takich możliwości, bo maksymalnie z trzech rzutów możemy mieć \(18\) oczek. To oznacza, że aby wypadła suma równa \(16\), to albo na jednej kostce musi wypaść \(4\), a na reszcie \(6\), albo muszą wypaść dwie \(5\) oraz \(6\). Sprzyjającymi zdarzeniami będą więc:
$$(4,6,6); (6,4,6); (6,6,4); \\
(6,5,5); (5,6,5); (5,5,6). $$

Mamy więc sześć takich zdarzeń, zatem możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=2160\sqrt{3}\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy, że w podstawie ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek boków jest równy \(3:4\). Możemy więc powiedzieć, że krótszy bok tego prostokąta ma długość \(3x\), natomiast dłuższy ma długość \(4x\). Wiemy też, że pole tego prostokąta jest równe \(432\), a skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$3x\cdot4x=432 \\
12x^2=432 \\
x^2=36 \\
x=6$$

Wyszło nam, że \(x=6\), a skoro nasze krawędzie podstawy mają długość odpowiednio \(3x\) oraz \(4x\) to otrzymamy:
Krótsza krawędź podstawy: \(3x=3\cdot6=18\)
Dłuższa krawędź podstawy: \(4x=4\cdot6=24\)

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna \(AC\) naszego prostokąta znajdującego się w podstawie tworzy wraz z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. Przed chwilą obliczyliśmy długości krawędzi tej podstawy, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$18^2+24^2=|AC|^2 \\
324+576=|AC|^2 \\
|AC|^2=900 \\
|AC|=30 \quad\lor\quad |AC|=-30$$

Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AC|=30\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AO\).
Znamy już długość przekątnej podstawy, ale nam do dalszych obliczeń przyda się tak naprawdę znajomość długości odcinka \(AO\), bo to będzie dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego \(AOS\). Odcinek \(AO\) jest dwa razy krótszy od całej przekątnej \(AC\), zatem:
$$|AO|=30:2 \\
|AO|=15$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz trójkąt \(AOS\). Znamy miarę kąta \(SAO\), znamy długość dolnej przyprostokątnej, a szukamy wysokości ostrosłupa (czyli przyprostokątnej \(|SO|\) tego trójkąta), bo jest ona nam potrzebna do wyliczenia objętości. W związku z tym do wyliczenia długości odcinka \(SO\) możemy wykorzystać tangensa:
$$tg60°=\frac{|SO|}{|AO|} \\
tg60°=\frac{|SO|}{15} \\
\sqrt{3}=\frac{|SO|}{15} \\
|SO|=15\sqrt{3}$$

To oznacza, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=15\sqrt{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni \(P_{p}=432\), znamy też wysokość ostrosłupa \(H=15\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot15\sqrt{3} \\
V=2160\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz długości prostokąta jako \(3x\) oraz \(4x\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz proste równanie typu \(a\cdot b=432\) lub \(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy stosownie do ułożonego równia obliczysz, że \(x=6\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\), korzystając z równań typu \(a\cdot b=432\) oraz \(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długości boków prostokąta (patrz: Krok 1.) oraz długość jego przekątnej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy całe zadanie rozwiążesz błędnie, bo źle zastosujesz funkcje trygonometryczne.
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{1}{6}\), \(z=\frac{2}{3}\) oraz \(f_{max}=\frac{5}{4}\).

Krok 1. Uproszczenie wyrażenia z dwoma niewiadomymi do wyrażenia z jedną niewiadomą.
Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy dojść do sytuacji w której mamy jedną niewiadomą. W tym celu dobrze byłoby wyznaczyć z wyrażenia \(2x+z=1\) niewiadomą \(z\) i podstawić ją potem do wyrażenia \(x^2+z^2+7xz\). W związku z tym:
$$2x+z=1 \\
z=1-2x$$

Podstawiając tę wartość do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$x^2+(1-2x)^2+7x\cdot(1-2x)= \\
=x^2+1^2-4x+4x^2+7x-14x^2= \\
=-9x^2+3x+1$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy wyrażenie, do którego pod iksa możemy podstawiać różne liczby, otrzymując w ten sposób jakieś konkretne wyniki. Możemy więc rozpatrzeć tę sytuację jako klasyczny przykład funkcji, a skoro pojawia nam się tutaj niewiadoma \(x\) podniesiona do kwadratu, to jest to funkcja kwadratowa.

Naszym zadaniem jest teraz dowiedzieć się dla jakiego argumentu \(x\) ta funkcja przyjmie największą wartość, no i musimy podać tę wartość (to jest właśnie istotą tego zadania). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a skoro współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, bo \(a=-9\), to ramiona tej paraboli będą skierowane do dołu. To oznacza, że ta nasza funkcja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Z tego szkicowego rysunku wynika jasno, że największą wartość ta funkcja przyjmie w swoim wierzchołku. Musimy więc poznać współrzędne tego wierzchołka.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) posłużymy się wzorami:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
q=\frac{-\delta}{4a}$$

Do obliczenia współrzędnej \(q\) potrzebna nam będzie delta, zatem obliczmy ją w tym momencie:
Współczynniki: \(a=-9,\;b=3,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-9)\cdot1=9-(-36)=9+36=45$$

Znamy więc wartości wszystkich współczynników, znamy też deltę, zatem możemy podstawić te dane do naszych wzorów, otrzymując:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-3}{2\cdot(-9)} \\
p=\frac{-3}{-18} \\
p=\frac{1}{6}$$

$$q=\frac{-45}{4\cdot(-9)} \\
q=\frac{-45}{-36} \\
q=\frac{5}{4}$$

Wyszło nam więc, że wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie \(W=\left(\frac{1}{6};\frac{5}{4}\right)\). To oznacza, że największą możliwą wartością tej funkcji (a tym samym naszego wyrażenia) jest wartość \(\frac{5}{4}\).

Znamy też już jedną z niewiadomych wchodzących w skład tego wyrażenia, czyli wiemy że \(x=\frac{1}{6}\). Musimy jeszcze tylko wyznaczyć wartość niewiadomej \(z\).

Krok 4. Obliczenie wartości niewiadomej \(z\).
Korzystając z informacji, że \(2x+z=1\) oraz wiedząc, że \(x=\frac{1}{6}\) otrzymamy:
$$2\cdot\frac{1}{6}+z=1 \\
\frac{1}{3}+z=1 \\
z=\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(x^2+(1-2x)^2+7x\cdot(1-2x)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy uprościsz całość do postaci równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|CA|=20\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu musimy zauważyć, że dorysowując wysokość padającą na bok \(CA\) utworzy nam się tak naprawdę połowa trójkąta równobocznego. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Kąt \(DCB\) ma na pewno miarę \(60°\), gdyż jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma kątów przyległych musi być równa \(180°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości \(BD\).
Wysokość trójkąta równobocznego obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość \(a=10\), bo odcinek \(|BC|=10\). Zatem:
$$h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości \(DA\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(DAB\). Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków: \(BD=5\sqrt{3}\) oraz \(|AB|=10\sqrt{7}\). Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka \(DA\):
$$|BD|^2+|DA|^2=|AB|^2 \\
(5\sqrt{3})^2+|DA|^2=(10\sqrt{7})^2 \\
25\cdot3+|DA|^2=100\cdot7 \\
75+|DA|^2=700 \\
|DA|^2=625 \\
|DA|=25 \quad\lor\quad |DA|=-25$$

Ujemny wynik tego równania kwadratowego oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|DA|=25\).

Krok 4. Obliczenie długości \(DC\).
Długość \(DC\) zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych jest równa połowie długości boku trójkąta (bo wysokość dzieli nam podstawę tego trójkąta na dwie równe części). Stąd też:
$$|DC|=10:2 \\
|DC|=5$$

Krok 5. Obliczenie długości \(CA\).
Wiemy już, że \(|DA|=25\). Wiemy też, że \(|DC|=5\). Różnica tych dwóch długości da nam odpowiedź na to jaką długość ma nasz poszukiwany odcinek \(CA\):
$$|CA|=|DA|-|DC| \\
|CA|=25-5 \\
|CA|=20$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąt \(DCB\) ma miarę \(60°\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprowadzisz na rysunku wysokość \(BD\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz trójkąt równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość wysokości \(BD\) (patrz: Krok 2.) oraz odcinka \(DC\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz odpowiednie równanie (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.