Matura – Matematyka – Czerwiec 2015 – Odpowiedzi

D

Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyłączenie czynników przed znak pierwiastka i zapisanie wyniku w formie potęgi o wykładniku wymiernym (czyli w formie ułamka). Zatem:
$$2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=2\cdot3\sqrt{2}-4\sqrt{2}= \\
=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2^1\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$$

D

$$\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot4=-1$$

B

Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:

Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł \\
x=36\;600zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).

C

Z całego wyrażenia możemy wyłączyć przed nawias trójkę, a powstałą wartość znajdującą się w nawiasie zapiszemy w postaci wzoru skróconego mnożenia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$3a^2-12ab+12b^2=3\cdot(a^2-4ab+4b^2)=3\cdot(a-2b)^2$$

D

W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5 \\
2+1a=5 \\
a=3$$

D

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$

Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne.

Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne.
Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\approx\frac{-11-9,8}{2\cdot2}\approx\frac{-20,8}{4}=-5,2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\approx\frac{-11+9,8}{2\cdot2}\approx\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

Widzimy więc, że nasze równanie ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$

Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Nasze wyrażenie jest więc równe:
$$sin120°-cos30°=cos30°-cos30°=0=sin0°$$

B

Wyłączając wspólną część przed nawias otrzymamy:
$$3sin^3αcosα+3sinαcos^3α=3sinαcosα(sin^2α+cos^2α)$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), tak więc całe wyrażenie udało nam się przekształcić do \(3sinαcosα\).

A

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2 \\
2=6a-2 \\
6a=4 \\
a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

C

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej \(k\).
Na podstawie informacji z zadania możemy określić wzór naszej prostej \(k\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), zatem nasza prosta \(k\) ma na pewno \(a=-3\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;6)\) to wiemy też, że współczynnik \(b=6\). To oznacza, że wzór naszej prostej to:
$$y=-3x+6$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostej \(k\) z osią \(Ox\).
Miejsce przecięcia się z osią \(Ox\) to nic innego jak miejsce zerowe funkcji. Aby więc poznać współrzędne takiego punktu przecięcia wystarczy przyrównać wzór prostej do zera, tak więc:
$$0=-3x+6 \\
-6=-3x \\
x=2$$

Prosta \(k\) przecina się więc z osią \(Ox\) w punkcie o współrzędnych \((2;0)\).

D

Krok 1. Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc:
$$x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0 \\
x^2=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \quad\lor\quad x^2-7=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}$$

Krok 2. Określenie ilości rozwiązań niewymiernych.
Liczby niewymierne to takie, których nie da się przedstawić w formie ułamka zwykłego, w którym licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi. W naszym przypadku takimi liczbami będą \(\sqrt{7}\) oraz \(-\sqrt{7}\), tak więc są dwa niewymierne rozwiązania tego równania.

C

Funkcja jest rosnąca tylko i wyłącznie w przedziale \(\langle5;6\rangle\).

B

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n \\
a_{1}=2^1=2 \\
a_{2}=2^2=4$$

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \\
S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$

A

Wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Czyli:
$$a_{1}=a_{1}+0r \\
a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{6}=a_{1}+5r$$

Porównajmy sobie teraz sumy pierwszego i szóstego wyrazu z sumą wyrazu trzeciego i czwartego:
$$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5r=2a_{1}+5r \\
a_{3}+a_{4}=a_{1}+2r+a_{1}+3r=2a_{1}+5r$$

Otrzymaliśmy identyczne wartości, co pozwala nam zapisać równość:
$$a_{1}+a_{6}=a_{3}+a_{4}$$

W związku z tym skoro wiemy, że suma pierwszego i szóstego wyrazu jest równa \(13\), to w takim razie suma trzeciego i czwartego wyrazu będzie także równa \(13\).

A

Oznaczmy sobie poszczególne miary kątów jako \(3α, 4α, 5α\). Skoro są to kąty wewnątrz trójkąta, to prawdziwa będzie równość:
$$3α+4α+5α=180° \\
12α=180° \\
α=15°$$

Najmniejszy kąt miał miarę \(3α\), a więc \(3\cdot15=45°\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro \(|BD|=|CD|\), to znaczy że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(BC\). Kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem oznaczmy sobie \(\sphericalangle DBC\) oraz \(\sphericalangle DCB\) jako \(α\).

Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a więc trójkąt \(ABC\) jest również równoramienny i tym samym także ma równe kąty przy podstawie. Jeden z kątów przy podstawie oznaczyliśmy już sobie przed chwilą jako \(α\), więc kąt \(\sphericalangle CAB\) także ma miarę równą \(α\).



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BCD\).
Aby wyznaczyć miarę kąta \(α\) wystarczy dodać do siebie wszystkie kąty trójkąta \(ABC\), wiedząc że ich suma musi być równa \(180°\). To pozwala nam ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$α+α+21°+α=180° \\
3α+21°=180° \\
3α=159° \\
α=53°$$

C

Aby trójkąt mógł w ogóle powstać to suma jego dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku. Od razu więc odrzucamy odpowiedzi \(A\) oraz \(B\), bo w tym przypadku najkrótszymi odcinkami będą boki o długości \(2cm\) i \(7cm\), a więc najdłuższy bok w tym przypadku musi mieć mniej niż \(9cm\).

Musimy sprawdzić jeszcze odpowiedzi \(C\) oraz \(D\).
Wykorzystując bok z odpowiedzi \(C\) otrzymalibyśmy trójkąt \(2cm\), \(6cm\) i \(7cm\) i rzeczywiście taki trójkąt może istnieć, bo \(2cm+6cm\gt7cm\). Warunki powstania trójkąta są więc spełnione.
W odpowiedzi \(D\) otrzymalibyśmy parę najkrótszych boków \(2cm\) oraz \(3cm\), a ich suma jest mniejsza od \(7cm\), więc taki trójkąt nie istnieje.

Prawidłowa jest więc jedynie trzecia możliwość.

C

W tym zadaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$

Wszystkie dane mamy podane w treści zadania, jedyną trudnością może być tutaj ustalenie wartości \(sin120°\), bo w tablicach trygonometrycznych nie mamy podanych wartości dla kątów rozwartych.

Krok 1. Ustalenie wartości \(sin120°\).
Skorzystamy tutaj ze wzorów redukcyjnych, np. \(sin(180°-α)=sinα\). Z tego wzoru wynika, że:
$$sin(180°-120°)=sin120° \\
sin60°=sin120°$$

Wartość \(sin60°\) możemy już odczytać z tablic i będzie to:
$$sin120°=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=120\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=60\sqrt{3}$$

C

Musimy zauważyć, że w przekroju stożka znalazł się trójkąt równoboczny. Skąd to wiemy? Skoro promień stożka jest równy \(3\), to średnica (czyli de facto podstawa trójkąta) ma długość \(6\). Tworząca stożka (czyli ramiona trójkąta) ma także długość \(6\), a to oznacza, że wszystkie boki są jednakowej długości. Dostrzeżenie tej zależności pozwala nam powiedzieć, że kąt \(α=60°\), bowiem w trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę \(60°\).

A

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa, to będzie miał on \(2n\) wierzchołków i \(3n\) krawędzi. W naszym przypadku graniastosłup o podstawie ośmiokąta miałby \(16\) wierzchołków i \(24\) krawędzie, tak więc prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Jeżeli ostrosłup czworokątny ma wszystkie krawędzie równej długości to na pewno w podstawie mamy kwadrat. Cały ostrosłup wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:



Na rysunku zaznaczyliśmy sobie też dwa kąty - kąt między krawędzią i przekątną podstawy (czyli kąt \(α\)) oraz poszukiwany kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (czyli kąt \(β\)).

Krok 2. Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Poszukujemy miary kąta \(β\).
Zwróćmy uwagę na to, że trójkąty \(ABD\) oraz \(BDS\) są trójkątami przystającymi (mają te same długości ramion bo krawędzie są sobie równe oraz mają wspólną podstawę trójkąta, która jest przekątną kwadratu). To oznacza, że na naszym rysunku \(α=β\).

Kąt \(α\) ma znaną nam miarę \(45°\), bo przekątna kwadratu dzieli kąt prosty na dwie równe części, czyli \(90°:2=45°\). Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie napisaliśmy wcześniej \(β=45°\).

A

Błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$

\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość
\(x_{0}\) - przybliżona wartość

Musimy wyrazić nasz błąd w procentach, dlatego na koniec pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\), zatem:
$$δ=\frac{|\frac{5}{16}-0,3|}{\frac{5}{16}}\cdot100\% \\
δ=\frac{|\frac{25}{80}-\frac{24}{80}|}{\frac{25}{80}}\cdot100\% \\
δ=\frac{|\frac{1}{80}|}{\frac{25}{80}}\cdot100\% \\
δ=\frac{1}{25}\cdot100\% \\
δ=4\%$$

A

Krok 1. Utworzenie poprawnego układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które razem stworzą układ równań:
\begin{cases}
\frac{2+4+7+8+x}{5}=n \\
\frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2n
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Najprościej będzie chyba zastosować metodę podstawiania (podstawimy pierwsze równanie do drugiego), zatem otrzymamy:
$$\frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2\cdot\frac{2+4+7+8+x}{5} \\
\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
\frac{21+3x}{12}=\frac{21+x}{5}$$

Mnożąc teraz na krzyż otrzymamy:
$$5\cdot(21+3x)=12\cdot(21+x) \\
105+15x=252+12x \\
3x=147 \\
x=49$$

B

Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - wypisując sobie poszczególne liczby.
Moglibyśmy wypisać sobie wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) i zostawić na niej tylko te niepodzielne przez \(9\). Tych liczb nie będzie tak wiele, więc jesteśmy w stanie zrobić to ręcznie:
$$\require{cancel}
12,\cancel{18},24,30,\cancel{36},42,48 \\
\cancel{54},60,66,\cancel{72},78,84,\cancel{90},96$$

Zostało nam \(10\) liczb i taka jest też nasza odpowiedź.

II sposób - korzystając z własności ciągów arytmetycznych.
Krok 1. Obliczenie ilości liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).
Gdyby to zadanie obejmowało jeszcze liczby trzycyfrowe, to dobrze byłoby wykonać to wszystko nieco bardziej matematycznie, bo wypisywanie ręczne byłoby bardzo czasochłonne. W takiej sytuacji z pomocą przyjdzie nam ciąg arytmetyczny, którego \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\). Dobrze byłoby też wyznaczyć sobie największą liczbę dwucyfrową podzielną przez \(6\), a jest nią \(96\), zatem \(a_{n}=96\). Teraz w prosty sposób możemy obliczyć ile wyrazów zawiera ten ciąg arytmetyczny:
$$a_{1}+(n-1)r=a_{n} \\
12+(n-1)\cdot6=96 \\
(n-1)\cdot6=84 \\
n-1=14 \\
n=15$$

To oznacza, że mamy \(15\) liczb podzielnych przez \(6\).

Krok 2. Obliczenie ile z tych liczb jest niepodzielnych przez \(9\).
Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb \(6\) i \(9\) jest \(18\). To oznacza, że każda liczba podzielna przez \(18\) będzie podzielna i przez \(6\) i przez \(9\). Liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(18\) jest pieć: \(18,36,54,72,90\).

Skoro nas interesują te niepodzielne przez \(9\), więc ze zbioru \(n=15\) musimy odrzucić te pięć liczb, które obliczyliśmy sobie przed chwilą i zostaje nam \(10\) dwucyfrowych liczb, które są podzielne przez \(6\) i niepodzielne przez \(9\).

D

Mamy informację o tym, że \(4\) ze \(100\) losów są wygrywające. Czyli prawdopodobieństwo wygranej jest równe \(p=\frac{4}{100}\).
Po wylosowaniu \(n\) losów zostały już tylko trzy losy wygrywające. To oznacza, że prawdopodobieństwo wygranej jest teraz równe \(\frac{3}{100-n}\). Skoro prawdopodobieństwo wygranej się nie zmieniło to:
$$\frac{4}{100}=\frac{3}{100-n}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3\cdot100=4\cdot(100-n) \\
300=400-4n \\
-100=-4n \\
n=25$$

\(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc rozpocząć rozwiązywanie nierówności metodą delty musimy koniecznie po prawej stronie mieć zero. Przenosimy więc wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności (uważając na znaki!):
$$3x^2-9x\le x-3 \\
3x^2-9x-(x-3)\le0 \\
3x^2-9x-x+3\le0 \\
3x^2-10x+3\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-10,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze, bo mamy dodatni współczynnik \(a=3\). Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (z zamalowanymi kropkami, bo wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy parabolę:



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero, a więc interesującym nas przedziałem będzie \(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=0\)

Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów opartych na średnicy oraz wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases}
\text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\
\text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2
\end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że kąty \(ADB\) oraz \(ACB\) są kątami prostymi i dostrzeżesz, że można skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia w celu przekształcenia nierówności.

W udowodnieniu prawidłowości tej nierówności najbardziej przeszkadza nam wyraz \(-4xy\). Gdyby nie on, to mielibyśmy pewność, że to wyrażenie jest większe od zera, bo suma potęg na pewno jest wartością nieujemną. Spróbujmy więc rozbić ten wielomian w taki sposób, by móc zastosować wzory skróconego mnożenia, które "wciągną" nam ten znak minusa. Tak naprawdę można to zrobić na kilka sposobów, a jednym z nich jest:
$$3x^2+5y^2-4xy\ge0 \\
2x^2+x^2+4y^2+y^2-4xy\ge0 \\
x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2\ge0 \\
(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0$$

Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę trzech kwadratów. Każdy ze składników tego dodawania jest na pewno nieujemny, bo dowolna liczba podniesiona da wynik większy lub równy zero. To oznacza, że dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wskazaną nierówność do postaci typu \((x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0\), ale nie wyciągniesz z tego wyniku wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\) lub zapisując to w postaci ogólnej \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}\)

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\
f(x)=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).

Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).

Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\
3=a(-1+3)^2+4 \\
-1=a\cdot2^2 \\
-1=4a \\
a=-\frac{1}{4}$$

Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).

Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) (patrz: Krok 2.) lub \(f(x)=ax^2+6ax+9a+4\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{6}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru liczb dwucyfrowych. Z racji tego, że liczb dwucyfrowych jest \(90\), to \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym będą liczby podzielne przez \(8\) oraz \(12\). Musimy więc je sobie wypisać i policzyć ile ich tak naprawdę jest.

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(8\) to:
$$16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96$$

Łącznie takich liczb jest \(11\).

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(12\) to:
$$12,\color{blue}{24},36,\color{blue}{48},60,\color{blue}{72},84,\color{blue}{96}$$

Łącznie takich liczb jest \(8\).

Ale to nie koniec określania liczby zdarzeń sprzyjających. Część z tych liczb się powtarza (to te liczby zaznaczone na niebiesko), więc gdybyśmy dodali do siebie \(11+8=19\) to otrzymalibyśmy błędny wynik. Musimy odrzucić te liczby zaznaczone na niebiesko i tym samym otrzymujemy \(|A|=11+4=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{n}=4n-2\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
18=a_{1}+4r \\
a_{1}=18-4r$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=18-4r+2r \\
a_{3}=18-2r \\
\text{oraz} \\
a_{13}=a_{1}+12r \\
a_{13}=18-4r+12r \\
a_{13}=18+8r$$

W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13} \\
(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r) \\
\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2 \\
36r^2-144r=0$$

Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0 \\
36r(r-4)=0 \\
36r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$

I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).

Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r \\
a_{1}=18-4\cdot4 \\
a_{1}=18-16 \\
a_{1}=2$$

Krok 6. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot4 \\
a_{n}=2+4n-4 \\
a_{n}=4n-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wzory na poszczególne wyrazy ciągu arytmetycznego, gdzie niewiadomą jest jedynie różnica ciągu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od \(a_{5}\), czyli \(a_{1}=a_{5}-4r\), \(a_{3}=a_{5}-2r\) oraz \(a_{13}=a_{5}+8r\)
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci np. \(36r^2-144r=0\) (patrz: Krok 3.) lub \((18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=4\) lub \(r=0\) i rozwiązując zadanie dalej nie odrzucisz \(r=0\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu, czyli \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W treści zadania mamy podane bardzo dokładne współrzędne punktów \(A\) i \(B\), które w dodatku są liczbami całkowitymi, więc możemy wykonać dość przyzwoity rysunek pomocniczy, który przy okazji posłuży nam później do weryfikacji obliczeń. Zastanówmy się też gdzie może znaleźć się nasz punkt \(C\). Na pewno będzie on na osią \(Oy\), ale gdzie tak mniej więcej powinniśmy się go spodziewać? Nad osią iksów, czy pod nią? Na pewno nie może być nad osią, bo nad osią będzie bardzo daleko od punktu \(B\), a jednocześnie blisko punktu \(A\). To nas nie satysfakcjonuje, bo wiemy z relacji \(|AC|=|BC|\), że odległość punktu \(C\) od punktu \(A\) oraz \(B\) jest jednakowa. Ten nasz poszukiwany punkt znajdzie się tuż pod osią iksów - a gdzie dokładnie, to sobie to zaraz obliczymy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{C}\).
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Znamy współrzędne \(A\) i \(B\), ale to nie wszystko, bo znamy też jeszcze jedną bardzo ważną współrzędną - wiemy, że współrzędna \(x\) punktu \(C\) jest równa \(x_{C}=0\), bo wierzchołek \(C\) leży do osi \(Oy\).
Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a to z kolei pozwoli nam ułożyć odpowiednie równanie, z którego wyznaczymy sobie brakującą współrzędną \(y_{C}\).
$$\require{cancel}
|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(0-(-2))^2+(y_{C}-4)^2=(0-6)^2+(y_{C}-(-2))^2 \\
2^2+(y_{C}-4)^2=(-6)^2+(y_{C}+2)^2 \\
\cancel{4}+\cancel{y_{C}^2}-8y_{c}+16=36+\cancel{y_{C}^2}+4y_{C}+\cancel{4} \\
-12y=20 \\
y_{C}=-\frac{20}{12} \\
y_{C}=-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że pierwszą współrzędną punktu \(C\) jest \(x=0\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(2;1)\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na długość jednego z odcinków trójkąta np. \(|AC|=\sqrt{2^2+(y-4)^2}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\) oraz gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
3 pkt
• Gdy ułożysz równanie wykorzystujące informację, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie symetralnej odcinka \(AB\): \(4x-3y-5=0\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=9$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).



Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=3\sqrt{3}$$

Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2 \\
9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2 \\
81+3=|SD|^2 \\
|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21} \\
P_{b}=6\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$

Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 2.) oraz długość odcinka \(OD\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymasz złą odpowiedź przez błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.