Matura – Matematyka – Czerwiec 2015 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – czerwiec 2015. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2015

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Przy \(23\)-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa \(45\;018zł\). Jaka jest cena netto tego samochodu?

Zadanie 4. (1pkt) Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci:

Zadanie 5. (1pkt) Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}

x+ay=5 \\

2x-y=3

\end{cases}\), gdy:

Zadanie 6. (1pkt) Równanie \(2x^2+11x+3=0\):

Zadanie 7. (1pkt) Wartość wyrażenia \(sin120°-cos30°\) jest równa:

Zadanie 8. (1pkt) Wyrażenie \(3sin^3αcosα+3sinαcos^3α\) może być przekształcone do postaci:

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\).



matura z matematyki



Wtedy:

Zadanie 10. (1pkt) Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3x\). Wówczas prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie:

Zadanie 11. (1pkt) Liczba niewymiernych rozwiązań równania \(x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0\) jest równa:

Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).



matura z matematyki



Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale:

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

Zadanie 14. (1pkt) Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa \(13\). Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa:

Zadanie 15. (1pkt) Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku \(3:4:5\). Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę:

Zadanie 16. (1pkt) W trójkącie \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), na boku \(AB\) wybrano punkt \(D\) taki, że \(|BD|=|CD|\) oraz \(|\sphericalangle ACD|=21°\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Wynika stąd, że kąt \(BCD\) ma miarę:

Zadanie 17. (1pkt) Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma \(7cm\), a drugi ma \(2cm\). Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość:

Zadanie 18. (1pkt) Boki trójkąta mają długości \(20\) i \(12\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120°\). Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 19. (1pkt) Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Kąt \(α\) rozwarcia tego stożka jest równy:

Zadanie 20. (1pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie:

Zadanie 21. (1pkt) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:

Zadanie 22. (1pkt) Liczba \(0,3\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{16}\). Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

Zadanie 23. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,x\) jest równa \(n\), natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,x,2x\) jest równa \(2n\). Wynika stąd, że:

Zadanie 24. (1pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) i niepodzielnych przez \(9\)?

Zadanie 25. (1pkt) Na loterię przygotowano pulę \(100\) losów, w tym \(4\) wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano:

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(3x^2-9x\le x-3\).

Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x(x^2-2x+3)=0\).

Zadanie 28. (2pkt) Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).



matura z matematyki

Zadanie 29. (2pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge0\).

Zadanie 30. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(f\), dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

Zadanie 31. (2pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(8\) lub liczbę podzielną przez \(12\).

Zadanie 32. (4pkt) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).

Zadanie 33. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Zadanie 34. (5pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.



matura z matematyki

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz