Matura – Matematyka – Czerwiec 2014 – Odpowiedzi

D

Pierwiastek z kwadratu dowolnego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia. Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(D\). O tym, że pozostałe odpowiedzi są błędne możemy się przekonać podstawiając np. \(x=-3\).
Odp. A.
\(\sqrt{x^2}=x \\
\sqrt{(-3)^2}=-3 \\
\sqrt{9}=-3 \\
3=-3 \\
L\neq P\)

Odp. B.
\(|-x|=x \\
|-(-3)|=-3 \\
|3|=-3 \\
3=-3 \\
L\neq P\)

Odp. C.
\(|x-1|=x-1 \\
|-3-1|=-3-1 \\
|-4|=-4 \\
4=-4 \\
L\neq P\)

Odp. D.
\(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1| \\
\sqrt{(-3+1)^2}=|-3+1| \\
\sqrt{(-2)^2}=|-2| \\
\sqrt{4}=2 \\
2=2 \\
L=P\)

C

Oznaczmy sobie udziały poszczególnych wspólników jako: \(12x,8x,3x,2x\). Łącznie udziałów mamy:
$$12x+8x+3x+2x=25x$$

Musimy teraz obliczyć jaką część udziałów ma największy inwestor, a widzimy że ma on \(12x\) z \(25x\), czyli:
$$\frac{12x}{25x}\cdot100\%=48\%$$

C

$$ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)= \\
=a\cdot(b+1)-1\cdot(b+1)=(a-1)(b+1)$$

A

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).



Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).

D

Obliczmy wartość każdej z liczb:
\(a=\log_{3}\frac{1}{9}=-2 \text{, bo } 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\)
\(b=\log_{3}3=1 \text{, bo } 3^1=3\)
\(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3 \text{, bo } 3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)

$$-3\lt-2\lt1 \\
c\lt a\lt b$$

A

Nasza funkcja jest funkcją liniową i to w dodatku rosnącą, bo ma dodatni współczynnik \(a=3\). To oznacza, że dla \(f(-2)\) funkcja przyjmie wartość najmniejszą, a dla \(f(2)\) największą, zatem:
$$f(-2)=3\cdot(-2)-4=-6-4=-10 \\
f(2)=3\cdot2-4=6-4=2$$

Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \(\langle-10;2\rangle\).

A

Skoro \(\frac{-7}{3}\) jest miejscem zerowym, to znaczy że:
$$f\left(\frac{-7}{3}\right)=0 \\
3\cdot\left(\frac{-7}{3}\right)^2+7\cdot\left(\frac{-7}{3}\right)+c=0 \\
3\cdot\frac{49}{9}+\left(-\frac{49}{3}\right)+c=0 \\
\frac{49}{3}-\frac{49}{3}+c=0 \\
0+c=0 \\
c=0$$

B

Z racji tego iż nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, to musimy wykazać się sprytem i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$\require{cancel}
\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}=\frac{3^{26}\cdot\cancel{(3+1)}}{3^{25}\cdot\cancel{(3+1)}}= \\
=\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3$$

C

Krok 1. Obliczenie stopnia wielomianu \(Q(x)\).
Stopień wielomianu to tak naprawdę jego najwyższa potęga jaka pojawia się w danym zapisie. W przypadku \(W(x)\) mamy drugi stopień wielomianu (bo pojawia się \(x^2\)), a \(P(x)\) jest wielomianem trzeciego stopnia (bo mamy \(x^3\)). Musimy poznać jeszcze stopień wielomianu \(Q(x)\):
$$Q(x)=(1-x)(x+1) \\
Q(x)=x+1-x^2-x \\
Q(x)=-x^2+1$$

Czyli \(Q(x)\) jest wielomianem drugiego stopnia.

Krok 2. Obliczenie stopnia iloczynu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\).
Nie musimy wymnażać przez siebie wszystkich wyrazów, aby poznać rozwiązanie tego zadania. Wystarczy wymnożyć przez siebie tylko te wyrazy z najwyższymi potęgami w każdym z wielomianów. Cała reszta nas nie interesuje. Zatem:
$$2x^2\cdot x^3\cdot(-x^2)=-2x^{2+3+2}=-2x^7$$

To oznacza, że powstanie nam wielomian siódmego stopnia.

C

I sposób - korzystając z własności wierzchołka paraboli
Z własności parabol wiemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w jednakowej odległości od jednego i drugiego miejsca zerowego. To sprawia, że pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli tak zwaną współrzędną \(p\), możemy obliczyć wprost ze wzoru:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$

Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej typu \(y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), więc miejsca zerowe możemy odczytać wprost ze wzoru. Musimy tylko uważać na znaki:
$$y=(x+2)(x-4) \\
y=(x-(-2))(x-4)$$

To oznacza, że \(x_{1}=-2\) oraz \(x_{2}=4\). Znając miejsca zerowe, możemy już bez przeszkód wyliczyć współrzędną \(p\):
$$p=\frac{-2+4}{2} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

II sposób - przekształcając wzór do postaci ogólnej
Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Zanim przejdziemy do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka musimy przekształcić to równanie z postaci iloczynowej do ogólnej, zatem:
$$y=(x+2)(x-4) \\
y=x^2-4x+2x-8 \\
y=x^2-2x-8$$

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej.
Dla paraboli określonej wzorem ogólnym \(y=ax^2+bx+c\) współrzędna \(p\) jej wierzchołka \(W=(p;q)\) wyraża się wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

A

Sumę dziesięciu początkowych wyrazów możemy obliczyć za pomocą wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)} \\
S_{10}=5\cdot\frac{1-1024}{1+2} \\
S_{10}=5\cdot\frac{-1023}{3} \\
S_{10}=5\cdot(-341) \\
S_{10}=-1705$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \\
a_{3}=\frac{11+7}{2} \\
a_{3}=\frac{18}{2} \\
a_{3}=9$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-11 \\
r=-2$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=11-(-2) \\
a_{1}=11+2 \\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$

Ewentualnie moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{13+7}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{20}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=10\cdot 4 \\
S_{4}=40$$

C

Skorzystamy tutaj z "jedynki trygonometrycznej". Skoro \(sin^2α+cos^2α=1\) to:
$$\frac{cos^2α}{1-sin^2α}+\frac{1-cos^2α}{sin^2α}=\frac{cos^2α}{cos^2α}+\frac{sin^2α}{sin^2α}= \\
=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1+1=2$$

C

Krok 1. Obliczenie długości podstawy \(KL\).
Do obliczenia pola trapezu brakuje nam tylko znajomości długości dolnej podstawy. Sporządźmy sobie prosty rysunek:



Na podstawie tego szkicu widzimy, że: \(|NM|=|KO|=3\) oraz \(|NK|=|MO|=4\sqrt{3}\). Jeśli obliczymy długość odcinka \(|OL|\) (a możemy to zrobić korzystając z tangensa) to poznamy także długość dolnej podstawy trapezu.
$$tgα=\frac{|MO|}{|OL|} \\
\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{|OL|} \\
\sqrt{3}\cdot|OL|=4\sqrt{3} \\
|OL|=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
|OL|=4$$

Stąd też \(|KL|=|KO|+|OL|=3+4=7\).

Krok 2. Obliczenie pola trapezu.
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(7+3)\cdot4\sqrt{3} \\
P=5\cdot4\sqrt{3} \\
P=20\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie sumy punktów uzyskanych przez I grupę.
Skoro było \(40\) studentów, a każdy uzyskał średnio \(30\) punktów, to łącznie uzyskali:
$$S_{1}=40\cdot30=1200$$

Krok 2. Obliczenie średniego wyniku z egzaminu.
Musimy dodać do siebie sumę punktów pierwszej i drugiej grupy i podzielić ją przez łączną liczbę studentów, zatem:
$$\overline{x}=\frac{1200+1800}{40+20} \\
\overline{x}=\frac{3000}{60} \\
\overline{x}=50$$

C

Gdybyśmy połączyli ze sobą punkt \(I\) oraz \(K\) to otrzymalibyśmy trójkąt \(IKF\), którego jednym z kątów jest nasz poszukiwany \(\sphericalangle IFK\). Spróbujmy ustalić jaki będzie ten trójkąt \(IKF\). Wszystkie jego boku byłyby przekątnymi ścian, a skoro jest to sześcian, to każda z tych przekątnych miałaby tą samą długość. To oznacza, że trójkąt \(IKF\) jest równoboczny, a skoro tak, to \(|\sphericalangle IFK|=60°\).

B

Kąt \(LKM\) jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na tym samym łuku co kąt \(MOL\). Miara kąta \(MOL\) jest równa:
$$|\sphericalangle MOL|=360°-130°-110°=120°$$

Z relacji między kątami wpisanymi i środkowymi wiemy, że kąt \(LKM\) będzie dwa razy mniejszy od kąta \(MOL\), zatem:
$$|\sphericalangle LKM|=|\sphericalangle MOL|:2=120°:2=60°$$

B

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma średnicę równą przeciwprostokątnej. W związku z tym:
$$a^2+b^2=d^2 \\
12^2+9^2=d^2 \\
144+81=d^2 \\
d^2=225 \\
d=15$$

Skoro średnica okręgu jest równa \(d=15\), to promień będzie miał długość \(r=\frac{15}{2}\).

B

Spośród liczb od \(1\) do \(30\) tylko pięć jest kwadratem liczby całkowitej. Są to:
$$1,4,9,16,25$$

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb będzie więc równe:
$$p=\frac{5}{30}$$

A

Krok 1. Zapisanie zależności między długościami boków.
Trójkąty \(EFG\) oraz \(HIG\) są trójkątami podobnymi. To oznacza, że między stosunkami długości boków zajdzie poniższa równość:
$$\frac{|EF|}{|HI|}=\frac{|GF|}{|GI|}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FI\).
Podstawiając pod \(|GF|\) sumę odcinków \(|GI|+|FI|\) będziemy mieli równanie, z którego wyznaczymy poszukiwaną długość odcinka \(|FI|\):
$$\frac{|EF|}{|HI|}=\frac{|GI|+|FI|}{|GI|} \\
\frac{21}{7}=\frac{3+|FI|}{3} \\
3=\frac{3+|FI|}{3} \\
9=3+|FI| \\
|FI|=6$$

D

Krok 1. Obliczenie rzeczywistych wymiarów prostokąta.
Skala \(1:20\;000\) oznacza, że \(1cm\) na mapie odpowiada \(20\;000cm\) w rzeczywistości (czyli \(200m\)). Przeliczmy więc długości odcinków na mapie na rzeczywistą długość:
$$2cm=2\cdot200m=400m \\
5cm=5\cdot200m=1000m$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Pole powierzchni parku jest więc równe:
$$P=400m\cdot1000m=400\;000m^2$$

C

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem:
$$m=1-2m \\
3m=1 \\
m=\frac{1}{3}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
To zadanie będzie znacznie łatwiejsze kiedy naszkicujemy sobie układ współrzędnych z oznaczonymi punktami \(M\) oraz \(N\). Na podstawie tego rysunku możemy stwierdzić, że mówimy o okręgu o środku \(S=(2;-2)\), którego promień jest równy \(2\).

Krok 2. Zapisanie poprawnego równania okręgu.
Równanie okręgu przybiera postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to długość promienia.
Uważając na znaki możemy więc nasze równanie zapisać jako:
$$(x-2)^2+(y-(-2))^2=2^2 \\
(x-2)^2+(y+2)^2=4$$

D

Krok 1. Wyznaczenie wysokości walca.
Do wyznaczenia pola powierzchni bocznej walca brakuje nam jego wysokości. Obliczymy ją korzystając ze wzoru na objętość:
$$V=πr^2H \\
96π=π\cdot4^2\cdot H \\
96π=16π\cdot H \\
H=6$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej walca.
$$P_{b}=2πrH \\
P_{b}=2π\cdot4\cdot6 \\
P_{b}=48π$$

B

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy podstawiając do wzoru na objętość tej bryły wszystkie dane z treści zadania, pamiętając że w podstawie tego ostrosłupa mamy kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny):
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot144\cdot H \\
432=48\cdot H \\
H=9$$

\(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność przedstawiona jest w postaci iloczynowej, tak więc bardzo szybko jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe - wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera.
$$(2x-3)(3-x)=0 \\
2x-3=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\
2x=3 \quad\lor\quad x=3 \\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Musimy teraz określić kształt naszej paraboli. Gdybyśmy pomnożyli przez siebie wszystkie czynniki to otrzymalibyśmy między innymi \(-2x^2\), tak więc współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie nam ujemny. To z kolei oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczmy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i na podstawie wykresu określmy przedział rozwiązań podanej nierówności.



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie: \(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono przekształcając podane równanie.

Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \\
\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \\
0\le a^2-2ab+b^2 \\
0\le (a-b)^2$$

Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) lub \(2a^2+2b^2\ge4ab\) lub \(a^2+b^2-2ab\ge0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wartość wyrażenia jest równa \(\sqrt{3}\).

Krok 1. Sprowadzenie składników wyrażenia do wspólnego mianownika.
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}= \\
=\frac{sinα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}{cosα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}+\frac{\color{blue}{(cosα)}\cdot cosα}{\color{blue}{(cosα)}\cdot(1+sinα)}= \\
=\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia przy wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}= \\
=\frac{\cancel{sinα+1}}{cosα\cdot\cancel{(1+sinα)}}= \\
=\frac{1}{cosα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=1:\frac{\sqrt{3}}{3}= \\
=1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$

Z otrzymanego wyniku możemy jeszcze usunąć niewymierność znajdującą się w mianowniku:
$$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do wspólnego mianownika (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy uprościsz wyrażenie do postaci \(\frac{1}{cosα}\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(sinα=\sqrt{\frac{2}{3}}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(r=14\)

Krok 1. Utworzenie równania i wyliczenie wartości \(x\).
Różnicę ciągu obliczymy odejmując od siebie wartości dwóch kolejnych wyrazów:
$$r=a_{n}-a_{n-1}$$

W naszym przypadku możemy odjąć od drugiego wyrazu pierwszy, ale także od trzeciego wartość wyrazu drugiego. Skoro oba wyniki będą sobie równe, to możemy to zapisać w postaci prostego równania:
$$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2} \\
2x+4-6=x+26-(2x+4) \\
2x-2=x+26-2x-4 \\
3x=24 \\
x=8$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Wystarczy teraz pod dwa kolejne wyrazy podstawić \(x=8\) (poznając tym samym ich wartości) i korzystając ze wzoru na różnicę otrzymamy:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=2x+4-6 \\
r=2\cdot8-2 \\
r=14$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy stworzysz odpowiedni układ równań rozpisując wzór na drugi i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, czyli (\(2x+4=6+r\) oraz \(x+26=6+2r\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{13}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro z pierwszego zbioru losujemy jedną z pięciu liczb i z drugiego także jedną z pięciu, to zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są w tym przypadku takie dwie liczby, których iloczyn jest dodatni. Teoretycznie moglibyśmy wypisać tu wszystkie możliwe kombinacje, ale możemy też zrobić to nieco bardziej matematycznie.

Aby wynik mnożenia dwóch liczb był dodatni, to te dwie liczby muszą mieć identyczny znak (mogą to być dwie liczby dodatnie lub dwie ujemne).
Dwie liczby dodatnie możemy wybrać na \(3\cdot3=9\) sposobów.
Dwie liczby ujemne możemy wybrać na \(2\cdot2=4\) sposoby.

Zatem \(|A|=9+4=13\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono opisując trójkąt \(DBC\) na okręgu.

Wiedząc, że punkt \(E\) przecina odcinek \(BC\) na dwie równe części możemy z tego punktu narysować okrąg oparty na trójkącie prostokątnym \(DBC\).



Z własności trójkąta prostokątnego opisanego na okręgu wynika, że przeciwprostokątna trójkąta jest równa długości średnicy okręgu, a tym samym odcinki \(CE\) oraz \(EB\) mają długość równą długości promienia (patrz rysunek). Jeśli przypatrzymy się rysunkowi, to zobaczymy że także odcinek \(DE\) ma długość równą promieniowi (bo jest to odcinek od krawędzi okręgu do środka okręgu. Zatem wiemy już na pewno, że \(|CE|=|DE|=r\).

W treści zadania mamy podaną informację o tym, że \(|CD|=|DE|\), a skoro tak, to rzeczywiście trójkąt \(CDE\) jest równoboczny, a długość jego wszystkich boków jest równa długości promienia okręgu opisanego na trójkącie \(DBC\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że punkt \(E\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(CDB\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i analiza danych z treści zadania.



Dorysujmy sobie wysokość naszego ostrosłupa, bo będzie nam ona potrzebna do obliczenia objętości. Widzimy wyraźnie, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACS\). Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wszystkie ramiona trójkąta \(ACS\) mają tą samą długość (patrz kolor pomarańczowy na rysunku), a więc na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ale... okazuje się, że on jest nawet nie tyle równoramienny, co równoboczny. Skąd to wynika? Wiemy, że między pomarańczowymi ramionami kąt ma miarę \(60°\). To oznacza, że kąty przy podstawie muszą mieć łącznie \(180°-60°=120°\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą mieć tą samą miarę, czyli każdy z nich ma\(120°:2=60°\). Z tego wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ACS\) będą mieć \(60°\).

Dostrzeżenie tej własności bardzo ułatwia nam rozwiązanie zadania, bo w tablicach mamy bezpośredni wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Gdybyśmy nie zauważyli że to trójkąt równoboczny, to moglibyśmy próbować obliczyć wysokość z tangensa w trójkącie \(AOS\).

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy na pewno kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Długość tej przekątnej jest podana w treści i wynosi \(|AC|=4\sqrt{2}\), zatem w podstawie mamy kwadrat o boku \(4\). To oznacza, że jego pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=4^2 \\
P_{p}=16$$

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=4\sqrt{2}\). Ta przekątna kwadratu jest jednocześnie podstawią naszego trójkąta równobocznego \(ACS\), a więc wysokość obliczymy w następujący sposób:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{2} \\
H=2\sqrt{6}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, więc możemy podstawić dane i obliczyć objętość ostrosłupa.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{6} \\
V=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy pole podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(v_{Nowak}=36\frac{km}{h}\) oraz \(v_{Kowalski}=25\frac{km}{h}\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i ułożenie z nich układu równań.
\(v\) - średnia prędkość Nowaka (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy Nowaka (w godzinach)
\(v-11\) - średnia prędkość Kowalskiego (bo jest o \(11\frac{km}{h}\) mniejsza od Nowaka}
\(t+\frac{11}{6}\) - czas jazdy Kowalskiego (bo jest o \(110\) minut dłuższy od czasu Nowaka, a \(110\) minut to \(\frac{11}{6}\) godziny)
\(s=150\) - długosć trasy (w kilometrach)

Do ułożenia układu równań skorzystamy ze wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \quad\Rightarrow\quad s=vt$$

\begin{cases}
150=vt \\
150=(v-11)\cdot(t+\frac{11}{6})
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Z pierwszego równania wychodzi nam, że \(t=\frac{150}{v}\). Podstawiając tę wartość do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
150=(v-11)\cdot\left(\frac{150}{v}+\frac{11}{6}\right) \quad\bigg/\cdot 6v \\
900v=(v-11)\cdot(900+11v) \\
\cancel{900v}=\cancel{900v}+11v^2-9900-121v \\
11v^2-121v-9900=0 \quad\bigg/:11 \\
v^2-11v-900=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-11,\;c=-900\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot1\cdot(-900)=121-(-3600)=121+3600=3721 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3721}=61$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-61}{2\cdot1}=\frac{11-61}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+61}{2\cdot1}=\frac{11+61}{2}=\frac{72}{2}=36$$

Krok 4. Interpretacja wyników i obliczenie prędkości jazdy pana Nowaka i Kowalskiego.
Ujemną prędkość musimy odrzucić, stąd też zostaje nam jedynie \(v=36\frac{km}{h}\) i jest to zgodnie z naszymi oznaczeniami prędkość pana Nowaka. Pozostaje nam jeszcze do obliczenia prękość pana Kowalskiego, która wyniesie:
$$36\frac{km}{h}-11\frac{km}{h}=25\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=(3;3)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie poszczególne punkty w układzie współrzędnych oraz narysujmy prostą, której wzór jest podany w treści zadania i która zawiera się w jednym z ramion. Równanie naszej prostej po przekształceniu do postaci kierunkowej możemy zapisać jako \(y=2x-3\), co oznacza że współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni. Prosta jest więc rosnąca i to właśnie na niej znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(C\) i jak się za chwilę okaże, znajdzie się tam też punkt \(A\).



Krok 2. Wyznaczenie symetralnej odcinka \(AB\).
Generalnie naszym celem jest wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(C\). Aby go wyznaczyć musimy znać wzory dwóch prostych, z których zbudujemy układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne przecięcia się prostych (czyli współrzędne punktu \(C\)). Jedną prostą już mamy (jest podana w treści zadania) i teraz musimy jakoś wyznaczyć drugą prostą, która przez ten punkt \(C\) przejdzie. Oczywiście nie wyznaczymy wzoru prostej \(BC\), no bo właśnie brakuje nam tej współrzędnej \(C\). Co wiec możemy zrobić?

Możemy wyznaczyć równanie prostej, która jest prostopadła do odcinka \(AB\) i która przechodzi przez środek tego odcinka. Ta prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(C\) bo będzie to tak naprawdę wysokość trójkąta równoramiennego, a wiemy że w trójkątach równoramiennych wysokość pada dokładnie na środek podstawy. Czyli chcąc standardowo rozwiazać to zadanie moglibyśmy wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (bo znamy odpowiednie wierzchołki), następnie wyznaczylibyśmy środek tego odcinka (wyszłoby nam, że \(S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})\)) no i na sam koniec wyznaczylibyśmy wzór prostej prostopadłej do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S\). Ja jednak pokażę Ci jak można byłoby taką symetralną wyznaczyć nieco prościej:

Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny w którym \(|AC|=|CB|\). Skoro znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), to możemy je podstawić do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=|CB| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}$$

Dla przejrzystości obliczeń podnieśmy do potęgi obie strony równania i przyjmijmy że \(x_{c}=x\) oraz \(y_{c}=y\).
$$\require{cancel}
(x-x_{A})^2+(y-y_{A})^2=(x_{B}-x)^2+(y_{B}-y)^2 \\
(x-2)^2+(y-1)^2=(5-x)^2+(2-y)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+\cancel{4}+\cancel{y^2}-2y+1=25-10x+\cancel{x^2}+\cancel{4}-4y+\cancel{y^2} \\
2y=-6x+24 \quad\bigg/:2 \\
y=-3x+12$$

Udało nam się otrzymać kolejny wzór prostej, która przechodzi przed punkt \(C\) i jest to właśnie symetralna odcinka \(AB\).

Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z wyznaczonego w drugim kroku równania prostej i z równania podanego w treści zadania (który po przekształceniu jest równy \(y=2x-3\)) możemy stworzyć taki mały układ równań. Obrazowo rzecz ujmując - te dwie proste przetną się w punkcie \(C\), a wiemy z interpretacji geometrycznej układu równań, że miejsce przecięcia się dwóch prostych jest właśnie rozwiązaniem układu równań. Zatem:
\begin{cases}
y=-3x+12 \\
y=2x-3
\end{cases}

Rozwiązując metodę podstawiania otrzymamy:
$$-3x+12=2x-3 \\
15=5x \\
x=3$$

Znając współrzędną \(x\) możemy już bez problemu obliczyć współrzędną \(y\):
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot3-3 \\
y=3$$

To oznacza, że poszukiwane przez nas współrzędne to \(C=(3;3)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie symetralnej prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań składający się ze wzorów dwóch prostych (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy popełnisz po drodze błąd rachunkowy, ale konsekwentnie do niego rozwiążesz całe zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.