Matura próbna – Matematyka – Operon 2018 – Odpowiedzi

B

Zamieniając liczbę \(49\) na \(7^2\) oraz korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$49^{-6}:7^{-15}=(7^2)^{-6}:7^{-15}=7^{-12}:7^{-15}= \\
=7^{-12-(-15)}=7^{-12+15}=7^3$$

B

Aby rozwiązać ten logarytm skorzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$$

Korzystając z tego wzoru możemy rozpisać logarytmy znajdujące się w nawiasie, otrzymując w ten sposób:
$$log_{3}(log30-log3)=log_{3}\left(log\frac{30}{3}\right)=log_{3}(log10)$$

Teraz musimy pamiętać o tym, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log10\) to tak naprawdę \(log_{10}10\). A ile jest równy \(log_{10}10\)? Taki logarytm jest równy \(1\), bo \(10^1=10\). W związku z tym:
$$log_{3}(log10)=log_{3}1=0$$

Wartość tego logarytmu jest równa \(0\), bo \(3^0=1\).

B

Aby otrzymać liczbę odwrotną wystarczy zamienić miejscami licznik z mianownikiem. W ten sposób otrzymamy liczbę \(\frac{3}{\sqrt{6}-3}\). To jednak nie koniec zadania, bo dodatkowo będziemy musieli wykonać jeszcze usunięcie niewymierności z mianownika. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{3}{\sqrt{6}-3}=\frac{3\cdot(\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{6}-3)\cdot(\sqrt{6}+3)}= \\
=\frac{3\sqrt{6}+9)}{(6-9)}=\frac{3\sqrt{6}+9)}{-3}=-\sqrt{6}-3$$

B

Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(x=235,40\)
\(p=240\), bo \(240\) jest przybliżeniem do pełnych dziesiątek liczby \(235,40\)

Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|235,40-240|}{235,40}=\frac{|-4,60|}{235,40}=\frac{4,60}{235,40}\approx0,0195\approx1,95\%$$

D

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$2-2(\sqrt{3}-1)^2=2-2\cdot(3-2\sqrt{3}+1)=2-2\cdot(4-2\sqrt{3})= \\
=2-8+4\sqrt{3}=-6+4\sqrt{3}\approx-6+6,92\approx0,92$$

To oznacza, że ta liczba należy do przedziału \((0;1)\).

A

Najprościej będzie rozpocząć rozwiązywanie naszej nierówności od pomnożenia obydwu stron przez \(6\), pozbędziemy się wtedy wszystkich ułamków. Trzeba tutaj pamiętać, że po lewej stronie mamy odejmowanie, zatem musimy przez \(6\) wymnożyć każdy jednomian:
$$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6} \quad\bigg/\cdot6 \\
2-3x\lt1 \\
-3x\lt-1 \quad\bigg/:(-3) \\
x\gt\frac{1}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak na przeciwny, tak jak przy tym ostatnim przekształceniu.

C

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż nie istnieje w matematyce dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). W związku z tym:
$$x-3\neq0 \\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przejść do rozwiązywania równania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość, która znajduje się w mianowniku, czyli przez \(x-3\):
$$\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3) \\
3x(x^2-9)=0$$

Aby to równanie było równe \(0\), to albo \(3x\) albo \(x^2-9\) musi być równe \(0\), zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=3\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-3\).

D

Przedział argumentów dla których funkcja jest rosnąca odczytujemy z osi iksów. Widzimy wyraźnie, że funkcja rośnie od argumentu \(x=-3\) aż do argumentu \(x=0\), zatem przedziałem w którym ta funkcja rośnie będzie \(\langle-3;0\rangle\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co będziemy liczyć, to zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:


Z rysunku wynika, że jak poznamy współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\) to tak naprawdę poznamy długości boków naszego trójkąta, a stąd będzie już prosta droga do obliczenia pola figury.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt \(A\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią igreków. Funkcja przecina się z osią igreków dla argumentu \(x=0\), zatem już wiemy, że \(A=(0;y)\). Podstawiając \(x=0\) otrzymamy współrzędną igrekową punktu \(A\), czyli:
$$f(0)=\frac{8-3\cdot0}{2} \\
f(0)=\frac{8-0}{2} \\
f(0)=\frac{8}{2} \\
f(0)=4$$

To oznacza, że funkcja przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów. Funkcja przecina się z osią iksów dla wartości \(y=0\), zatem już wiemy, że \(B=(x;0)\). Podstawiając \(y=0\) otrzymamy współrzędną iksową punktu \(B\), czyli:
$$0=\frac{8-3x}{2} \\
0=8-3x \\
3x=8 \\
x=\frac{8}{3}$$

To oznacza, że funkcja przecina oś iksów w punkcie \(B=\left(\frac{8}{3};0\right)\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Po wyznaczeniu współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\) i po spojrzeniu na nasz szkicowych rysunek jasno wynika, że podstawa trójkąta ma długość \(a=\frac{8}{3}\), natomiast wysokość trójkąta to \(h=4\). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot4 \\
P=\frac{32}{6} \\
P=5\frac{1}{3}$$

A

Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (mamy minus przed postacią iloczynową). To oznacza, że nasza funkcja będzie mieć mniej więcej taki oto wygląd:


Możemy więc już wywnioskować, że zbiorem wartości będzie przedział od \(-\infty\) aż do wartości w wierzchołku paraboli.

Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy wartości przyjmowanej w tym wierzchołku, czyli szukamy współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). I teraz możemy dojść do tej współrzędnej \(q\) na dwa sposoby:

I sposób - wyznaczając wartość współrzędnej \(p\) i podstawiając ją do wzoru funkcji:
Z postaci iloczynowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(-7\) oraz \(3\). Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie dokładnie pomiędzy tymi dwoma miejscami zerowymi (to wynika z własności wierzchołka), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$p=\frac{-7+3}{2} \\
p=\frac{-4}{2} \\
p=-2$$

Teraz znając wartość \(p=-2\) możemy podstawić \(x=-2\) do wzoru funkcji, dzięki czemu otrzymamy wartość funkcji przyjmowaną w wierzchołku. Zatem:
$$f(-2)=-(-2+7)(-2-3) \\
f(-2)=-(5)(-5) \\
f(-2)=25$$

To oznacza, że wartość przyjmowana w wierzchołku paraboli jest równa \(25\), czyli zbiorem wartości funkcji będzie \((-\infty ;25\rangle\).

II sposób - obliczając wartość \(q\) ze wzoru z tablic:
W tej metodzie skorzystamy ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Aby jednak móc skorzystać z tego wzoru musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, a następnie musimy policzyć tak zwaną deltę.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Aby móc obliczyć wartość \(q\) musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, zatem:
$$-(x+7)(x-3)=-(x^2-3x+7x-21)= \\
=-(x^2+4x-21)=-x^2-4x+21$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Mając postać ogólną możemy już policzyć deltę, która znalazła się w liczniku wzoru na \(q\), zatem:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-100}{4\cdot(-1)} \\
q=\frac{-100}{-4} \\
q=25$$

To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział \((-\infty ;25\rangle\).

D

Chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w prawo/lewo musimy zmienić wartość stojącą przy iksie. Przesunięcie o dwie jednostki w prawo oznacza, że wartość iksa należy pomniejszyć o \(2\) (gdybyśmy przesuwali w lewo, to wartość iksa należałoby powiększyć o \(2\)). Skoro więc iks znajduje się w potędze, to musimy pomniejszyć wykładnik tej potęgi o \(2\), zatem \(g(x)=-3^{x-2}\).

C

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Aby sprawdzić ile dodatnich wyrazów ma ten ciąg wystarczy rozwiązać prostą nierówność:
$$-2n+2018\gt0 \\
-2n\gt-2018 \\
n\lt1009$$

Uwaga na zmianę znaku - kiedy mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to musimy zmienić znak na przeciwny.

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną. Musimy więc ustalić ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(1009\) (bo \(n\) wyszło nam mniejsze od \(1009\)). Takich liczb będzie oczywiście \(1008\) (od \(1\) do \(1008\)), zatem tyle też będziemy mieli dodatnich wyrazów naszego ciągu.

C

Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg.
Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{6}{4} \\
q=\frac{3}{2}$$

Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\).

Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}} \\
S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}} \\
S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right) \\
S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2) \\
S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$

Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując:
$$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \\
S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \\
S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$

A

Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów.
Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2} \\
a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\
2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\
\text{oraz} \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=12 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12 \\
3a_{1}+3r=12$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego.
Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań:
\begin{cases}
2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\
3a_{1}+3r=12
\end{cases}

Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania:
\begin{cases}
r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \\
3a_{1}+3r=12
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12 \\
3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12 \\
-3a_{1}=-4\frac{1}{2} \\
a_{1}=1\frac{1}{2}$$

C

Tangens przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dla kąta \(30°\). W związku z tym:
$$\frac{α}{3}=30° \\
α=90°$$

D

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru \(P=ah\). Skoro \(P=180\) oraz \(h=12\), to:
$$180=a\cdot12 \\
a=15$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby dobrze wiedzieć co tak naprawdę musimy policzyć to zróbmy sobie prosty rysunek szkicowy:


Krok 3. Obliczenie sinusa kąta ostrego rombu.
Sinus kąta ostrego będzie równy stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta \(α\) względem długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{12}{15} \\
sinα=\frac{4}{5} \\
sinα=0,8$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DEA\).
Kąty \(DEA\) oraz \(AEC\) są kątami przyległymi. Z własności kątów przyległych wynika, że suma ich miar jest równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle DEA|=180°-100°=80°$$

Krok 2. Obliczenie sumy miar kątów \(α+β\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Wiemy już, że miara kąta \(DEA\) jest równa \(80°\). Skoro więc suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), to:
$$α+β+|\sphericalangle DEA|=180° \\
α+β+80°=180° \\
α+β=100°$$

A

Najlepiej będzie rozpisać sobie poszczególne fazy rozrostu populacji bakterii:
• Na początku mamy \(K\) bakterii.
• Po upływie \(1\) okresu (czyli po \(20\) minutach) mamy \(K\cdot2\) bakterii.
• Po upływie \(2\) okresów (czyli po \(40\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2=K\cdot2^2\) bakterii.
• Po upływie \(3\) okresów (czyli po \(60\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2\cdot2=K\cdot2^3\) bakterii.

Rozpisując to w ten sposób powinniśmy dostrzec, że:
• Po jednej godzinie mamy \(K\cdot2^3\) bakterii.
• Po dwóch godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^6\) bakterii.
• Po trzech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^9\) bakterii.
• Po czterech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{12}\) bakterii.

I tu już powinniśmy zauważyć, że po \(n\) godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{3n}\) bakterii.

D

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) możemy obliczyć długość odcinka \(AC\) korzystając z następującego wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-5-1)^2+(3-(-3))^2} \\
|AC|=\sqrt{(-6)^2+(3+3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-6)^2+6^2} \\
|AC|=\sqrt{36+36} \\
|AC|=\sqrt{72} \\
|AC|=6\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu. Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2} \\
a=6$$

A

Zastanówmy się na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr naszej liczby czterocyfrowej (rząd tysięcy, setek, dziesiątek, jedności):
• w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda cyfra oprócz \(0\), bo nie ma takiej liczby jak \(0328\). To oznacza, że mamy \(9\) możliwości uzupełnienia rzędu tysięcy.
• w rzędzie setek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tej która była w rzędzie tysięcy (bo cyfry mają się nie powtarzać). To oznacza, że mamy \(10-1=9\) możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych dwóch które były w rzędzie tysięcy oraz setek. To oznacza, że mamy \(10-2=8\) możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• w rzędzie jedności może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych trzech które były w rzędzie tysięcy, setek oraz dziesiątek. To oznacza, że mamy \(10-3=7\) możliwości uzupełnienia rzędu setek.

Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że liczba wszystkich interesujących nas liczb czterocyfrowych będzie równa:
$$9\cdot9\cdot8\cdot7$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej monecie może nam wypaść orzeł lub reszka. Skoro rzucamy naszą monetą trzykrotnie to wszystkich możliwych kombinacji zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesuje nas sytuacja w której raz wypadnie reszka, czyli sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(ROO), (ORO), (OOR)$$

Są to trzy zdarzenia, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Mamy sześć cyfr i ich średnia arytmetyczna jest równa \(6\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{5+8+1+3+x+8}{6}=6 \\
\frac{25+x}{6}=6 \\
25+x=36 \\
x=11$$

Krok 2. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku niemalejącym, czyli w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$1,3,5,8,8,11$$

Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Mamy sześć liczb, czyli jest to parzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{5+8}{2} \\
m=\frac{13}{2} \\
m=6,5$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając na rysunku kluczowy trójkąt prostokątny otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. W tym przypadku będzie to kwadrat. Wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro bok kwadratu ma długość \(4\), to przekątna będzie mieć długość \(d=4\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości połowy przekątnej podstawy.
Jak spojrzymy na nasz trójkąt prostokątny zaznaczony na rysunku szkicowym, to zauważymy że do obliczenia długości wysokości bryły potrzebujemy połowy przekątnej podstawy. Skoro tak, to piszemy, że:
$$PC=4\sqrt{2}:2 \\
PC=2\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie długości wysokości graniastosłupa.
Patrząc się na zaznaczony niebieski trójkąt prostokątny i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{2})^2+H^2=12^2 \\
4\cdot2+H^2=144 \\
8+H^2=144 \\
H^2=136 \\
H=\sqrt{136} \quad\lor\quad H=-\sqrt{136}$$

Wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{136}\). Aby dopasować się do odpowiedzi, to musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, czyli:
$$H=\sqrt{136}=H=\sqrt{4\cdot34}=2\sqrt{34}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Wzór na objętość kuli to \(V=\frac{4}{3}π\cdot r^3\). Wzór na objętość walca to \(V=πr^2\cdot H\). Te objętości mają być sobie równe, zatem powstaje nam do rozwiązania następujące równanie:
$$\frac{4}{3}π\cdot r^3=πr^2\cdot H$$

Podstawiając teraz do objętości kuli wartość \(r=6cm\) oraz do objętości walca wartość \(H=4,5cm\) otrzymamy:
$$\frac{4}{3}π\cdot6^3=πr^2\cdot4,5 \quad\bigg/:π \\
\frac{4}{3}\cdot6^3=r^2\cdot4,5 \\
\frac{4}{3}\cdot216=r^2\cdot4,5 \quad\bigg/:4,5 \\
\frac{4}{3}\cdot48=r^2 \\
64=r^2 \\
r=8 \quad\lor\quad r=-8$$

Długość promienia nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(r=8\), czyli promień ma długość \(8cm\).

Krok 2. Obliczenie długości średnicy podstawy walca.
Obliczyliśmy, że promień walca ma długość \(8cm\), ale nas w zadaniu proszą o podanie długości średnicy. Średnica jest dwukrotnie dłuższa od promienia, zatem jej długość będzie równa \(2\cdot8cm=16cm\).

\(x\in\left(-3;8\frac{1}{2}\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$(2x-5)(3-x) \gt -66 \\
6x-2x^2-15+5x \gt -66 \\
6x-2x^2-15+5x+66 \gt 0 \\
-2x^2+11x+51\gt0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Teraz zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności szukamy miejsc zerowych, czyli przyrównujemy wartość \(-2x^2+11x+51\) do zera. Mamy więc do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej \(-2x^2+11x+51=0\), które rozwiążemy klasycznie obliczając deltę:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=11,\;c=51\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot(-2)\cdot51=121-(-408)=121+408=529 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{529}=23$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-23}{2\cdot(-2)}=\frac{-34}{-4}=8\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+23}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Rysujemy oś, zaznaczamy wyznaczone miejsce zerowe i szkicujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe od zera, zatem patrzymy się na to co jest nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem nierówności jest przedział.
$$x\in\left(-3;8\frac{1}{2}\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(|DP|=4,5\); \(|CD|=9\) oraz \(|AB|=24\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
W naszym trapezie trójkąty \(ABP\) oraz \(DCP\) są trójkątami podobnymi, bo mają one identyczne miary kątów (cecha kąt-kąt-kąt). Ogólnie warto pamiętać o tej własności trapezów, a wynika ona wprost z własności kątów naprzemianległych i wierzchołkowych:


Aby łatwiej było dostrzec poszczególne zależności w trójkątach podobnych, to narysujmy sobie te dwa trójkąty obok siebie, zaznaczając przy okazji wymiary z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(DP\).
Skoro trójkąty \(ABP\) oraz \(DCP\) są podobne to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|BP|}{|DP|}=\frac{|AP|}{|CP|} \\
\frac{12}{|DP|}=\frac{|8|}{|3|}$$

Mnożąc teraz na krzyż otrzymamy:
$$12\cdot3=|DP|\cdot8 \\
8|DP|=36 \\
|DP|=4,5$$

Krok 3. Obliczenie długości podstawy \(CD\).
Ponownie korzystając z trójkątów podobnych i z informacji o tym, że podstawy \(AB\) oraz \(CD\) różnią się o \(15\) możemy zapisać, że:
$$\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{|AP|}{|CP|} \\
\frac{x+15}{x}=\frac{8}{3}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$(x+15)\cdot3|=x\cdot8 \\
3x+45=8x \\
45=5x \\
x=9$$

To oznacza, że \(|CD|=9\).

Krok 4. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Podstawa \(AB\) jest o \(15\) dłuższa od podstawy \(CD\), zatem:
$$|AB|=|CD|+15 \\
|AB|=9+15 \\
|AB|=24$$

Uwaga: To zadanie ma zaszyty w sobie pewien ciekawy błąd, bowiem taki trapez nie istnieje. Skąd to wiemy? Jak spojrzymy na trójkąt \(ABP\) to zauważymy, że jego boki mają długość \(24, 12, 8\). Taki trójkąt nie może istnieć, bo jedną z własności trójkątów jest to, że suma dwóch krótszych boków trójkąta musi być większa niż długość najdłuższego boku trójkąta. W naszym przypadku suma dwóch najkrótszych boków jest równa \(8+12=20\), czyli jest mniejsza od \(24\). To jest dowód na to, że trapez o wymiarach boków z treści zadania tak naprawdę nie istnieje.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.) i układając proporcję wyznaczysz poprawnie długość jednego z odcinków (patrz: Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono rozpisując liczbę z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2= \\
=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)= \\
=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jeżeli liczby \(a\) oraz \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez \(2\) (a pomnożymy ją przez \(2\), bo mamy zapis \(2ab\)) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez \(4\). W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(2ab\) (patrz: Krok 1.), ale nie wyciągniesz z tego wyniku żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(tgα=-\frac{3}{4}\)

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Wiedząc, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) możemy bez przeszkód obliczyć wartość samego sinusa:
$$sin^2α=\frac{9}{25} \\
sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz informacji o tym, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\frac{9}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{16}{25} \\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest rozwarty, a dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje ujemne wartości. Zatem dodatnie rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam \(cosα=-\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy już bez przeszkód obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} \\
tgα=\frac{3}{5}:\left(-\frac{4}{5}\right) \\
tgα=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{4}\right) \\
tgα=-\frac{3}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.) oraz dostrzeżesz, że \(cos^2α=\frac{16}{25}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość cosinusa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie przyjmiesz, że \(cosα=\frac{4}{5}\), a w konsekwencji do tego błędu wyjdzie Ci \(tgα=\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(b=12\), \(c=9\)

Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Choć nie jest to zapisane wprost, to z treści zadania możemy wyczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oś symetrii paraboli wskazuje nam pierwszą współrzędną, czyli współrzędną \(p\), bowiem oś symetrii przechodzi właśnie przez wierzchołek. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=2\), to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będzie równa właśnie \(p=2\).

Drugą współrzędną wskazuje nam zbiór wartości funkcji. Funkcja zawsze ma najmniejszą lub największą wartość w swoim wierzchołku. Skoro maksymalną wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest \(21\), to taka też będzie druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(q=21\).

Możemy więc stwierdzić, że \(W=(2;21)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Wiemy, że \(a=-3\), bo wynika to z zapisu funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=-3x^2+bx+c\). Wiemy też jakie są współrzędne wierzchołka, czyli \(p=2\) oraz \(q=21\), zatem:
$$f(x)=-3(x-2)^2+21$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Teraz znając już wzór funkcji w postaci kanonicznej możemy przekształcić go do postaci ogólnej z której to potem odczytamy potrzebne współczynniki.
$$f(x)=-3(x-2)^2+21 \\
f(x)=-3(x^2-4x+4)+21 \\
f(x)=-3x^2+12x-12+21 \\
f(x)=-3x^2+12x+9$$

To oznacza, że współczynnik \(b=12\) oraz \(c=9\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz funkcję w postaci kanonicznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(b\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu.

Krok 1. Dostrzeżenie odcinków o jednakowej długości.
Z własności stycznych do okręgu powinniśmy zauważyć trzy pary boków o identycznych miarach:
$$|DC|=|AD| \\
|CE|=|BE| \\
|AF|=|BF|$$

Krok 2. Rozpisanie długości obwodu trójkąta.
Patrząc się na rysunek możemy zapisać, że obwód trójkąta będzie równy:
$$Obw=|EF|+|DF|+|DC|+|CE|$$

W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że odcinek \(DC\) ma taką samą miarę jak odcinek \(AD\) oraz że odcinek \(CE\) ma taką samą miarę jak odcinek \(BE\). Podmieniając te dwa odcinki w naszym powyższym zapisie otrzymamy:
$$Obw=\color{green}{|EF|}+\color{blue}{|DF|+|AD|}+\color{green}{|BE|}$$

Teraz spójrzmy na nasze działanie. Z treści zadania wynika, że odcinek \(AF\) ma długość \(x\), a na odcinek \(AF\) składa się suma \(\color{blue}{|AD|+|DF|}\). Podobnie jest z odcinkiem \(BF\) na którego składa się suma \(\color{green}{|BE|+|EF|}\). To by oznaczało, że:
$$Obw=|AF|+|BF| \\
Obw=x+x \\
Obw=2x$$

Otrzymaliśmy oczekiwaną wartość, zatem dowodzenie można uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz trzy pary odcinków o równej długości (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{2}{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zastanówmy się jakie odcinki mogą nam wyjść kiedy wylosujemy dwa wierzchołki sześciokąta. Możemy spotkać się z jedną z trzech sytuacji:


• w pierwszej sytuacji kiedy wylosowane punkty są sąsiadującymi wierzchołkami to otrzymamy odcinek o długości \(1\).
• w drugiej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć dłuższą przekątną sześciokąta. Jej długość jest równa \(1+1=2\), co widać wyraźnie na naszym rysunku (dłuższe przekątne podzieliły nam sześciokąt na sześć trójkątów równobocznych).
• w trzeciej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć krótszą przekątną sześciokąta. Jej długość jest zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) równa \(\sqrt{3}\).

Krok 2. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Analizując nasz sześciokąt możemy dostrzec, że losując dwa dowolne wierzchołki możemy otrzymać:
• \(6\) boków o długości \(1\) (to będą boki sześciokąta)
• \(3\) dłuższe przekątne o długości \(2\)
• \(6\) krótszych przekątnych o długości \(\sqrt{3}\) (utworzą one taką gwiazdkę)



Łącznie jest to \(6+3+6=15\) różnych odcinków. Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=15\).

Krok 3. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi będzie wylosowanie odcinka o długości niewymiernej, czyli w tym przypadku o długości \(\sqrt{3}\). Mamy takich \(6\) odcinków, zatem \(|A|=6\).

Krok 4. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

UWAGA: Zadanie jest dość mylące, bowiem tak prawdę mówiąc nigdzie nie jest powiedziane, że nie można byłoby wylosować dwóch tych samych wierzchołków i tym samym długość takiego odcinka byłaby równa \(0\). Powiększyłaby nam się w ten sposób o \(6\) liczba możliwych zdarzeń elementarnych. Moim zdaniem jeżeli ktoś na prawdziwej maturze obliczyłby to zadanie w taki sposób, otrzymując prawdopodobieństwo równe \(\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\), to zadanie też byłoby uznane.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 3.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=2, b=1\) lub \(a=\frac{1}{2}, b=4\)

Krok 1. Zapisanie równań wynikających z własności ciągów.
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Skoro trzy pierwsze wyrazy, czyli \(4a-5;\;a;\;b\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$

Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Skoro trzy ostatnie wyrazy, czyli \(b;\;b+2;\;9\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$(b+2)^2=b\cdot9 \\
b^2+4b+4=9b \\
b^2-5b+4=0$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(b\).
Z zależności wynikającej z własności ciągów geometrycznych otrzymaliśmy równanie kwadratowe \(b^2-5b+4=0\). Rozwiązaniem tego równania będzie nasza niewiadoma \(b\). Skoro tak, to rozwiążmy to równanie, wykorzystując niezawodną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$b_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot1}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
b_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot1}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Wyszło nam więc, że są dwie możliwości \(b=1\) oraz \(b=4\) i żadnej z nich nie możemy wykluczyć. Obydwie otrzymane odpowiedzi są jak najbardziej prawidłowe.

Krok 3. Obliczenie wartości \(a\).
W pierwszym kroku korzystając z własności ciągów arytmetycznych otrzymaliśmy równanie \(a=\frac{4a-5+b}{2}\). Skoro znamy już wartość \(b\), to możemy teraz obliczyć wartość \(a\). Z racji tego, że otrzymaliśmy dwa warianty naszej liczby \(b\), to musimy to uwzględnić przy wyznaczaniu wartości \(a\):
Jeżeli \(b=1\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2} \\
a=\frac{4a-5+1}{2} \\
a=\frac{4a-4}{2} \\
2a=4a-4 \\
-2a=-4 \\
a=2$$

Jeżeli \(b=4\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2} \\
a=\frac{4a-5+4}{2} \\
a=\frac{4a-1}{2} \\
2a=4a-1 \\
-2a=-1 \\
a=\frac{1}{2}$$

I tu ponownie, żadnego rozwiązania nie możemy wykluczyć. To z kolei oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania: \(a=2, b=1\) lub też \(a=\frac{1}{2}, b=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równania z których można obliczyć liczbę \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość jednej z liczb: \(a\) lub \(b\), ale niepotrzebnie odrzucisz któreś z otrzymanych rozwiązań (patrz: Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz obydwie wartości liczby \(b\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz obydwie wartości liczby \(a\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartości liczb \(a\) oraz \(b\), ale niepotrzebnie odrzucisz któreś z otrzymanych rozwiązań (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymanych rozwiązań nie połączysz w pary tylko zapiszesz, że rozwiązaniem tego zadania są cztery liczby.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(B=(15,8)\), \(C=(9,20)\), natomiast prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(x=9\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic całej sytuacji, tak aby mieć lepszy podgląd na to co trzeba zrobić:


Liniami przerywanymi zostały narysowane wysokości opuszczone z wierzchołka \(B\) oraz \(C\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Z treści zadania (i tym samym z rysunku) wynika, że proste o równaniu \(y=-2x+38\) oraz \(3x+2y-61=0\) przecinają się w punkcie \(B\). Zgodnie z tak zwaną geometryczną interpretacją układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych będzie miejsce ich przecięcia. W ten sposób będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\), zatem:
$$\begin{cases}
y=-2x+38 \\
3x+2y-61=0
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3x+2\cdot(-2x+38)-61=0 \\
3x-4x+76-61=0 \\
-x+15=0 \\
x=15$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=15\):
$$y=-2x+38 \\
y=-2\cdot15+38 \\
y=-30+38 \\
y=8$$

To oznacza, że \(B=(15,8)\).

Krok 3. Zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci kierunkowej.
Prosta \(BD\) będąca wysokością poprowadzoną z wierzchołka \(B\) jest zapisana w postaci ogólnej, a my za chwilę będziemy potrzebować postaci kierunkowej (do wyznaczenia prostej prostopadłej). W związku z tym już teraz przekształćmy ten zapis do wspomnianej postaci kierunkowej:
$$3x+2y-61=0 \\
2y=-3x+61 \\
y=-\frac{3}{2}x+30\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wiemy, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BD\). Z własności prostych prostopadłych wynika, że aby dwie proste były względem prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy równy \(a=-\frac{3}{2}\), zatem prosta \(AC\), czyli prosta prostopadła, będzie mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\). To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=-9\) oraz \(y=8\):
$$y=\frac{2}{3}x+b \\
8=\frac{2}{3}\cdot(-9)+b \\
8=-6+b \\
b=14$$

Skoro współczynnik \(b=14\) to prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+14\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej punktu \(C\).
Zastosujemy identyczny zabieg co przy wyznaczaniu współrzędnych punktu \(B\). Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych \(y=-2x+38\) oraz \(y=\frac{2}{3}x+14\), zatem jego współrzędne obliczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-2x+38 \\
y=\frac{2}{3}x+14
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-2x+38=\frac{2}{3}x+14 \quad\bigg/\cdot3 \\
-6x+114=2x+42 \\
-8x=-72 \\
x=9$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=9\):
$$y=-2x+38 \\
y=-2\cdot9+38 \\
y=-18+38 \\
y=20$$

To oznacza, że \(C=(9,20)\).

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej \(CE\).
Poszukiwana przez nas prosta \(CE\) (czyli wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\)) jest prostopadła do prostej \(AB\). Teoretycznie powinniśmy najpierw obliczyć jakie jest równanie prostej \(AB\), a potem obliczyć równanie prostej \(CE\), ale da się poznać wzór tej prostej znacznie szybciej.

Powinniśmy zauważyć, że punkty \(A\) i \(B\) mają jednakową współrzędną igrekową, czyli leżą "na tej samej linii". Bez żadnych więc obliczeń możemy zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=8\). Prostymi prostopadłymi do tej prostej byłyby więc np. \(x=1\), \(x=3\) czy też \(x=7\). Nas interesuje taka prosta prostopadła, która przejdzie przez punkt \(C=(9,20)\), czyli przejdzie przez współrzędną iksową równą \(9\). Z tego też względu interesująca nas prosta \(CE\) wyrazi się wzorem \(x=9\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne wierzchołka \(B\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AC\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne wierzchołka \(B\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=36\sqrt{2}\) oraz \(P_{b}=54\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby przystąpić do obliczeń sporządźmy prosty rysunek pomocniczy, zaznaczając na nim dane z treści zadania:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Ostrosłup jest prawidłowy, zatem w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny. Wiemy, że bok tego trójkąta ma długość \(a=12\), zatem wysokość podstawy będzie równa:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=\frac{12\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości dolnej przyprostokątnej niebieskiego trójkąta prostokątnego.
Zgodnie z naszym rysunkiem (i zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych), dolna przyprostokątna niebieskiego trójkąta prostokątnego stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$PC=\frac{2}{3}h_{p} \\
PC=\frac{2}{3}\cdot6\sqrt{3} \\
PC=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Ponownie spoglądamy na niebieski trójkąt prostokątny. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy teraz zapisać, że:
$$|PC|^2+|PD|^2=|CD|^2 \\
(4\sqrt{3})^2+x^2=(3x)^2 \\
16\cdot3+x^2=9x^2 \\
8x^2=48 \\
x^2=6 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, czyli już wiemy, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=\sqrt{6}\).

Krok 5. Obliczenie długości dolnej przyprostokątnej zielonego trójkąta prostokątnego.
Zgodnie z naszym rysunkiem dolna przyprostokątna zielonego trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie, zatem:
$$EP=\frac{1}{3}h_{p} \\
EP=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3} \\
EP=2\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia pola powierzchni bocznej musimy znać wysokość ściany bocznej. W tym celu spoglądamy na nasz zielony trójkąt prostokątny i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$|EP|^2+|PD|^2=|ED|^2 \\
(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2=|ED|^2 \\
4\cdot3+6=|ED|^2 \\
12+6=|ED|^2 \\
|ED|^2=18 \\
|ED|=\sqrt{18} \quad\lor\quad |ED|=-\sqrt{18}$$

Długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|ED|=\sqrt{18}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|ED|=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\). To oznacza, że wysokość ściany bocznej jest równa \(h_{b}=3\sqrt{2}\).

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już komplet informacji na temat naszego ostrosłupa. Wiemy, że w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku \(a=12\), wiemy też że \(H=\sqrt{6}\), zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{6} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{6} \\
V=\frac{1}{3}\cdot36\sqrt{3}\cdot\sqrt{6} \\
V=12\sqrt{3}\cdot\sqrt{6} \\
V=12\sqrt{18} \\
V=12\sqrt{9\cdot2} \\
V=12\cdot3\sqrt{2} \\
V=36\sqrt{2}$$

Krok 8. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Na pole powierzchni bocznej składają się \(3\) ściany, każda z nich ma podstawę o długości \(a=12\) oraz wysokość \(h_{b}=3\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot3\sqrt{2} \\
P_{b}=18\cdot3\sqrt{2} \\
P_{b}=54\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(PC\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość ostrosłupa (patrz: Krok 7.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 6.) oraz obliczysz objętość ostrosłupa (patrz: Krok 7.) lub pole powierzchni bocznej (patrz: Krok 8.)
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.