Matura – Matematyka – Maj 2018 – Odpowiedzi

B

Wykonując działania na logarytmach otrzymamy:
$$2log_{3}6-log_{3}4=log_{3}6^2-log_{3}4=log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$

C

Wykonując działania na pierwiastkach otrzymamy:
$$\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac{3}{2}$$

C

Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}= \\
=1,5\cdot10^{-12-(-20)}=1,5\cdot10^{-12+20}=1,5\cdot10^{8}$$

C

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) - cena roweru przed obniżką
\(x-0,15x=0,85x\) - cena roweru po obniżce

Z treści zadania wynika, że:
$$0,85x=850zł \\
x=1000zł$$

A

W tego typu zadaniach najlepiej jest na początku pozbyć się wszystkich ułamków, a zrobimy to mnożąc całość przez \(6\).
$$\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot6 \\
3-6x\gt2 \\
-6x\gt-1 \quad\bigg/:(-6) \\
x\lt\frac{1}{6} \\
x\in\left(-\infty;\frac{1}{6}\right)$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc obustronnie nierówność przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności (tak jak to miało miejsce przy dzieleniu przez \(-6)\).

C

Miejscem zerowym są takie argumenty (czyli iksy), dla których funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy zajdzie równość:
$$-2(x+3)(x-5)=0$$

Równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, czyli takiej z której bardzo wygodnie wyznaczymy rozwiązania. Aby całe powyższe równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować. W związku z tym:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

Obliczyliśmy w ten sposób, że \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=5\). To oznacza, że:
$$x_{1}+x_{2}=-3+5=2$$

D

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4) \\
x^2+2x=0 \\
x(x+2)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).

D

Krok 1. Ustalenie czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
O tym czy funkcja jest rosnąca, czy też malejąca, decyduje współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczba stojąca przed iksem. W naszym przypadku ten współczynnik jest dodatni, bo \(a=\frac{1}{3}\), co oznacza że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie miejsca przecięcia się funkcji z osią \(Oy\).
O tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków decyduje współczynnik \(b\). W tym przypadku \(b=-1\), a to oznacza, że prosta przetnie oś igreków dla \(y=-1\). W związku z tym poszukiwanym przez nas punktem przecięcia z osią igreków będzie \(P=(0,-1)\).

Łącząc informacje z obydwu kroków wynika, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.

C

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej iksowej (czyli \(p\)) wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli oznaczamy symbolem \(p\) i możemy ją obliczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) odczytamy bezpośrednio ze wzoru funkcji, bo jest ona zapisana w postaci ogólnej, zatem: \(a=1\) oraz \(b=-6\). Podstawiając to do wzoru na współrzędną \(p\) otrzymamy:
$$p=\frac{-(-6)}{2\cdot1} \\
p=\frac{6}{2} \\
p=3$$

I tutaj tak naprawdę moglibyśmy zakończyć już rozwiązywanie tego zadania, bowiem tylko w trzeciej odpowiedzi mamy współrzędną iksową równą \(3\). Gdyby jednak okazało się, że pasowałaby nam jeszcze jakaś inna odpowiedź, to trzeba byłoby obliczyć współrzędną igrekową.

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej (czyli \(q\)) wierzchołka paraboli.
Standardowo współrzędną igrekową moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Nie mniej jednak możemy tę współrzędną obliczyć nieco szybciej, bez liczenia delty. Wystarczy, że do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-6x-3\) podstawimy obliczoną w pierwszym kroku współrzędną iksową wierzchołka. Podstawiając \(x=3\) do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=3^2-6\cdot3-3 \\
f(3)=9-18-3 \\
f(3)=-12$$

To oznacza, że współrzędne wierzchołka są równe \(W=(3;-12)\).

D

Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}} \\
a=\frac{-2-0}{3-1} \\
a=\frac{-2}{2} \\
a=-1$$

Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases}
0=1a+b \\
-2=3a+b
\end{cases}$$

Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a \\
a=-1$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie obliczyć wartości trzech kolejnych wyrazów tego ciągu i na tej podstawie wyciągniemy potem wnioski na temat tego ciągu. Podstawiając do wzoru \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=\frac{5-2\cdot1}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\
a_{2}=\frac{5-2\cdot2}{6}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6} \\
a_{3}=\frac{5-2\cdot3}{6}=\frac{5-6}{6}=-\frac{1}{6}$$

Krok 2. Ustalenie czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny.
Ustalmy najpierw jaki jest to ciąg. Już na pierwszy rzut oka widać, że musi być to ciąg arytmetyczny, bo ciąg geometryczny nie miałby po dwóch wyrazach dodatnich nagle wyrazu ujemnego (mógłby mieć co najwyżej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne). Jeżeli tego nie dostrzegamy, to możemy sprawdzić czy dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi charakterystyczna dla ciągów arytmetycznych równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
\frac{2}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \quad\bigg/+\frac{1}{6} \\
\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to znaczy że ciąg jest arytmetyczny.

Krok 3. Ustalenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Na koniec musimy jeszcze ustalić różnicę ciągu arytmetycznego, a dokonamy tego odejmując np. od wartości drugiego wyrazu wartość wyrazu pierwszego:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=\frac{1}{6}-\frac{1}{2} \\
r=\frac{1}{6}-\frac{3}{6} \\
r=-\frac{2}{6} \\
r=-\frac{1}{3}$$

A

Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{5}-r \\
a_{6}=a_{5}+r$$

W związku z tym:
$$a_{4}+a_{5}+a_{6}=12 \\
a_{5}-r+a_{5}+a_{5}+r=12 \\
3a_{5}=12 \\
a_{5}=4$$

B

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc np. wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
q=2$$

Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n-1} \\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot2^{-1} \\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot\frac{1}{2} \\
a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2}$$

Niestety takiego wzoru w odpowiedziach nie mamy, dlatego musimy doprowadzić ten zapis do innej postaci. Widzimy, że w liczniku powinniśmy mieć \(2^n\) i taka sytuacja jest tylko w odpowiedzi B. Aby osiągnąć taki zapis jak w tej odpowiedzi musimy wykonać dość nietypowe (bo prowadzące do pierwiastka w mianowniku) mnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\).
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}} \\
a_{n}=\frac{2\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}} \\
a_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{2}}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
Znamy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) oraz długość przeciwprostokątnej. W związku z tym musimy skorzystać z sinusa:
$$sinα=\frac{|LM|}{|LK|} \\
sinα=\frac{3}{8}$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic.
Szukamy w tablicach matematycznych odpowiedzi na pytanie - dla jakiego kąta ostrego sinus przyjmuje wartość bliską lub równą \(\frac{3}{8}\) (czyli \(0,375\)). Z tablic odczytujemy, że najbliżej tej wartości jest kąt \(22°\), dla którego sinus przyjmuje wartość \(0,3746\), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(21°\lt α\le 24°\).

A

Aby trójkąty były względem siebie podobne, to stosunek każdego z odpowiadających boków (czyli najmniejszego do najmniejszego, największego do największego, środkowego do środkowego) musi być taki sam. Musimy więc sprawdzić po kolei poszczególne pary boków.

Odp. A.
$$\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5} \\
\frac{3\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5} \\
\frac{4\sqrt{5}}{20}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

I już w pierwszej odpowiedzi widzimy, że stosunek długości boków jest zawsze taki sam, więc to będzie nasza prawidłowa odpowiedź. Dalej już sprawdzać nie musimy.

A

Krok 1. Zapisanie zależności między kątem \(α\) i \(β\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych, które są oparte na tym samym łuku, wynika że miara kąta wpisanego jest dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego. Możemy zatem zapisać, że:
$$β=\frac{1}{2}α$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Podstawiając \(β=\frac{1}{2}α\) do równania z treści zadania otrzymamy:
$$α+β=111° \\
α+\frac{1}{2}α=111° \\
\frac{3}{2}α=111° \quad\bigg/\cdot2 \\
3α=222° \quad\bigg/:3 \\
α=74°$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując do naszego trapezu wysokość otrzymamy następujący szkic:



Krok 2. Obliczenie długości ramienia \(LM\).
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny \(PLM\). Znamy miarę kąta ostrego leżącego przy przyprostokątnej \(LM\). Szukamy długości przeciwprostokątnej, zatem korzystając z cosinusa zapiszemy:
$$cos60°=\frac{a-b}{x} \\
\frac{1}{2}=\frac{a-b}{x} \quad\bigg/\cdot x \\
\frac{1}{2}x=a-b \quad\bigg/\cdot2 \\
x=2\cdot(a-b)$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że trójkąt jest równoramienny i że ramionami są boki \(KM\) oraz \(LM\). Musimy więc wprowadzić poprawne oznaczenia punktów do naszego trójkąta, tak aby móc potem z rysunku wyciągnąć odpowiednie wnioski. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(L\).
Z rysunku wynika, że punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(KL\). Skoro znamy współrzędne punktu \(K\) oraz \(N\), to jesteśmy w stanie obliczyć współrzędne punktu \(L\) korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$N=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń wyznaczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{N}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
4=\frac{2+x_{L}}{2} \\
8=2+x_{L} \\
x_{L}=6 \\
\quad \\
y_{N}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2} \\
3=\frac{2+y_{L}}{2} \\
6=2+y_{L} \\
y_{L}=4$$

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=(m+2)\) natomiast druga prosta ma \(a=2m-1\). W związku z tym, że te współczynniki muszą być sobie równe to:
$$m+2=2m-1 \\
-m=-3 \\
m=3$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Analiza rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąty \(KNS, NMS, KNM\). Każdy z nich jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych równych \(4\). To oznacza, że każdy z tych trójkątów ma jednakową długość przeciwprostokątnej. Wniosek z tego taki, że trójkąt \(KMS\) (zaznaczony na zielono) jest trójkątem równobocznym, czyli takim w którym każdy kąt ma miarę \(60°\). W związku z tym \(α=60°\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Skąd wiemy, że kąt \(DHB\) ma miarę \(45°\)? Skoro kąt \(α\) ma miarę \(45°\), a trójkąt \(DBH\) jest trójkątem prostokątnym, to znaczy że drugi kąt ostry w zaznaczonym trójkącie musi mieć także \(45°\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(DBH\) jest równoramienny.

Krok 2. Oblicznie wysokości graniastosłupa.
Trójkąt \(DBH\) jest trójkątem równoramiennym, zatem \(|DB|=|DH|\). Długość odcinka \(DB\) (czyli przekątnej podstawy) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=|DB|^2 \\
9+16=|DB|^2 \\
|DB|^2=25 \\
|DB|=5 \quad\lor\quad |DB|=-5$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że \(|DB|=5\), czyli wysokość graniastosłupa ma także długość równą \(h=5\).

A

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Nasza bryła składa się z walca i półkuli, zatem aby obliczyć jej objętość musimy obliczyć oddzielnie objętość jednej i drugiej części. Zaczynając od walca możemy zauważyć, że w tym przypadku wysokość walca jest równa \(r\), zatem:
$$V_{w}=P_{p}\cdot h \\
V_{w}=πr^2\cdot r \\
V_{w}=πr^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości kuli.
Objętość kuli wyraża się wzorem \(V=\frac{4}{3}πr^3\). W naszym zadaniu mamy jednak półkulę, więc połowę kuli. To oznacza, że całość będziemy musieli jeszcze przemnożyć przez \(\frac{1}{2}\).
$$V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}πr^3 \\
V_{p}=\frac{2}{3}πr^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości całej bryły.
Objętość całej bryły jest sumą objętości walca i półkuli, zatem:
$$V=V_{w}+V_{p} \\
V=πr^3+\frac{2}{3}πr^3 \\
V=\frac{5}{3}πr^3$$

B

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:
$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m} \\
\bar{a}=\frac{6m}{2m} \\
\bar{a}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{m+m}{2m} \\
σ^2=1$$

II sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2 \\
σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2 \\
σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9 \\
σ^2=\frac{20m}{2m}-9 \\
σ^2=10-9 \\
σ^2=1$$

Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:
$$σ=\sqrt{1}=1$$

D

Krok 1. Zapisanie ciągu arytmetycznego.
Możemy zauważyć, że liczby mniejsze od \(2018\) i podzielne przez \(5\) tworzą następujący ciąg arytmetyczny:
$$1000, 1005, 1010,...,2010, 2015$$

O tym ciągu możemy powiedzieć, że:
$$a_{1}=1000 \\
a_{n}=2015 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Musimy ustalić ile jest jest wyrazów w naszym ciągu, czyli musimy obliczyć \(n\). W związku z tym korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
2015=1000+(n-1)\cdot5 \\
2015=1000+5n-5 \\
5n=1020 \\
n=204$$

D

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losujemy jeden z \(50\) kuponów to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=50\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuponu wygrywającego. Takich kuponów jest \(50-15=35\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=35\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{35}{50}$$

\(x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$2x^2-3x\gt5 \\
2x^2-3x-5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-5 \lor x=8 \lor x=-8\)

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+125)(x^2-64)=0 \\
x^3+125=0 \quad\lor\quad x^2-64=0 \\
x^3=-125 \quad\lor\quad x^2=64 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=8 \quad\lor\quad x=-8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^3+125=0 \lor x^2-64=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przekształcając nierówność do postaci wzoru skróconego mnożenia.

Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).

Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.

Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a \\
1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b \\
2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b) \\
2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab \\
2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2+4ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2 \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz pożądaną postać \((a-b)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz dlaczego ta nierówność jest prawdziwa.
ALBO
• Gdy w trakcie przekształcania uzyskasz zapis typu \((a+b)^2\ge4ab\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Uzasadniono korzystając z własności przekątnej kwadratu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro promień dużego okręgu jest równy \(2\), to otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Ułożenie równania.
Na rysunku powstał nam kwadrat \(ABCD\), którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Nasz kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\), a skoro tak, to odcinek \(AC\) będący przekątną tego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\). To oznacza, że możemy zapisać iż:
$$x+r+r+2=2\sqrt{2} \\
x+2r+2=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że \(x+2r+2=2\sqrt{2}\). Skoro \(x\) jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek \(2r+2\) jest mniejszy niż \(2\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$2r+2\lt2\sqrt{2} \quad\bigg/:2 \\
r+1\lt\sqrt{2} \\
r\lt\sqrt{2}-1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(x+2r+2=2\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że odcinek będący sumą średnicy małego okręgu oraz odcinka \(x\) ma długość \(2\sqrt{2}-2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=3\) oraz \(y\in(-2;+\infty)\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(a\).
Skoro do funkcji \(f(x)=a^x\) należy punkt \(P=(2,9)\) to podstawiając \(x=2\) oraz \(y=9\) będziemy w stanie wyznaczyć wartość \(a\). Zatem:
$$f(x)=a^x \\
9=a^2 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z założeń wynika, że \(a\gt0\). Zatem zostaje nam jedynie \(a=3\).

Krok 2. Określenie zbioru wartości funkcji \(g\).
Funkcja wykładnicza w postaci \(f(x)=3^x\) przyjmuje zawsze wartości dodatnie. Zbiorem wartości funkcji \(f\) byłby więc przedział \((0;+\infty)\).

Nasza funkcja \(g\) jest przekształceniem funkcji \(f\), a dokładnie jest przesunięta o dwie jednostki w dół. To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(g\) będzie przedział \((-2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(a\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy określisz zbiór wartości funkcji \(g\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=-3\)

Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30 \\
S_{12}=162$$

Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n \\
S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12 \\
162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6 \\
27=a_{1}+30 \\
a_{1}=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12=162\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+11r=30\) oraz \(\frac{2a_{1}+11r}{2}\cdot12=162\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=(6,4;15,8)\)

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+2^2} \\
|AB|=\sqrt{36+4} \\
|AB|=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$

Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.

Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \\
40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \\
40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \\
5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \\
-28x+144=-8x+16 \\
-20x=-128 \\
x=6,4$$

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot6,4+3 \\
y=12,8+3 \\
y=15,8$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) w postaci \(C=(x;2x+3)\) (patrz: Krok 1.) lub \(C=(\frac{y-3}{2};y)\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzorów na długość odcinka, wyznaczysz wartości każdego z trzech odcinków i zapiszesz odpowiednie równanie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, ale będziesz mieć cały czas dwie niewiadome \(x\) oraz \(y\), bo nie dostrzeżesz że np. współrzędną igrekową można było zapisać jako \(2x+3\).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BC\), czyli \(a=-3\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa w którym będzie tylko jedna niewiadoma (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{16}{49}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze znajduje się siedem liczb. W drugim zbiorze znajduje się także siedem liczb. Skoro losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i potem drugą liczbę ze zbioru drugiego, to wszystkich możliwych kombinacji mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=7\cdot7=49\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(3\). Dana liczba jest podzielna przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Musimy więc ostrożnie wypisać takie pary liczb:
$$(100,11), (100,14), \\
(200,10), (200,13), (200,16), \\
(300,12), (300,15), \\
(400,11), (400,14), \\
(500,10), (500,13), (500,16), \\
(600,12), (600,15), \\
(700,11), (700,14)$$

Takich par jest dokładnie \(16\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wypiszesz wszystkie zdarzenia elementarne (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia lub przynajmniej napiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających \(|A|=16\) (patrz: Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{81}{2}\)

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb} \\
P_{c}=2P_{p}+3P_{p} \\
P_{c}=5P_{p} \\
45\sqrt{3}=5P_{p} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
$$P_{śb}=a\cdot H \\
9\sqrt{3}=6\cdot H \\
H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3} \\
V=\frac{27}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=ah\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.