Matura – Matematyka – Maj 2018 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – maj 2018. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2018

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(2log_{3}6-log_{3}4\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Dane są liczby \(a=3,6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2,4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:

Zadanie 4. (1pkt) Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował:

Zadanie 5. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3}\) jest przedział:

Zadanie 6. (1pkt) Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_{1}\), \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem:

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

Zadanie 8. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 9. (1pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:

Zadanie 10. (1pkt) Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy:

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\ge1\). Ciąg ten jest:

Zadanie 12. (1pkt) Dla ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_{4}+a_{5}+a_{6}=12\). Wtedy:

Zadanie 13. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\sqrt{2}\), \(a_{3}=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać:

Zadanie 14. (1pkt) Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(α\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek:

matura z matematyki

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

Zadanie 16. (1pkt) Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(α\) i \(β\) spełniają warunek \(α+β=111°\). Wynika stąd, że:

matura z matematyki

Zadanie 17. (1pkt) Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL|=a\), \(|MN|=b\), \(a\gt b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60°\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa:

matura z matematyki

Zadanie 18. (1pkt) Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem:

Zadanie 19. (1pkt) Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy:

Zadanie 20. (1pkt) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Kąt \(α\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek:

Zadanie 21. (1pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45°\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Wysokość graniastosłupa jest równa:

Zadanie 22. (1pkt) Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

matura z matematyki



Objętość tej bryły jest równa:

Zadanie 23. (1pkt) W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:

Zadanie 24. (1pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

Zadanie 25. (1pkt) W pudełku jest \(50\) kuponów, wśród których jest \(15\) kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe:

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x\gt5\).

Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).

Zadanie 28. (2pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).

Zadanie 29. (2pkt) Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

matura z matematyki



Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Zadanie 30. (2pkt) Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a\gt0\) i \(a\ne1\)), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x)=f(x)-2\).

Zadanie 31. (2pkt) Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 32. (5pkt) W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Zadanie 33. (4pkt) Dane są dwa zbiory: \(A=\{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B=\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 34. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

matura z matematyki

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

27 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
beng

W zadaniu 34 jest błąd w polu na trójkąt przez co wynik jest jest błędny

lukasz

dzięki!

Krzysiek

Naprawdę dobra robota, polecę znajomym tę stronę

misiaczekq

Skąd w kroku 3 taki wzór? Nie bardzo rozumiem :(

misiaczekq
Reply to  SzaloneLiczby

W 32 zadaniu :)

Olwia

Super! Dzięki Tobie rozumiem o wiele więcej! Już rozumiem jak zrobić zadania. Nie są wcale trudne tak jak myślałam. W szkole nauczyciel potrafi tylko krzyczeć, nie wytłumaczył mi dlaczego tak, a nie inaczej. Jestem bardzo wdzięczna ^^

Milosz

W kwestii formalnej. Zadanie 18 na maturze jest inne niż u Ciebie. Na maturze jest równanie okręgu.

Rick Tusia

Zastanawiam się nad zadaniem 33- nie twierdzę, że jest źle. Czy mogłoby być odwrotnie np. 100+11=11+100?
Bo jest napisane, że losujemy z którego z nich, nie ma napisane w jakiej kolejności. Wtedy by było 32,a nie 16. Długo tak nie jest?

Sylwia

Matko! Dlaczego ja dopiero wczoraj odkryłam tę stronę? (Aaa, bo dopiero teraz zaczynam się uczyć do matury z matmy xD) Ratujesz mnie, bo dzięki objaśnieniom zaczynam rozumieć! :) Dziękuję <3

Monia

Panie, ratujesz Pan skórę przed tegoroczną maturą. Dziękuję!!

paula17022

Dlaczego w zadaniu 17 opisaliśmy przyprostokątną jako a-b? Głowię się i nie mogę tego zrozumieć :(

meamofifi

wydaje mi się, że zadanie 32. można było rozwiązać w inny sposób ;) mianowicie: 1) wyznaczyć równanie prostej AB (pod równania y=ax+b podłożyć współrzędne z A i B – rozwiązać układ równań), 2) następnie równanie prostej BC (współczynnik a z wzoru a1*a2=-1 – ponieważ AB i BC są prostopadłe; obliczyć b przez podłożenie pod wzór współrzędnych punktu B) 3) wyznaczamy punkt C poprzez układ równań z prostej BC i prostej podanej w treści zadania (y=2x+3). podaję to tutaj ponieważ dla niektórych ten sposób może wydać się łatwiejszy (tak jak dla mnie haha). pozdrawiam

Julia

Dlaczego w 23 zadaniu mnożymy nawias razy m?

mijosz

Mam pytanie odnośnie zadania 32. Samodzielnie obliczyłem współrzędne punktu C, lecz nie wykorzystałem twierdzenia pitagorasa, a zależności boków w trójkącie 30,60,90. Współrzędne punktu wyszły mi C (6,12;15,24), lecz niestety w pewnym momencie w obliczeniach musiałem uciec się do przybliżenia. Stąd pytanie:
-Czy założenie że trójkąt o którym mowa w zadaniu ma miary kątów 30,60,90, i zastosowanie jego właściwości jest z góry błędne? Nawet jeśli wartości obliczone wychodzą bardzo podobne, do tego spełniają warunki zadania, czytaj „Kąt ABC jest prosty”?

winekinga

Ta strona to kawał dobrej roboty! Podoba mi się, że za każdym razem wszystko jest dokładnie wyjaśnione i nic nie jest pomijane:) Najlepsza strona do nauki matematyki. Dziękuję w imieniu wszystkich maturzystów!!!

KonradB

Witam! w zadaniu 20 nie powinien być kąt 45stopni?
przekątną podstawy tego ostrosłupa jest 4pierwiastki z dwóch
4^2+4^2=c^2
16+16=c^2 c^2=32
c=4pierwiastki z 2

Last edited 1 dzień temu by KonradB