Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2018
Zadanie 3. (1pkt) Dane są liczby \(a=3,6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2,4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:
A) \(8,64\cdot 10^{-32}\)
B) \(1,5\cdot 10^{-8}\)
C) \(1,5\cdot 10^{8}\)
D) \(8,64\cdot 10^{32}\)
Wyjaśnienie:
Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}= \\
=1,5\cdot10^{-12-(-20)}=1,5\cdot10^{-12+20}=1,5\cdot10^{8}$$
Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)
A) ma trzy rozwiązania: \(x=-2, x=0, x=2\)
B) ma dwa rozwiązania: \(x=0, x=-2\)
C) ma dwa rozwiązania: \(x=-2, x=2\)
D) ma jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4) \\
x^2+2x=0 \\
x(x+2)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).
Zadanie 8. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.
A) Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
B) Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
C) Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
D) Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
O tym czy funkcja jest rosnąca, czy też malejąca, decyduje współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczba stojąca przed iksem. W naszym przypadku ten współczynnik jest dodatni, bo \(a=\frac{1}{3}\), co oznacza że funkcja jest rosnąca.
Krok 2. Ustalenie miejsca przecięcia się funkcji z osią \(Oy\).
O tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków decyduje współczynnik \(b\). W tym przypadku \(b=-1\), a to oznacza, że prosta przetnie oś igreków dla \(y=-1\). W związku z tym poszukiwanym przez nas punktem przecięcia z osią igreków będzie \(P=(0,-1)\).
Łącząc informacje z obydwu kroków wynika, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.
Zadanie 9. (1pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:
A) \((-6,-3)\)
B) \((-6, 69)\)
C) \((3,-12)\)
D) \((6,-3)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej iksowej (czyli \(p\)) wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli oznaczamy symbolem \(p\) i możemy ją obliczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) odczytamy bezpośrednio ze wzoru funkcji, bo jest ona zapisana w postaci ogólnej, zatem: \(a=1\) oraz \(b=-6\). Podstawiając to do wzoru na współrzędną \(p\) otrzymamy:
$$p=\frac{-(-6)}{2\cdot1} \\
p=\frac{6}{2} \\
p=3$$
I tutaj tak naprawdę moglibyśmy zakończyć już rozwiązywanie tego zadania, bowiem tylko w trzeciej odpowiedzi mamy współrzędną iksową równą \(3\). Gdyby jednak okazało się, że pasowałaby nam jeszcze jakaś inna odpowiedź, to trzeba byłoby obliczyć współrzędną igrekową.
Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej (czyli \(q\)) wierzchołka paraboli.
Standardowo współrzędną igrekową moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Nie mniej jednak możemy tę współrzędną obliczyć nieco szybciej, bez liczenia delty. Wystarczy, że do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-6x-3\) podstawimy obliczoną w pierwszym kroku współrzędną iksową wierzchołka. Podstawiając \(x=3\) do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=3^2-6\cdot3-3 \\
f(3)=9-18-3 \\
f(3)=-12$$
To oznacza, że współrzędne wierzchołka są równe \(W=(3;-12)\).
Zadanie 10. (1pkt) Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy:
A) \(1\)
B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(-\frac{3}{2}\)
D) \(-1\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}} \\
a=\frac{-2-0}{3-1} \\
a=\frac{-2}{2} \\
a=-1$$
Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases}
0=1a+b \\
-2=3a+b
\end{cases}$$
Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a \\
a=-1$$
Zadanie 15. (1pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:
A) \(10, 15, 20\)
B) \(20, 45, 80\)
C) \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)
D) \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)
Wyjaśnienie:
Aby trójkąty były względem siebie podobne, to stosunek każdego z odpowiadających boków (czyli najmniejszego do najmniejszego, największego do największego, środkowego do środkowego) musi być taki sam. Musimy więc sprawdzić po kolei poszczególne pary boków.
Odp. A.
$$\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5} \\
\frac{3\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5} \\
\frac{4\sqrt{5}}{20}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
I już w pierwszej odpowiedzi widzimy, że stosunek długości boków jest zawsze taki sam, więc to będzie nasza prawidłowa odpowiedź. Dalej już sprawdzać nie musimy.
Zadanie 18. (1pkt) Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem:
A) \(L=(5, 3)\)
B) \(L=(6, 4)\)
C) \(L=(3, 5)\)
D) \(L=(4, 6)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że trójkąt jest równoramienny i że ramionami są boki \(KM\) oraz \(LM\). Musimy więc wprowadzić poprawne oznaczenia punktów do naszego trójkąta, tak aby móc potem z rysunku wyciągnąć odpowiednie wnioski. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(L\).
Z rysunku wynika, że punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(KL\). Skoro znamy współrzędne punktu \(K\) oraz \(N\), to jesteśmy w stanie obliczyć współrzędne punktu \(L\) korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$N=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń wyznaczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{N}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
4=\frac{2+x_{L}}{2} \\
8=2+x_{L} \\
x_{L}=6 \\
\quad \\
y_{N}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2} \\
3=\frac{2+y_{L}}{2} \\
6=2+y_{L} \\
y_{L}=4$$
Zadanie 21. (1pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45°\) (zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa:
A) \(5\)
B) \(3\sqrt{2}\)
C) \(5\sqrt{2}\)
D) \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skąd wiemy, że kąt \(DHB\) ma miarę \(45°\)? Skoro kąt \(α\) ma miarę \(45°\), a trójkąt \(DBH\) jest trójkątem prostokątnym, to znaczy że drugi kąt ostry w zaznaczonym trójkącie musi mieć także \(45°\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(DBH\) jest równoramienny.
Krok 2. Oblicznie wysokości graniastosłupa.
Trójkąt \(DBH\) jest trójkątem równoramiennym, zatem \(|DB|=|DH|\). Długość odcinka \(DB\) (czyli przekątnej podstawy) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=|DB|^2 \\
9+16=|DB|^2 \\
|DB|^2=25 \\
|DB|=5 \quad\lor\quad |DB|=-5$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że \(|DB|=5\), czyli wysokość graniastosłupa ma także długość równą \(h=5\).
Zadanie 23. (1pkt) W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:
A) \(2\)
B) \(1\)
C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D) \(\sqrt{2}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:
$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m} \\
\bar{a}=\frac{6m}{2m} \\
\bar{a}=3$$
Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m} \\
σ^2=\frac{m+m}{2m} \\
σ^2=1$$
II sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2 \\
σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2 \\
σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9 \\
σ^2=\frac{20m}{2m}-9 \\
σ^2=10-9 \\
σ^2=1$$
Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:
$$σ=\sqrt{1}=1$$
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x\gt5\).
Odpowiedź
\(x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$2x^2-3x\gt5 \\
2x^2-3x-5\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).
Odpowiedź
\(x=-5 \lor x=8 \lor x=-8\)
Wyjaśnienie:
Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+125)(x^2-64)=0 \\
x^3+125=0 \quad\lor\quad x^2-64=0 \\
x^3=-125 \quad\lor\quad x^2=64 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=8 \quad\lor\quad x=-8$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^3+125=0 \lor x^2-64=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 28. (2pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając nierówność do postaci wzoru skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).
Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.
Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a \\
1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b \\
2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b) \\
2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab \\
2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2+4ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2 \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz pożądaną postać \((a-b)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz dlaczego ta nierówność jest prawdziwa.
ALBO
• Gdy w trakcie przekształcania uzyskasz zapis typu \((a+b)^2\ge4ab\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 29. (2pkt) Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).
Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).
Odpowiedź
Uzasadniono korzystając z własności przekątnej kwadratu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro promień dużego okręgu jest równy \(2\), to otrzymamy następującą sytuację:
Krok 2. Ułożenie równania.
Na rysunku powstał nam kwadrat \(ABCD\), którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Nasz kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\), a skoro tak, to odcinek \(AC\) będący przekątną tego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\). To oznacza, że możemy zapisać iż:
$$x+r+r+2=2\sqrt{2} \\
x+2r+2=2\sqrt{2}$$
Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że \(x+2r+2=2\sqrt{2}\). Skoro \(x\) jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek \(2r+2\) jest mniejszy niż \(2\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$2r+2\lt2\sqrt{2} \quad\bigg/:2 \\
r+1\lt\sqrt{2} \\
r\lt\sqrt{2}-1$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(x+2r+2=2\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że odcinek będący sumą średnicy małego okręgu oraz odcinka \(x\) ma długość \(2\sqrt{2}-2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 30. (2pkt) Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a\gt0\) i \(a\ne1\)), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x)=f(x)-2\).
Odpowiedź
\(a=3\) oraz \(y\in(-2;+\infty)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości \(a\).
Skoro do funkcji \(f(x)=a^x\) należy punkt \(P=(2,9)\) to podstawiając \(x=2\) oraz \(y=9\) będziemy w stanie wyznaczyć wartość \(a\). Zatem:
$$f(x)=a^x \\
9=a^2 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo z założeń wynika, że \(a\gt0\). Zatem zostaje nam jedynie \(a=3\).
Krok 2. Określenie zbioru wartości funkcji \(g\).
Funkcja wykładnicza w postaci \(f(x)=3^x\) przyjmuje zawsze wartości dodatnie. Zbiorem wartości funkcji \(f\) byłby więc przedział \((0;+\infty)\).
Nasza funkcja \(g\) jest przekształceniem funkcji \(f\), a dokładnie jest przesunięta o dwie jednostki w dół. To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(g\) będzie przedział \((-2;+\infty)\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(a\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy określisz zbiór wartości funkcji \(g\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 31. (2pkt) Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30 \\
S_{12}=162$$
Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n \\
S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12 \\
162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6 \\
27=a_{1}+30 \\
a_{1}=-3$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12=162\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+11r=30\) oraz \(\frac{2a_{1}+11r}{2}\cdot12=162\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (5pkt) W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Odpowiedź
\(C=(6,4;15,8)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).
Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+2^2} \\
|AB|=\sqrt{36+4} \\
|AB|=\sqrt{40}$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$
Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.
Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \\
40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \\
40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \\
5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \\
-28x+144=-8x+16 \\
-20x=-128 \\
x=6,4$$
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot6,4+3 \\
y=12,8+3 \\
y=15,8$$
To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) w postaci \(C=(x;2x+3)\) (patrz: Krok 1.) lub \(C=(\frac{y-3}{2};y)\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzorów na długość odcinka, wyznaczysz wartości każdego z trzech odcinków i zapiszesz odpowiednie równanie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, ale będziesz mieć cały czas dwie niewiadome \(x\) oraz \(y\), bo nie dostrzeżesz że np. współrzędną igrekową można było zapisać jako \(2x+3\).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BC\), czyli \(a=-3\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa w którym będzie tylko jedna niewiadoma (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (4pkt) Dane są dwa zbiory: \(A=\{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B=\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{16}{49}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze znajduje się siedem liczb. W drugim zbiorze znajduje się także siedem liczb. Skoro losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i potem drugą liczbę ze zbioru drugiego, to wszystkich możliwych kombinacji mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=7\cdot7=49\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(3\). Dana liczba jest podzielna przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Musimy więc ostrożnie wypisać takie pary liczb:
$$(100,11), (100,14), \\
(200,10), (200,13), (200,16), \\
(300,12), (300,15), \\
(400,11), (400,14), \\
(500,10), (500,13), (500,16), \\
(600,12), (600,15), \\
(700,11), (700,14)$$
Takich par jest dokładnie \(16\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=16\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wypiszesz wszystkie zdarzenia elementarne (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia lub przynajmniej napiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających \(|A|=16\) (patrz: Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 34. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź
\(V=\frac{81}{2}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb} \\
P_{c}=2P_{p}+3P_{p} \\
P_{c}=5P_{p} \\
45\sqrt{3}=5P_{p} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
$$P_{śb}=a\cdot H \\
9\sqrt{3}=6\cdot H \\
H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3} \\
V=\frac{27}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81}{2}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=ah\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
W zadaniu 34 jest błąd w polu na trójkąt przez co wynik jest jest błędny
Hmm… A co jest złego Twoim zdaniem? Na moje oko wszystko jest tam poprawnie, a i wszystkie wyniki są zgodne z kluczem odpowiedzi publikowanym przez CKE ;)
Prawdopodobnie pomyliłeś/aś wzór na pole trójkąta ze wzorem na jego wysokość.
dzięki!
Naprawdę dobra robota, polecę znajomym tę stronę
Skąd w kroku 3 taki wzór? Nie bardzo rozumiem :(
Ale w którym zadaniu? :D
W 32 zadaniu :)
Tak prawdę mówiąc, to faktycznie jest to trudne zadanie jak się je robi po raz pierwszy :) Sam wzór to wiadoma sprawa – jest to wzór na długość odcinka, który jest wzięty z tablic. Do tego wzoru podstawiamy współrzędne punktu B (mamy je w treści zadania) oraz C (które w formie niewiadomych zapisałem w Kroku 1.). To właśnie to zapisanie współrzędnych punktu C jest tutaj najbardziej problematyczne, bo trzeba je zapisać korzystając ze wzoru funkcji. Każdy punkt należący do wykresu funkcji y=2x+3 będzie przyjmował dla argumentu x wartość 2x+3 i to jest nasz punkt zaczepienia do zapisania współrzędnych punktu C.
Super! Dzięki Tobie rozumiem o wiele więcej! Już rozumiem jak zrobić zadania. Nie są wcale trudne tak jak myślałam. W szkole nauczyciel potrafi tylko krzyczeć, nie wytłumaczył mi dlaczego tak, a nie inaczej. Jestem bardzo wdzięczna ^^
W kwestii formalnej. Zadanie 18 na maturze jest inne niż u Ciebie. Na maturze jest równanie okręgu.
Jeśli w 18 zadaniu masz równanie okręgu, to masz arkusz z tak zwanej „starej matury”, którą w 2018 roku zdawała dosłownie garstka osób (od 2015 mamy „nową maturę” z nową podstawą programową i obecnie nie ma tam równania okręgu). Arkusz, który pisało kilkaset tysięcy osób i który jest zgodny z nową podstawą programową masz tutaj:
https://szaloneliczby.pl/arkusz/matura-podstawowa-matematyka-maj-2018.pdf
Zastanawiam się nad zadaniem 33- nie twierdzę, że jest źle. Czy mogłoby być odwrotnie np. 100+11=11+100?
Bo jest napisane, że losujemy z którego z nich, nie ma napisane w jakiej kolejności. Wtedy by było 32,a nie 16. Długo tak nie jest?
Ale jak najpierw będziesz losować z B, a potem z A, to też będziesz mieć 16 przypadków :)
Matko! Dlaczego ja dopiero wczoraj odkryłam tę stronę? (Aaa, bo dopiero teraz zaczynam się uczyć do matury z matmy xD) Ratujesz mnie, bo dzięki objaśnieniom zaczynam rozumieć! :) Dziękuję <3
Lepiej późno niż wcale! :) Witam na pokładzie i trzymam kciuki za jak najlepszy wynik!
Panie, ratujesz Pan skórę przed tegoroczną maturą. Dziękuję!!
Dlaczego w zadaniu 17 opisaliśmy przyprostokątną jako a-b? Głowię się i nie mogę tego zrozumieć :(
Odcinek PL jest różnicą między odcinkiem KP (który ma długość a) oraz NM (który ma długość b). Stąd też PL (który jest dolną przyprostokątną trójkąta PLM) ma długość a-b :)
wydaje mi się, że zadanie 32. można było rozwiązać w inny sposób ;) mianowicie: 1) wyznaczyć równanie prostej AB (pod równania y=ax+b podłożyć współrzędne z A i B – rozwiązać układ równań), 2) następnie równanie prostej BC (współczynnik a z wzoru a1*a2=-1 – ponieważ AB i BC są prostopadłe; obliczyć b przez podłożenie pod wzór współrzędnych punktu B) 3) wyznaczamy punkt C poprzez układ równań z prostej BC i prostej podanej w treści zadania (y=2x+3). podaję to tutaj ponieważ dla niektórych ten sposób może wydać się łatwiejszy (tak jak dla mnie haha). pozdrawiam
Zgadza się, ten sposób jest równie dobry :)
Dlaczego w 23 zadaniu mnożymy nawias razy m?
Bardzo dobre pytanie :)
Nie wiemy ile dokładnie jest dwójek i czwórek (wiemy tylko że dwójek jest m i czwórek też jest m). Gdybyśmy np. wiedzieli, że jest pięć dwójek, to w drugim kroku na początku licznika mielibyśmy liczniku na początku (2-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2, czyli 5 razy (2-3)^2. Tak więc skoro mając pięć dwójek mamy 5 razy (2-3)^2, tak analogicznie mając m dwójek będziemy mieć m razy (2-3)^2.
I dokładnie tak samo jest z czwórkami. Gdybyśmy mieli 5 czwórek to w działaniu byłoby 5 razy (4-3)^2, a skoro mamy m czwórek, to mamy m razy (4-3)^2.