Matura – Matematyka – Czerwiec 2020 – Odpowiedzi

B

Aby obliczyć wartość tego wyrażenia wystarczy podstawić w miejsce \(x\) liczbę \(\sqrt{3}+3\). W tym zadaniu skorzystamy przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:

$$(\sqrt{3}+3)^2-6\cdot(\sqrt{3}+3)+9= \\
=3+6\sqrt{3}+9-6\sqrt{3}-18+9= \\
=12-18+9=3$$

C

Znajdujące się w mianowniku \(36^{10}\) możemy rozpisać jako \((6^{2})^{10}=6^{20}\). Naszą liczbę będziemy więc mogli zapisać jako \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}\end{split}\).

Chcąc skorzystać z działań na potęgach musimy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki, a niestety nie mamy ani jednego, ani drugiego. Możemy jednak sprytnie rozbić iloczyn znajdujący się w liczniku w następujący sposób:
$$\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}=\frac{2^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}\cdot3^{20}}{6^{20}}= \\
=\frac{2^{20}\cdot3^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=\frac{6^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=2^{30}\cdot3^{20}$$

D

Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na różne sposoby. Najprościej będzie skorzystać z definicji logarytmu z której wynika, że:
$$log_{5}\sqrt{125}=x \quad\Leftrightarrow\quad 5^x=\sqrt{125}$$

Z działu pierwiastków wiemy, że \(\sqrt{125}=\sqrt[2]{5^3}=5^{\frac{3}{2}}\), zatem:
$$5^x=\sqrt{125} \\
5^x=\sqrt[2]{5^3} \\
5^x=5^{\frac{3}{2}} \\
x=\frac{3}{2}$$

A

Jeżeli cenę \(x\) obniżono o \(20\%\), to nowa cena jest równa \(0,8x\).

Teraz chcemy podwyższyć cenę w taki sposób, by ponownie towar kosztował \(x\), zatem podwyżka musi wynieść \(x-0,8x=0,2x\). To oznacza, że ta podwyżka będzie o \(\frac{0,2x}{0,8x}=0,25=25\%\).

A

Wymnażając poszczególne liczby otrzymamy:
$$3(1-x)\gt2(3x-1)-12x \\
3-3x\gt6x-2-12x \\
3-3x\gt-6x-2 \\
3x\gt-5 \\
x\gt-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\).

B

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera (iksa przed nawiasem także przyrównujemy do zera):
$$x(x-3)(x+2)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich rozwiązań.
Zgodnie z poleceniem musimy jeszcze zsumować wszystkie rozwiązania, zatem:
$$0+3+(-2)=1$$

D

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik \(a\) jest na pewno ujemny. Dokładną wartość tego współczynnika możemy poznać na różne sposoby, ale najprościej będzie podstawić do wzoru funkcji \(f(x)=a(x-1)(x-3)\) współrzędne wierzchołka \(W=(2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$1=a(2-1)(2-3) \\
1=a\cdot1\cdot(-1) \\
1=-a \\
a=-1$$

C

Kiedy funkcja ma ramiona skierowane do dołu, to swoją największą wartość będzie przyjmować w wierzchołku (co zresztą widać na rysunku). Z rysunku wynika, że wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale \(\langle1,4\rangle\), zatem to tam będzie przyjmowana największa wartość. Z osi \(OY\) odczytujemy zatem, że największą wartością tej funkcji w określonym przedziale jest wartość równa \(1\).

B

Oś symetrii paraboli to prosta równoległa do osi \(OY\), która przechodzi przez wierzchołek. Z tego też względu poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=2\).

B

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) po prawej stronie równania możemy zapisać, że:
$$x(x-2)=(x-2)^2 \\
x^2-2x=x^2-4x+4 \\
-2x=-4x+4 \\
2x=4 \\
x=2$$

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie i jest to \(x=2\).

D

Krok 1. Analiza wartości współczynnika \(a\).
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca. To oznacza, że współczynnik \(a\) będzie na pewno liczbą ujemną, czyli możemy zapisać, że \(a\lt0\).

Krok 2. Analiza wartości współczynnika \(b\).
Własności współczynnika \(b\) związane są z miejscem przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Widzimy, że funkcja przecina oś dla \(y=1\). Stąd też możemy być pewni, że \(b=1\).

Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Z proponowanych odpowiedzi tylko ostatni wariant jest prawidłowy, bowiem mnożąc ujemną wartość \(a\) przez \(1\) otrzymamy liczbę mniejszą od zera.

B

Podstawiając \(x=\frac{1}{2}\) do wzoru naszej funkcji otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=4^{-\frac{1}{2}}+1$$

Z własności potęg wiemy, że ujemnej potęgi możemy się pozbyć poprzez odwrócenie liczby potęgowanej. Odwrotnością \(4\) jest \(\frac{1}{4}\) zatem otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}+1$$

Teraz przydadzą nam się własności pierwiastków. Wykładnik potęgi w postaci ułamka możemy zamienić na pierwiastek w następujący sposób:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt[2]{\frac{1}{4}^{1}}+1 \\
f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}+1$$

Tak jak pierwiastek z \(4\) to \(2\), tak pierwiastek z \(\frac{1}{4}\) to \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1 \\
f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$$

C

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe \(a\) są sobie równe. Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\) natomiast druga ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$m-2=\frac{3}{4} \\
m=2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{4}\).
Aby móc poznać wartość poszukiwanej różnicy, musimy obliczyć wartość piątego i czwartego wyrazu. Podstawiając zatem odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=4\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^2 \\
a_{5}=2\cdot25 \\
a_{5}=50 \\
\quad \\
a_{4}=2\cdot4^2 \\
a_{4}=2\cdot16 \\
a_{4}=32$$

Krok 2. Obliczenie różnicy \(a_{5}-a_{4}\).
Znając wartość piątego i czwartego wyrazu obliczenie różnicy jest już tylko formalnością:
$$a_{5}-a_{4}=50-32 \\
a_{5}-a_{4}=18$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Skoro czwarty wyraz naszego ciągu jest jest równy \(a_{4}=3\), a różnica ciągu wynosi \(r=5\), to trzeci wyraz będzie równy:
$$a_{3}=a_{4}-r \\
a_{3}=3-5 \\
a_{3}=-2$$

Analogicznie obliczymy wartość drugiego i pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{3}-r \\
a_{2}=-2-5 \\
a_{2}=-7 \\
\quad \\
a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=-7-5 \\
a_{1}=-12$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\).
Na koniec została już formalność, czyli zsumowanie wszystkich czterech wyrazów:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=-12+(-7)+(-2)+3=-18$$

D

Aby poznać wartość współczynnika \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, zatem:
$$-1=3\cdot\frac{1}{3}+b \\
-1=1+b \\
b=-2$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BOA\).
Kąt \(BOA\) jest kątem wierzchołkowym względem kąta \(DOC\). Miary kątów wierzchołkowych są sobie równe, zatem:
$$|\sphericalangle BOA|=118°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABO\). Jest to trójkąt równoramienny, bowiem boki \(BO\) oraz \(AO\) są równe długości promienia. Jedną z własności trójkątów równoramienny jest to, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro kąt \(BOA\) ma miarę \(118°\), to na dwa katy przy podstawie zostaje nam:
$$180°-118°=62°$$

Kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem każdy z nich ma miarę:
$$62°:2=31°$$

To oznacza, że miara kąta \(ABO\), a tym samym kąta \(ABC\), jest równa \(31°\).

A

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy skorzystać albo z bardzo długiego wzoru dostępnego w tablicach, albo z prostej metody układu równań. Spróbujmy zastosować właśnie tą drugą metodę. Do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) oraz punktu \(B\), dzięki czemu otrzymamy dwa równania tworzące układ równań:
\begin{cases}
-2=3a+b \\
6=-1a+b
\end{cases}

Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać odejmując równania stronami, zatem:
$$-8=4a \\
a=-2$$

Znając wartość \(a\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współczynnika \(b\). W tym celu do wybranego równania z układu (np. pierwszego) wystarczy podstawić wyznaczone przed chwilą \(a=-2\). Otrzymamy wtedy:
$$-2=3\cdot(-2)+b \\
-2=-6+b \\
b=4$$

To oznacza, że nasza prosta jest określona równaniem \(y=-2x+4\).

B

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Podpiszmy poszczególne boki trójkąta jako \(a\), \(b\) oraz \(c\):


Krok 2. Rozpisanie wartości wyrażenia.
Zgodnie z oznaczeniami na naszym rysunku \(cosα=\frac{a}{c}\) natomiast \(sin\beta=\frac{a}{c}\). Otrzymujemy więc następujące równanie:
$$2cosα-sin\beta=2\cdot\frac{a}{c}-\frac{a}{c}=\frac{a}{c}$$

Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(\frac{a}{c}\) jest równe \(cosα\), zatem całe wyrażenie jest równe właśnie \(cosα\).

A

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Symetria względem początku układu współrzędnych oznacza, że nasz punkt \(B\) będzie miał przeciwne wartości współrzędnej \(x\) oraz \(y\). Skoro więc \(A=(-3,5)\), to \(B=(3;-5)\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(3-(-3))^2+(-5-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+(-10)^2} \\
|AB|=\sqrt{36+100} \\
|AB|=\sqrt{136}=\sqrt{4\cdot34}=2\sqrt{34}$$

C

Sprawdźmy na ile sposobów możemy uzupełnić cyfrę dziesiątek oraz jednostek naszej liczby dwucyfrowej:
• W rzędzie dziesiątek może znaleźć się jedna z pięciu dostępnych cyfr, czyli mamy tutaj \(5\) możliwości uzupełnienia.
• W rzędzie jedności może znaleźć się jedna z pięciu dostępnych cyfr, oprócz tej, która została już wybrana (bo cyfry nie mogą się powtarzać), czyli mamy tutaj \(4\) możliwości uzupełnienia.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich cyfr jest:
$$5\cdot4=20$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z informacji o tym, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) wynika, że odcinki \(AP\) oraz \(RC\) mają długość \(3x\), natomiast \(PB\) oraz \(RD\) mają długość \(2x\):


Dodatkowo na rysunku możemy sobie zaznaczyć, że odcinek \(AD\) jest wysokością \(h\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni czworokąta \(APCR\).
Z treści zadania wiemy, że prostokąt \(ABCD\) o boku \(|AB|=5x\) i wysokości \(|AD|=h\) miał pole powierzchni równe \(90\). Możemy zatem zapisać, że:
$$5x\cdot h=90 \\
h=\frac{90}{5x}$$

Nasz równoległobok \(APCR\) będzie miał pole równe:
$$P=3x\cdot h$$

Podstawiając wyznaczone przed chwilą \(h=\frac{90}{5x}\) otrzymamy:
$$P=3x\cdot\frac{90}{5x} \\
P=\frac{270}{5} \\
P=54$$

A

Krok 1. Obliczenie mediany zestawy pięciu liczb.
Aby obliczyć medianę zestawu \(5, 3, 6, 8, 2\) musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej):
$$2, 3, 5, 6, 8$$

Mamy nieparzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa środkowej wartości. W tym przypadku środkową liczbą jest \(5\), zatem \(m=5\).

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Wracamy do naszego pierwszego zestawu czterech liczb \(2, 3, a, 8\). Wiemy już, że ten zestaw jest uporządkowany rosnąco, co jest niezwykle ważne przy wyznaczeniu mediany. Chcemy, by mediana tego zestawu była równa \(5\). Ten zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb. Skoro tak, to otrzymamy równanie:
$$5=\frac{3+a}{2} \\
10=3+a \\
a=7$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna naszego sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=4\sqrt{3} \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Wiemy już, że nasz sześcian ma krawędź o długości \(a=4\). Pole powierzchni sześcianu to pole sześciu jednakowych kwadratów, zatem:
$$P_{c}=6a^2 \\
P_{c}=6\cdot4^2 \\
P_{c}=6\cdot16 \\
P_{c}=96$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\), czyli możemy zapisać, że mały stożek ma wysokość równą \(2x\), natomiast duży stożek ma wysokość \(3x\).


Możemy nawet obrazowo powiedzieć, że wysokość dużego stożka jest \(1,5\) raza większa od wysokości małego stożka.

Krok 2. Obliczenie objętości dużego stożka.
Objętość stożka obliczylibyśmy ze wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Jeden i drugi stożek mają to same pole podstawy. To co je różni to jedynie wysokość. Skoro wysokość dużego stożka jest \(1,5\) raza większa od wysokości małego stożka, a obie bryły mają jednakową podstawę, to objętość dużego stożka musi być \(1,5\) raza większa od objętości małego stożka. W związku z tym:
$$V_{d}=1,5\cdot12cm^3 \\
V_{d}=18cm^3$$

Krok 3. Obliczenie sumy objętości małego i dużego stożka.
Na koniec musimy zsumować objętości małego i dużego stożka:
$$V=12cm^3+18cm^3=30cm^3$$

\(x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć wszystkie wartości i przenieść wszystko na lewą stronę:
$$2(x-1)(x+3)\gt x-1 \\
(2x-2)(x+3)\gt x-1 \\
2x^2+6x-2x-6\gt x-1 \\
2x^2+4x-6\gt x-1 \\
2x^2+3x-5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot2}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie suma przedziałów:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-1 \lor x=0 \lor x=1 \lor x=2\)

Aby rozwiązać to równanie musimy zachowywać się tak jak przy postaci iloczynowej - czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x^2-2x=0$$

Powstały nam do rozwiązania dwa proste równania (można je obliczyć bez wyznaczania delty). Rozpatrzmy każde z nich osobno.

Równanie \(x^2-1=0\) możemy rozwiązać niemalże w pamięci, przenosząc jedynkę na prawą stronę:
$$x^2-1=0 \\
x^2=1 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1$$

Równanie \(x^2-2x=0\) rozwiążemy wyłączając \(x\) przed nawias:
$$x^2-2x=0 \\
x(x-2)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

To oznacza, że całe nasze równanie ma aż cztery rozwiązania: \(x=-1 \lor x=0 \lor x=1 \lor x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przyrównasz wartości w nawiasach do zera, tworząc w ten sposób dwa równania kwadratowe.
ALBO
• Gdy podasz rozwiązania tylko jednego z równań kwadratowych.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:
$$a(a-2b)+2b^2\gt0 \\
a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$

Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy:
$$(a-b)^2+b^2\gt0$$

Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero.

Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz nierówność w postaci \((a-b)^2+b^2\gt0\), ale nie wykonasz pełnego uzasadnienia.
ALBO
• Gdy obliczysz deltę w taki sposób, by mieć tylko jedną zmienną i stwierdzisz jedynie, że jest ona niedodatnia (bez pełnego uzasadnienia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając z własności figur podobnych.

Krok 1. Rozpisanie długości odcinka \(CE\)
Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). To z kolei oznacza, że \(|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Z treści zadania wynika, że odcinek \(CE\) stanowi \(\frac{3}{4}\) odcinka \(CD\), zatem:
$$|CE|=\frac{3}{4}|CD| \\
|CE|=\frac{3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|CE|=\frac{3\sqrt{3}a}{8}$$

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(CEF\) oraz \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\). Jeden i drugi trójkąt jest prostokątny, czyli wiemy już, że na pewno mają jedną wspólną miarę kątów. Jeden i drugi trójkąt mają też wspólny kąt \(ECF\), zatem już dwa kąty w tych trójkątach są jednakowej miary. To z kolei oznacza, że i trzeci kąt w tych trójkątach musi mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąt \(CEF\) jest podobny do trójkąta \(CDB\).

Krok 3. Ułożenie równania i wyznaczenie długości odcinka \(CF\).
Skoro trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\) są podobne, to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|} \\
\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}a}{8}}{a} \\
\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{8} \\
|CF|=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|CF|=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot a}{8\cdot2} \\
|CF|=\frac{9a}{16}=\frac{9}{16}a$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Długość \(a\) jest długością każdego z trzech boków naszego trójkąta, zatem także i boku \(BC\). Możemy więc zapisać, że z obliczeń otrzymaliśmy równanie \(|CF|=\frac{9}{16}|BC|\), czyli dokładnie takie jakie było w treści zadania. To kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz długości odcinków \(BC\) i \(CF\) w zależności od jednej zmiennej np. \(a\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz skalę podobieństwa trójkątów \(BCD\) oraz \(CEF\), czyli \(k=\frac{8\sqrt{3}}{9}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{11}{36}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których przynajmniej na jednej kostce wypadła piątka. Aby nie zgubić żadnego zdarzenia, to wypiszmy je sobie w następujący sposób:
$$(1,5) \\
(2,5) \\
(3,5) \\
(4,5) \\
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\
(6,5)$$

To oznacza, że \(11\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=11\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{11}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających \(|A|=11\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(tgα=\frac{1}{2}\)

Aby rozwiązać to zadanie, musimy na samym początku pomnożyć całość przez \(cosα\):
$$\frac{2sinα+3cosα}{cosα}=4 \quad\bigg/\cdot cosα \\
2sinα+3cosα=4cosα \\
2sinα=cosα \quad\bigg/: cosα \\
\frac{2sinα}{cosα}=1$$

Z własności tangesa wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), zatem wartość \(\frac{2sinα}{cosα}\) jest równa po prostu \(2tgα\). Skoro tak, to:
$$2tgα=1 \\
tgα=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do jednej z kluczowych postaci np. \(2sinα=cosα\) lub \(2tgα+3=4\) lub \(2\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\) lub \(2a=b\) lub innej podobnej.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Współrzędne \(\left(1;\frac{4}{3}\right)\). Pole powierzchni \(P=50\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic tej sytuacji, zaznaczając przy okazji miejsce przecięcia się przekątnych \(AC\) oraz \(BD\):


Na szkicu nie musimy zaznaczać tego pomarańczowego kwadratu - służy on jedynie lepszemu wyobrażeniu tego co za chwilę będziemy liczyć.

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) przekątnej \(AC\).
Przekątne kwadratu przecinają się zawsze pod kątem prostym. To oznacza, że przekątne \(AC\) oraz \(BD\) są względem siebie prostopadłe. Aby dwie były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Z treści zadania wiemy, że współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BD\) jest równy \(\frac{4}{3}\), zatem współczynnik \(a\) prostej \(AC\) będzie równy \(-\frac{3}{4}\), bo \(-\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=-1\).

To z kolei oznacza, że równanie prostej \(AC\) możemy już zapisać jako \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Do pełnego równania brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(b\) przekątnej \(AC\).
Wiemy już, że prosta AC wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów, który należy do tej prostej. Takim punktem jest punkt \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\), zatem:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \\
-\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}\cdot5+b \\
-\frac{5}{3}=-\frac{15}{4}+b \\
-\frac{20}{12}=-\frac{45}{12}+b \\
b=\frac{25}{12}$$

To oznacza, że nasza prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że kiedy zbudujemy układ równań składający się z dwóch prostych, to rozwiązaniem tego układu będą współrzędne punktu ich przecięcia. Skoro tak, to wyznaczmy miejsce przecięcia się naszych przekątnych:
\begin{cases}
y=\frac{4}{3}x \\
y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{4}{3}x=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
16x=-9x+25 \\
25x=25 \\
x=1$$

Znając wartość iksa, możemy bez problemu poznać igreka. W tym celu wystarczy do dowolnego równania z układu równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczone x=1, zatem:
$$y=\frac{4}{3}x \\
y=\frac{4}{3}\cdot1 \\
y=\frac{4}{3}$$

To oznacza, że nasze przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(1;\frac{4}{3}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AS\) i przekątnej \(AC\).
Odcinek \(AS\) jest połową długości przekątnej naszego kwadratu. Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(S\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{(1-5)^2+\left(\frac{4}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)^2} \\
|AS|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \\
|AS|=\sqrt{16+9} \\
|AS|=\sqrt{25} \\
|AS|=5$$

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, zatem odcinek \(AC\) będzie dwukrotnie większy od odcinka \(AS\). Skoro tak, to:
$$|AC|=2\cdot5 \\
|AC|=10$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni kwadratu \(ABCD\).
Znając długość przekątnej moglibyśmy oczywiście wyznaczyć długość boku kwadratu, a dopiero potem pole powierzchni, ale możemy też postąpić nieco sprytniej i skorzystać z innego wzoru na pole kwadratu (takiego samego jak pole rombu):
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot10 \\
P=50$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AC\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość połowy przekątnej kwadratu (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równania prostych \(AB\) oraz \(AD\), czyli \(y=\frac{1}{7}x-\frac{50}{21}\) oraz \(y=-7x+\frac{100}{3}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AC\) (patrz: Krok 3.) oraz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych kwadratu (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość połowy/całej przekątnej kwadratu (patrz: Krok 5.) oraz obliczysz pole kwadratu (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równania prostych \(AB\) oraz \(AD\) oraz obliczysz współrzędne wierzchołków \(B=\left(-2;-\frac{8}{3}\right)\) oraz \(D=\left(4;\frac{16}{3}\right)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych kwadratu (patrz: Krok 4.). oraz długość połowy/całej przekątnej kwadratu (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole kwadratu (patrz: Krok 6.) oraz zapiszesz równanie typu \((x-5)^2+\left(\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\right)^2=25\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(q=3\)

Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.
Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do naszego równania \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\) otrzymamy:
$$6a_{1}-5\cdot(a_{1}\cdot q)+a_{1}\cdot q^2=0 \\
6a_{1}-5a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2=0$$

I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć \(a_{1}\) przed nawias, otrzymując:
$$a_{1}\cdot(6-5q+q^2)=0 \quad\bigg/:a_{1} \\
6-5q+q^2=0 \\
q^2-5q+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$q_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
q_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(q\) musi należeć do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\). Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy założyć, że nasz iloraz \(q\) musi być większy od około \(2,82\) i mniejszy od \(4,23\). Taki warunek spełnia jedynie \(q=3\) i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{3}\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z dwoma niewiadomymi: \(a_{1}\) oraz \(q\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania w którym jest tylko niewiadoma \(q\) (patrz: Krok 1.) i rozwiążesz to równanie (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{32\sqrt{7}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W rysunku pomocniczym najważniejsze jest to, by zaznaczyć poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Kiedy naniesiemy na rysunek dane z treści zadania, to otrzymamy taką oto sytuację:


Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie przede wszystkim niebieskiego trójkąta prostokątnego \(SOE\) w którym dolna przyprostokątna jest połową długości krawędzi podstawy, boczna przyprostokątna jest wysokością bryły, a przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej.

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń, które wynikają z informacji na temat tangensa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny \(SOE\). Wiemy, że \(tgα=\sqrt{7}\). Tangens jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. I tu pojawia się problem, bo nie znamy ani jednej, ani drugiej długości. Zastanówmy się jednak co się musi stać, aby tangens naszego kąta \(α\) był równy \(\sqrt{7}\). Aby tak się stało, to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(α\) (czyli nasza wysokość ostrosłupa) musi być \(\sqrt{7}\) razy większa od przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Jeżeli więc dolna przyprostokątna leżąca przy kącie \(α\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), to wtedy wysokość naszej bryły będzie miała długość \(\sqrt{7}\cdot\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{7}}{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na zielony trójkąt prostokątny \(SOC\). Ten trójkąt w dolnej przyprostokątnej ma połowę długości przekątnej kwadratu, jego boczną przyprostokątną jest wysokość bryły, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna o długości \(6\).

Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), czyli przyprostokątna \(OC\) będzie mieć długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2=6^2 \\
\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{4}=36 \\
\frac{9a^2}{4}=36 \\
9a^2=144 \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wiemy, że ostrosłup ma długość \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\), zatem skoro \(a=4\), to:
$$H=\frac{4\sqrt{7}}{2}=2\sqrt{7}$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Na koniec została już tylko formalność, bowiem skoro \(a=4\) oraz \(H=2\sqrt{7}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot2\sqrt{7} \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{7} \\
V=\frac{32\sqrt{7}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z definicji tangensa (patrz: Krok 2.), albo sinusa, albo cosinusa.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z dwiema niewiadomymi, które wynika z Twierdzenia Pitagorasa w którymś z trójkątów.
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania - jedno wynikające z definicji funkcji trygonometrycznych, a drugie z Twierdzenia Pitagorasa i będziesz mieć w tych równaniach dwie identyczne niewiadome (np. \(h\) oraz \(a\)).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania z jedną niewiadomą (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.