Matura próbna – Matematyka – Operon 2022 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – Operon 2022. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2022

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\left((1+\sqrt{8})^2-(1-2\sqrt{2})^2\right)^2\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(log_{\frac{1}{4}}\left(log_{4}20-log_{4}5\right)\) jest równa:

Zadanie 3. (2pkt) Doszło do połączenia dwóch firm zajmujących się tym samym rodzajem usług. Firma \(A\) zatrudniała \(25\) pracowników, a w firmie \(B\) były zatrudnione \(24\) osoby. Średnia miesięczna płaca w firmie \(A\) wynosiła brutto \(6584 zł\), a średnia miesięczna płaca w firmie \(B\) była równa brutto \(5800 zł\).

Zadanie 3.1. (1pkt) Bezpośrednio po połączeniu firm warunki płacowe pozostały bez zmian. Oblicz średnią miesięczną płacę brutto w nowej firmie. Wynik obliczeń zapisz w miejscu wykropkowanym.
$$.....................$$

Zadanie 3.2. (1pkt) Do zarządzania powstałą firmą przyjęto nowego pracownika. Okazało się, że po jego przyjęciu średnia płaca wyniosła \(6543 zł\). Miesięczna płaca brutto nowego pracownika wynosi:

Zadanie 4. (1pkt) Suma \(25\%\) liczby \(a\) i \(60\%\) liczby \(b\) jest liczbą równą \(4,4\), a \(110\%\) różnicy liczby \(a\) i liczby \(b\) również jest liczbą równą \(4,4\).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prawdziwa jest równość \(1,25a+1,6b=4,4\).

P

F

Liczba \(a=8\), a liczba \(b=4\).

P

F

Zadanie 5. (1pkt) W pewnym banku odsetki są doliczane po każdym roku oszczędzania. Klient wpłacił do banku \(12 000 zł\) na lokatę dwuletnią oprocentowaną w wysokości \(p\%\) w skali roku i po dwóch latach miał na koncie (przed odliczeniem podatku) \(13 483,2 zł\). Oprocentowanie \(p\%\) tej lokaty w skali roku wynosiło:

Zadanie 6. (3pkt) Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(k\) liczba \(k^4+2k^3-k^2-2k\) jest liczbą podzielną przez \(12\). Zapisz pełny tok rozumowania.

Zadanie 7. (3pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\), którą opisują wzory:
$$f(x)=\begin{cases}ax+b \text{ dla } x\in\langle-1,0\rangle \\ x^2-1 \text{ dla } x\in(0,2\rangle\end{cases}$$

Do tego wykresu należą między innymi punkty o współrzędnych: \((-1,4), (0,-1)\).
matura z matematyki

Zadanie 7.1. (1pkt) Ujemnym miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

Zadanie 7.2. (1pkt) Podaj zbiór wartości funkcji \(f\). Wynik zapisz w miejscu wykropkowanym.
$$.....................$$

Zadanie 7.3. (1pkt) Wykres funkcji \(f\) przekształcono przez symetrię osiową, a następnie otrzymany wykres przesunięto. W wyniku tych przekształceń powstał wykres funkcji \(h\), przedstawiony na rysunku obok.
matura z matematyki

Funkcję \(h\) opisuje wzór:

Zadanie 8. (1pkt) Dane jest równanie \((a^2-4)x=a^2-2a\) z niewiadomą \(x\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.

A.
B.
C.
Gdy podstawimy \(a=0\), to zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty,
Gdy podstawimy \(a=2\), to zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty,
Gdy podstawimy \(a=-2\), to zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty,
ponieważ wtedy równanie ma postać
1
2
3
\(-4x=0\)
\(0\cdot x=8\)
\(0\cdot x=0\)

Zadanie 9. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa o wzorze \(f(x)=-x^2-2x+35\). Wzór tej funkcji można przedstawić w postaci:

Zadanie 10. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) o wzorze \(f(x)=x^2-6x+9\). Funkcja \(f\) przyjmuje:

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=(x^2-a)(-x^2+ax-4)\). Ten wielomian nie ma pierwiastków, między innymi gdy:

Zadanie 12. (1pkt) W wyniku wielu doświadczeń bakteriolodzy ustalili, że liczba bakterii pewnej kultury rośnie zgodnie ze wzorem \(L(t)=180\cdot2^{t}\), gdzie \(L(t)\) oznacza liczbę bakterii po \(t\) godzinach od rozpoczęcia doświadczenia.

W trakcie trwania szóstej godziny doświadczenia liczebność kolonii zwiększy się o:

Zadanie 13. (4pkt) Na rysunku przedstawiono plan pewnego terenu.
matura z matematyki

Z punktu \(A\) do punktu \(B\) można dojść: polną drogą przez punkt \(D\) lub łąką bezpośrednio z \(A\) do \(B\) albo najkrótszą trasą przez łąkę do punktu \(C\), leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu \(B\). Na podstawie mapy terenu wymodelowano kształt polnej drogi w kartezjańskim układzie współrzędnych \(XOY\) za pomocą fragmentu wykresu funkcji \(f(x)=-x^2+2x+3\). Punkt \(C\) pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, szosa leży na osi \(OX\), jednostki na obu osiach odpowiadają \(1\) kilometrowi. Punkt \(D\) jest wierzchołkiem paraboli.
matura z matematyki

Zadanie 13.1. (1pkt) Piechur powędrował polną drogą od punktu \(A\) przez punkt \(D\) do punktu \(B\). Oblicz, jaka była największa odległość piechura od szosy podczas wędrówki (przyjmij, że odległość punktu pobytu piechura na polnej drodze od szosy to odległość punktu na paraboli od prostej \(BC\)). Zapisz obliczenia.

Zadanie 13.2. (3pkt) Oblicz, ile minut (z dokładnością do \(1\) minuty) zajmie piechurowi wędrówka łąką bezpośrednio z \(A\) do \(B\), a ile będzie trwać wędrówka najpierw najkrótszą trasą przez łąkę do punktu \(C\), leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu \(B\). Przyjmij, że po szosie piechur porusza się z prędkością \(5\frac{km}{h}\), a po łące – z prędkością \(3\frac{km}{h}\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 14. (1pkt) W ciągu arytmetycznym wyraz czwarty jest równy \(1\), a wyraz dwunasty jest równy \(25\). Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa:

Zadanie 15. (4pkt) Łamana składa się z odcinków, z których pierwszy ma długość \(16 cm\), a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Suma długości wszystkich odcinków tej łamanej jest równa \(31 cm\). Oblicz, o ile procent wzrosłaby suma długości wszystkich odcinków łamanej, jeśli liczba jej odcinków zostałaby podwojona, a zasada tworzenia kolejnych odcinków pozostałaby bez zmian. Zapisz swoje obliczenia.

Zadanie 16. (1pkt) Dana jest liczba \(a=\dfrac{sin^2\alpha}{1+cos^2\alpha}\), gdzie \(\alpha\) jest miarą pewnego kąta ostrego.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeżeli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

\(a=1-\dfrac{sin\alpha}{tg\alpha}\)

P

F

\(a=\dfrac{cos^2\alpha+2cos\alpha+1}{1+cos\alpha}\)

P

F

Zadanie 17. (1pkt) Trójkąt \(ABS\) jest trójkątem, którego wierzchołek \(S\) leży w środku okręgu o promieniu długości \(18\), a punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu oraz \(\sphericalangle ASB=40°\). Długość łuku okręgu, na którym opiera się kąt \(ASB\), jest równa:

Zadanie 18. (2pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\), gdzie \(|AC|=|BC|\) i \(|AB|=16cm\), poprowadzono środkowe \(AA_{1}\), \(BB_{1}\), \(CC_{1}\), które przecięły się w punkcie \(P\) odległym od podstawy \(AB\) o \(2 cm\). Wyznacz pola trójkątów \(ABC\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 19. (4pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), o punktach \(A=(2,2\sqrt{3})\) i \(C=(9,3\sqrt{3})\), którego długości boków wynoszą \(|AB|=4\) i \(|BC|=6\sqrt{3}\).

Zadanie 19.1. (1pkt) Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\). Wynik obliczeń zapisz w miejscu wykropkowanym.

Zadanie 19.2. (1pkt) Prosta prostopadła do prostej o równaniu \(y=2x-4\), przechodząca przez punkt \(A\), ma równanie:

Zadanie 19.3. (2pkt) Wyznacz miarę kąta \(ABC\). Zapisz wyniki obliczeń.

Zadanie 20. (1pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie \((-2, 4)\) i promieniu długości \(9\). Równanie tego okręgu ma postać:

Zadanie 21. (3pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu długości \(r=6 cm\). Na tym okręgu rozmieszczono punkty \(A, B, C\) i \(D\) tak, że \(BD\) jest średnicą okręgu, \(\sphericalangle CSD=40°\) i \(\sphericalangle ADB=30°\) (patrz rysunek). Miary kątów utworzonego czworokąta oznaczono następująco: \(|\sphericalangle BAD|=\alpha\), \(|\sphericalangle ABC|=\beta\), \(|\sphericalangle BCD|=\gamma\) i \(|\sphericalangle CDA|=\delta\)
matura z matematyki

Zadanie 21.1. (1pkt) Długość odcinka \(AB\) jest równa:

Zadanie 21.2. (2pkt) Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi spośród podanych, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe. Prawdziwa jest równość:

Zadanie 22. (4pkt) Uczniów pewnej szkoły pogrupowano według ukończonej liczby lat. Wyniki badania przedstawiono na diagramie.
matura z matematyki

Zadanie 22.1. (1pkt) Medianą tego zestawu danych jest:

Zadanie 22.2. (3pkt) Spośród uczniów tej szkoły wylosowano jedną osobę, a następnie z pozostałych wylosowano drugą osobę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że przynajmniej jedna z wylosowanych osób ma co najmniej \(18\) lat. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego, zaokrąglając go do części setnych. Zapisz swoje obliczenia.

Zadanie 23. (1pkt) Zbiór \(A\) składa się ze wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, do zapisu których wykorzystano dokładnie dwie jedynki. Liczba elementów należących do zbioru \(A\) jest równa:

Zadanie 24. (1pkt) W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędź podstawy jest dwa razy krótsza niż krawędź boczna. Miarą kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest \(\alpha\). Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 25. (2pkt) Prostopadłościan o wysokości długości \(10 cm\) ma w podstawie prostokąt o obwodzie \(24 cm\). Objętość tego prostopadłościanu jest największa z możliwych. Oblicz tę objętość. Zapisz swoje obliczenia.

Ten arkusz możesz pobrać w formie PDF:

2 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
fan zadan za 4pkt

Jaka będzie dziedzina w zad. 25?