Matura próbna – Matematyka – Operon 2022 – Odpowiedzi

A

W tym zadaniu dobrze byłoby zauważyć, że \(\sqrt{8}\) (z pierwszego nawiasu) to jest dokładnie to samo co \(2\sqrt{2}\) (które znajdują się w drugim nawiasie). Aby obliczenia były nieco prostsze, dobrze byłoby właśnie ujednolicić te nawiasy, zapisując całość jako np.:
$$\left((1+\sqrt{8})^2-(1-\sqrt{8})^2\right)^2$$

Teraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, moglibyśmy zapisać, że:
$$\left((1+\sqrt{8})^2-(1-\sqrt{8})^2\right)^2= \\
=((1+2\sqrt{8}+8)-(1-2\sqrt{8}+8))^2= \\
=(1+2\sqrt{8}+8-1+2\sqrt{8}-8)^2= \\
=(2\sqrt{8}+2\sqrt{8})^2=(4\sqrt{8})^2= \\
=16\cdot8=128$$

D

W nawiasie mamy różnicę logarytmów o tej samej podstawie, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{\frac{1}{4}}\left(log_{4}20-log_{4}5\right)= \\
=log_{\frac{1}{4}}\left(log_{4}\frac{20}{5}\right)= \\
=log_{\frac{1}{4}}\left(log_{4}4\right)= \\
=log_{\frac{1}{4}}1=0$$

Powiedzmy sobie jeszcze, dlaczego \(log_{\frac{1}{4}}1\) jest równe \(0\)? Każda liczba różna od zera, która jest podniesiona do potęgi \(0\), daje wynik równy \(1\), stąd też jakikolwiek logarytm w którym liczba logarytmowana jest równa \(1\), daje wynik równy \(0\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
\(25\%\) liczby \(a\) to \(0,25a\), natomiast \(60\%\) liczby \(b\) to \(0,6b\). Z treści zadania wynika, że \(0,25a+0,6b\) daje wynik równy \(4,4\), zatem pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z treści zadania wynikają tak naprawdę dwa równania. Pierwsze już zapisaliśmy wcześniej, czyli \(0,25a+0,6b=4,4\). Drugie równanie to \(1,1\cdot(a-b)=4,4\), bo \(110\%\) to właśnie \(1,1\). Z tych dwóch równań możemy ułożyć następujący układ:
$$\begin{cases}
0,25a+0,6b=4,4 \\
1,1\cdot(a-b)=4,4
\end{cases}$$

Ten układ możemy rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba jedną z szybszych metod będzie rozpoczęcie od podzielenia obydwu stron drugiego równania przez \(1,1\), dzięki czemu otrzymamy:
\begin{cases}
0,25a+0,6b=4,4 \\
a-b=4
\end{cases}

\begin{cases}
0,25a+0,6b=4,4 \\
a=4+b
\end{cases}

Teraz podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$0,25\cdot(4+b)+0,6b=4,4 \\
1+0,25b+0,6b=4,4 \\
0,85b=3,4 \\
b=4$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(b=4\) do dowolnego równania z układu, np. do równania \(a-b=4\) obliczymy brakującą wartość \(a\), zatem:
$$a-4=4 \\
a=8$$

Rozwiązaniem tego układu jest więc para liczb \(a=8\) oraz \(b=4\), zatem zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Ułożenie równania.
Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K_{n}=13483,2\)
\(K=12000\)
\(n=2\)

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$13483,2=12000\cdot(1+p)^{2} \\
1,1236=(1+p)^2$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście doprowadzić to równanie do postaci ogólnej i całość rozwiązać za pomocą delty, ale znacznie prościej będzie rozpisać to w następujący sposób:
$$1+p=\sqrt{1,1236} \quad\lor\quad 1+p=-\sqrt{1,1236} \\
1+p=1,06 \quad\lor\quad 1+p=-1,06 \\
p=0,06 \quad\lor\quad p=-2,06$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam jedynie \(p=0,06=6\%\).

Udowodniono przekształcając podaną liczbę na iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych.

Wyłączając wspólny czynnik \(k\) przed nawias, otrzymamy:
$$k^4+2k^3-k^2-2k=k\cdot(k^3+2k^2-k-2)$$

Spójrzmy teraz na wyrażenie w nawiasie. Możemy tam zastosować tak zwaną metodę grupowania wyrazów, co pozwoli nam rozpisać to wyrażenie z nawiasu jako:
$$k^3+2k^2-k-2= \\
=k^2(k+2)-1(k+2)= \\
=(k^2-1)(k+2)$$

Wracając zatem do postaci \(k\cdot(k^3+2k^2-k-2)\) i podstawiając do niej to, co rozpisaliśmy przed chwilą, mamy już zapis:
$$k\cdot(k^2-1)(k+2)$$

Teraz moglibyśmy dostrzec, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)\) damy radę rozpisać \(k^2-1\) jako \((k-1)\cdot(k+1)\). Mamy więc już postać:
$$k\cdot(k-1)\cdot(k+1)\cdot(k+2) \\
(k-1)\cdot k\cdot(k+1)\cdot(k+2)$$

W ten sposób otrzymaliśmy tak naprawdę iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\) oraz \(k+2\). Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest na pewno podzielny przez \(4\). Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych będzie za to podzielny przez \(3\). Ta liczba jest więc jednocześnie podzielna przez \(4\) i \(3\), czyli tym samym będzie podzielna przez iloczyn \(4\cdot3\), czyli przez \(12\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci iloczynowej w której pojawi się wykładnik drugiego stopnia np. \(k\cdot(k+2)\cdot(k^2-1)\).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci iloczynowej w której nie będzie liczb podniesionych do kwadratu np. \(k(k-1)(k+1)(k+2)\).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

C. 2,

Ustalmy najpierw o co konkretnie chodzi w tym zadaniu. Musimy ustalić, kiedy zbiór rozwiązań tego równania jest zbiorem pustym, czyli kiedy to równanie po prostu nie ma rozwiązań. Aby równanie nie miało rozwiązań, musimy otrzymać sprzeczność typu np. \(2=4\) albo \(0=-1\). Sprawdźmy zatem jak będzie kształtować się sytuacja dla poszczególnych propozycji, czyli dla \(a=0\), \(a=2\) oraz \(a=-2\).

Dla \(a=0\) otrzymamy:
$$(0^2-4)x=0^2-2\cdot0 \\
(0-4)x=0-0 \\
-4x=0 \\
x=0$$

To nie jest sytuacja, która nas interesuje, ponieważ to równanie ma rozwiązanie.

Dla \(a=2\) otrzymamy:
$$(2^2-4)x=2^2-2\cdot2 \\
(4-4)x=4-4 \\
0\cdot x=0 \\
L=P$$

To także nie jest więc sytuacja, która nas interesuje, ponieważ tutaj lewa i prawa strona równania sa sobie równe, a to oznacza, że takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla \(a=-2\) otrzymamy:
$$((-2)^2-4)x=(-2)^2-2\cdot(-2) \\
(4-4)x=4-(-4) \\
0\cdot x=8 \\
L\neq P$$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ nie istnieje jakikolwiek \(x\), który pomnożony przez \(0\) dałby wynik równy \(8\). To jest więc sytuacja, której szukaliśmy. Możemy więc powiedzieć, że zbiór rozwiązań tego równania jest pusty dla \(a=-2\), ponieważ wtedy równanie ma postać \(0\cdot x=8\).

B

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Celem zadania jest przekształcenie wzoru funkcji z postaci ogólnej na postać iloczynową typu \(f(x)=a\cdot(x-x_{1})(x-x_{2})\). Do wyznaczenia postaci iloczynowej potrzebujemy miejsc zerowych funkcji, czyli musimy sprawdzić kiedy \(-x^2-2x+35=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam klasyczna delta:

Współczynniki: \(a=-1,\;b=-2,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot35=4-(-140)=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-12}{2\cdot(-1)}=\frac{2-12}{-2}=\frac{-10}{-2}=5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+12}{2\cdot(-1)}=\frac{2+12}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Musimy teraz podstawić wyznaczone miejsca zerowe do postaci iloczynowej. Przy okazji musimy też pamiętać o współczynniku \(a\), który jest równy \(-1\) (wiemy to z postaci ogólnej). W związku z tym wzór będzie wyglądał następująco:
$$f(x)=-1\cdot(x-5)(x-(-7)) \\
f(x)=-(x-5)(x+7)$$

D

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli tak naprawdę rozwiązać równanie \(x^2-6x+9=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=9\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0$$

Delta wyszła równa \(0\), więc będziemy mieć tylko jedno miejsce zerowe:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem ramiona paraboli będą skierowane do góry. To oznacza, że nasza funkcja wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie oraz wartość równą \(0\), stąd też możemy stwierdzić, że przyjmuje ona jedynie wartości nieujemne.

C

Krok 1. Ustalenie, kiedy wielomian nie ma pierwiastków.
Pierwiastkiem wielomianu jest taka zmienna \(x\), dla którego wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Nasz wielomian przyjmie wartość równą \(0\) wtedy, gdy któryś z nawiasów będzie równy \(0\). Idea zadania polega więc na tym, by sprawdzić dla jakiego parametru \(a\) otrzymamy w nawiasach wyrażenia, które nigdy nie będą równe \(0\).

Krok 2. Ustalenie, kiedy wyrażenie \(x^2-a\) nie przyjmuje wartości równej \(0\).
Spójrzmy na wyrażenie z pierwszego nawiasu, czyli \(x^2-a\). Jeśli \(a\) będzie jakąś liczbą dodatnią (np. równą \(4\) albo \(99\)), to przyrównując to wyrażenie do zera zawsze będziemy otrzymywać równania typu \(x^2-4=0\) albo \(x^2-99=0\), a takie równania jak najbardziej mają rozwiązania, czyli tym samym nasz wielomian będzie miał pierwiastki. Gdyby jednak \(a\) było liczbą ujemną (np. równą \(-4\) albo \(-99\)), to mielibyśmy równania typu \(x^2+4=0\) lub \(x^2+99=0\), a takie równania już rozwiązań nie mają (bo tak przykładowo \(x^2+4=0\) daje postać \(x^2=-4\), a nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny). To prowadzi nas do wniosku, że nasze \(a\) musi być na pewno ujemne.

Oczywiście nie każde ujemne \(a\) sprawi, że wielomian nie ma pierwiastków, ponieważ jest jeszcze drugi nawias, który także musimy przeanalizować. Nie mniej jednak skupiamy się już tylko na odpowiedziach C oraz D.

Krok 3. Ustalenie, kiedy wyrażenie \(-x^2+ax-4\) nie przyjmuje wartości równej \(0\).
W drugim nawiasie mamy wyrażenie \(-x^2+ax-4\). Widzimy, że przyrównując to wyrażenie do zera będziemy więc mieć równania kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby takie równanie nie miało rozwiązań, musi nam wyjść ujemna delta. Jeśli \(a=-2\), to otrzymamy równanie \(-x^2-2x-4=0\). Delta będzie więc tutaj równa:
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)=4-16=-12$$

Delta jest ujemna, więc takie równanie nie będzie miało rozwiązań, a tym samym wielomian nie będzie miał pierwiastków. To jest więc sytuacja, która nas interesuje, zatem mamy poprawną odpowiedź: \(a=-2\).

Sprawdźmy jeszcze co się stanie, gdy \(a=-5\). Otrzymamy wtedy równanie \(-x^2-5x-4=0\), a delta będzie tutaj równa:
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)=25-16=9$$

Delta wyszła dodatnia, więc takie równanie będzie miało rozwiązania, a tym samym wielomian będzie miał pierwiastki.

B

Kluczem do poprawnego rozwiązania tego zadania jest ustalenie jaka jest wartość \(t\), ponieważ cała reszta sprowadza się już jedynie do podstawienia danych do wzoru. Dobrze wyjaśni to poniższy rysunek:


Widzimy, że w trakcie szóstej godziny mamy jeszcze \(t=5\), zatem:
$$L(5)=180\cdot2^5 \\
L(5)=180\cdot32 \\
L(5)=5760$$

B

Korzystając ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}\cdot(n-1)r\) możemy rozpisać czwarty i dwunasty wyraz naszego ciągu:
$$a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{12}=a_{1}+11r$$

Podstawiając informacje z treści zadania, czyli \(a_{4}=1\) oraz \(a_{12}=25\), otrzymamy taki oto układ równań:
\begin{cases}
1=a_{1}+3r \\
25=a_{1}+11r
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy teraz:
$$-24=-8r \\
r=3$$

\(3,125\%\)

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że długości poszczególnych odcinków będą tworzyły ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=16\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) (ponieważ każdy kolejny wyraz jest dwa razy mniejszy od poprzedniego). Dodatkowo wiemy, że suma wszystkich odcinków jest równa \(31\), czyli moglibyśmy też dodać, że \(S_{n}=31\).

Krok 2. Obliczenie liczby odcinków.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Jedyną niewiadomą w tym ciągu jest \(n\), czyli tak naprawdę liczba odcinków naszej łamanej. Podstawiając wszystkie znane dane, otrzymamy:
$$31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} \\
31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
\frac{31}{2}=16\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \quad\bigg/:16 \\
\frac{31}{32}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
-\frac{1}{32}=-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{32} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\
n=5$$

Wyszło nam, że ten ciąg ma \(5\) wyrazów, czyli tym samym nasza łamana składa się z \(5\) odcinków.

Krok 3. Obliczenie sumy długości nowej łamanej.
Nowa łamana ma mieć zgodnie z treścią dwa razy więcej odcinków, czyli \(n=2\cdot5=10\). Chcemy obliczyć długość ten nowej łamanej, czyli musimy wyznaczyć teraz \(S_{10}\). Podstawiając zatem dane do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, otrzymamy:
$$S_{10}=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{1023}{32}=31\frac{31}{32}$$

Krok 4. Obliczenie o ile procent wzrosłaby suma długości odcinków łamanej.
Bazując na obliczeniu \(S_{5}\) oraz \(S_{10}\) możemy stwierdzić, że długość łamanej wzrosłaby o:
$$S_{10}-S_{5}=31\frac{31}{32}-31 \\
S_{10}-S_{5}=\frac{31}{32}$$

Celem zadania jest podanie wzrostu wyrażonego w procentach, zatem skoro łamana o długości \(31\) wzrosłaby o \(\frac{31}{32}\), to procentowo ten wzrost by wyniósł:
$$\frac{\frac{31}{32}}{31}=\frac{31}{32}:31=\frac{31}{32}\cdot\frac{1}{31}= \\
=\frac{1}{32}=0,03125=3,125\%$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie wartości liczbowej liczby \(a\) dla konkretnego kąta.
Zazwyczaj w tego typu zadaniach próbujemy dokonać pewnych przekształceń, tak aby otrzymać prostszą formę zapisu. W tym konkretnym zadaniu nie jest to takie proste, zwłaszcza że trzeba byłoby odpowiednio przekształcić aż trzy równania. Skoro jest to zadanie zamknięte, to spróbujmy nieco sprytniejszej metody i sprawdźmy jakie wartości \(a\) otrzymamy dla konkretnego kąta np. \(60°\). W naszych wyrażeniach występują funkcje sinus, cosinus oraz tangens, więc od razu może zapiszmy, że:
$$sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
cos60°=\frac{1}{2} \\
tg60°=\sqrt{3}$$

Podstawmy teraz odpowiednie wartości do równania z treści zadania, otrzymując:
$$a=\frac{sin^2\alpha}{1+cos^2\alpha} \\
a=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\
a=\frac{\frac{3}{4}}{1+\frac{1}{4}} \\
a=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} \\
a=\frac{3}{4}:\frac{5}{4} \\
a=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5} \\
a=\frac{3}{5}$$


Krok 2. Sprawdzenie poprawności pierwszego zdania.
Sprawdźmy teraz jak zachowa się nasza liczba z pierwszego podpunktu dla kąta \(60°\):
$$a=1-\frac{sin\alpha}{tg\alpha} \\
a=1-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} \\
a=1-\frac{\sqrt{3}}{2}:\sqrt{3} \\
a=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} \\
a=1-\frac{1}{2} \\
a=\frac{1}{2}$$

Widzimy, że otrzymaliśmy inną wartość niż w liczbie z treści zadania. To oznacza, że podana tutaj równość jest na pewno fałszywa.

Krok 3. Sprawdzenie poprawności drugiego zdania.
I analogicznie sprawdzamy teraz poprawność równania z drugiego podpunktu dla kąta \(60°\):
$$a=\frac{cos^2\alpha+2cos\alpha+1}{1+cos\alpha} \\
a=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}+1}{1+\frac{1}{2}} \\
a=\frac{\frac{1}{4}+1+1}{\frac{3}{2}} \\
a=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} \\
a=\frac{9}{4}:\frac{3}{2} \\
a=\frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3} \\
a=\frac{3}{2}$$

Otrzymaliśmy wartość inną niż w liczbie z treści zadania, czyli to zdanie jest także fałszem.

Tak na marginesie - gdybyśmy w pierwszym lub drugim zdaniu otrzymali tą samą liczbę co w treści zadania, to dobrze byłoby jeszcze sprawdzić wartości tych wyrażeń dla np. kąta \(30°\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja opisana w treści zadania wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości obwodu okręgu.
Na początek obliczmy obwód całego okręgu. Jest to okrąg o promieniu \(18\), zatem korzystając ze wzoru na obwód okręgu, możemy zapisać że:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot18 \\
Obw=36\pi$$

Krok 3. Obliczenie długości łuku okręgu.
Skoro kąt środkowy ma miarę \(40°\), a kąt pełny ma jak zawsze \(360°\), to nasz łuk będzie stanowił \(\frac{40°}{360°}=\frac{1}{9}\) długości obwodu okręgu. Skoro tak, to długość naszego łuku wyniesie:
$$x=\frac{1}{9}\cdot36\pi \\
x=4\pi$$

\(P_{ABC}=48cm^2\) oraz \(P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=12cm^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności środkowych trójkąta równoramiennego wynika, że odcinek \(PC\) jest dwa razy dłuższy od odcinka \(PC_{1}\). Z treści zadania wynika, że \(PC_{1}=2cm\), zatem \(PC\) będzie miał długość \(2\cdot2cm=4cm\). Tym samym cały odcinek \(CC'\), który jest jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego, będzie miał długość:
$$h=2cm+4cm=6cm$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Znamy długość podstawy oraz wysokość trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot6 \\
P_{ABC}=8\cdot6 \\
P_{ABC}=48[cm^2]$$

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Kluczem do obliczenia pola trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest dostrzeżenie, że jest to trójkąt podobny do trójkąta \(ABC\). Skąd to wiemy? Jeśli punkty \(A_{1}\) oraz \(B_{1}\) są środkami ramion trójkąta, to odcinek \(A_{1}B_{1}\) jest równoległy do podstawy \(AB\), a miara tego odcinka jest dwa razy krótsza od boku \(AB\). Analogicznie będzie z parą \(A_{1}C_{1}\) czy też \(B_{1}C_{1}\) - one też są równoległe i dwa razy mniejsze względem odpowiadających boków. To prowadzi nas do wniosku, że trójkąt \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali \(k=\frac{1}{2}\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że jeśli trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to jego pole powierzchni będzie \(k^2\) razy większe. Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=k^2\cdot P_{ABC} \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{4}\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu, a \(r\) to promień tego okręgu. Z treści zadania wynika, że \(a=-2\) oraz \(b=4\), natomiast \(r=9\), zatem:
$$(x-(-2))^2+(y-4)^2=9^2 \\
(x+2)^2+(y-4)^2=81$$

C

Interesują nas czterocyfrowe liczby, które mają dokładnie dwie jedynki. Spróbujmy zatem rozpisać różne warianty z liczbami, które mają dwie jedynki.

I wariant - \(11■■\)
· w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.
· w rzędzie jedności może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$9\cdot9=81$$

II wariant - \(1■1■\)
· w rzędzie setek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.
· w rzędzie jedności może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$9\cdot9=81$$

III wariant - \(1■■1\)
· w rzędzie setek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.
· w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$9\cdot9=81$$

IV wariant - \(■11■\)
· w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda z ośmiu cyfr od \(2\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· w rzędzie jedności może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$8\cdot9=72$$

V wariant - \(■1■1\)
· w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda z ośmiu cyfr od \(2\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$8\cdot9=72$$

VI wariant - \(■■11\)
· w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda z ośmiu cyfr od \(2\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· w rzędzie setek może znaleźć się każda z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oczywiście oprócz \(1\), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb w tym wariancie mamy:
$$8\cdot9=72$$

Teraz zgodnie z regułą dodawania musimy zliczyć sumę interesujących nas liczb w poszczególnych wariantach.
To oznacza, że zgodnie z regułą dodawania, wszystkich interesujących nas liczb mamy łącznie:
$$81+81+81+72+72+72=459$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy ostrosłup i oznaczmy krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(2a\). Otrzymamy taką oto sytuację:


Tu powinniśmy zwrócić uwagę na kluczowy trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na niebiesko. To właśnie dzięki niemu wyznaczymy cosinus kąta \(\alpha\). Dolną przyprostokątną tego trójkąta tworzy połowa przekątnej podstawy. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to połowa naszej przekątnej ma długość:
$$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie \(cos\alpha\).
Skoro przyprostokątna znajdująca się przy kącie \(\alpha\) ma długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), a przeciwprostokątna ma długość \(2a\), to cosinus kąta \(\alpha\) będzie równy:
$$cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a} \\
cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{2}:2a \\
cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2a} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

\(V=360cm^3\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że obwód prostokąta znajdującego się w podstawie jest równy \(24cm\). Jeśli więc oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\), to otrzymamy równanie:
$$2\cdot(x+y)=24 \\
x+y=12 \\
y=12-x$$

Chcemy obliczyć objętość naszej bryły i wiemy, że \(H=10\), zatem drugim równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$V=x\cdot y\cdot10$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(V(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną. Chcąc tego dokonać, możemy podstawić wyznaczoną wartość \(y=12-x\) do równania \(V=x\cdot y\cdot10\), otrzymując:
$$V=x\cdot(12-x)\cdot10 \\
V=(12x-x^2)\cdot10 \\
V=120x-10x^2 \\
V=-10x^2+120x$$

Otrzymaliśmy informację, że objętość można opisać wzorem \(-10x^2+120x\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(V\)). Zapisalibyśmy więc, że \(V(x)=-10x^2+120x\). Warto też dodać, że skoro \(y=12-x\), a długość boków \(x\) oraz \(y\) musi być dodatnia, to dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;12)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-10\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Musimy teraz dowiedzieć się, dla jakiego \(x\) objętość \(V\) będzie największa. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej. W przypadku funkcji \(V(x)=-10x^2+120x\) widzimy, że współczynnik \(a=-10\) oraz \(b=120\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-120}{2\cdot(-10)} \\
x_{W}=\frac{-120}{-20} \\
x_{W}=6$$

To oznacza, że największą objętość osiągniemy, gdy długość boku \(x\) będzie równa \(6\).

Krok 4. Obliczenie objętości.
Celem zadania obliczenie objętości tego prostopadłościanu. Korzystając z wcześniej wyznaczonego wzoru \(V=-10x^2+120x\) i podstawiając do niego \(x=6\), otrzymamy:
$$V=-10\cdot6^2+120\cdot6 \\
V=-10\cdot36+720 \\
V=-360+720 \\
V=360[cm^3]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na objętość z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.