Matura – Matematyka – Czerwiec 2016 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – czerwiec 2016. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2016

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\frac{7^6\cdot6^7}{42^6}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o \(30\%\). Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Różnica \(50001^2-49999^2\) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:

Zadanie 6. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}\) jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0\), wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa:

Zadanie 8. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\neq0\), jest liczba należąca do przedziału:

Zadanie 9. (1pkt) Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa:

Zadanie 10. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca:

Zadanie 11. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=6(n-16)\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

Zadanie 12. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=72\) i \(a_{4}=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

Zadanie 13. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\), w którym przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\), \(|AD|=|DC|\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=50°\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Stąd wynika, że:

Zadanie 14. (1pkt) Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(α\) i \(β\) są odpowiednio równe:



matura z matematyki

Zadanie 15. (1pkt) Słoń waży \(5\) ton, a waga mrówki jest równa \(0,5\) grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Zadanie 16. (1pkt) Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość \(20\). Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę \(150°\). Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 17. (1pkt) Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że:

Zadanie 18. (1pkt) Układ równań \(\begin{cases}

y=-ax+2a \\

y=\frac{b}{3}x-2

\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla:

Zadanie 19. (1pkt) Do pewnej liczby \(a\) dodano \(54\). Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\). W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większa od liczby \(a\). Zatem:

Zadanie 20. (1pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa:

Zadanie 21. (1pkt) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy:

Zadanie 22. (1pkt) Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(\;3x\), \(\;5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że:

Zadanie 23. (1pkt) Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.



matura z matematyki



Zatem:

Zadanie 24. (1pkt) Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy:

Zadanie 25. (1pkt) Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe \(1\), a pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\).



matura z matematyki



Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq-1\) i \(x\neq0\).

Zadanie 27. (2pkt) Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)\).

Zadanie 29. (2pkt) Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Wykaż, ze w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Zadanie 30. (4pkt) W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(cosα=\frac{4}{5}\), gdzie \(α=\sphericalangle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Oblicz pole:

a) trójkąta \(ADE\)

b) czworokąta \(BCED\)

Zadanie 31. (5pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).

Zadanie 32. (4pkt) Dany jest stożek o objętości \(8π\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zadanie 33. (4pkt) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz