Matura – Matematyka – Czerwiec 2016 – Odpowiedzi

C

$$\require{cancel}
\frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \\
=6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$

B

Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).

Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$

Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).

D

Aby obliczyć ten przykład to najprościej jest zamienić wszystkie pierwiastki na odpowiednie potęgi. Pamiętaj, że np. \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\), a \(3=3^1\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\left(3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \\
=3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

B

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \\
50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \\
50001^2-49999^2=100\;000\cdot2 \\
50001^2-49999^2=200\;000$$

D

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$

A

$$\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{1}{3}=-1$$

C

Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania.
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\
x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\
x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać.

Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb.
Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).

B

$$\frac{x-7}{x}=5 \\
x-7=5x \\
-7=4x \\
x=-\frac{7}{4} \\
x=-1\frac{3}{4}$$

Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.

C

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

A

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera:
$$-2(x+5)(x-11)=0 \\
x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\
x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.



Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$

To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty;3\rangle\).

C

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\):
$$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90 \\
a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$

Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru:
$$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10 \\
S_{10}=(-126)\cdot5 \\
S_{10}=-630$$

A

Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\).
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
9=72\cdot q^3 \\
q^3=\frac{9}{72} \\
q^3=\frac{1}{8} \\
q=\frac{1}{2}$$

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Z trójkąta \(ABC\) jesteśmy wyznaczyć miarę kąta \(CAB\):
$$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kątów \(ACD\) oraz \(DAC\).
Musimy zauważyć, że kąty \(ACD\) i \(DAC\) będą miały równą miarę. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że \(|AD|=|DC|\), co sugeruje nam że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny, a w takim trójkącie kąty przy podstawie są równej miary.

Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty \(CAB\) oraz \(ACD\) mają równą miarę. W związku z tym:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DAC|=40°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ADC\) (czyli \(β\)).
Znając kąty \(ACD\) i \(DAC\) bez problemu wyliczymy miarę naszego kąta \(β\):
$$β=180°-40°-40°=100°$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).
Przyglądając się rysunkowi musimy zauważyć, że nasz kąt \(α\) (który jest kątem środkowym) oraz kąt \(DAC\) (który jest kątem wpisanym) są oparte na tym samym łuku. To oznacza, że miara kąta \(α\) będzie dwa razy większa od miary kąta \(DAC\), czyli:
$$α=36°\cdot2=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).
Zanim obliczymy miarę kąta \(β\), to przyda nam się jeszcze znajomość kąta \(ADC\). Jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-36°-36°=108°$$

Skoro nasz czworokąt jest wpisany w okrąg to suma kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\). Naprzeciw naszego kąta \(β\) leży obliczony przed chwilą kąt \(ADC\), tak więc miara kąta \(β\) jest równa:
$$β=180°-108°=72°$$

Tak na marginesie, to w zasadzie można byłoby rozwiązać to zadanie bez umiejętności obliczania miary kąta \(β\). Wystarczy przyjrzeć się odpowiedziom i dostrzec, że tylko w tej ostatniej mamy kąt o mierze \(α=72°\).

B

Krok 1. Sprowadzenie mas do wspólnej jednostki.
Obie masy musimy sprowadzić do wspólnej jednostki. Aby się nie pomylić to chyba najbezpieczniej będzie sprowadzić je do kilogramów.
$$5t=5000kg=5\cdot10^3kg \\
0,5g=0,0005kg=5\cdot10^{-4}kg$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu wagi słonia i mrówki.
Teraz musimy podzielić przez siebie te dwie masy:
$$\require{cancel}
\frac{\cancel{5}\cdot10^3\cancel{kg}}{\cancel{5}\cdot10^{-4}\cancel{kg}}=10^3:10^{-4}=10^{3-(-4)}=10^{7}$$

A

Do obliczenia pola tego trójkąta wykorzystamy następujący wzór z tablic matematycznych:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \\
P=200\cdot\frac{1}{2} \\
P=100$$

Pewną trudnością w tym zadaniu może być określenie wartości \(sin150°\). Skąd wiemy, że \(sin150°\) jest równy \(\frac{1}{2}\)? Ze wzorów redukcyjnych możemy odczytać, że:
$$sin(180°-α)=sinα \\
sin(180°-150°)=sin150° \\
sin30°=sin150°$$

Wartość \(sin30°\) możemy już odczytać z tablic i wynosi ona \(\frac{1}{2}\).

C

Zanim przejdziemy do obliczeń to omówmy sobie co tak naprawdę musimy obliczyć. Mamy podane współrzędne punktu \(A\) i \(B\), które tworzą odcinek w układzie współrzędnych. Przez ten odcinek poprowadzono prostą symetralną (czyli tak naprawdę prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez jego środek). Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej symetralnej.



Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Zanim obliczymy współczynnik kierunkowy symetralnej, to potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej na której znajduje się odcinek \(AB\). Obliczymy go za pomocą wzoru:
$$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
m=\frac{4-2}{1-(-3)} \\
m=\frac{2}{4} \\
m=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(y=ax+1\).
Tak jak wcześniej ustaliliśmy - skoro jest to symetralna odcinka \(AB\), to znaczy że jest to prosta prostopadła. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem:
$$a\cdot m=-1 \\
a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

C

Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają).

Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem:
$$-a=\frac{b}{3} \\
-3a=b \\
\frac{b}{a}=-3$$

Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\).

Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem:
$$2a\neq-2 \\
a\neq-1$$

To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).

B

Treść zadania możemy przedstawić w formie następującego równania:
$$(a+54):2=2a \\
a+54=4a \\
3a=54 \\
a=18$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ASC\).
W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby:
I sposób - z podobieństwa trójkątów.
Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\).

II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa.
Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem:
$$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2 \\
2a^2=2a^2 \\
L=P$$

Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie monetą. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszki. W związku z tym z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
W naszym przypadku zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wypadł nam tylko i wyłącznie jeden orzeł. Takich kombinacji mamy dokładnie trzy:
$$(ORR), (ROR), (RRO)$$
Zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$

Wyznaczone prawdopodobieństwo mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi, czyli \(0,25\le p\le0,4\).

D

Z treści zadania układamy następujące równanie:
$$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72 \\
16x=288 \\
x=18$$

B

Krok 1. Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\).
Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\).
Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\).

Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

A

Naszym zadaniem jest wymnożenie jednej sumy przez drugą, zatem:
$$(3x^3-2x)\cdot(-3x^2-2)= \\
=-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dorysowalismy sobie wysokość \(CH\) trójkąta \(ABC\). Podzieliła nam ona trójkąt na dwa mniejsze trójkąty - \(ACH\) oraz \(BCH\). Suma pól powierzchni tych trójkątów da nam poszukiwane pole trójkąta \(ABC\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ACH\).
Skorzystamy tutaj ze skali podobieństwa trójkątów \(ACH\) oraz \(AFD\). Z treści zadania wynika, że \(k=\frac{|AC|}{|AD|}=2\). Z geometrii wiemy, że stosunek dwóch pól figur podobnych jest równy \(k^2\), czyli w naszym przypadku \(k^2=2^2=4\). Skoro pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\), a pole \(ACH\) musi być czterokrotnie większe, to \(P_{ACH}=4\cdot4=16\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCH\).
Analogicznie możemy przeanalizować parę trójkątów \(BCH\) oraz \(BGE\). Skoro \(k=\frac{|BH|}{|BG|}=2\), to ponownie pole trójkąta \(BCH\) będzie czterokrotnie większe od pola trójkąta \(BGE\). Pole trójkąta \(BCH\) jest więc równe \(P_{BCH}=4\cdot1=4\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
$$P_{ABC}=P_{ACH}+P_{BCH} \\
P_{ABC}=16+4 \\
P_{ABC}=20$$

\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1\)

Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
$$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1} \\
(2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
$$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0 \\
(2x+1)(x+1-2x)=0 \\
(2x+1)(-x+1)=0 \\
2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0 \\
x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
$$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x \\
-2x^2+x+1=0$$

Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci iloczynowej typu \((2x+1)(-x+1)=0\) (patrz: I sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci \(-2x^2+x+1=0\) (patrz: II sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiązując to zadanie podzielisz obie strony równania przez \(2x+1\) i nie zapiszesz warunku, że \(2x+1\neq0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=2\frac{2}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Jedna z tych prostych jest rosnąca (bo ma dodatni współczynnik kierunkowy \(a=1\)), a druga jest malejąca (bo jej współczynnik kierunkowy \(a=-3\)). Bardzo ważną informacją jest to, że te dwie proste przecinają się w punkcie \(P=(0,2)\). To automatycznie oznacza, że obydwie proste mają współczynnik \(b=2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\).
Obliczmy sobie miejsca w których te dwie proste przecinają się z osią \(Ox\) (czyli miejsca zerowe). Znajomość tych współrzędnych przyda nam się do wyznaczania długości podstawy trójkąta. Aby obliczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać \(x+2\) oraz \(-3x+2\) do zera, zatem:
I prosta: \(x_{1}+2=0 \Rightarrow x_{1}=-2\)
II prosta: \(-3x_{2}+2=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta.
Za pomocą obliczonych przed chwilą współrzędnych możemy określić długość podstawy trójkąta:
$$a=|x_{2}-x_{1}|=\left|\frac{2}{3}-(-2)\right|=2\frac{2}{3}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta.
Wysokość trójkąta znamy, bo pokrywa się ona z osią \(Oy\), a więc bez problemu możemy określić że \(h=2\). Długość podstawy obliczyliśmy sobie przed chwilą i wyszło, że \(a=2\frac{2}{3}\). Zatem pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}\cdot2 \\
P=2\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wartość współczynnika \(b\): \(b=2\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz wykresy tych funkcji i zaznaczysz punkt przecięcia \(P=(0,2)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3) \\
x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3 \\
x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0 \\
x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0 \\
(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$

Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \((x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0\) albo \(x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz tego dlaczego wartość po lewej stronie jest większa od zera.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trapezów i kątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów \(α\) oraz \(β\) w następujący sposób:



Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów \(α\) oraz \(β\).
Spójrzmy na trapez \(ABCD\). Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180° \\
2α+2β=180° \quad\bigg/:2 \\
α+β=90°$$

Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa \(180°\), to mogliśmy od \(360°\) odliczyć dwa kąty proste \(DAB\) oraz \(CDA\) i także doszlibyśmy do wniosku, że \(|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180°\).

Krok 3. Obliczenie miary kątów \(BFC\) oraz \(EFC\).
Zacznijmy od kąta \(BFC\). Jego miarę możemy oznaczyć jako \(180°-(α+β)\), bo suma kątów w trójkącie \(BFC\) musi być równa \(180°\). Wiedząc, że \(α+β=90°\) okazuje się, że \(|\sphericalangle BFC|=90°\).

Kąt \(EFC\) jest przyległy do kąta \(BFC\), a więc jego miara jest równa \(180°-90°=90°\).

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na czworokąt \(CDEF\).
Skoro \(|\sphericalangle EFC|=90°\) oraz \(|\sphericalangle CDE|=90°\), to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\).

Suma kątów w czworokącie musi być równa \(360°\), więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa:
$$|\sphericalangle FCD|+|\sphericalangle DEF|=360°-180°=180°$$

Suma miar przeciwległych kątów czworokąta \(CDEF\) jest więc jednakowa, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miarę kąta \(|\sphericalangle BFC|=90°\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy powiążesz ze sobą miary kątów i zapiszesz, że np. \(|\sphericalangle AEB|=90°-α\) oraz \(|\sphericalangle CFE|=α+β\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{ADE}=12\) oraz \(P_{BCED}=42\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na naszym rysunku zależności między bokami, które zostały wypisane z treści zadania. To ułatwi zrozumienie wszystkich obliczeń długości, które wykonamy sobie w kolejnych krokach.



Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).
Wartość sinusa kąta \(α\) za chwilę przyda nam się do obliczenia pola trójkąta. W treści zadania mamy podaną wartość cosinusa, zatem do obliczenia sinusa skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2=1 \\
sin^2α+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\
sin^2a+\frac{16}{25}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{25} \\
sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo sinus kąta ostrego jest dodatni.

Krok 3. Obliczenie długości odcinków \(AD\) oraz \(AE\).
Odcinek \(AD\) jest częścią odcinka \(AB\). Z rysunku widzimy, że cała długość odcinka \(AB\) to \(x+2x=3x\) i zgodnie z treścią zadania jest ona równa \(15\). Musimy obliczyć długość \(x\), zatem:
$$3x=15 \\
x=5$$

W ten oto sposób obliczyliśmy długość odcinka \(|AD|=5\).

Podobnie zrobimy w przypadku odcinka \(AE\), który jest częścią odcinka \(AC\).
$$3y=12 \\
y=4$$

Nasz odcinek \(AE\) opisaliśmy sobie jako \(2y\), więc jego długość jest równa \(|AE|=8\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(ADE\).
Skorzystamy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα$$

Pole trójkąta \(ABC\):
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot sinα \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ABC}=54$$

Pole trójkąta \(ADE\):
$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot |AD|\cdot |AE|\cdot sinα \\
P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ADE}=12$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni czworokąta \(BCED\).
Pole powierzchni czworokąta \(BCED\) jest różnicą między polem dużego trójkąta \(ABC\) i małego trójkąta \(ADE\), zatem:
$$P_{BCED}=P_{ABC}-P_{ADE} \\
P_{BCED}=54-12 \\
P_{BCED}=42$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(BAC\), czyli \(sin=\frac{3}{5}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość jednego z boków, czyli \(|AD|=5\) lub \(|AE|=8\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(BAC\), czyli \(sin=\frac{3}{5}\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz długości dwóch boków, czyli \(|AD|=5\) oraz\(|AE|=8\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\), czyli \(P_{ABC}=54\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ADE\) opuszczoną z wierzchołka \(E\), czyli \(h=\frac{24}{5}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ADE\) opuszczoną z wierzchołka \(D\), czyli \(h=3\).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ADE\), czyli \(P_{ADE}=12\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases}
S_{4}=2016 \\
S_{12}=2016+2016
\end{cases}

Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).
\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}\begin{cases}
-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r \\
r=-42$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\
2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\
2016=4\cdot a_{1}-252 \\
2268=4\cdot a_{1} \\
a_{1}=567$$

Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\
567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\
567+(-42n+42)\gt0 \\
609-42n\gt0 \\
-42n\gt-609 \\
n\lt14\frac{1}{2}$$

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).

Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\
a_{14}=567+13\cdot(-42) \\
a_{14}=567-546 \\
a_{14}=21$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(S_{12}=4032\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę n-początkowych wyrazów i zapiszesz w związku z tym poprawne równanie np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) albo \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) albo \(4a_{1}+6r=2016\) albo \(8a_{1}+60r=2016\) itd.
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na jeden z wyrazów ciągu np. \(a_{2}=a_{1}+r\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania korzystając z sum wyrazów np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) oraz \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) i zapiszesz, że np. \(a_{4}=a_{1}+3r\).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz równania do takiej postaci, w której występują jedynie niewiadome \(a_{1}\) oraz \(r\) np. \(2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4\) oraz \(4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu: \(r=-42\) oraz \(a_{1}=567\) (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny w wyniku jakiegoś błędu rachunkowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{b}=2\sqrt{73}π\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \\
8=64x^3 \\
x^3=\frac{1}{8} \\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:
$$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \\
H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+H^2=l^2 \\
4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \\
16+\frac{9}{4}=l^2 \\
l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \\
l^2=\frac{73}{4} \\
l=\sqrt{\frac{73}{4}} \\
l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.
$$P_{b}=πrl \\
P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \\
P_{b}=2\sqrt{73}π$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wysokością stożka i promieniem podstawy np. zaznaczając na rysunku \(3x\) oraz \(8x\) albo zapisując, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\) (patrz: Krok 1.) albo tworząc równanie \(r^2h=24\).
2 pkt
• Gdy stworzysz równanie z jedną niewiadomą np. \(8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x\) (patrz: Krok 2.) albo \(r^2\cdot\frac{3}{8}r=24\).
3 pkt
• Gdy obliczysz promień podstawy lub wysokość stożka: \(r=4\) lub \(H=\frac{3}{2}\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(t_{wt}=54 min.\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$

\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek

W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1} \\
t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$

Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9 \\
11t-9t=118,8 \\
2t=118,8 \\
t=59,4$$

Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.

Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz jedno z równań, które opisuje zależność prędkości, czasu i drogi np. \(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) lub \(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) (patrz: Krok 1.) albo \(1,1v\cdot t=s\) lub \(0,9v\cdot(t+12)=s\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi np.\(1,1v\cdot t=0,9v\cdot(t+12)\) lub w postaci układu równań.
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą np.\(\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12\) (patrz: Krok 2.) albo \(11t=9(t+12)\) itd.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.