Matura próbna – Matematyka – Operon 2014 (stara matura) – Odpowiedzi

D

Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach, a także korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{5}-3)^2=(2\sqrt{5})^2-12\sqrt{5}+9= \\
=4\cdot5-12\sqrt{5}+9=20-12\sqrt{5}+9=29-12\sqrt{5}$$

C

Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0 \\
2x=-4 \\
x=-2$$

Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0 \\
x^2=1 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0 \\
x=-5$$

Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.

Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

D

Musimy znaleźć miejsce zerowe, czyli musimy sprawdzić kiedy \(\sqrt{2}x-2\) będzie równe \(0\), zatem:
$$\sqrt{2}x-2=0 \\
\sqrt{2}x=2 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten trójkąt, zaznaczając na nim wszystkie informacje z treści zadania:



Tworząc rysunek należy pamiętać, że mniejszy kąt ostry trójkąta prostokątnego leży przy dłuższej przyprostokątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z funkcji cosinus możemy teraz zapisać, że:
$$cos30°=\frac{6}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{x}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$\sqrt{3}x=12 \quad:\sqrt{3} \\
x=\frac{12}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x=\frac{12\sqrt{3}}{3} \\
x=4\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Przekształcenie równania.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy zatem doprowadzić równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci (czyli z odejmowaniem w nawiasach i potęgowaniem po prawej stronie), co pozwoli nam wyznaczyć najpierw zarówno współrzędne środka okręgu jak i jego promień. Zrobimy to w następujący sposób:
$$x^2+(y+2)^2=4 \\
(x-0)^2+(y-(-2))^2=2^2$$

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Przyrównując postać równania okręgu do naszego równania widzimy, że \(a=0\) oraz \(b=-2\), zatem \(S=(0;-2)\).

Krok 3. Odczytanie długości promienia.
Przyrównując postać równania okręgu do naszego równania widzimy, że \(r=2\).

A

Zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną możemy zapisać, że:
$$|x+4|\gt2 \\
x+4\gt2 \quad\lor\quad x+4\lt-2 \\
x\gt-2 \quad\lor\quad x\lt-6$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań powyższej nierówności jest zbiór \((-\infty,-6)\cup(-2,+\infty)\).

C

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić do obliczeń musimy na samym początku przekształcić prostą \(l\) do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść igreki na lewą stronę, a po prawej dać całą resztę, zatem:
$$-2x+5y+1=0 \\
5y=2x-1 \quad\bigg/:5 \\
y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{2}{5}\), zatem prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2} \\
a=-\frac{5}{2}$$

B

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(a_{1}=-10\), a drugi wyraz jest równy \(a_{2}=-6\), to różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=-6-(-10) \\
r=-6+10 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu ciągu.
Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy wartość różnicy, zatem możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu korzystając ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{40}=a_{1}+(40-1)r \\
a_{40}=a_{1}+39r \\
a_{40}=-10+39\cdot4 \\
a_{40}=-10+156 \\
a_{40}=-146$$

D

Aby dowiedzieć się który ciąg jest arytmetyczny moglibyśmy w każdej z odpowiedzi sprawdzić np. kiedy \(a_{3}-a_{2}\) jest równe tyle samo co \(a_{2}-a_{1}\). Tam gdzie w obydwu tych działaniach będzie ten sam wynik, tam będziemy mieć styczność z ciągiem arytmetycznym. Ale nie jest to jedyna metoda. Nieco sprytniejszym sposobem jest wykorzystanie jednej z własności ciągów arytmetycznych, która mówi nam, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Jeżeli wskazane w poszczególnych odpowiedziach liczby spełnią tę nierówność, to znaczy że będą one tworzyć ciąg arytmetyczny. Sprawdźmy zatem każdą z odpowiedzi:

Odp. A.
\(4=\frac{2+8}{2} \\
4=\frac{10}{2} \\
4=5 \\
L\neq P\)

Odp. B.
\(3=\frac{9+1}{2} \\
3=\frac{10}{2} \\
3=5 \\
L\neq P\)

Odp. C.
\(\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{2} \\
\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \\
\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \\
L\neq P\)

Odp. D.
\(\sqrt{1}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{0}}{2} \\
1=\frac{2+0}{2} \\
1=\frac{2}{2} \\
L=P\)

Tylko w czwartej odpowiedzi uzyskaliśmy prawdziwą równość, zatem ciągiem arytmetycznym jest czwarty zestaw liczb.

C

Korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
7^2=(x-3)\cdot14 \\
49=14x-42 \\
91=14x \\
x=\frac{91}{14}=\frac{13}{2}$$

C

Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$3\sqrt{27}+9\sqrt{3}+\sqrt{243}=3\sqrt{9\cdot3}+9\sqrt{3}+\sqrt{81\cdot3}= \\
=9\sqrt{3}+9\sqrt{3}+9\sqrt{3}=3\cdot9\sqrt{3}= \\
=27\sqrt{3}=3^3\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^{3+\frac{1}{2}}=3^{\frac{7}{2}}$$

D

Pod pierwiastkami parzystego stopnia mogą znaleźć się jedynie liczby większe lub równe \(0\). W związku z tym musimy sprawdzić i rozwiązać dwie nierówności:
$$15+3x\ge0 \\
3x\ge-15 \\
x\ge-5$$

$$3-x\ge0 \\
x\le3$$

To oznacza, że dziedziną funkcji jest zbiór \(\langle-5,3\rangle\).

B

Gdyby funkcja była określona wzorem \(f(x)=|x|\) to zbiorem wartości byłby zbiór \(\langle0;+\infty)\), bo wartość bezwzględna jest zawsze większa lub równa \(0\). My od tej naszej wartości bezwzględnej musimy jeszcze odjąć \(12\), zatem zbiór wartości tej funkcji będzie równy \(\langle-12,+\infty)\).

D

$$16+x^4=0 \\
x^4=-16$$

Z racji tego iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do potęgi parzystej daje wynik ujemny, to nasze równanie ma zero rozwiązań.

D

Liczbą odwrotną do \(7^{\frac{2}{3}}\) byłoby \(\frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}\). Konkretnie takiej odpowiedzi w tym zadaniu nie mamy, ale pamiętając o tym, że podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem odwrotności tej liczby np. \(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}=7\), to możemy zapisać, że \(\frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}=7^{-\frac{2}{3}}\).

C

Krok 1. Ustalenie czy liczba w nawiasie bewzględności jest dodatnia czy ujemna.
Jeżeli w nawiasie bezwzglęności liczba jest większa lub równa zero, to opuszczając nawias daną liczbę/wyrażenie po prostu przepisujemy np. \(|5|=5\). Jednak w przypadku gdy wartość w nawisie jest ujemna, to musimy zmienić znak tej liczby/wyrażenia podczas opuszczania nawiasu np. \(|-5|=-(-5)=5\). Dlatego na początku musimy ustalić, czy ta liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest dodatnia, czy też ujemna.
$$\sqrt{3}\approx1,73$$

W związku z tym \(1,7=\sqrt{3}\lt0\).

Krok 2. Opuszczenie nawiasów wartości bezwzględnej.
Skoro nasza liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest ujemna, to opuszczając nawiasy musimy zmienić znak:
$$a=|1,7-\sqrt{3}| \\
a=-(1,7-\sqrt{3}) \\
a=-1,7+\sqrt{3}$$

A

Wzorem funkcji, która powstaje przez przesunięcie wykresu o \(6\) jednostek w lewo jest \(y=(x+6)^2\).

B

Powyższy wielomian możemy rozpisać w następujący sposób:
$$W=x^3-2x^2+4x-8 \\
W=x^2(x-2)+4(x-2) \\
W=(x-2)(x^2+4)$$

A

Funkcja liniowa będzie malejąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) będzie mniejszy od zera. W związku z tym musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$3-\frac{1}{3}m\lt0 \\
3\lt\frac{1}{3}m \\
m\gt9$$

To oznacza, że ta funkcja jest malejąca dla \(m\in(9,+\infty)\).

D

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian jest podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej, zatem aby poznać jego miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartość nawiasu do zera:
$$m+5=0 \\
m=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsce zerowe i szkicujemy parabolę (z ramionami skierowanymi do góry, bo po podniesieniu \((m+5)^2\) mielibyśmy dodatni współczynnik kierunkowy). Całość wyglądać będzie następująco:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem warunki naszego zadania spełnia jedynie jedna liczba, czyli \(5\).

B

Krok 1. Obliczenie miary wszystkich kątów wewnętrznych.
Suma kątów w \(n\)-kącie jest równa:
$$180°\cdot(n-2)$$

W związku z tym dziesięciokąt ma łącznie:
$$180°\cdot(10-2)=180°\cdot8=1440°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta dziesięciokąta foremnego.
Wielokąt foremny ma wszystkie kąty jednakowej miary. W związku z tym każdy kąt ma miarę:
$$1440°:10=144°$$

B

Suma kątów przyległych jest równa \(180°\). Z treści zadania wynika, że \(α=β+35°\), zatem możemy zapisać, że:
$$α+β=180° \\
β+35°+β=180° \\
2β=145° \\
β=72,5°$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nasz stożek mający w przekroju trójkąt równoboczny będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Wysokość trójkąta możemy obliczyć albo z Twierdzenia Pitagorasa, albo po prostu ze wzoru:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
H=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości stożka.
Z rysunku możemy odczytać, że \(r=2\), wiemy też że \(H=2\sqrt{3}\), zatem objętość stożka będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}π\cdot2^2\cdot2\sqrt{3} \\
V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot2\sqrt{3} \\
V=\frac{1}{3}π\cdot8\sqrt{3} \\
V=\frac{8π\sqrt{3}}{3}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację na rysunku pomocniczym:



Trójkąt \(ABS\) jest na pewno równoramienny (bo dwa ramiona mają długość równą promieniowi okręgu). Dodatkowo wiemy, że styczna do okręgu tworzy z promieniem okręgu przechodzącym przez punkt styczności kąt \(90°\). Stąd też jesteśmy w stanie obliczyć, że kąty \(BAS\) oraz \(ABS\) mają miarę: \(90°-72°=18°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
W trójkącie suma miar kątów jest równa \(180°\). To oznacza, że kąt \(ASB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-18°-18°=144°$$

C

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{5}{7}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{25}{49}=1 \\
sin^2α=\frac{24}{49} \\
sinα=\sqrt{\frac{24}{49}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{24}{49}}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\sqrt{\frac{24}{49}}\). Musimy jeszcze doprowadzić ten wynik do postaci z jednej z odpowiedzi:
$$sinα=\sqrt{\frac{24}{49}}=\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{4\cdot6}}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$$

\(x\in(-\infty;\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3};+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-9,\;b=6,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-9)\cdot(-1)=36-36=0$$

Skoro delta jest ujemna, to mamy tylko jedno miejsce zerowe:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2\cdot(-9)}=\frac{-6}{-18}=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc parabola ma skierowane ramiona do dołu. Zaznaczamy na osi miejsce zerowe, które przed chwilą obliczyliśmy (kropka będzie niezamalowana, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą od zera, czyli patrzymy na to co znalazło się pod osią. Okazuje się, że rozwiązaniem tej nierówności będzie każda liczba, tylko nie \(\frac{1}{3}\), dla której to wielomian przyjął wartość równą \(0\). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: \(x\in\mathbb{R}\backslash\{\frac{1}{3}\}\) lub też jak kto woli \(x\in(-\infty;\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(A=(0;2)\)

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne środka odcinka, znamy też współrzędne jednego z punktów, więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(A\).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej iksowej punktu \(A\).
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
-3=\frac{x_{A}+(-6)}{2} \\
-6=x_{A}-6 \\
x_{A}=0$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej punktu \(A\).
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
8=\frac{y_{A}+14}{2} \\
16=y_{A}+14 \\
y_{A}=2$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(A\) są równe: \(A=(0;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równania pozwalające obliczyć współrzędną iksową oraz igrekową (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(21\) chłopców i \(7\) dziewczyn

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(3x\) - liczba chłopców
\(x\) - liczba dziewcząt
\(x+3x=4x\) - liczba dzieci w klasie
\(x+2\) - liczba dziewcząt po dołączeniu dwóch dziewczyn
\(4x+2\) - liczba dzieci w klasie po dołączeniu dwóch dziewczyn

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że:
$$x+2=0,3\cdot(4x+2) \\
x+2=1,2x+0,6 \\
-0,2x=-1,4 \\
x=7$$

Krok 3. Zakończenie rozwiązania.
Otrzymany wynik \(x=7\) oznacza, że na początku było \(7\) dziewczyn, a tym samym chłopców było \(3x=3\cdot7=21\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie lub układ równań, z którego można obliczyć liczbę chłopców i dziewczyn (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając wartość całego wyrażenia.

To na czym możemy się oprzeć przy tego typu zadaniach to jest z pewnością jedynka trygonometryczna \(sin^2+cos^2=1\). Spróbujmy więc podnieść obustronnie do kwadratu równanie z treści zadania, tak aby można było się do tej jedynki trygonometrycznej później odnosić:
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{6}{5}\right)^2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{36}{25} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{36}{25} \\
1+2sinαcosα=\frac{36}{25} \\
2sinαcosα=\frac{11}{25} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
sinαcosα=\frac{11}{50}=0,22$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obustronnie podniesiesz do kwadratu równanie \(sinα+cosα=\frac{6}{5}\) i na tym zakończysz dowodzenie lub popełnisz błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{1}=1,5\) oraz \(q=2\)

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
W treści zadania mamy podaną wartość trzeciego i piątego wyrazu. Na tej podstawie możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2 \\
24=6\cdot q^2 \\
q^2=4 \\
q=2 \quad\lor\quad q=-2$$

Ujemny iloraz musimy odrzucić, a to dlatego że nasz ciąg geometryczny zawiera same dodatnie wyrazy. Przy \(q=-2\) ciąg byłby niemonotoniczny, czyli raz mielibyśmy wyrazy dodatnie, a raz ujemne.

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając iloraz \(q\) i znając wartość np. trzeciego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
6=a_{1}\cdot2^2 \\
6=a_{1}\cdot4 \\
a_{1}=1,5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość ilorazu ciągu geometrycznego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania z niewiadomymi \(a_{1}\) oraz \(q\) np. \(a_{1}\cdot q^2=6\) oraz \(a_{1}\cdot q^4=24\) z których można stworzyć układ równań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1291}{1296}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut to możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy aż cztery. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6\cdot6\cdot6=1296$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są wyniki mniejsze od \(23\). Czyli przykładowo zdarzeniem sprzyjającym będą rzuty \((3,3,1,6)\) czy też \((2,3,6,2)\) itd. Nie damy rady wypisać wszystkich możliwych kombinacji, ale jesteśmy w stanie określić ile z tych \(1296\) kombinacji nie spełnia warunków naszego zadania. Będą to takie sytuacje w których raz wypadnie piątka i trzy razy wypadnie szóstka lub też kiedy cztery razy wypadną szóstki. To oznacza, że mamy tylko pięć przypadków zdarzeń niesprzyjających:
$$(5,6,6,6), (6,5,6,6), (6,6,5,6), (6,6,6,5), (6,6,6,6)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=1296-5=1291\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1291}{1296}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że \(|Ω|=1296\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia niesprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz że \(|Ω|=1296\) (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz zdarzenia niesprzyjające (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=1296\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=1291\) (patrz: Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BP|=2,8\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest dość nietypowe, więc spróbujmy zwizualizować sobie tą całą sytuację. Musimy przy okazji dobrać takie oznaczenia, żeby faktycznie odcinki \(AC\) oraz \(BC\) były przyprostokątnymi:



Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej naszego trójkąta \(ABC\):
$$6^2+8^2=|AB|^2 \\
36+64=|AB|^2 \\
100=|AB|^2 \\
|AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Obliczenie pola trójkąta przyda nam się za chwilę do wyznaczenia drugiej wysokości tego trójkąta. W trójkącie prostokątnym obliczenie pola powierzchni jest proste, bo przyprostokątne są podstawią i wysokością takiego trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\
P=3\cdot8 \\
P=24$$

Krok 4. Obliczenie drugiej wysokości trójkąta.
Spójrzmy ponownie na rysunek:



Połączyliśmy sobie punkt \(C\) z punktem \(P\), tworząc odcinek \(CP\). Długość tego odcinka jest równa promieniowi okręgu, czyli wynosi \(6\). To oznacza, że trójkąt \(ACP\) jest równoramienny. Teraz plan działania jest następujący: obliczymy wysokość trójkąta \(ABC\) (czyli odcinek \(CD\)), który jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACP\). Znając długości ramion oraz wysokość \(CD\) obliczymy długość podstawy \(AP\), a interesujący nas odcinek \(BP\) będzie różnicą między odcinkiem \(AB\) oraz \(AP\).

Przystąpmy zatem do obliczenia długości \(CD\), czyli wysokości trójkąta \(ABC\), która idzie z wierzchołka \(C\). Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(24\), wiemy że przeciwprostokątna ma długość \(10\), zatem wysokość \(CD\) ma długość:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot|CD| \\
24=5\cdot|CD| \\
|CD|=4,8$$

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Długość odcinka \(DP\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|DP|^2+|CD|^2=|CP|^2 \\
|DP|^2+4,8^2=6^2 \\
|DP|^2+23,04=36 \\
|DP|^2=12,96 \\
|DP|=3,6 \quad\lor\quad |DP|=-3,6$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|DP|=3,6\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Odcinek \(DP\) jest połową długości odcinka \(AP\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). To oznacza, że odcinek \(AP\) jest dwukrotnie większy od odcinka \(DP\), zatem:
$$|AP|=2\cdot3,6 \\
|AP|=7,2$$

Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(BP\).
Odcinek BP obliczymy odejmując od odcinka \(AB\) długość odcinka \(AP\), zatem:
$$|BP|=|AB|-|AP| \\
|BP|=10-7,2 \\
|BP|=2,8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przeciwprostokątnej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość \(CD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz równanie pozwalające obliczyć długość odcinka \(DP\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DP\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=3\sqrt{3}\) oraz \(P_{b}=18\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie wysokości podstawy.
Z własności okręgów opisanych na trójkącie wynika, że długość promienia takiego okręgu jest równa \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta. Z treści zadania wiemy, że \(R=2\sqrt{3}\), czyli:
$$R=\frac{2}{3}h_{p} \\
2\sqrt{3}=\frac{2}{3}h_{p} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
h_{p}=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie naszej bryły znajduje się trójkąt równoboczny (bo ostrosłup jest prawidłowy). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego wyliczymy długość jego boku:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
6\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=6$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DO\).
Odcinek \(DO\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta. Wynika to z własności ostrosłupów - wysokość ostrosłupa dzieli nam wysokość podstawy właśnie na dwa odcinki o długości \(\frac{1}{3}h_{p}\) oraz \(\frac{2}{3}h_{p}\). To oznacza, że:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} \\
|DO|=\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa oraz wysokości ściany bocznej.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(DOS\). To właśnie z niego obliczymy wysokość całej bryły. Możemy to zrobić albo z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), albo po prostu korzystając z tangensa:
$$tg30°=\frac{H}{|DO|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{3} \\
H=\frac{3}{3} \\
H=1$$

Krok 6. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Musimy obliczyć jeszcze wysokość ściany bocznej, bo przyda nam się to do obliczenia pola powierzchni bocznej. Tutaj możemy skorzystać z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), z funkcji trygonometrycznych, albo nawet z Twierdzenia Pitagorasa. Mamy więc pełną dowolność. Obliczmy to może z funkcji trygonometrycznych, a konkretniej z sinusa:
$$sin30°=\frac{H}{h_{b}} \\
\frac{1}{2}=\frac{1}{h_{b}} \\
\frac{1}{2}h_{b}=1 \\
h_{b}=2$$

Krok 7. Obliczenie objętości bryły.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, zatem możemy przystąpić do obliczenia objętości bryły. W podstawie możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot1 \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3} \\
V=3\sqrt{3}$$

Krok 8. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Na pole powierzchni bocznej składają się trzy trójkąty w których \(a=6\) oraz \(h_{b}=2\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot2 \\
P_{b}=3\cdot3\cdot2 \\
P_{b}=18$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnymi oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DO\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.). oraz obliczysz długość odcinka \(DO\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 6.).
6 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.